Теорема Хана – Банаха - центральный инструмент функционального анализа . Он позволяет расширить ограниченные линейные функционалы, определенные на подпространстве некоторого векторного пространства, на все пространство, а также показывает, что существует «достаточно» непрерывных линейных функционалов, определенных на каждом нормированном векторном пространстве, чтобы сделать изучение двойственного пространства интересным. ". Другая версия теоремы Хана – Банаха известна как теорема Хана – Банаха об отделимости или теорема об отделении гиперплоскостей и имеет множество применений в выпуклой геометрии .
История
Теорема названа в честь математиков Ганса Хана и Стефана Банаха , которые независимо доказали ее в конце 1920-х годов. Частный случай теоремы для пространстванепрерывных функций на отрезке было доказано ранее (в 1912 г.) путем Эдуарда Хелли , [1] и теоремы более общее расширение, то теорема о продолжении М. Рисса , из которого Хана-Банаха теорема может быть получена, была доказана в 1923 году Марсель Рис . [2]
Первая теорема Хана – Банаха была доказана Эдуардом Хелли в 1921 году, который показал, что некоторые линейные функционалы, определенные на подпространстве определенного типа нормированного пространства () имел продолжение той же нормы. Хелли сделал это с помощью техники, сначала доказав, что существует одномерное расширение (где линейный функционал имеет область, расширенную на одно измерение), а затем с помощью индукции . В 1927 году Хан определил общие банаховы пространства и использовал технику Хелли, чтобы доказать сохраняющую норму версию теоремы Хана – Банаха для банаховых пространств (где ограниченный линейный функционал на подпространстве имеет ограниченное линейное расширение той же нормы на все пространство). В 1929 году Банах, который не знал о результате Хана, обобщил его, заменив версию, сохраняющую норму, версией с преобладающим расширением, в которой используются сублинейные функции . В то время как в доказательстве Хелли использовалась математическая индукция, Хан и Банах использовали трансфинитную индукцию . [3]
Теорема Хана – Банаха возникла в результате попыток решить бесконечные системы линейных уравнений. Это необходимо для решения таких проблем, как проблема моментов, согласно которой, учитывая все потенциальные моменты функции, необходимо определить, существует ли функция, имеющая эти моменты, и, если да, найти ее в терминах этих моментов. Другой такой проблемой является проблема рядов косинусов Фурье , в соответствии с которой, учитывая все потенциальные коэффициенты косинусов Фурье, необходимо определить, существует ли функция, имеющая эти коэффициенты, и, опять же, найти ее, если это так.
Рис и Хелли решили проблему для некоторых классов пространств (таких как L p ([0, 1]) и C ([ a , b ])), где они обнаружили, что существование решения эквивалентно существованию и непрерывности некоторые линейные функционалы. По сути, им нужно было решить следующую проблему: [3]
- ( Векторная задача ) Дана коллекция линейных ограниченных функционалов на нормированном пространстве X и набора скаляров , Определить , есть ли х ∈ Х такая , что F я ( х ) = с I для всех I ∈ I .
Чтобы решить эту проблему, если X является рефлексивным , то достаточно решить следующую двойственную задачу: [3]
- ( Функциональная проблема ) Учитывая коллекцию векторов в нормированном пространстве X и набор скаляров , Определить, есть ли линейный ограниченный функционал F на X такой , что F ( х я ) = C I для всех I ∈ I .
Рисс продолжил определение L p ([0, 1]) ( 1 < p <∞ ) в 1910 году и пространств l p в 1913 году. Исследуя эти пространства, он доказал частный случай теоремы Хана – Банаха. Хелли также доказал частный случай теоремы Хана – Банаха в 1912 году. В 1910 году Рис решил функциональную проблему для некоторых конкретных пространств, а в 1912 году Хелли решил ее для более общего класса пространств. Лишь в 1932 году Банах в одном из первых важных приложений теоремы Хана – Банаха решил общую функциональную проблему. Следующая теорема формулирует общую функциональную проблему и характеризует ее решение. [3]
Теорема [3] (Функциональная задача) - Пусть X вещественное или комплексное нормированное пространство, я непустое множество, ( с я ) я ∈ I семейство скаляров, и ( х я ) я ∈ I семейство векторы X .
