Теорема Хана – Банаха.

Теорема Хана – Банаха - центральный инструмент функционального анализа . Он позволяет расширить ограниченные линейные функционалы, определенные на подпространстве некоторого векторного пространства, на все пространство, а также показывает, что существует «достаточно» непрерывных линейных функционалов, определенных на каждом нормированном векторном пространстве, чтобы сделать изучение двойственного пространства интересным. ". Другая версия теоремы Хана – Банаха известна как теорема Хана – Банаха об отделимости или теорема об отделении гиперплоскостей и имеет множество применений в выпуклой геометрии .

История [ править ]

Теорема названа в честь математиков Ганса Хана и Стефана Банаха , которые независимо доказали ее в конце 1920-х годов. Частный случай теоремы для пространства непрерывных функций на отрезке было доказано ранее (в 1912 г.) путем Эдуарда Хелли , ^[1] и теоремы более общее расширение, то теорема о продолжении М. Рисса , из которого теорема Хана-Банаха можно вывести, было доказано в 1923 году Марселем Риссом . ^[2] ${\ displaystyle {C} {\ left [a, b \ right]}}$

Первая теорема Хана – Банаха была доказана Эдуардом Хелли в 1921 году, который показал, что некоторые линейные функционалы, определенные на подпространстве определенного типа нормированного пространства ( ), имеют расширение той же нормы. Хелли сделал это с помощью техники первого доказательства существования одномерного расширения (где линейный функционал имеет область, расширенную на одно измерение), а затем с помощью индукции ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {\ mathbb {N}}}$ . В 1927 году Хан определил общие банаховы пространства и использовал технику Хелли, чтобы доказать сохраняющую норму версию теоремы Хана – Банаха для банаховых пространств (где ограниченный линейный функционал на подпространстве имеет ограниченное линейное расширение той же нормы на все пространство). В 1929 году Банах, который не знал о результате Хана, обобщил его, заменив версию, сохраняющую норму, версией с преобладающим расширением, в которой используются сублинейные функции . В то время как в доказательстве Хелли использовалась математическая индукция, Хан и Банах использовали трансфинитную индукцию . ^[3]

Теорема Хана – Банаха возникла в результате попыток решить бесконечные системы линейных уравнений. Это необходимо для решения таких проблем, как проблема моментов, в соответствии с которой, учитывая все потенциальные моменты функции, необходимо определить, существует ли функция, имеющая эти моменты, и, если да, найти ее в терминах этих моментов. Другой такой проблемой является проблема рядов косинусов Фурье , в соответствии с которой, учитывая все потенциальные коэффициенты косинусов Фурье, необходимо определить, существует ли функция, имеющая эти коэффициенты, и, опять же, найти ее, если это так.

Рис и Хелли решили проблему для некоторых классов пространств (таких как L p ([0, 1]) и C ([ a , b ])), где они обнаружили, что существование решения эквивалентно существованию и непрерывности некоторые линейные функционалы. По сути, им нужно было решить следующую проблему: ^[3]

( Вектор проблема ) Учитывая совокупность ограниченных линейных функционалов на нормированном пространстве

X

и коллекции скаляров , определить , есть ли

х

\in

Х

такая , что

F

я

(

х

) =

с

I

для всех

I

\in

I

.

\left(f_{i}\right)_{i\in I}

\left(c_{i}\right)_{i\in I}

Чтобы решить эту проблему, если $X$ является рефлексивным , то достаточно решить следующую двойственную задачу: ^[3]

( Функциональная проблема ) Учитывая совокупность векторов в нормированном пространстве

X

и коллекции скаляров , определить, есть ли линейный ограниченный функционал

F

на

X

такой , что

F

(

х

я

) =

C

I

для всех

I

\in

I

.

\left(x_{i}\right)_{i\in I}

\left(c_{i}\right)_{i\in I}

Рисс продолжил определение $L p ([0, 1])$ ( $1 < p <\infty$ ) в 1910 году и пространств $l p$ в 1913 году. Исследуя эти пространства, он доказал частный случай теоремы Хана – Банаха. Хелли также доказал частный случай теоремы Хана – Банаха в 1912 году. В 1910 году Рис решил функциональную проблему для некоторых конкретных пространств, а в 1912 году Хелли решил ее для более общего класса пространств. Только в 1932 году Банах в одном из первых важных приложений теоремы Хана – Банаха решил общую функциональную проблему. Следующая теорема формулирует общую функциональную проблему и характеризует ее решение. ^[3]

Теорема ^[3] (Функциональная задача) - Пусть $X$ вещественное или комплексное нормированное пространство, $я$ непустое множество, $(с я) я \in I$ семейство скаляров, и $(х я) я \in I$ семейство векторы $X$ .

Существует непрерывный линейный функционал $f$ на $X$ такой, что $f (x i) = c i$ для всех $i \in I$ тогда и только тогда, когда существует $K > 0$ такое, что для любого выбора скаляров $(s i) i \in I,$ где все но конечное число $s i$ равно 0, мы обязательно имеем

\left|\sum _{i\in I}s_{i}c_{i}\right|\leq K\left\|\sum _{i\in I}s_{i}x_{i}\right\|.

