Матрицы Паули

Вольфганг Паули (1900–1958), ок. 1924 г. Паули получил Нобелевскую премию по физике в 1945 г., выдвинутую Альбертом Эйнштейном за принцип исключения Паули .

В математической физике и математике , то матрицы Паули представляют собой набор из трех $2 \times 2$ комплексных матриц , которые являются эрмитова и унитарная . ^[1] Обычно обозначаются греческой буквой сигма ( $σ$ ), иногда они обозначаются тау ( $τ$ ), когда используются в связи с изоспиновой симметрией. Они есть

{\ displaystyle {\ begin {align} \ sigma _ {1} = \ sigma _ {x} & = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}} \\\ sigma _ {2} = \ sigma _ {y} & = {\ begin {pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \ end {pmatrix}} \\\ sigma _ {3} = \ sigma _ {z} & = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \ \ 0 & -1 \ конец {pmatrix}} \\\ конец {выровнено}}}

Эти матрицы названы в честь физика Вольфганга Паули . В квантовой механике они встречаются в уравнении Паули, которое учитывает взаимодействие спина частицы с внешним электромагнитным полем .

Каждая матрица Паули эрмитова , а вместе с единичной матрицей $I$ (иногда рассматривается как нулевая матрица Паули $σ 0$ ), то матрицы Паули образуют основу для реального векторного пространства от $2 \times 2$ эрмитовых матриц. Это означает, что любую эрмитову матрицу $2 \times 2$ можно уникальным образом записать как линейную комбинацию матриц Паули, где все коэффициенты являются действительными числами.

Эрмитовы операторы представляют наблюдаемые в квантовой механике, поэтому матрицы Паули охватывают пространство наблюдаемых $2-$ мерного комплексного гильбертова пространства . В контексте работы Паули $σ k$ представляет собой наблюдаемую, соответствующую вращению вдоль $k-$ й координатной оси в трехмерном евклидовом пространстве $ℝ 3$ .

Матрицы Паули (после умножения на $i,$ чтобы сделать их антиэрмитовыми ) также порождают преобразования в смысле алгебр Ли : матрицы $iσ 1, iσ 2, iσ 3$ образуют базис для действительной алгебры Ли , которая $возводится в$ степень до специального унитарного группа SU (2) . ^{[NB 1]} алгебра порождается трех матриц $сг$ $1$ $,$ $σ$ $2$ $,$ $σ$ $3$ является изоморфна к алгебре Клиффорда из ${\mathfrak {su}}(2)$ $ℝ 3$ , и (унитальная ассоциативная) алгебра, порожденная $iσ 1, iσ 2, iσ 3$ , изоморфна алгебре кватернионов .

Алгебраические свойства [ править ]

Все три матрицы Паули можно сжать в одно выражение:

\sigma _{a}={\begin{pmatrix}\delta _{a3}&\delta _{a1}-i\delta _{a2}\\\delta _{a1}+i\delta _{a2}&-\delta _{a3}\end{pmatrix}}

где $i = \sqrt -1$ - мнимая единица , а $δ ab$ - символ Кронекера , который равен +1, если $a = b,$ и 0 в противном случае. Это выражение полезно для "выбора" любой из матриц численно путем замены значений $a = 1, 2, 3$ , что, в свою очередь, полезно, когда любая из матриц (но никакая конкретная) должна использоваться в алгебраических манипуляциях.

Матрицы инволютивны :

\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{3}^{2}=-i\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=I

где $I$ - единичная матрица .

В определители и следы от матрицы Паули являются:

{\begin{aligned}\det \sigma _{i}&=-1,\\\operatorname {tr} \sigma _{i}&=0.\end{aligned}}

Из чего мы можем вывести, что собственные значения каждого $σ i$ равны $\pm 1$ .

С включением единичной матрицы, $I$ (иногда обозначаемого $σ 0$ ), то матрицы Паули образуют ортогональный базис (в смысле Гильберта-Шмидта ) реального гильбертова пространства от $2 \times 2$ комплексных эрмитовых матриц, , и комплексного Гильберта пространство всех $2 \times 2$ матриц, . ${\mathcal {H}}_{2}(\mathbb {C} )$ ${\mathcal {M}}_{2,2}(\mathbb {C} )$

Собственные векторы и собственные значения [ править ]

Каждый из ( эрмитовых матриц) Паулей имеет два собственные значения , $+1$ и $-1$ . Используя соглашение, согласно которому перед нормализацией, 1 помещается в верхнюю и нижнюю позиции волновых функций + и - соответственно, соответствующие нормализованные собственные векторы :

{\begin{aligned}\psi _{x+}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},&\psi _{x-}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}},\\\psi _{y+}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix}},&\psi _{y-}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}},\\\psi _{z+}&={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},&\psi _{z-}&={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}

Преимущество использования этого соглашения состоит в том, что волновые функции + и - могут быть связаны друг с другом с использованием самих матриц Паули $формулами$ $ψ x + = iσ y ψ x -$ , $ψ y + = σ z ψ y -$ и $ψ z + = σ x ψ z -$ .