Существует непрерывный линейный функционал f на X такой, что f ( x i ) = c i для всех i ∈ I тогда и только тогда, когда существует K > 0 такое, что для любого выбора скаляров ( s i ) i ∈ I, где все но конечное число s i равно 0, мы обязательно имеем
Приведенную выше теорему можно использовать для вывода теоремы Хана – Банаха. [3] Если X рефлексивно, то эта теорема решает векторную проблему.
Теорема Хана – Банаха.
Теорема (Хана-Банаха) [3] [4] - Набор 𝕂 быть либо ℝ или ℂ и пусть Х быть 𝕂 -векторных пространство. Если F : М → 𝕂 является 𝕂 -линейного функционала на 𝕂 -линейного подпространства М и р : X → ℝ неотрицательной, сублинейная функцию , такие , что
- | f ( м ) | ≤ р ( м ) для всех т ∈ M .
то существует 𝕂 -линейного F : X → 𝕂 таким образом, что
- F ( m ) = f ( m ) для всех m ∈ M ,
- | F ( x ) | ≤ р ( х ) для всех х ∈ Х .
Расширение F в общем случае не однозначно определяется F и доказательство не дает явного метода о том, как найти F .
Можно немного ослабить условие субаддитивности для p , требуя только, чтобы для всех x , y ∈ X и всех скаляров a и b, удовлетворяющих | а | + | б | ≤ 1 ,
- p ( ax + by ) ≤ | а | p ( x ) + | б | р ( у ) . [5]
Кроме того, можно ослабить условия положительной однородности и субаддитивности на p , потребовав только того, чтобы p было выпуклым. [6]
Проект Mizar полностью формализовал и автоматически проверил доказательство теоремы Хана – Банаха в файле HAHNBAN. [7]
Доказательство
В комплексном случае ℂ допущения -linearity требуют , чтобы М = N + Ni для некоторого вещественного векторного пространства N . Кроме того, для каждого вектора х ∈ N , F ( IX ) = , если ( х ) . Таким образом, действительная часть линейного функционала уже определяет поведение линейного функционала в целом, и доказательства реального случая будет достаточно. [3]
Прежде всего отметим первоначальный результат Хелли: [3] если M имеет коразмерность 1, то Хан-Банах прост.
Лемма [3] (одномерная теорема мажорированное продолжение) - Пусть X вещественное векторное пространство, р : X → ℝ сублинейным функция F : M → ℝ линейный функционал на надлежащем векторное подпространство M ⊆ X такое , что F ≤ р на м (т.е. F ( м ) ≤ р ( м ) для все т ∈ M ), а х ∈ х векторы не в м . Там существует линейное расширение Р : М ⊕ ℝ х → ℝ из F в M ⊕ ℝ х = Span { М , х } такая , что F ≤ р на M ⊕ ℝ х .
Чтобы доказать эту лемму, т , п ∈ M . По свойствам линейности наших функций
- - p (- x - n ) - f ( n ) ≤ p ( m + x ) - f ( m ) .
В частности, пусть
- а =[- p (- x - n ) - f ( n )] и b =[ p ( m + x ) - f ( m )]
Тогда мы заключаем «решающее неравенство» [3], что для любого a ≤ b . Итак, пусть c ∈ [ a , b ] и положим F ( m + rx ) = f ( m ) + rc ; тогда
- F ( m + rx ) ≤ p ( m ) + rc ≤ p ( m + rx )
Обратное неравенство аналогично.
Теперь применим лемму Цорна : возможные расширения е частично упорядочены по расширению друг от друга, так что расширение максимальный F . Согласно результату коразмерности 1, если F не определено на всем X , то его можно продолжить. Таким образом, F , как утверждается, должен быть определен везде.
В локально выпуклых пространствах
В приведенном выше виде расширяемый функционал уже должен быть ограничен сублинейной функцией. В некоторых приложениях это может быть почти напрасным вопросом . Однако в локально выпуклых пространствах любой непрерывный функционал уже ограничен нормой , которая является сублинейной. Таким образом, есть
Непрерывные расширений на локально выпуклых пространствах [3] - Пусть Х будет локально выпуклое топологическое векторное пространство над 𝕂 (либо ℝ или ℂ), М векторное подпространство X , а е непрерывный линейный функционал на М . There е имеет линейное непрерывное продолжение на все X . Если топология на X возникает из нормы , то норма f сохраняется этим расширением.