Приведенную выше теорему можно использовать для вывода теоремы Хана – Банаха. ^[3] Если $X$ рефлексивно, то эта теорема решает векторную проблему.

Теорема Хана – Банаха [ править ]

Теорема (Хана-Банаха) ^[3]^[4] - Набор $𝕂$ быть либо $ℝ$ или $ℂ$ и пусть $Х$ быть $𝕂$ -векторных пространство. Если $F : М \to 𝕂$ является $𝕂$ -линейного функционала на $𝕂$ -линейного подпространства $М$ и $р : X \to ℝ$ неотрицательной, сублинейная функцию , такие , что

| f (м) | \leq р (м)

для всех

т \in M

.

то существует $𝕂$ -линейного $F : X \to 𝕂$ таким образом, что

F (m) = f (m)

для всех

m \in M

,

| F (x) | \leq р (х)

для всех

х \in Х

.

Расширение $F$ в общем случае не однозначно определяется $F$ и доказательство не дает явного метода о том, как найти $F$ .

Можно немного ослабить условие субаддитивности для $p$ , требуя только, чтобы для всех $x, y \in X$ и всех скаляров $a$ и $b,$ удовлетворяющих $| а | + | б | \leq 1$ ,

p (ax + by) \leq | а | p (x) + | б | р (у)

. ^[5]

Кроме того, можно ослабить условия положительной однородности и субаддитивности на $p$ , потребовав только того, чтобы $p было$ выпуклым. ^[6]

Проект Mizar полностью формализовал и автоматически проверил доказательство теоремы Хана – Банаха в файле HAHNBAN. ^[7]

Доказательство [ править ]

В комплексном случае $ℂ$ допущения -linearity требуют , чтобы $М = N + Ni$ для некоторого вещественного векторного пространства $N$ . Кроме того, для каждого вектора $х \in N$ , $F (IX) = , если (х)$ . Таким образом, действительная часть линейного функционала уже определяет поведение линейного функционала в целом, и доказательства реального случая будет достаточно. ^[3]

Прежде всего отметим первоначальный результат Хелли: ^[3] если $M$ имеет коразмерность 1, то Хан-Банах прост.

Лемма ^[3] (одномерная теорема мажорированное продолжение) - Пусть $X$ вещественное векторное пространство, $р : X \to ℝ$ сублинейным функция $F : M \to ℝ$ линейный функционал на надлежащем векторное подпространство $M \subseteq X$ такое , что $F \leq p$ на $M$ (т.е. $f (m) \leq p (m)$ для всех $m \in M$ ) и $x \in X$ вектор не в М . Там существует линейное расширение $Р : М \oplus ℝ х \to ℝ$ из $F$ в $M \oplus ℝ х = Span {М, х$ } такая , что $F \leq р$ на $M \oplus ℝ х$ .

Доказательство -

Чтобы доказать эту лемму, $т, п \in M$ . По свойствам линейности наших функций

- p (- x - n) - f (n) \leq p (m + x) - f (m)

.

В частности, пусть

\sup _{n\in M}

и

\inf _{m\in M}

Тогда мы заключаем «решающее неравенство» ^[3], что для любого $a \leq b$ . Итак, пусть $c \in [a, b]$ и положим $F (m + rx) = f (m) + rc$ ; потом

F (m + rx) \leq p (m) + rc \leq p (m + rx)

Обратное неравенство аналогично.

Теперь применим лемму Цорна : возможные расширения $е$ частично упорядочены по расширению друг от друга, так что расширение максимальный $F$ . Согласно результату коразмерности 1, если $F$ не определено на всем $X$ , то его можно продолжить. Таким образом, $F$ , как утверждается, должен быть определен везде.

В локально выпуклых пространствах [ править ]

В приведенном выше виде расширяемый функционал уже должен быть ограничен сублинейной функцией. В некоторых приложениях это может быть почти напрашивающимся вопросом . Однако в локально выпуклых пространствах любой непрерывный функционал уже ограничен нормой , которая является сублинейной. Таким образом, есть

Непрерывные расширений на локально выпуклых пространствах ^[3] - Пусть $Х$ будет локально выпуклое топологическое векторное пространство над 𝕂 (либо ℝ или ℂ), $М$ векторное подпространство $X$ , а $е$ непрерывный линейный функционал на $М$ . There $е$ имеет линейное непрерывное продолжение на все $X$ . Если топология на $X$ возникает из нормы , то норма $f$ сохраняется этим расширением.

В категории теоретико- плане, поле $𝕂$ является инъективным объектом в категории локально выпуклых пространств.

Отношение к аксиоме выбора [ править ]

В приведенном выше доказательстве используется лемма Цорна, эквивалентная выбранной аксиоме . Теперь известно (см. Ниже), что лемма об ультрафильтре (или, что эквивалентно, теорема о булевом простом идеале ), которая немного слабее, чем выбранная аксиома, на самом деле достаточно сильна.

