Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В линейной алгебре , в сублинейной функции (или функционале , как более часто используются в функциональном анализе ), также называемый квази-полунорм или ее Банах функционала , на векторном пространстве X является реальной значной функцией лишь некоторые из свойств полунорм . В отличие от полунорм, сублинейная функция не обязательно должна быть неотрицательно -значной, а также не должна быть абсолютно однородной . Семинормы сами по себе являются абстракциями более известного понятия нормы., где полунорма обладает всеми определяющими свойствами нормы, за исключением того, что не требуется отображать ненулевые векторы в ненулевые значения.

В функциональном анализе иногда используется название функционала Банаха , что свидетельствует о том, что они чаще всего используются при применении общей формулировки теоремы Хана – Банаха . Понятие сублинейной функции было введено Стефаном Банахом, когда он доказал свою версию теоремы Хана-Банаха . [1]

В информатике существует также другое понятие , описанное ниже, которое также называется «сублинейная функция».

Определения [ править ]

Пусть X - векторное пространство над полем 𝔽 , где 𝔽 - либо действительные числа ℝ, либо комплексные числа ℂ . Вещественнозначная функция f  : X → ℝ на X называется сублинейной функцией (или сублинейным функционалом, если 𝔽 = ℝ ), а также иногда называется квазиполунормой или банаховым функционалом , если она обладает этими двумя свойствами: [1 ]

  1. Положительная однородность / неотрицательная однородность : f ( r x ) = r f ( x ) для любого действительного r ≥ 0 и любого x ∈ X ; а также
  2. Субаддитивность / треугольник неравенство : F ( х + у ) ≤ F ( х ) + е ( у ) для всех х , у ∈ X .
    • Это условие субаддитивности требует, чтобы f была действительнозначной.

Функция сублинеен е называется положительным [2] или неотрицательным , если F ( х ) ≥ 0 для всех х ∈ Х .

Множество всех функций сублинейных на X , обозначенных X # , может быть частично упорядочено путем объявления р ≤ Q тогда и только тогда р ( х ) ≤ д ( х ) для всех х ∈ Х . Функция сублинейна называется минимальной , если это минимальный элемент из X # под этим порядком. Сублинейная функция минимальна тогда и только тогда, когда она является действительным линейным функционалом . [1]

Примеры и достаточные условия [ править ]

Каждая полунорма и норма является сублинейной функцией, а любой вещественный линейный функционал является сублинейной функцией. Обратное в целом неверно.

Если p и q являются сублинейными функциями в вещественном векторном пространстве X, то таким же является отображение x ↦ max { p ( x ), q ( x ) }. В более общем смысле, если 𝒫 - любой непустой набор сублинейных функционалов на вещественном векторном пространстве X и если для всех x ∈ X , q ( x ) ≝ sup { p ( x ): p ∈ 𝒫} <∞ , то q есть сублинейный функционал на X . [3]

Линейный функционал x ↦ - x на X = ℝ является сублинейным функционалом, который не является положительным и не является полунормой. [3]

Свойства [ править ]

Каждая сублинейная функция является выпуклым функционалом .

Если p - вещественнозначная сублинейная функция на X, то:

  • р (0) = 0 . [2]
  • 0 ≤ тах { р ( х ), р (- х ) } для всех х ∈ Х . [2]
    • Отображение , определяемое д ( х ) ≝ тах { р ( х ), р (- х ) } является полунорма на X . [2]
    • Это означает, в частности, что по крайней мере одно из значений p ( x ) и p (- x ) неотрицательно.
  • р ( х ) - р ( у ) ≤ р ( х - у ) для всех х , у ∈ X . [1]

Связанная полунорма [ править ]

Если p - вещественнозначная сублинейная функция на X, то отображение q ( x ) ≝ max { p ( x ), p (- x ) } определяет полунорму на X, называемую полунормой, ассоциированной с p . [2]

Связь с линейными функциями [ править ]

Если p - сублинейная функция в вещественном векторном пространстве X, то следующие утверждения эквивалентны: [1]

  1. p - линейный функционал ;
  2. для каждого х ∈ X , р ( х ) + р (- х ) ≤ 0 ;
  3. для каждого х ∈ X , р ( х ) + р (- х ) = 0 ;
  4. p - минимальная сублинейная функция.

Если p - сублинейная функция на вещественном векторном пространстве X, то существует линейный функционал f на X такой, что f ≤ p . [1]

Если X - вещественное векторное пространство, f - линейный функционал на X , а p - положительная сублинейная функция на X , то f ≤ p на X тогда и только тогда, когда f  −1 (1) ∩ { x ∈ X  : p ( х ) <1} = ∅ . [1]

Непрерывность [ править ]

Теорема [4]  -  Пусть F  : X → ℝ является функция субаддитивной (т.е. F ( х + у ) ≤ F ( х ) + е ( у ) для всех х , у ∈ X ). Тогда F непрерывна в нуле , если и только если е равномерно непрерывна на X . Если f удовлетворяет f (0) = 0, то f непрерывно тогда и только тогда, когда его абсолютное значение | ж| : X → [0, ∞) непрерывно. Если F не является отрицательным , то F непрерывна тогда и только тогда , когда { х ∈ Х  : F ( х ) <1} открыто в X .