В категории теоретико- плане, поле 𝕂 является инъективным объектом в категории локально выпуклых пространств.
Отношение к аксиоме выбора
В приведенном выше доказательстве используется лемма Цорна, эквивалентная выбранной аксиоме . Теперь известно (см. Ниже), что лемма об ультрафильтре (или, что эквивалентно, теорема о булевом простом идеале ), которая немного слабее, чем выбранная аксиома, на самом деле достаточно сильна.
Теорема Хана – Банаха эквивалентна следующему: [8]
- (∗): На каждой булевой алгебре B существует «вероятностный заряд», то есть непостоянное конечно аддитивное отображение из B в [0, 1] .
(Теорема о булевом простом идеале эквивалентна утверждению о том, что всегда существуют непостоянные вероятностные заряды, которые принимают только значения 0 и 1.)
В теории множеств Цермело – Френкеля можно показать, что теоремы Хана – Банаха достаточно, чтобы вывести существование измеримого по Лебегу множества. [9] Более того, из теоремы Хана – Банаха следует парадокс Банаха – Тарского . [10]
Для сепарабельных банаховых пространств Д. К. Браун и С. Г. Симпсон доказали, что теорема Хана – Банаха следует из WKL 0 , слабой подсистемы арифметики второго порядка, которая принимает форму леммы Кёнига, ограниченной на бинарные деревья, в качестве аксиомы. Фактически, они доказывают, что при слабом наборе предположений они эквивалентны, что является примером обратной математики . [11] [12]
«Геометрические Хана – Банаха» (теоремы Хана – Банаха о разделимости)
Ключевым элементом теоремы Хана – Банаха является результат о разделении двух выпуклых множеств: {- p (- x - n ) - f ( n ): n ∈ M } и { p ( m + x ) - f ( m ): m ∈ M }. Такого рода рассуждения широко представляется в выпуклой геометрии , [13] теории оптимизации и экономики . С этой целью леммы, полученные из исходной теоремы Хана – Банаха, известны как теоремы Хана – Банаха об отделимости . [14] [15]
Теорема [14] - Пусть X будет реальный локально выпуклое топологическое векторное пространство и пусть и B непустые выпуклые подмножества. Если Int A ≠ ∅ и B ∩ Int A = ∅, то существует непрерывный линейный функционал f на X такой, что sup f ( A ) ≤ inf f ( B ) и f ( a )
Часто предполагается, что выпуклые множества имеют дополнительную структуру; т.е. они открыты или компактны . В таком случае вывод можно существенно усилить:
Теорема [3] [16] - Пусть X будет реальный топологическое векторное пространство и выбрать , B выпуклые непустые непересекающиеся подмножества X .
- Если открыта , то и B являются отделены друг от друга (замкнутой) гиперплоскости . Явно, это означает , что существует непрерывное линейное отображение F : X → 𝕂 и ˙s ∈ ℝ таким образом, что F ( ) < s ≤ F ( б ) для всех ∈ A , б ∈ B . Если и A, и B открыты, то правая часть также может считаться строгой.
- Если X локально выпукло, компактно и Б замкнут, то и B являются строго разделены : существует непрерывное линейное отображение F : X → 𝕂 и s , т ∈ ℝ таким образом, что F ( ) < т < с < е ( б ) для всех ∈ A , б ∈ B .
Если X является сложным, то один и тем же требование держать, но для действительной части от е .
Одно важное следствие известно как геометрическая теорема Хана – Банаха или теорема Мазура .
Теорема (Мазур) [17] - Пусть М векторное подпространство топологического векторного пространства X . Пусть К есть непустое выпуклое открытое подмножество X с K ∩ M = ∅ . Тогда существует замкнутая гиперплоскость (Коразмерность-1 векторное подпространство) N ⊆ X , который содержит M , но по- прежнему не пересекается с K .
Чтобы увидеть, что теорема Мазура следует из теорем Хана-Банаха об отделимости, заметим, что M выпукло, и применим первый пункт. Теорема Мазура поясняет, что векторные подпространства (даже незамкнутые) можно охарактеризовать линейными функционалами.