Теорема Хана – Банаха эквивалентна следующему: ^[8]

(∗): На каждой булевой алгебре

B

существует «вероятностный заряд», то есть непостоянное конечно аддитивное отображение из

B

в

[0, 1]

.

(Теорема о булевом простом идеале эквивалентна утверждению о том, что всегда существуют непостоянные вероятностные заряды, которые принимают только значения 0 и 1.)

В теории множеств Цермело – Френкеля можно показать, что теоремы Хана – Банаха достаточно, чтобы вывести существование измеримого по Лебегу множества. ^[9] Более того, из теоремы Хана – Банаха следует парадокс Банаха – Тарского . ^[10]

Для сепарабельных банаховых пространств Д. К. Браун и С. Г. Симпсон доказали, что теорема Хана – Банаха следует из WKL ₀ , слабой подсистемы арифметики второго порядка, которая принимает форму леммы Кёнига, ограниченной на бинарные деревья в качестве аксиомы. Фактически, они доказывают, что при слабом наборе предположений они эквивалентны, что является примером обратной математики . ^[11]^[12]

«Геометрические Хана – Банаха» (теоремы Хана – Банаха об отделимости) [ править ]

Ключевым элементом теоремы Хана – Банаха является результат о разделении двух выпуклых множеств: ${- p (- x - n) - f (n): n \in M$ } и ${p (m + x) - f (m): m \in M$ }. Такого рода рассуждения широко представляется в выпуклой геометрии , ^[13] теории оптимизации и экономики . С этой целью леммы, полученные из исходной теоремы Хана – Банаха, известны какТеоремы Хана – Банаха об отделимости . ^[14]^[15]

Теорема ^[14] - Пусть $X$ будет реальный локально выпуклое топологическое векторное пространство и пусть и $B$ непустые выпуклые подмножества. Если $Int$ $A$ $\neq \emptyset$ и $B$ $\cap Int$ $A$ $= \emptyset,$ то существует непрерывный линейный функционал $f$ на $X$ такой, что $sup$ $f$ $($ $A$ $) \leq inf$ $f$ $($ $B$ $)$ и $f$ $($ $a$ $) <inf$ $f$ $($ $B$ $)$ для всех $a$ $\in Int$ $A$ (такое $f$ обязательно ненулевое).

Часто предполагается, что выпуклые множества имеют дополнительную структуру; т.е. они открыты или компактны . В таком случае вывод можно существенно усилить:

Теорема ^[3]^[16] - Пусть $X$ будет реальный топологическое векторное пространство и выбрать $,$ $B$ выпуклые непустые непересекающиеся подмножества $X$ .

Если открыта , то и $B$ являются отделены друг от друга (замкнутой) гиперплоскости . Явно, это означает , что существует непрерывное линейное отображение $F$ $:$ $X$ $\to 𝕂$ и $˙s$ $\in ℝ$ таким образом, что $F$ $($ $) <$ $s$ $\leq$ $F$ $($ $б$ $)$ для всех $\in$ $A$ $,$ $б$ $\in$ $B$ . Если и $A,$ и $B$ открыты, то правая часть также может считаться строгой.
Если $X$ локально выпукло, компактно и $Б$ замкнут, то и $B$ являются строго разделены : существует непрерывное линейное отображение $F$ $:$ $X$ $\to 𝕂$ и $s$ $,$ $т$ $\in ℝ$ таким образом, что $F$ $($ $) <$ $т$ $<$ $с$ $<$ $е$ $($ $б$ $)$ для всех $\in$ $A$ $,$ $б$ $\in$ $B$ .

Если $X$ является сложным, то один и тем же требование держать, но для действительной части от $е$ .

Одно важное следствие известно как геометрическая теорема Хана – Банаха или теорема Мазура .

Теорема (Мазур) ^[17] - Пусть $М$ векторное подпространство топологического векторного пространства $X$ . Пусть $К$ есть непустое выпуклое открытое подмножество $X$ с $K \cap M = \emptyset$ . Тогда существует замкнутая гиперплоскость (Коразмерность-1 векторное подпространство) $N \subseteq X$ , который содержит $M$ , но по- прежнему не пересекается с $K$ .

Чтобы увидеть, что теорема Мазура следует из теорем Хана-Банаха об отделимости, заметим, что $M$ выпукло, и применим первый пункт. Теорема Мазура поясняет, что векторные подпространства (даже незамкнутые) можно охарактеризовать линейными функционалами.