Вектор Паули [ править ]

Вектор Паули определяется как ^{[nb 2]}

{\vec {\sigma }}=\sigma _{1}{\hat {x}}+\sigma _{2}{\hat {y}}+\sigma _{3}{\hat {z}}

и обеспечивает механизм отображения из векторного базиса в базис матрицы Паули ^[2] следующим образом:

{\begin{aligned}{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}&=\left(a_{i}{\hat {x}}_{i}\right)\cdot \left(\sigma _{j}{\hat {x}}_{j}\right)=a_{i}\sigma _{j}{\hat {x}}_{i}\cdot {\hat {x}}_{j}\\&=a_{i}\sigma _{j}\delta _{ij}=a_{i}\sigma _{i}={\begin{pmatrix}a_{3}&a_{1}-ia_{2}\\a_{1}+ia_{2}&-a_{3}\end{pmatrix}}\end{aligned}}

используя соглашение о суммировании . Дальше,

\det {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}=-{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}=-\left|{\vec {a}}\right|^{2},

его собственные значения , и более того (см. полноту ниже) $\pm |{\vec {a}}|$

{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} \left(\left({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\right){\vec {\sigma }}\right)={\vec {a}}~.

Его нормированные собственные векторы равны

\psi _{+}={\frac {1}{\sqrt {2|{\vec {a}}|(a_{3}+|{\vec {a}}|)}}}{\begin{pmatrix}a_{3}+|{\vec {a}}|\\a_{1}+ia_{2}\end{pmatrix}};\qquad \psi _{-}={\frac {1}{\sqrt {2|{\vec {a}}|(a_{3}+|{\vec {a}}|)}}}{\begin{pmatrix}ia_{2}-a_{1}\\a_{3}+|{\vec {a}}|\end{pmatrix}}.

Коммутационные отношения [ править ]

Матрицы Паули подчиняются следующим коммутационным соотношениям:

[\sigma _{a},\sigma _{b}]=2i\varepsilon _{abc}\,\sigma _{c}\,,

и антикоммутационные отношения:

\{\sigma _{a},\sigma _{b}\}=2\delta _{ab}\,I.

где структурная постоянная $ε abc$ - символ Леви-Чивиты , используется обозначение суммирования Эйнштейна, $δ ab$ - символ Кронекера , а $I$ - единичная матрица $2 \times 2$ .

Например,

{\begin{aligned}{\text{commutators}}&&{\text{anticommutators}}&\,\\\left[\sigma _{1},\sigma _{2}\right]&=2i\sigma _{3}\,&\left\{\sigma _{1},\sigma _{1}\right\}&=2I\,\\\left[\sigma _{2},\sigma _{3}\right]&=2i\sigma _{1}\,&\left\{\sigma _{1},\sigma _{2}\right\}&=0\,\\\left[\sigma _{3},\sigma _{1}\right]&=2i\sigma _{2}\,&\left\{\sigma _{1},\sigma _{3}\right\}&=0\,\\\left[\sigma _{1},\sigma _{1}\right]&=0\,&\left\{\sigma _{2},\sigma _{2}\right\}&=2I\,.\\\end{aligned}}

Связь с точечным и кросс-произведением [ править ]

Векторы Паули элегантно отображают эти коммутационные и антикоммутационные отношения в соответствующие векторные произведения. Добавление коммутатора к антикоммутатору дает

{\begin{aligned}\left[\sigma _{a},\sigma _{b}\right]+\{\sigma _{a},\sigma _{b}\}&=(\sigma _{a}\sigma _{b}-\sigma _{b}\sigma _{a})+(\sigma _{a}\sigma _{b}+\sigma _{b}\sigma _{a})\\2i\varepsilon _{abc}\,\sigma _{c}+2\delta _{ab}I&=2\sigma _{a}\sigma _{b}\end{aligned}}

так что,

$\sigma _{a}\sigma _{b}=\delta _{ab}I+i\varepsilon _{abc}\,\sigma _{c}~.$

Договаривающиеся каждой стороны уравнения с компонентами двух $3$ -векторов $р$ и $б$ $д$ (которые коммутируют с матрицами Паули, т.е. $р$ $σ$ $д$ $=$ $σ$ $д$ $р$ $)$ для каждой матрицы $сг$ $д$ и компонента вектора $р$ (и аналогично с $b$ $q$ ), и перемаркировка индексов $a$ $,$ $b$ $,$ $c$ $\to$ $p$ $,$ $q$ $,$ $r$ , чтобы предотвратить конфликты обозначений, дает

{\begin{aligned}a_{p}b_{q}\sigma _{p}\sigma _{q}&=a_{p}b_{q}\left(i\varepsilon _{pqr}\,\sigma _{r}+\delta _{pq}I\right)\\a_{p}\sigma _{p}b_{q}\sigma _{q}&=i\varepsilon _{pqr}\,a_{p}b_{q}\sigma _{r}+a_{p}b_{q}\delta _{pq}I~.\end{aligned}}

Наконец, перевод обозначения индекса для скалярного произведения и перекрестного произведения приводит к

$\left({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)\left({\vec {b}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)=\left({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\right)\,I+i\left({\vec {a}}\times {\vec {b}}\right)\cdot {\vec {\sigma }}$

( 1 )

Если $i$ отождествляется с псевдоскаляром $σ x σ y σ z,$ тогда правая часть становится, что также является определением произведения двух векторов в геометрической алгебре. $a\cdot b+a\wedge b$

Некоторые отношения трассировки [ править ]

Следующие следы могут быть получены с использованием коммутационных и антикоммутационных соотношений.

{\begin{aligned}\operatorname {tr} \left(\sigma _{a}\right)&=0\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{a}\sigma _{b}\right)&=2\delta _{ab}\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{a}\sigma _{b}\sigma _{c}\right)&=2i\varepsilon _{abc}\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{a}\sigma _{b}\sigma _{c}\sigma _{d}\right)&=2\left(\delta _{ab}\delta _{cd}-\delta _{ac}\delta _{bd}+\delta _{ad}\delta _{bc}\right)\end{aligned}}

Если также рассматривать матрицу $σ 0 = I$ , эти соотношения принимают вид

{\begin{aligned}\operatorname {tr} \left(\sigma _{\alpha }\right)&=2\delta _{0\alpha }\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{\alpha }\sigma _{\beta }\right)&=2\delta _{\alpha \beta }\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{\alpha }\sigma _{\beta }\sigma _{\gamma }\right)&=2\sum _{(\alpha \beta \gamma )}\delta _{\alpha \beta }\delta _{0\gamma }-4\delta _{0\alpha }\delta _{0\beta }\delta _{0\gamma }+2i\varepsilon _{0\alpha \beta \gamma }\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{\alpha }\sigma _{\beta }\sigma _{\gamma }\sigma _{\mu }\right)&=2\left(\delta _{\alpha \beta }\delta _{\gamma \mu }-\delta _{\alpha \gamma }\delta _{\beta \mu }+\delta _{\alpha \mu }\delta _{\beta \gamma }\right)+4\left(\delta _{\alpha \gamma }\delta _{0\beta }\delta _{0\mu }+\delta _{\beta \mu }\delta _{0\alpha }\delta _{0\gamma }\right)-8\delta _{0\alpha }\delta _{0\beta }\delta _{0\gamma }\delta _{0\mu }+2i\sum _{(\alpha \beta \gamma \mu )}\varepsilon _{0\alpha \beta \gamma }\delta _{0\mu }\end{aligned}}

где греческие индексы $α, β, γ$ и $μ$ принимают значения из ${0, x, y, z},$ а обозначение используется для обозначения суммы по циклической перестановке включенных индексов. ${\textstyle \sum _{(\alpha \ldots )}}$

Экспонента вектора Паули [ править ]

За

{\vec {a}}=a{\hat {n}},\quad |{\hat {n}}|=1,

для четных степеней есть $2 p, p = 0, 1, 2, 3,\dots$

({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2p}=I

которое можно сначала показать для случая $p = 1$ с помощью антикоммутационных соотношений. Для удобства, в случае $р = 0$ принимается равным $I$ по соглашению.

Для нечетных степеней $2 q + 1, q = 0, 1, 2, 3,\dots$

\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)^{2q+1}={\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\,.

Возведение матрицы в степень и использование ряда Тейлора для синуса и косинуса ,

{\begin{aligned}e^{ia\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {i^{k}\left[a\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)\right]^{k}}{k!}}\\&=\sum _{p=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{p}(a{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2p}}{(2p)!}}+i\sum _{q=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{q}(a{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2q+1}}{(2q+1)!}}\\&=I\sum _{p=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{p}a^{2p}}{(2p)!}}+i({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})\sum _{q=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{q}a^{2q+1}}{(2q+1)!}}\\\end{aligned}}

.

