В математике , инволютивная матрица представляет собой квадратную матрицу , которая является его собственным обратным . То есть умножение на матрицу A является инволюцией тогда и только тогда, когда A 2 = I , где I - единичная матрица размера n × n . Инволютивные матрицы - это все квадратные корни из единичной матрицы. Это просто следствие того факта, что любая невырожденная матрица, умноженная на ее обратную, является тождественной. [1]
Примеры
Действительная матрица 2 × 2 инволютивно при условии, что [2]
В матрицы Паули в М (2, ℂ) инволютивны:
Один из трех классов элементарных матриц является инволютивным, а именно элементарная матрица с перестановкой строк. Частный случай другого класса элементарных матриц, который представляет собой умножение строки или столбца на -1, также является инволютивным; на самом деле это тривиальный пример матрицы сигнатур , все из которых инволютивны.
Ниже приведены некоторые простые примеры инволютивных матриц.
где
- I - единичная матрица 3 × 3 (которая тривиально инволютивна);
- R - единичная матрица 3 × 3 с парой переставленных строк;
- S - матрица подписи .
Любые блочно-диагональные матрицы, построенные из инволютивных матриц, также будут инволютивными, как следствие линейной независимости блоков.
Симметрия
Инволютивная матрица, которая также является симметричной, является ортогональной матрицей и, таким образом, представляет изометрию ( линейное преобразование, сохраняющее евклидово расстояние ). Наоборот, каждая ортогональная инволютивная матрица симметрична. [3] Как частный случай этого, каждая матрица отражения инволютивна.
Характеристики
Определитель из инволютивной матрицы над любым полем составляет ± 1. [4]
Если A - матрица размера n × n , то A инволютивна тогда и только тогда, когда ( A + I ) / 2 идемпотентна . Это отношение дает биекцию между инволютивными матрицами и идемпотентными матрицами. [4]
Если является инволютивной матрица М ( п , ℝ), в матричной алгебре над действительными числами , то подалгебра { х я + у А : х , у ∈ ℝ} , порожденная А это изоморфно с расщепленными комплексными числами .
Если A и B - две инволютивные матрицы, которые коммутируют друг с другом (т. Е. AB = BA ), то AB также инволютивна.
Если является инволютивной матрица , то каждая целое число мощность от A инволютивна. На самом деле, п будет равна А , если п является нечетным , и я , если п является даже .
Смотрите также
- Аффинная инволюция
Рекомендации
- ^ Higham, Николас Дж (2008), "6,11 Инволютивная Матрицы", функции матриц: теория и вычислениям , Филадельфия, Пенсильвания . : Общество промышленной и прикладной математики (SIAM), стр 165-166, DOI : 10,1137 / +1,9780898717778 , ISBN 978-0-89871-646-7, MR 2396439 CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка ).
- ^ Питер Ланкастер и Мирон Тисменецкий (1985) Теория матриц , 2-е издание, стр. 12,13 Academic PressISBN 0-12-435560-9
- ^ Говертс, Вилли Дж. Ф. (2000), Численные методы бифуркаций динамических равновесий , Филадельфия, Пенсильвания: Общество промышленной и прикладной математики (SIAM), стр. 292, DOI : 10,1137 / +1,9780898719543 , ISBN 0-89871-442-7, Руководство по ремонту 1736704.
- ^ а б Бернштейн, Деннис С. (2009), «3.15 Факты об инволютивных матрицах », Матричная математика (2-е изд.), Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, стр. 230–231, ISBN 978-0-691-14039-1, Руководство по ремонту 2513751.