Следствие ^[18] (Разделение подпространства и открытое множество выпуклых) - Пусть $Х$ локально выпуклое векторное пространство, $М$ векторное подпространство и $U$ непустое открытое выпуклое подмножество пересекается с $М$ . Тогда существует непрерывный линейный функционал $f$ на $X$ такой, что $f (m) = 0$ для всех $m \in M$ и $Re f > 0$ на $U$

Поддерживающие гиперплоскости [ править ]

Поскольку точки тривиально выпуклы , геометрический Хан-Банах подразумевает, что функционалы могут обнаруживать границу множества. В частности, пусть $X$ - вещественное топологическое векторное пространство и $A \subseteq X$ выпукло с $Int A \neq \emptyset$ . Если то есть функционал , который исчезает в $виде$ $0$ , но поддерживается на внутренней $А$ . ^[14] $a_{0}\in A\setminus \operatorname {Int} A$

Назовите нормированное пространство $X$ гладким, если в каждой точке $x$ его единичного шара существует единственная замкнутая гиперплоскость, ведущая к единичному шару в $x$ . Кете показал в 1983 г., что нормированное пространство гладко в точке $x$ тогда и только тогда, когда норма дифференцируема по Гато в этой точке. ^[3]

Сбалансированные или дисковые районы [ править ]

Пусть $U$ выпуклой сбалансирована окрестность 0 в локально выпуклом топологическом векторном пространстве $X$ и пусть $х \in X$ не является элемент $U$ . Тогда существует непрерывный линейный функционал $f$ на $X$ такой, что

sup | f (U) | \leq | f (x) |

. ^[3]

Приложения [ править ]

Теорема Хана – Банаха является первым признаком важной философии функционального анализа : чтобы понять пространство, нужно понимать его непрерывные функционалы .

Так , например, линейные подпространства характеризуются функционалов: если $Х$ представляет собой нормированное векторное пространство с линейным подпространством $М$ (не обязательно замкнут) , и если $г$ есть элемент $X$ не в замыкании на $M$ , то существует непрерывное линейное отображение $п : X \to 𝕂$ с $f (x) = 0$ для всех $x$ в $M$ , $f (z) = 1$ и $|| f || = dist (z, M) -1$ . (Чтобы убедиться в этом, заметьте, что $dist (\cdot, M)$ - сублинейная функция.) Более того, если $z$ - элемент $X$ , то существует непрерывное линейное отображение $f : X \to 𝕂$ такое, что $f (z) = || z ||$ и $|| f || \leq 1$ . Отсюда следует, что естественная инъекция $J$ из нормированного пространства $X$ в его двойное двойственное $V ' '$ изометрично.

Этот последний результат также предполагает, что теорему Хана – Банаха можно часто использовать для поиска «более хорошей» топологии, с которой можно работать. Например, многие результаты функционального анализа предполагают, что пространство является хаусдорфовым или локально выпуклым . Однако, предположит , что $X$ является топологическим векторным пространством, не обязательно Хаусдорф или локально выпуклым , но с непустым, собственно выпуклым, открытым множеством $М$ . Тогда из геометрического Хана-Банаха следует, что существует гиперплоскость, отделяющая $M$ от любой другой точки. В частности, должен существовать отличный от нуля функционал на $X$ - то есть, непрерывное сопряженное пространство $X *$ является нетривиальным. ^[3]^{[19] Если} рассматривать $X$ со слабой топологией, индуцированной $X *$ , то $X$ становится локально выпуклым; согласно второму пункту геометрического Хана-Банаха, слабая топология на этом новом пространстве разделяет точки . Таким образом, $X$ с этой слабой топологией становится хаусдорфовым . Иногда это позволяет применять некоторые результаты из локально выпуклых топологических векторных пространств к нехаусдорфовым и нелокально выпуклым пространствам.

Уравнения с частными производными [ править ]

Теорема Хана – Банаха часто бывает полезной, когда кто-то хочет применить метод априорных оценок . Предположим , что мы хотим решить линейное дифференциальное уравнение $Pu = п$ для $ц$ , с $е$ заданной в некотором банаховом пространстве $X$ . Если мы имеем контроль над размером $ц$ в терминах , и мы можем думать о $ц$ как линейный ограниченный функционал на некотором подходящем пространстве пробных функций $г$ , то мы можем рассматривать $F$ как линейный функционал на примыкании: . Сначала этот функционал определяется только на образе $P$ $\|F\|_{X}$ $(f,g)=(u,P^{*}g)$ , Но используя теорему Хана-Банаха, мы можем попытаться распространить его на всю области значений $X$ . Результирующий функционал часто определяется как слабое решение уравнения .

Характеристика рефлексивных банаховых пространств [ править ]

Теорема ^[20] - Вещественное банахово пространство рефлексивно тогда и только тогда, когда каждая пара непустых непересекающихся замкнутых выпуклых подмножеств, одно из которых ограничено, может быть строго разделена гиперплоскостью.

Пример из теории Фредгольма [ править ]

Чтобы проиллюстрировать реальное применение теоремы Хана – Банаха, мы докажем результат, который почти полностью следует из теоремы Хана – Банаха.

Предложение - Пусть $X$ хаусдорфово локально выпуклое TVS над полем $𝕂$ и $Y$ представляет собой векторное подпространство в $X$ , который является TVS-изоморфно $𝕂 I$ для некоторого множества $I$ . Тогда $Y$ является замкнутым и дополняемым векторным подпространством $X$ .