Пусть X является TVS над вещественными или комплексными числами и р является функцией сублинеен на X . Тогда следующие варианты эквивалентны: [4]

  1. p непрерывен;
  2. p непрерывен в 0;
  3. p равномерно непрерывно на X ;

и если p положительно, мы можем добавить к этому списку:

  1. { Х ∈ Х  : р ( х ) <1} открыто в X .

Если X - вещественная TVS, f - линейный функционал на X , а p - непрерывная сублинейная функция на X , то f ≤ p на X означает, что f непрерывна. [4]

Связь с функциями Минковского [ править ]

Теорема [4]  -  Если U является выпуклой открытой окрестность нуля в X , то функционал Минковский из U , р U  : X → [0, ∞) , является непрерывной неотрицательной сублинейной функцией на X такая , что U = { x ∈ X  : p U ( x ) <1   }; Кроме того , если в U является сбалансированным то р U является полунормом на X .

Связь с открытыми выпуклыми множествами [ править ]

Теорема [4]  -  Предположим , что X является TVS (не обязательно локально выпуклым или Хаусдорфа) над вещественными или комплексными числами. Тогда открытые выпуклые подмножества X - это в точности те, которые имеют вид z + { x ∈ X  : p ( x ) <1} = { x ∈ X  : p ( x - z ) <1} для некоторого z ∈ X и некоторая положительная непрерывная функция сублинеен р на X .

Доказательство

Пусть V открытое выпуклое подмножество X . Если 0 ∈ V, то пусть z  : = 0, в противном случае пусть z ∈ V произвольно. Пусть p  : X → [0, ∞) - функционал Минковского от V - z, где p - непрерывная сублинейная функция на X, поскольку V - z выпуклая, поглощающая и открытая ( однако p не обязательно является полунормой, поскольку Vне считалось сбалансированным). Из свойств функционалов Минковского известно, что V - z = { x ∈ X  : p ( x ) <1}, откуда следует V = z + { x ∈ X  : p ( x ) <1} . Но

z + { x ∈ X  : p ( x ) <1} = { z + x  : x ∈ X , p ( x ) <1} = { z + x  : x ∈ X , p (( z + x ) - z ) <1} = { x ∈ X  : p ( x - z ) <1   },

по желанию. ∎

Операторы [ править ]

Эту концепцию можно распространить на операторы, которые являются однородными и субаддитивными. Это требует только, чтобы область значений была, скажем, упорядоченным векторным пространством, чтобы понять условия.

Определение информатики [ править ]

В информатике функция называется сублинейной, если , или f ( n ) ∈ o ( n ) в асимптотической записи (обратите внимание на малое ). Формально F ( п ) ∈ O ( п ) тогда и только тогда, когда для любого заданного гр > 0 , то существует N такое , что ф ( п ) < сп для п ≥ N . [5] То есть fрастет медленнее, чем любая линейная функция. Не следует путать эти два значения: хотя банахов функционал является выпуклым , для функций сублинейного роста верно почти обратное: каждая функция f ( n ) ∈ o ( n ) может быть ограничена сверху с помощью вогнутой функции сублинейного роста. [6]

См. Также [ править ]

  • Теорема Хана-Банаха
  • Линейный функционал
  • Норма (математика)  - Длина в векторном пространстве
  • Семинорм

Ссылки [ править ]

  1. ^ a b c d e f g Narici & Beckenstein 2011 , стр. 177-220.
  2. ^ a b c d e Narici & Beckenstein 2011 , стр. 120-121.
  3. ^ a b Narici & Beckenstein 2011 , стр. 177-221.
  4. ^ a b c d e Narici & Beckenstein 2011 , стр. 192-193.
  5. ^ Томас Х. Кормен , Чарльз Э. Лейзерсон , Рональд Л. Ривест и Клиффорд Стейн (2001) [1990]. «3,1». Введение в алгоритмы (2-е изд.). MIT Press и McGraw-Hill. С. 47–48. ISBN 0-262-03293-7.CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
  6. ^ Чекерини-Зильберштейн, Туллио; Сальватори, Маура; Сава-Гус, Екатерина (29.06.2017). Группы, графы и случайные блуждания . Кембридж. Лемма 5.17. ISBN 9781316604403. OCLC  948670194 .
  • Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
  • Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
  • Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .