Матрица обмена

В математике , особенно в линейной алгебре , матрица обмена (также называемая матрицей обращения , обратной единицей или стандартной инволютивной перестановкой ) является частным случаем матрицы перестановок , где элементы 1 находятся на контрдиагонали, а все остальные элементы равны нулю. Другими словами, это версия единичной матрицы с обратной строкой или обратным столбцом . ^[1]

J_{2}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}};\quad J_{3}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}};\quad J_{n}={\begin{pmatrix}0&0&\cdots &0&0&1\\0&0&\cdots &0&1&0\\0&0&\cdots &1&0&0\\\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots &\vdots \\0&1&\cdots &0&0&0\\1&0&\cdots &0&0&0\end{pmatrix}}.

Определение [ править ]

Если J - матрица обмена размером n × n , то элементы J определены так, что:

J_{i,j}={\begin{cases}1,&j=n-i+1\\0,&j\neq n-i+1\\\end{cases}}

Свойства [ править ]

Матрицы обмена симметричны; то есть J _n^T = J _n .
Для любого целого числа к , J _п^к = I для четных к ; J _n^k = J _n для нечетных k . В частности, J _n - инволютивная матрица ; то есть J _n⁻¹ = J _n .
След от J _п равно 1 , если п является нечетным , и 0 , если п является даже .
Определитель из J _п равных . Как функция от n , он имеет период 4, что дает 1, 1, −1, −1 при соответственно. $(-1)^{n(n-1)/2}$ $n{\bmod {4}}=0,1,2,3$
Характеристический полином от J _п является , когда п четно, и , когда п нечетно. $\det(\lambda I-J_{n})={\big (}(\lambda +1)(\lambda -1){\big )}^{n/2}$ $(\lambda -1)^{(n+1)/2}(\lambda +1)^{(n-1)/2}$
Союзная матрица из J _п является . $\operatorname {adj} (J_{n})=\operatorname {sgn}(\pi _{n})J_{n}$

Отношения [ править ]

Матрица обмена - это простейшая антидиагональная матрица .
Любая матрица A, удовлетворяющая условию AJ = JA , называется центросимметричной .
Любая матрица A, удовлетворяющая условию AJ = JA ^T , называется персимметричной .

См. Также [ править ]

Матрицы Паули (первая матрица Паули представляет собой матрицу обмена 2 x 2)

Ссылки [ править ]

^ Хорн, Роджер А .; Джонсон, Чарльз Р. (2012), Матричный анализ (2-е изд.), Cambridge University Press, стр. 33, ISBN 9781139788885.

Эта статья по линейной алгебре незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] Хорн, Роджер А .; Джонсон, Чарльз Р. (2012), Матричный анализ (2-е изд.), Cambridge University Press, стр. 33, ISBN 9781139788885.

[1]