Доказательство -

Так как $𝕂 я$ являюсь полным ТВС так Y , и так как любое полное подмножество хаусдорфового TVS замкнуто, Y представляет собой замкнутое подмножество $X$ . Пусть $f = (f i) i \in I : Y \to 𝕂 I$ - изоморфизм TVS, так что каждый $f i : Y \to 𝕂$ является непрерывным сюръективным линейным функционалом. По теореме Хана – Банаха каждое $f i$ можно продолжить до непрерывного линейного функционала $F i : X \to 𝕂$ на $X$ . Пусть $F : = (F i) i \in I : X \to 𝕂 I,$ так что $F$ - непрерывная линейная сюръекция такая, что ее ограничение на $Y$ есть $F | Y = (F i | Y) i \in I = (f i) i \in I = f$ . Отсюда следует, что если мы определим $P : = f -1 \circ F : X \to Y$ то ограничение на $Y$ этого непрерывного линейного отображения $P | Y : Y \to Y$ - тождественное отображение $𝟙 Y$ на $Y$ для $P | Y = f -1 \circ F | Y = F -1 \circ е = 𝟙 У$ . Так, в частности, $P$ является непрерывной линейной проекцией на $Y$ (т.е. $P \circ P = P$ ). Таким образом, $Y$ дополняется в $X$ и $X = Y \oplus ker P$ в категории ТВП. ∎

Можно использовать предыдущий результат , чтобы показать , что каждое замкнутое векторное подпространство $ℝ ℕ$ дополняется и либо конечномерный , либо TVS-изоморфных $ℝ ℕ$ .

Обобщения [ править ]

Общий шаблон

Сейчас существует много других версий теоремы Хана – Банаха. Общий шаблон для различных версий теоремы Хана – Банаха, представленных в этой статье, выглядит следующим образом:

X

- векторное пространство,

p

- сублинейная функция на

X

(возможно, полунорма ),

M

- векторное подпространство в

X

(возможно, замкнутое), а

f

- линейный функционал на

M,

удовлетворяющий

| f | \leq p

на

M

(и, возможно, некоторые другие условия). Тогда можно сделать вывод, что существует линейное продолжение

F

функции

f

на

X

такое, что

| F | \leq p

на

X

(возможно, с дополнительными свойствами).

Для полунорм [ править ]

Хан – Банах для полунорм ^[21]^[22] - Если $M$ - векторное подпространство в $X$ , $p$ - полунорма на $M$ , а $q$ - полунорма на $X$ такая, что $p \leq q | M$ , то существует полунорма $P$ на $X$ такая, что $P | M = p$ и $P \leq q$ .

Доказательство выглядит следующим образом:

Лемма ^[3] - Пусть $М$ векторное подпространство вещественного или комплексного векторного пространства $X$ , пусть $D$ быть поглощающим диск в $X$ , и пусть $е$ линейный функционал на $М$ такая , что $| f | \leq 1$ на $M \cap D$ . Тогда существует линейный функционал $F$ на $X,$ продолжающий $f$ такой, что $| F | \leq 1$ на $D$ .

пусть $S$ - выпуклая оболочка ${m \in M : p (x) \leq 1} \cup {x \in X : q (x) \leq 1$ }. Заметим, что $S$ - поглощающий диск в $X$ , и назовем его функционал Минковского $q$ . Тогда $р = Р$ на $M$ и $P \leq Q$ на $X$ .

Геометрическое разделение [ править ]

Теорема Хана – Банаха о сэндвиче ^[3] - Пусть $S$ - любое подмножество вещественного векторного пространства $X$ , пусть $p$ - сублинейная функция на $X$ , и пусть $f : S \to ℝ$ - любое отображение. Если существуют такие положительные числа $a$ и $b$ , что для всех $x, y \in S$ ,

0\geq \inf _{s\in S}[p(s-ax-by)-f(s)-af(x)-bf(y)]

то существует линейный функционал $F$ на $X$ такой , что $F \leq р$ на $X$ и $ф \leq F$ на $S$ .

Максимальное линейное расширение [ править ]

Теорема ^[3] (Andenaes, 1970) - Пусть $М$ векторное подпространство вещественного векторного пространства $X$ , $р$ функция сублинеен на $X$ , $F$ линейный функционал на $М$ такое , что $F \leq р$ на М , и пусть $S$ будет любое подмножество $X$ . Тогда существует линейный функционал $F$ на $X,$ который расширяет $f$ , удовлетворяет $F \leq p на X$ и является (поточечно) максимальным в следующем смысле: если $G$ представляет собой линейный функционал на $X$ расширение $п$ и удовлетворяющую $G \leq р$ на $X$ , то $G \geq F$ следует , что $G = F$ на $S$ .

