Матрица Ганкеля

В линейной алгебре , ганкелева матрица (или catalecticant матрица ), названная в честь Ганкеля , является квадратной матрицей , в которой каждый восходящий косых по диагонали слева направо постоянно, например:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b&c&d&e\\b&c&d&e&f\\c&d&e&f&g\\d&e&f&g&h\\e&f&g&h&i\\\end{bmatrix}}.}$

В более общем смысле, матрица Ганкеля - это любая матрица вида${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{0}&a_{1}&a_{2}&\ldots &\ldots &a_{n-1}\\a_{1}&a_{2}&&&&\vdots \\a_{2}&&&&&\vdots \\\vdots &&&&&a_{2n-4}\\\vdots &&&&a_{2n-4}&a_{2n-3}\\a_{n-1}&\ldots &\ldots &a_{2n-4}&a_{2n-3}&a_{2n-2}\end{bmatrix}}.}$

Что касается компонентов, если элемент обозначается значком и предполагает , то мы имеем для всех .${\displaystyle i,j}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A_{ij}}$${\displaystyle i\leq j}$${\displaystyle A_{i,j}=A_{i+k,j-k}}$${\displaystyle k=0,...,j-i}$

Свойства [ править ]

• Матрица Ганкеля - это симметричная матрица .
• Позвольте быть обменной матрицей порядка . Если - матрица Ганкеля, то , где - теплицева матрица .${\displaystyle J_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle H(m,n)}$${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle H(m,n)=T(m,n)\,J_{n}}$${\displaystyle T(m,n)}$${\displaystyle m\times n}$
  • Если действительно симметрично, то будет иметь те же собственные значения, что и до знака. ^[1]${\displaystyle T(n,n)}$${\displaystyle H(n,n)=T(n,n)\,J_{n}}$${\displaystyle T(n,n)}$
• Матрица Гильберта является примером матрицы ганкелевой.

Оператор Ганкеля [ править ]

Оператор Ганкеля в гильбертовом пространстве - это оператор , матрица которого является (возможно, бесконечной) матрицей Ганкеля относительно ортонормированного базиса . Как было указано выше, Ганкель матрица представляет собой матрицу со значениями постоянными вдоль ее antidiagonals, что означает , что матрица Ганкель должна удовлетворять, для всех строк и столбцов , . Обратите внимание, что каждая запись зависит только от .${\displaystyle A}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle (A_{i,j})_{i,j\geq 1}}$${\displaystyle A_{i,j}}$${\displaystyle i+j}$

Пусть соответствующий Ганкель оператор будет . Для данной матрицы Ганкеля соответствующий оператор Ганкеля определяется как . ${\displaystyle H_{\alpha }}$${\displaystyle A}$${\displaystyle H_{\alpha }(u)=Au}$

Нас часто интересуют операторы Ганкеля над гильбертовым пространством , пространством интегрируемых с квадратом двусторонних комплексных последовательностей. Для любого у нас есть${\displaystyle H_{\alpha }:\ell ^{2}\left(Z^{+}\cup \{0\}\right)\rightarrow \ell ^{2}\left(\mathbb {Z} ^{+}\cup \{0\}\right)}$${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbf {Z} )}$${\displaystyle u\in \ell ^{2}(\mathbf {Z} )}$

${\displaystyle \|u\|_{\ell ^{2}(z)}^{2}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|u_{n}\right|^{2}}$

Нас часто интересуют приближения операторов Ганкеля, возможно, операторами низкого порядка. Чтобы аппроксимировать результат работы оператора, мы можем использовать спектральную норму (оператор 2-норма) для измерения ошибки нашего приближения. Это предполагает разложение по сингулярным значениям как возможный метод аппроксимации действия оператора.

Обратите внимание, что матрица не обязательно должна быть конечной. Если он бесконечен, традиционные методы вычисления отдельных сингулярных векторов не будут работать напрямую. Мы также требуем, чтобы аппроксимация была матрицей Ганкеля, что может быть показано с помощью теории AAK.${\displaystyle A}$

Определитель матрицы Ганкеля называется каталекантом .

Преобразование матрицы Ханкеля [ править ]

Ганкель матрица преобразования , или просто преобразование ханкеля , производит последовательность определителей матриц Ганкеля , образованных из заданной последовательности. А именно, последовательность является преобразованием Ганкеля последовательности, когда${\displaystyle \{h_{n}\}_{n\geq 0}}$${\displaystyle \{b_{n}\}_{n\geq 0}}$

${\displaystyle h_{n}=\det(b_{i+j-2})_{1\leq i,j\leq n+1}.}$

Преобразование Ханкеля инвариантно относительно биномиального преобразования последовательности. То есть, если писать

${\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}b_{k}}$

как биномиальное преобразование последовательности , то${\displaystyle \{b_{n}\}}$

${\displaystyle \det(b_{i+j-2})_{1\leq i,j\leq n+1}=\det(c_{i+j-2})_{1\leq i,j\leq n+1}.}$

Приложения матриц Ганкеля [ править ]

Матрицы Ганкеля формируются, когда при заданной последовательности выходных данных требуется реализация лежащего в основе пространства состояний или скрытой марковской модели . ^[2] значение разложение по сингулярным матрицы ганкелевой обеспечивает средство вычисления матрицы А, В и С , которые определяют реализацию пространства состояний. ^[3] Матрица Ганкеля, сформированная из сигнала, оказалась полезной для разложения нестационарных сигналов и частотно-временного представления.

Метод моментов для полиномиальных распределений [ править ]

Метод моментов применен к полиномиальным распределениям результатов в матрице ганкелевой , которая должна быть обращено, чтобы получить параметры весовых полиномиальной аппроксимации распределения. ^[4]

Положительные матрицы Ганкеля и проблемы моментов Гамбургера [ править ]

См. Также [ править ]

• Матрица Теплица , "перевернутая" (т.е. перевернутая по строкам) матрица Ганкеля
• Матрица Коши
• Матрица Вандермонда

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Брент Р.П. (1999), "Устойчивость быстрых алгоритмов для структурированных линейных систем", Быстрые надежные алгоритмы для матриц со структурой (редакторы - Т. Кайлат, А. Х. Сайед), глава 4 ( SIAM ).
• Виктор Ю. Пан (2001). Структурированные матрицы и полиномы: унифицированные сверхбыстрые алгоритмы . Birkhäuser . ISBN 0817642404.
• Дж. Р. Партингтон (1988). Введение в операторы Ганкеля . Тексты студентов LMS. 13 . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-36791-3.
• П. Джайн и Р. Б. Пачори, Итерационный подход к разложению многокомпонентных нестационарных сигналов, основанный на разложении по собственным значениям матрицы Ханкеля , Журнал Института Франклина, вып. 352, выпуск 10, с. 4017--4044, октябрь 2015 г.
• П. Джайн и Р. Б. Пачори, Основанный на событиях метод мгновенной оценки основной частоты из вокализованной речи на основе разложения по собственным значениям матрицы Ханкеля , IEEE / ACM Transactions on Audio, Speech and Language Processing, vol. 22. Выпуск 10, стр. 1467-1482, октябрь 2014 г.
• Р. Р. Шарма и Р. Б. Пачори, Частотно -временное представление с использованием IEVDHM-HT с приложением к классификации эпилептических сигналов ЭЭГ , IET Science, Measurement & Technology, vol. 12, выпуск 01, стр. 72-82, январь 2018 г.