В последней строке первая сумма - это косинус, а вторая сумма - синус; Итак, наконец,

$e^{ia\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}=I\cos {a}+i({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})\sin {a}$

( 2 )

который аналогичен по формуле Эйлера , продлен до кватернионов .

Обратите внимание, что

\det[ia({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})]=a^{2}

,

в то время как определитель самой экспоненты равен $1$ , что делает ее типичным групповым элементом SU (2) .

Более абстрактную версию формулы (2) для общей матрицы $2 \times 2$ можно найти в статье о матричных экспонентах . Общая версия (2) для аналитической (в a и - a ) функции обеспечивается применением формулы Сильвестра , ^[3]

f(a({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}))=I{\frac {f(a)+f(-a)}{2}}+{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}{\frac {f(a)-f(-a)}{2}}~.

Закон группового состава $SU (2)$ [ править ]

Непосредственное применение формулы (2) обеспечивает параметризацию закона композиции группы $SU (2)$ . ^{[nb 3]} Можно непосредственно решить для $c$ в

{\begin{aligned}e^{ia\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}e^{ib\left({\hat {m}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}&=I\left(\cos a\cos b-{\hat {n}}\cdot {\hat {m}}\sin a\sin b\right)+i\left({\hat {n}}\sin a\cos b+{\hat {m}}\sin b\cos a-{\hat {n}}\times {\hat {m}}~\sin a\sin b\right)\cdot {\vec {\sigma }}\\&=I\cos {c}+i\left({\hat {k}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)\sin c\\&=e^{ic\left({\hat {k}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)},\end{aligned}}

который задает типовое групповое умножение, где, очевидно,

\cos c=\cos a\cos b-{\hat {n}}\cdot {\hat {m}}\sin a\sin b~,

сферическая закон косинусов . Учитывая $c$ , тогда

{\hat {k}}={\frac {1}{\sin c}}\left({\hat {n}}\sin a\cos b+{\hat {m}}\sin b\cos a-{\hat {n}}\times {\hat {m}}\sin a\sin b\right)~.

Следовательно, составные параметры вращения в этом групповом элементе ( в данном случае это замкнутая форма соответствующего расширения BCH ) просто равны ^[4]

e^{ic{\hat {k}}\cdot {\vec {\sigma }}}=\exp \left(i{\frac {c}{\sin c}}\left({\hat {n}}\sin a\cos b+{\hat {m}}\sin b\cos a-{\hat {n}}\times {\hat {m}}~\sin a\sin b\right)\cdot {\vec {\sigma }}\right)~.

(Конечно, когда $̂n$ параллельно $̂m$ , то $̂k тоже$ , и $c = a + b$ .)

Сопутствующее действие [ править ]

Также просто вычислить сопряженное действие на вектор Паули, а именно эффективное вращение на удвоенный угол $a$ ,

e^{ia\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}~{\vec {\sigma }}~e^{-ia\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}={\vec {\sigma }}\cos(2a)+{\hat {n}}\times {\vec {\sigma }}~\sin(2a)+{\hat {n}}~{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}~(1-\cos(2a))~.

Отношение полноты [ править ]

Альтернативой обозначения, которое обычно используется для матриц Паули, чтобы написать вектор индекса $я$ в индексе, и матричные индексы как индексы, так что элемент в строке $альфа$ и столбца $р$ из $я$ -го Паули матрица $σ я αβ$ .

В этих обозначениях соотношение полноты для матриц Паули можно записать

{\vec {\sigma }}_{\alpha \beta }\cdot {\vec {\sigma }}_{\gamma \delta }\equiv \sum _{i=1}^{3}\sigma _{\alpha \beta }^{i}\sigma _{\gamma \delta }^{i}=2\delta _{\alpha \delta }\delta _{\beta \gamma }-\delta _{\alpha \beta }\delta _{\gamma \delta }.