Вектор оценен Хан-Банах [ править ]

Теорема ^[3] - Пусть $Х$ и $Y$ векторные пространства над одной и той же области, $М$ векторное подпространство в $X$ , и $е : М \to Y$ линейное отображение. Тогда существует линейное отображение $F : X \to Y$ , продолжающее $f$ .

Для нелинейных функций [ править ]

Следующая теорема Мазура – Орлича (1953) эквивалентна теореме Хана – Банаха.

Теорема Мазура – Орлича ^[23] - Пусть $T$ - любое множество, $r : T \to ℝ$ - любое вещественнозначное отображение, $X$ - вещественное или комплексное векторное пространство, $v : T \to X$ - любое отображение, а $p$ - сублинейная функция. на $X$ . Тогда следующие эквиваленты:

существует вещественнозначный линейный функционал $F$ на $X$ такой, что $F \leq p$ на $X$ и $r \leq F \circ v$ на $T$ ;
для любого натурального $п$ , любая последовательность $с 1, ..., ев н$ неотрицательных действительных чисел, а любая последовательность $т 1, ..., т п$ элементов $Т$ , . $\sum _{i=1}^{n}s_{i}r(t_{i})\leq p\left(\sum _{i=1}^{n}s_{i}v(t_{i})\right)$

Следующая теорема характеризует , когда любая скалярная функция на $X$ (не обязательно линейный) имеет непрерывное линейное продолжение на все $X$ .

Теорема (принцип расширения ^[24] ) - Пусть $F$ скалярной-функции на подмножестве $S$ в виде топологического векторного пространства $X$ . Тогда существует непрерывный линейный функционал $F$ на $X,$ продолжающий $f$ тогда и только тогда, когда существует непрерывная полунорма $p$ на $X$ такая, что

\left|\sum _{i=1}^{n}a_{i}f(s_{i})\right|\leq p\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}s_{i}\right)

для всех натуральных чисел $n$ и всех конечных последовательностей $(a i) п я = 1$ скаляров и элементов $(s i) п я = 1$ из $S$ .

Converse [ править ]

Пусть $X$ - топологическое векторное пространство. Векторное подпространство $M$ в $X$ обладает свойством расширения, если любой непрерывный линейный функционал на $M$ может быть расширен до непрерывного линейного функционала на $X$ , и мы говорим, что $X$ обладает свойством расширения Хана – Банаха ( HBEP ), если каждое векторное подпространство в $X$ имеет свойство расширения. ^[25]

Теорема Хана – Банаха гарантирует, что каждое хаусдорфово локально выпуклое пространство имеет HBEP. Для полных метризуемых топологических векторных пространств существует обратное, благодаря Калтону: всякая полная метризуемая TVS со свойством продолжения Хана – Банаха является локально выпуклым. ^[25] С другой стороны, векторное пространство $X$ несчетной размерности, наделенное тончайшей векторной топологией , тогда это топологические векторные пространства со свойством расширения Хана-Банаха, которое не является ни локально выпуклым, ни метризуемым. ^[25]

Векторное подпространство $M$ ТВП $X$ обладает свойством отделимости, если для каждого элемента $X$ такого, что $x \notin M$ , существует непрерывный линейный функционал $f$ на $X$ такой, что $f (x) \neq 0$ и $f (m) = 0$ для всех $м \in м$ . Ясно, что непрерывное двойственное пространство ТВП $X$ разделяет точки на $X$ тогда и только тогда, когда ${0$ } имеет свойство разделения. В 1992 году Kakol доказал , что любое бесконечное векторное пространство $X$ , существуют TVS-топологии на $X$ , которые не имеют HBEP , несмотря на достаточно непрерывные линейные функционалы для непрерывного сопряженного пространства для отдельных точек на $X$ . Однако, если $X$ является TVS, то каждое векторное подпространство $X$ имеет свойство расширения тогда и только тогда, когда каждое векторное подпространство $X$ имеет свойство разделения. ^[25]

См. Также [ править ]

Лемма Фаркаша
Принцип существования Фичеры
Теорема М. Рисса о продолжении
Теорема о разделяющей оси
Векторозначные теоремы Хана – Банаха.

Ссылки [ править ]