Следствие [18] (Разделение подпространства и открытое множество выпуклых) - Пусть Х локально выпуклое векторное пространство, М векторное подпространство и U непустое открытое выпуклое подмножество пересекается с М . Тогда существует непрерывный линейный функционал f на X такой, что f ( m ) = 0 для всех m ∈ M и Re f > 0 на U
Поддерживающие гиперплоскости
Поскольку точки тривиально выпуклы , геометрический Хан-Банах подразумевает, что функционалы могут обнаруживать границу множества. В частности, пусть X - вещественное топологическое векторное пространство и A ⊆ X выпукло с Int A ≠ ∅ . Еслито есть функционал , который исчезает при виде 0 , но поддерживается на внутренней части A . [14]
Назовите нормированное пространство X гладким, если в каждой точке x его единичного шара существует единственная замкнутая гиперплоскость, ведущая к единичному шару в x . Кете показал в 1983 г., что нормированное пространство гладко в точке x тогда и только тогда, когда норма дифференцируема по Гато в этой точке. [3]
Сбалансированные или дисковые кварталы
Пусть U выпуклой сбалансирована окрестность 0 в локально выпуклом топологическом векторном пространстве X и пусть х ∈ X не является элемент U . Тогда существует непрерывный линейный функционал f на X такой, что
- sup | f ( U ) | ≤ | f ( x ) | . [3]
Приложения
Теорема Хана – Банаха является первым признаком важной философии функционального анализа : чтобы понять пространство, нужно понимать его непрерывные функционалы .
Так , например, линейные подпространства характеризуются функционалов: если Х представляет собой нормированное векторное пространство с линейным подпространством М (не обязательно замкнут) , и если г есть элемент X не в замыкании на M , то существует непрерывное линейное отображение п : X → 𝕂 с f ( x ) = 0 для всех x в M , f ( z ) = 1 и || f || = dist ( z , M ) −1 . (Чтобы убедиться в этом, заметьте, что dist (·, M) - сублинейная функция.) Более того, если z - элемент X , то существует непрерывное линейное отображение f : X → 𝕂 такое, что f ( z ) = || z || и || f || ≤ 1 . Отсюда следует, что естественная инъекция J из нормированного пространства X в его двойное двойственное V ′ ′ изометрично.
Этот последний результат также предполагает, что теорему Хана – Банаха можно часто использовать для поиска «более хорошей» топологии, с которой можно работать. Например, многие результаты функционального анализа предполагают, что пространство является хаусдорфовым или локально выпуклым . Однако, предположит , что X является топологическим векторным пространством, не обязательно Хаусдорф или локально выпуклым , но с непустым, собственно выпуклым, открытым множеством М . Тогда из геометрического Хана-Банаха следует, что существует гиперплоскость, отделяющая M от любой другой точки. В частности, должен существовать отличный от нуля функционал на X - то есть, непрерывное сопряженное пространство X * является нетривиальным. [3] [19] Если рассматривать X со слабой топологией, индуцированной X * , то X становится локально выпуклым; согласно второму пункту геометрического Хана-Банаха, слабая топология на этом новом пространстве разделяет точки . Таким образом, X с этой слабой топологией становится хаусдорфовым . Иногда это позволяет применять некоторые результаты из локально выпуклых топологических векторных пространств к нехаусдорфовым и нелокально выпуклым пространствам.
Уравнения с частными производными
Теорема Хана – Банаха часто бывает полезной, когда кто-то хочет применить метод априорных оценок . Предположим , что мы хотим решить линейное дифференциальное уравнение Pu = п для ц , с е заданной в некотором банаховом пространстве X . Если у нас есть контроль над размером u с точки зренияи мы можем рассматривать u как ограниченный линейный функционал на некотором подходящем пространстве тестовых функций g , тогда мы можем рассматривать f как линейный функционал по присоединению:. Во - первых, этот функционал определен только на изображении Р , но используя теорему Хана-Банаха, мы можем попытаться распространить его на всю области значений X . Результирующий функционал часто определяется как слабое решение уравнения .
Описание рефлексивных банаховых пространств
Теорема [20] - Вещественное банахово пространство рефлексивно тогда и только тогда, когда каждая пара непустых непересекающихся замкнутых выпуклых подмножеств, одно из которых ограничено, может быть строго разделена гиперплоскостью.
