Однородная функция
В математике однородная функция — это функция нескольких переменных такая, что если все её аргументы умножить на скаляр , то её значение умножится на некоторую степень этого скаляра, называемую степенью однородности , или просто степенью ; то есть, если k целое число, функция f переменной n является однородной степени k , если
для каждого и
Приведенное выше определение распространяется на функции, область определения и область значений которых являются векторными пространствами над полем F : функция между двумя F -векторными пространствами является однородной степени , если
для всех ненулевых и Это определение часто далее обобщается на функции, областью определения которых является не V , а конус в V , то есть подмножество C V такое , что подразумевает для каждого ненулевого скаляра s .
В случае функций нескольких действительных переменных и вещественных векторных пространств часто рассматривается немного более общая форма однородности, называемая положительной однородностью , требуя только, чтобы вышеуказанные тождества выполнялись для и допуская любое действительное число k как степень однородности. Всякая однородная действительная функция положительно однородна . Обратное неверно, но локально верно в том смысле, что (для целых степеней) два вида однородности нельзя различить, рассматривая поведение функции вблизи данной точки.
Норма над вещественным векторным пространством является примером положительно однородной функции, которая не является однородной . Особым случаем является абсолютное значение действительных чисел. Частное двух однородных многочленов одной степени дает пример однородной функции нулевой степени. Этот пример является основным в определении проективных схем .