^ О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , "Теорема Хана – Банаха" , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс.
^ См. Теорему М. Рисса о расширении . Согласно Grding, L. (1970). «Памяти Марселя Рисса» . Acta Math . 124 (1): I – XI. DOI : 10.1007 / bf02394565 . Руководство по ремонту 0256837 . Этот аргумент был известен Риссу еще в 1918 году.
^ a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t Narici & Beckenstein 2011 , стр. 177-220.
↑ Рудин 1991 , Th. 3,2
^ Рид и Саймон 1980 .
↑ Schechter 1996 .
^ HAHNBAN файл
^ Шехтер, Эрик . Справочник по анализу и его основам . п. 620.
^ Форман, М .; Верунг, Ф. (1991). «Теорема Хана – Банаха влечет существование не измеримого по Лебегу множества» (PDF) . Fundamenta Mathematicae . 138 : 13–19. DOI : 10,4064 / фм-138-1-13-19 .
^ Pawlikowski, Януш (1991). «Из теоремы Хана – Банаха следует парадокс Банаха – Тарского» . Fundamenta Mathematicae . 138 : 21–22. DOI : 10,4064 / фм-138-1-21-22 .
^ Браун, ДК; Симпсон, С. Г. (1986). «Какие аксиомы существования множества необходимы для доказательства сепарабельной теоремы Хана – Банаха?» . Летопись чистой и прикладной логики . 31 : 123–144. DOI : 10.1016 / 0168-0072 (86) 90066-7 . Источник цитирования .
^ Симпсон, Стивен Г. (2009), Подсистемы арифметики второго порядка, Перспективы в логике (2-е изд.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88439-6 , MR 2517689
^ Харви, R .; Лоусон, HB (1983). «Внутренняя характеризация кэлеровых многообразий». Изобретать. Математика. 74 (2): 169–198. DOI : 10.1007 / BF01394312 . S2CID 124399104 .
^ a b c Зэлинеску, К. (2002). Выпуклый анализ в общих векторных пространствах . Ривер Эдж, Нью-Джерси: World Scientific Publishing Co., Inc., стр. 5–7. ISBN 981-238-067-1. Руководство по ремонту 1921556 .
↑ Габриэль Надь, конспект лекции Real Analysis
^ Брезис, Хаим (2011). Функциональный анализ, пространства Соболева и уравнения с частными производными . Нью-Йорк: Спрингер. С. 6–7.
^ Trèves 2006 , стр. 184.
^ Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 195.
^ Schaefer & Wolff 1999 , стр. 47.
^ Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 212.
^ Wilansky 2013 , стр. 18-21.
^ Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 150.
^ Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 177-220.
Перейти ↑ Edwards 1995 , pp. 124-125.
^ a b c d Narici & Beckenstein 2011 , стр. 225-273.

Библиография [ править ]

ISBN 0-12-622760-8 .
"Теорема Хана – Банаха" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Адаш, Норберт; Эрнст, Бруно; Кейм, Дитер (1978). Топологические векторные пространства: теория без условий выпуклости . Конспект лекций по математике. 639 . Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC 297140003 .
Банах, Стефан (1932). Теорье де операции Linéaires [ Теория линейных операций ] (PDF) . Monografie Matematyczne (на французском языке). 1 . Варшава: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej. Zbl 0005.20901 . Архивировано из оригинального (PDF) 11 января 2014 года . Проверено 11 июля 2020 .
Бербериан, Стерлинг К. (1974). Лекции по функциональному анализу и теории операторов . Тексты для выпускников по математике. 15 . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-90081-0. OCLC 878109401 .
Бурбаки, Николас (1987) [1981]. Sur some espaces vectoriels topologiques [ Топологические векторные пространства: главы 1–5 ]. Annales de l'Institut Fourier . Éléments de mathématique . 2 . Перевод Eggleston, HG; Мадан, С. Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42338-6. OCLC 17499190 .
Конвей, Джон (1990). Курс функционального анализа . Тексты для выпускников по математике . 96 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC 21195908 .
Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC 30593138 .
Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод Чалджуба, Орландо. Нью-Йорк: издательство Gordon and Breach Science. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC 886098 .
Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342 .
Кете, Готфрид (1969). Топологические векторные пространства I . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 159 . Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. Руководство по ремонту 0248498 . OCLC 840293704 .
Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
Рид, Майкл и Саймон, Барри, Методы современной математической физики, Vol. 1, Функциональный анализ, раздел III.3. Academic Press, Сан-Диего, 1980. ISBN 0-12-585050-6 .
Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (1997). «Теорема Хана – Банаха: жизнь и времена» . Топология и ее приложения . 77 (2): 193–211. DOI : 10.1016 / s0166-8641 (96) 00142-3 .
Рид, Майкл; Саймон, Барри (1980). Функциональный анализ (перераб. И доп. Ред.). Бостон, Массачусетс: Academic Press . ISBN 978-0-12-585050-6.
Робертсон, Алекс П .; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Кембриджские трактаты по математике . 53 . Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC 589250 .
Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 .
Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
Шмитт, Лотар М. (1992). «Эквивариантная версия теоремы Хана – Банаха» . Хьюстон Дж. Математика . 18 : 429–447.
Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365 .
Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC 24909067 .
Тао, Теренс , теорема Хана – Банаха, теорема Менгера и теорема Хелли
Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .
Виланский, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114 .
Виттсток, Герд, оператор Эйна , Вертигер Хан-Банах Зац, J. Функционального анализа 40 (1981), 127–150
Зейдлер, Эберхард, Прикладной функциональный анализ: основные принципы и их приложения , Springer, 1995.

[1] О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , "Теорема Хана – Банаха" , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс.

[2] См. Теорему М. Рисса о расширении . Согласно Grding, L. (1970). «Памяти Марселя Рисса» . Acta Math . 124 (1): I – XI. DOI : 10.1007 / bf02394565 . Руководство по ремонту 0256837 . Этот аргумент был известен Риссу еще в 1918 году.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011177-220-3] ^ a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t Narici & Beckenstein 2011 , стр. 177-220.