Пример из теории Фредгольма
Чтобы проиллюстрировать реальное применение теоремы Хана – Банаха, мы докажем результат, который почти полностью следует из теоремы Хана – Банаха.
Предложение - Пусть X хаусдорфово локально выпуклое TVS над полем 𝕂 и Y представляет собой векторное подпространство в X , который является TVS-изоморфно 𝕂 I для некоторого множества I . Тогда Y является замкнутым и дополняемым векторным подпространством X .
Так как 𝕂 я являюсь полным ТВС так Y , и так как любое полное подмножество хаусдорфового TVS замкнуто, Y представляет собой замкнутое подмножество X . Пусть f = ( f i ) i ∈ I : Y → 𝕂 I - изоморфизм TVS, так что каждый f i : Y → 𝕂 является непрерывным сюръективным линейным функционалом. По теореме Хана-Банаха, мы можем распространить каждое е I до линейного непрерывного функционала F я : X → 𝕂 на X . Пусть F : = ( F i ) i ∈ I : X → 𝕂 I, так что F - непрерывная линейная сюръекция такая, что ее ограничение на Y есть F | Y = ( F i | Y ) i ∈ I = ( f i ) i ∈ I = f . Отсюда следует, что если мы определим P : = f −1 ∘ F : X → Y, то ограничение на Y этого непрерывного линейного отображения P | Y : Y → Y - тождественное отображение 𝟙 Y на Y для P | Y = f −1 ∘ F | Y = F -1 ∘ е = 𝟙 У . Так, в частности, P является непрерывной линейной проекцией на Y (т.е. P ∘ P = P ). Таким образом, Y дополняется в X и X = Y ⊕ ker P в категории TVS. ∎
Можно использовать предыдущий результат , чтобы показать , что каждое замкнутое векторное подпространство ℝ ℕ дополняется и либо конечномерный , либо TVS-изоморфных ℝ ℕ .
Обобщения
- Общий шаблон
Сейчас существует много других версий теоремы Хана – Банаха. Общий шаблон для различных версий теоремы Хана – Банаха, представленных в этой статье, выглядит следующим образом:
- X - векторное пространство, p - сублинейная функция на X (возможно, полунорма ), M - векторное подпространство в X (возможно, замкнутое), а f - линейный функционал на M, удовлетворяющий | f | ≤ p на M (и, возможно, некоторые другие условия). Тогда можно сделать вывод, что существует линейное продолжение F функции f на X такое, что | F | ≤ p на X (возможно, с дополнительными свойствами).
Для полунорм
Хан – Банах для полунорм [21] [22] - Если M - векторное подпространство в X , p - полунорма на M , а q - полунорма на X такая, что p ≤ q | M , то существует полунорма P на X такая, что P | M = p и P ≤ q .
Доказательство выглядит следующим образом:
Лемма [3] - Пусть М векторное подпространство вещественного или комплексного векторного пространства X , пусть D быть поглощающим диск в X , и пусть е линейный функционал на М такая , что | f | ≤ 1 на M ∩ D . Тогда существует линейный функционал F на X, продолжающий f такой, что | F | ≤ 1 на D .
пусть S - выпуклая оболочка { m ∈ M : p ( x ) ≤ 1} ∪ { x ∈ X : q ( x ) ≤ 1 }. Заметим, что S - поглощающий диск в X , и назовем его функционал Минковского q . Тогда р = Р на M и P ≤ Q на X .
Геометрическое разделение
Теорема Хана – Банаха о сэндвиче [3] - Пусть S - любое подмножество вещественного векторного пространства X , пусть p - сублинейная функция на X , и пусть f : S → ℝ - любое отображение. Если существуют такие положительные числа a и b , что для всех x , y ∈ S ,
then there exists a linear functional F on X such that F ≤ p on X and f ≤ F on S.
Maximal linear extension
Theorem[3] (Andenaes, 1970) — Let M be a vector subspace of a real vector space X, p be a sublinear function on X, f be a linear functional on M such that f ≤ p on M, and let S be any subset of X. Then there exists a linear functional F on X that extends f, satisfies F ≤ p on X, and is (pointwise) maximal in the following sense: if G is a linear functional on X extending f and satisfying G ≤ p on X, then G ≥ F implies that G = F on S.
Vector valued Hahn–Banach
Theorem[3] — Let X and Y be vector spaces over the same field, M be a vector subspace of X, and f : M → Y be a linear map. Then there exists a linear map F : X → Y that extends f.
For nonlinear functions
The following theorem of Mazur–Orlicz (1953) is equivalent to the Hahn–Banach theorem.
Mazur–Orlicz theorem[23] — Let T be any set, r : T → ℝ be any real-valued map, X be a real or complex vector space, v : T → X be any map, and p be a sublinear function on X. Then the following are equivalent:
- there exists a real-valued linear functional F on X such that F ≤ p on X and r ≤ F ∘ v on T;
- for any positive integer n, any sequence s1, ..., sn of non-negative real numbers, and any sequence t1, ..., tn of elements of T, .
The following theorem characterizes when any scalar function on X (not necessarily linear) has a continuous linear extension to all of X.
Theorem (The extension principle[24]) — Let f a scalar-valued function on a subset S of a topological vector space X. Then there exists a continuous linear functional F on X extending f if and only if there exists a continuous seminorm p on X such that
for all positive integers n and all finite sequences (ai)n
i=1 of scalars and elements (si)n
i=1 of S.
Converse
Let X be a topological vector space. A vector subspace M of X has the extension property if any continuous linear functional on M can be extended to a continuous linear functional on X, and we say that X has the Hahn–Banach extension property (HBEP) if every vector subspace of X has the extension property.[25]
The Hahn–Banach theorem guarantees that every Hausdorff locally convex space has the HBEP. For complete metrizable topological vector spaces there is a converse, due to Kalton: every complete metrizable TVS with the Hahn–Banach extension property is locally convex.[25] On the other hand, a vector space X of uncountable dimension, endowed with the finest vector topology, then this is a topological vector spaces with the Hahn-Banach extension property that is neither locally convex nor metrizable.[25]
A vector subspace M of a TVS X has the separation property if for every element of X such that x ∉ M, there exists a continuous linear functional f on X such that f(x) ≠ 0 and f(m) = 0 for all m ∈ M. Clearly, the continuous dual space of a TVS X separates points on X if and only if { 0 } has the separation property. In 1992, Kakol proved that any infinite dimensional vector space X, there exist TVS-topologies on X that do not have the HBEP despite having enough continuous linear functionals for the continuous dual space to separate points on X. However, if X is a TVS then every vector subspace of X has the extension property if and only if every vector subspace of X has the separation property.[25]
Смотрите также
- Farkas' lemma
- Fichera's existence principle
- M. Riesz extension theorem
- Separating axis theorem
- Vector-valued Hahn–Banach theorems
Рекомендации
- ^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Hahn–Banach theorem", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.
- ^ See M. Riesz extension theorem. According to Gȧrding, L. (1970). "Marcel Riesz in memoriam". Acta Math. 124 (1): I–XI. doi:10.1007/bf02394565. MR 0256837., the argument was known to Riesz already in 1918.
- ^ a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t Narici & Beckenstein 2011, pp. 177-220.
- ^ Rudin 1991, Th. 3.2
- ^ Reed & Simon 1980.
- ^ Schechter 1996.
- ^ HAHNBAN file
- ^ Schechter, Eric. Handbook of Analysis and its Foundations. p. 620.
- ^ Foreman, M.; Wehrung, F. (1991). "The Hahn–Banach theorem implies the existence of a non-Lebesgue measurable set" (PDF). Fundamenta Mathematicae. 138: 13–19. doi:10.4064/fm-138-1-13-19.
- ^ Pawlikowski, Janusz (1991). "The Hahn–Banach theorem implies the Banach–Tarski paradox". Fundamenta Mathematicae. 138: 21–22. doi:10.4064/fm-138-1-21-22.
- ^ Brown, D. K.; Simpson, S. G. (1986). "Which set existence axioms are needed to prove the separable Hahn–Banach theorem?". Annals of Pure and Applied Logic. 31: 123–144. doi:10.1016/0168-0072(86)90066-7. Source of citation.
- ^ Simpson, Stephen G. (2009), Subsystems of second order arithmetic, Perspectives in Logic (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88439-6, MR2517689
- ^ Harvey, R.; Lawson, H. B. (1983). "An intrinsic characterisation of Kähler manifolds". Invent. Math. 74 (2): 169–198. doi:10.1007/BF01394312. S2CID 124399104.
