Теорема М. Рисса о продолжении

Расширение М. Рисса теорема является теоремой в математике , доказали Марсель Рисс ^[1] во время его изучения проблемы моментов . ^[2]

Формулировка [ править ]

Пусть E - вещественное векторное пространство , F  ⊂  E - векторное подпространство , а K  ⊂  E - выпуклый конус .

Линейный функционал φ :  F  →  R называется K - положительным , если он принимает только неотрицательные значения на конусе K :

${\ displaystyle \ phi (x) \ geq 0 \ quad {\ text {for}} \ quad x \ in F \ cap K.}$

Линейный функционал ψ :  E  →  R называется K -положительного расширение из ф , если оно совпадает с ф в области ф , а также возвращает значение по меньшей мере 0 для всех точек конуса К :

${\ Displaystyle \ psi | _ {F} = \ phi \ quad {\ text {and}} \ quad \ psi (x) \ geq 0 \ quad {\ text {for}} \ quad x \ in K.}$

В общем, К -положительному линейному функционалу на F не может быть продолжено до -положительного линейного функционала на Е . Уже в двух измерениях можно получить контрпример, в котором K является верхней полуплоскостью с удаленной открытой отрицательной осью x . Если F - ось x , то положительный функционал φ ( x , 0) =  x не может быть продолжен до положительного функционала на плоскости.${\ displaystyle K}$

Однако расширение существует при дополнительном предположении, что для любого y  ∈  E существует x ∈ F такой, что y  -  x  ∈ K ; другими словами, если E  =  K  +  F .

Доказательство [ править ]

Доказательство аналогично доказательству теоремы Хана – Банаха (см. Также ниже).

По трансфинитной индукции или лемме Цорна достаточно рассмотреть случай dim  .${\ Displaystyle E / F = 1}$

Выбирайте любой . Набор${\ displaystyle y \ in E \ setminus F}$

${\ Displaystyle a = \ sup \ {\, \ phi (x) \ mid x \ in F, \ yx \ in K \, \}, \ b = \ inf \ {\, \ phi (x) \ mid x \ in F, xy \ in K \, \}.}$

Мы докажем это ниже . В настоящее время, выбрать любую удовлетворяющую и набор , и затем распространяется на все по линейности. Нам нужно показать, что это положительно. Допустим . Тогда либо , либо, либо для некоторых и . Если , то . В первом оставшемся случае и так${\ displaystyle - \ infty <a \ leq b}$${\ displaystyle c}$${\ Displaystyle а \ leq с \ leq b}$${\ displaystyle \ psi (y) = c}$${\ displaystyle \ psi | _ {F} = \ phi}$${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle z \ in K}$${\ displaystyle z = 0}$${\ Displaystyle г = п (х + у)}$${\ Displaystyle г = р (ху)}$${\ displaystyle p> 0}$${\ displaystyle x \ in F}$${\ displaystyle z = 0}$${\ displaystyle \ psi (z)> 0}$${\ Displaystyle х + у = у - (- х) \ в К}$

${\displaystyle \psi (y)=c\geq a\geq \phi (-x)=\psi (-x)}$

по определению. Таким образом

${\displaystyle \psi (z)=p\psi (x+y)=p(\psi (x)+\psi (y))\geq 0.}$

Во втором случае , и так аналогично${\displaystyle x-y\in K}$

${\displaystyle \psi (y)=c\leq b\leq \phi (x)=\psi (x)}$

по определению и так

${\displaystyle \psi (z)=p\psi (x-y)=p(\psi (x)-\psi (y))\geq 0.}$

Во всех случаях , и поэтому является -положительным.${\displaystyle \psi (z)>0}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle K}$

Теперь мы это докажем . Обратите внимание, по предположению существует хотя бы один, для которого , и так . Однако может случиться так, что нет для чего , и в этом случае неравенство тривиально (в этом случае обратите внимание, что третий случай выше невозможен). Следовательно, можно предположить, что и есть хотя бы один, для которого . Чтобы доказать неравенство, достаточно показать, что всякий раз, когда и , и , затем . Действительно,${\displaystyle -\infty <a\leq b}$${\displaystyle x\in F}$${\displaystyle y-x\in K}$${\displaystyle -\infty <a}$${\displaystyle x\in F}$${\displaystyle x-y\in K}$${\displaystyle b=\infty }$${\displaystyle b<\infty }$${\displaystyle x\in F}$${\displaystyle x-y\in K}$${\displaystyle x\in F}$${\displaystyle y-x\in K}$${\displaystyle x'\in F}$${\displaystyle x'-y\in K}$${\displaystyle \phi (x)\leq \phi (x')}$

${\displaystyle x'-x=(x'-y)+(y-x)\in K}$

так как является выпуклым конусом, и поэтому${\displaystyle K}$

${\displaystyle 0\leq \phi (x'-x)=\phi (x')-\phi (x)}$

так как -положительный.${\displaystyle \phi }$${\displaystyle K}$

Следствие: теорема Крейна о расширении [ править ]

Пусть E - линейное вещественное пространство , а K  ⊂  E - выпуклый конус . Пусть х  ∈  Е \ (- К ) такова , что R  х  +  K  =  E . Тогда существует K -положительный линейный функционал φ :  E  →  R такой, что φ ( x )> 0.

Связь с теоремой Хана – Банаха [ править ]

Теорема Хана – Банаха выводится из теоремы М. Рисса о продолжении.

Пусть V линейное пространство, и пусть N будет сублинейная функция на V . Пусть φ - функционал на подпространстве U  ⊂  V , в котором доминирует N :

${\displaystyle \phi (x)\leq N(x),\quad x\in U.}$

Хана-Банаха теорема утверждает , что φ может быть распространена на линейный функционал на V , в котором преобладает N .

Чтобы вывести это из теоремы М. Рисса о продолжении, определим выпуклый конус K  ⊂  R × V следующим образом:

${\displaystyle K=\left\{(a,x)\,\mid \,N(x)\leq a\right\}.}$

Определим функционал φ ₁ на R × U следующим образом:

${\displaystyle \phi _{1}(a,x)=a-\phi (x).}$

Можно видеть , что φ ₁ является К -положительным, и что К  + ( R  ×  U ) =  R  ×  V . Поэтому φ ₁ может быть расширен до K -положительным функционала ф ₁ на R × V . потом

${\displaystyle \psi (x)=-\psi _{1}(0,x)}$

- искомое продолжение φ . Действительно, если ψ ( x )>  N ( x ), то ( N ( x ),  x ) ∈  K , тогда как

${\displaystyle \psi _{1}(N(x),x)=N(x)-\psi (x)<0,}$

приводит к противоречию.

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Кастильо, Рене Э. (2005), «Заметка о теореме Крейна» (PDF) , Lecturas Matematicas , 26 , заархивировано из оригинала (PDF) 01 февраля 2014 г. , получено 18 января 2014 г.
• Рисса, М. (1923), "Sur ль Probleme де моменты. III.", Arkiv för Matematik, Astronomi оч Fysik (на французском языке), 17 (16), СУЛ  49.0195.01
• Ахиезер, Н.И. (1965), Классическая проблема моментов и некоторые связанные вопросы анализа , Нью-Йорк: Hafner Publishing Co., MR  0184042