[4] Рудин 1991 , Th. 3,2

[FOOTNOTEReedSimon1980-5] Рид и Саймон 1980 .

[FOOTNOTESchechter1996-6] Schechter 1996 .

[7] HAHNBAN файл

[8] Шехтер, Эрик . Справочник по анализу и его основам . п. 620.

[9] Форман, М .; Верунг, Ф. (1991). «Теорема Хана – Банаха влечет существование не измеримого по Лебегу множества» (PDF) . Fundamenta Mathematicae . 138 : 13–19. DOI : 10,4064 / фм-138-1-13-19 .

[10] Pawlikowski, Януш (1991). «Из теоремы Хана – Банаха следует парадокс Банаха – Тарского» . Fundamenta Mathematicae . 138 : 21–22. DOI : 10,4064 / фм-138-1-21-22 .

[11] Браун, ДК; Симпсон, С. Г. (1986). «Какие аксиомы существования множества необходимы для доказательства сепарабельной теоремы Хана – Банаха?» . Летопись чистой и прикладной логики . 31 : 123–144. DOI : 10.1016 / 0168-0072 (86) 90066-7 . Источник цитирования .

[12] Симпсон, Стивен Г. (2009), Подсистемы арифметики второго порядка, Перспективы в логике (2-е изд.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88439-6 , MR 2517689

[13] Харви, R .; Лоусон, HB (1983). «Внутренняя характеризация кэлеровых многообразий». Изобретать. Математика. 74 (2): 169–198. DOI : 10.1007 / BF01394312 . S2CID 124399104 .

[Zalinescu-14] Зэлинеску, К. (2002). Выпуклый анализ в общих векторных пространствах . Ривер Эдж, Нью-Джерси: World Scientific Publishing Co., Inc., стр. 5–7. ISBN 981-238-067-1. Руководство по ремонту 1921556 .

[15] Габриэль Надь, конспект лекции Real Analysis

[16] Брезис, Хаим (2011). Функциональный анализ, пространства Соболева и уравнения с частными производными . Нью-Йорк: Спрингер. С. 6–7.

[FOOTNOTETrèves2006184-17] Trèves 2006 , стр. 184.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011195-18] Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 195.

[FOOTNOTESchaeferWolff199947-19] Schaefer & Wolff 1999 , стр. 47.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011212-20] Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 212.

[FOOTNOTEWilansky201318-21-21] Wilansky 2013 , стр. 18-21.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011150-22] Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 150.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011177–220-23] Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 177-220.

[FOOTNOTEEdwards1995124-125-24] Перейти ↑ Edwards 1995 , pp. 124-125.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011225-273-25] Narici & Beckenstein 2011 , стр. 225-273.

[1]

vтеТопологические векторные пространства (ТВП)
Базовые концепты	Банахово пространство Непрерывный линейный оператор Функционалы Гильбертово пространство Линейные операторы Локально выпуклое пространство Гомоморфизм Топологическое векторное пространство Векторное пространство
Основные результаты	Теорема о замкнутом графике Теорема Ф. Рисса Хана – Банаха ( отрыв гиперплоскостей Векторозначный Хан – Банах ) Открытое отображение (Банаха – Шаудера) ( ограниченное обратное ) Равномерная ограниченность (Банаха – Штейнгауза)
Карты	Почти открыто Билинейная ( форма оператор ) и полуторалинейные формы Закрыто Компактный оператор Непрерывные и прерывистые линейные карты Плотно очерченный Гомоморфизм Функционалы Норма Оператор Семинорм Сублинейный Транспонировать
Виды наборов	Абсолютно выпуклый / дисковый Поглощающий / Радиальный Аффинный Сбалансированный / По кругу Банаховые диски Граничные точки Ограниченный Дополненное подпространство Выпуклый Выпуклый конус (подмножество) Линейный конус (подмножество) Крайняя точка Предварительно компактный / полностью ограниченный Радиальный Радиально выпуклый / Звездообразный Симметричный
Установить операции	Аффинная оболочка ( Относительный ) Алгебраический интерьер (основной) Выпуклый корпус Линейный пролет Сложение Минковского Полярный ( Квази ) Относительный интерьер
Типы ТВС	Асплунд Б-полный / Птак Банах ( Счетно ) Barreled ( Ультра- ) Борнологический Браунер Полный (DF) -пространство Выдающийся F-пространство Фреше ( ручной Фреше ) Гротендик Гильберта Infrabarreled Пространство интерполяции LB-пространство LF-пространство Локально выпуклое пространство Макки (Псевдо) Метризуемый Montel Квазибаррельский Почти полный Квазинформированный ( Полиномиально Полу- ) рефлексивный Рис Шварц Полукомплект Смит Стереотип ( B Строго Равномерно выпуклый ( Квази ) Ультрабочий Равномерно гладкий Перепончатый С свойством аппроксимации