В математике , проблема моментов возникает в результате попыток инвертировать отображения, принимают меры М к последовательности моментов
В более общем плане можно рассмотреть
для произвольной последовательности функций M n .
Вступление
В классической постановке μ - это мера на вещественной прямой , а M - это последовательность { x n : n = 0, 1, 2, ...}. В этой форме в теории вероятностей возникает вопрос о том, существует ли мера вероятности с указанным средним значением , дисперсией и т. Д., И является ли она уникальной.
Существует три названных классических проблемы моментов: проблема моментов Гамбургера, в которой носителем μ может быть вся вещественная прямая; проблема стильтьесовского момент , для [0, + ∞); и проблема моментов Хаусдорфа для ограниченного интервала, которую без ограничения общности можно принять равной [0, 1].
Существование
Последовательность чисел m n является последовательностью моментов меры µ тогда и только тогда, когда выполняется определенное условие положительности; а именно, ганкелевы матрицы H n ,
должно быть положительным полуопределенным . Это связано с тем, что положительно-полуопределенная матрица Ганкеля соответствует линейному функционалу такой, что а также (неотрицательный для суммы квадратов многочленов). Предполагать может быть расширен до . В одномерном случае неотрицательный многочлен всегда можно записать в виде суммы квадратов. Итак, линейный функционалположительна для всех неотрицательных многочленов в одномерном случае. По теореме Хэвиленда линейный функционал имеет форму меры, т. Е.. Условие аналогичного вида необходимо и достаточно для существования мерыподдерживается на заданном интервале [ a , b ].
Один из способов доказать эти результаты - рассмотреть линейный функционал который посылает многочлен
к
Если m kn - моменты некоторой меры μ с носителем на [ a , b ], то, очевидно,
- для любого многочлена P , неотрицательного на [ a , b ].
( 1 )
Наоборот, если выполнено ( 1 ), можно применить теорему М. Рисса о продолжении и продолжитьфункционалу на пространстве непрерывных функций с компактным носителем C 0 ([ a , b ]), так что
- для любой
( 2 )
По теореме Рисса о представлении ( 2 ) выполняется тогда и только тогда, когда существует мера μ с носителем на [ a , b ] такая, что
для любого ƒ ∈ C 0 ([ a , b ]).
Таким образом, существование меры эквивалентно ( 1 ). Используя теорему о представлении положительных многочленов на [ a , b ], можно переформулировать ( 1 ) как условие на ганкелевы матрицы .
См. Более подробную информацию в Shohat & Tamarkin 1943 и Kerin & Nudelman 1977 .
Уникальность (или определенность)
Уникальность ц в проблеме моментов Хаусдорфа следует из Вейерштрассы приближения теоремы , в которой говорится , что полиномы являются плотными по равномерной норме в пространстве непрерывных функций на [0, 1]. Для задачи на бесконечном интервале единственность - более тонкий вопрос; см состояние Карлемана , состояние Крейна и Ахиезер (1965) .
Вариации
Важной разновидностью является проблема усеченных моментов , которая изучает свойства мер с фиксированными первыми k моментами (для конечных k ). Результаты по усеченной проблеме моментов имеют многочисленные приложения к экстремальным задачам , оптимизации и предельным теоремам в теории вероятностей . См. Также: Неравенства Чебышева – Маркова – Стилтьеса и Крейн и Нудельман 1977 .
Смотрите также
Рекомендации
- Шохат, Джеймс Александр; Тамаркин, Яков Д. (1943). Проблема моментов . Нью-Йорк: Американское математическое общество. CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- Ахиезер, Наум И. (1965). Классическая проблема моментов и некоторые смежные вопросы анализа . Нью-Йорк: Hafner Publishing Co. CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка ) (пер. с русского Н. Кеммера)
- Крейн, MG; Нудельман, AA (1977). Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. Идеи и проблемы П.Л. Чебышева и А.А. Маркова и их дальнейшее развитие . Переводы математических монографий, Vol. 50. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд. (Перевод с русского Д. Лувиша)
- Шмюдген, Конрад (2017). Проблема момента . Издательство Springer International.