- ^ a b c Zălinescu, C. (2002). Convex analysis in general vector spaces. River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co., Inc. pp. 5–7. ISBN 981-238-067-1. MR 1921556.
- ^ Gabriel Nagy, Real Analysis lecture notes
- ^ Brezis, Haim (2011). Functional Analysis, Sobolev Spaces, and Partial Differential Equations. New York: Springer. pp. 6–7.
- ^ Trèves 2006, p. 184.
- ^ Narici & Beckenstein 2011, pp. 195.
- ^ Schaefer & Wolff 1999, p. 47.
- ^ Narici & Beckenstein 2011, p. 212.
- ^ Wilansky 2013, pp. 18-21.
- ^ Narici & Beckenstein 2011, pp. 150.
- ^ Narici & Beckenstein 2011, pp. 177–220.
- ^ Edwards 1995, pp. 124-125.
- ^ a b c d Narici & Beckenstein 2011, pp. 225-273.
Библиография
- ISBN 0-12-622760-8.
- "Hahn–Banach theorem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
- Adasch, Norbert; Ernst, Bruno; Keim, Dieter (1978). Topological Vector Spaces: The Theory Without Convexity Conditions. Lecture Notes in Mathematics. 639. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC 297140003.
- Banach, Stefan (1932). Théorie des Opérations Linéaires [Theory of Linear Operations] (PDF). Monografie Matematyczne (in French). 1. Warszawa: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej. Zbl 0005.20901. Archived from the original (PDF) on 2014-01-11. Retrieved 2020-07-11.
- Berberian, Sterling K. (1974). Lectures in Functional Analysis and Operator Theory. Graduate Texts in Mathematics. 15. New York: Springer. ISBN 978-0-387-90081-0. OCLC 878109401.
- Bourbaki, Nicolas (1987) [1981]. Sur certains espaces vectoriels topologiques [Topological Vector Spaces: Chapters 1–5]. Annales de l'Institut Fourier. Éléments de mathématique. 2. Translated by Eggleston, H.G.; Madan, S. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42338-6. OCLC 17499190.
- Conway, John (1990). A course in functional analysis. Graduate Texts in Mathematics. 96 (2nd ed.). New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC 21195908.
- Edwards, Robert E. (1995). Functional Analysis: Theory and Applications. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC 30593138.
- Grothendieck, Alexander (1973). Topological Vector Spaces. Translated by Chaljub, Orlando. New York: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC 886098.
- Jarchow, Hans (1981). Locally convex spaces. Stuttgart: B.G. Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342.
- Köthe, Gottfried (1983). Topological Vector Spaces I. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 159. Translated by Garling, D.J.H. New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. MR 0248498. OCLC 840293704.
- Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
- Reed, Michael and Simon, Barry, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1, Functional Analysis, Section III.3. Academic Press, San Diego, 1980. ISBN 0-12-585050-6.
- Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (1997). "The Hahn–Banach Theorem: The Life and Times". Topology and Its Applications. 77 (2): 193–211. doi:10.1016/s0166-8641(96)00142-3.
- Reed, Michael; Simon, Barry (1980). Functional Analysis (revised and enlarged ed.). Boston, MA: Academic Press. ISBN 978-0-12-585050-6.
- Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1980). Topological Vector Spaces. Cambridge Tracts in Mathematics. 53. Cambridge England: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC 589250.
- Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics. 8 (Second ed.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
- Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
- Schmitt, Lothar M (1992). "An Equivariant Version of the Hahn–Banach Theorem". Houston J. Of Math. 18: 429–447.
- Schechter, Eric (1996). Handbook of Analysis and Its Foundations. San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365.
- Swartz, Charles (1992). An introduction to Functional Analysis. New York: M. Dekker. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC 24909067.
- Tao, Terence, The Hahn–Banach theorem, Menger's theorem, and Helly's theorem
- Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.
- Wilansky, Albert (2013). Modern Methods in Topological Vector Spaces. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114.
- Wittstock, Gerd, Ein operatorwertiger Hahn-Banach Satz, J. of Functional Analysis 40 (1981), 127–150
- Zeidler, Eberhard, Applied Functional Analysis: main principles and their applications, Springer, 1995.