Доказательство : тот факт, что матрицы Паули вместе с единичной матрицей I образуют ортогональный базис для комплексного гильбертова пространства всех матриц 2 × 2, означает, что мы можем выразить любую матрицу M как

M=cI+\sum _{i}a_{i}\sigma ^{i}

где c - комплексное число, а a - 3-компонентный комплексный вектор. Используя перечисленные выше свойства, несложно показать, что

\operatorname {tr} \,\sigma ^{i}\sigma ^{j}=2\delta _{ij}

где "tr" обозначает след , и, следовательно,

{\begin{aligned}c&={\frac {1}{2}}\operatorname {tr} \,M,\ \ a_{i}={\frac {1}{2}}\operatorname {tr} \,\sigma ^{i}M~.\\[3pt]\therefore ~~2M&=I\operatorname {tr} \,M+\sum _{i}\sigma ^{i}\operatorname {tr} \,\sigma ^{i}M~,\end{aligned}}

которые можно переписать в терминах матричных индексов как

2M_{\alpha \beta }=\delta _{\alpha \beta }M_{\gamma \gamma }+\sum _{i}\sigma _{\alpha \beta }^{i}\sigma _{\gamma \delta }^{i}M_{\delta \gamma }~,

где суммирование подразумевается по повторяющимся индексам γ и δ . Поскольку это верно для любого выбора матрицы M , соотношение полноты следует из изложенного выше.

Как отмечалось выше, единичную матрицу 2 × 2 принято обозначать σ ₀ , поэтому σ ⁰_αβ = δ _αβ . Отношение полноты можно также выразить как

\sum _{i=0}^{3}\sigma _{\alpha \beta }^{i}\sigma _{\gamma \delta }^{i}=2\delta _{\alpha \delta }\delta _{\beta \gamma }~.

Тот факт, что любые комплексные эрмитовы матрицы 2 × 2 могут быть выражены через единичную матрицу и матрицы Паули, также приводит к блоховскому представлению матрицы плотности смешанных состояний 2 × 2 (положительные полуопределенные матрицы 2 × 2 с единичным следом Это можно увидеть, сначала выразив произвольную эрмитову матрицу как вещественную линейную комбинацию ${σ 0, σ 1, σ 2, σ 3},$ как указано выше, а затем наложив условия положительно-полуопределенного и следа $1$ .

Для чистого состояния в полярных координатах идемпотентная матрица плотности ${\vec {a}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \phi &\sin \theta \sin \phi &\cos \theta \end{pmatrix}}$

{\frac {1}{2}}\left(1\!\!1+{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)={\begin{pmatrix}\cos ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)&e^{-i\phi }\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\\e^{i\phi }\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)&\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)\end{pmatrix}}

действует на собственный вектор состояния с собственным значением 1, следовательно, как оператор проекции для него. ${\begin{pmatrix}\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)&e^{i\phi }\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\end{pmatrix}}$

Связь с оператором перестановки [ править ]

Пусть $P ij$ будет транспонированием (также известным как перестановка) между двумя спинами $σ i$ и $σ j,$ живущими в пространстве тензорного произведения , $\mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{2}$

P_{ij}|\sigma _{i}\sigma _{j}\rangle =|\sigma _{j}\sigma _{i}\rangle \,.

Этот оператор также можно записать более явно как биржевой оператор спина Дирака ,

P_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\vec {\sigma }}_{i}\cdot {\vec {\sigma }}_{j}+1\right)\,.

Следовательно, его собственные значения равны ^[5] 1 или −1. Таким образом, его можно использовать в качестве члена взаимодействия в гамильтониане, разделяя энергетические собственные значения его симметричных и антисимметричных собственных состояний.

SU (2) [ править ]

Группа SU (2) является группой Ли из унитарных $2 \times 2$ матриц с единичным детерминантом; ее алгебра Ли - это набор всех антиэрмитовых матриц $2 \times 2$ со следом 0. Прямое вычисление, как и выше, показывает, что алгебра Ли - это трехмерная вещественная алгебра, натянутая на множество ${$ $iσ$ $j$ }. В компактных обозначениях ${\mathfrak {su}}_{2}$

{\mathfrak {su}}(2)=\operatorname {span} \{i\sigma _{1},i\sigma _{2},i\sigma _{3}\}.

В результате каждый $iσ j$ можно рассматривать как бесконечно малый генератор SU (2). Элементы SU (2) являются экспонентами линейных комбинаций этих трех образующих и умножаются, как указано выше при обсуждении вектора Паули. Хотя этого достаточно для генерации SU (2), это неправильное представление su (2) , так как собственные значения Паули масштабируются нестандартным образом. Обычная нормализация $λ = 1 / 2$ , так что

{\mathfrak {su}}(2)=\operatorname {span} \left\{{\frac {i\sigma _{1}}{2}},{\frac {i\sigma _{2}}{2}},{\frac {i\sigma _{3}}{2}}\right\}.

Поскольку SU (2) компактная группа, ее разложение Картана тривиально.

SO (3) [ править ]

Алгебра $су (2)$ является изоморфна алгебре Ли $так (3)$ , что соответствует группе Ли SO (3) , в группе из вращений в трехмерном пространстве. Другими словами, можно сказать, что $iσ j$ являются реализацией (и, фактически, самой низкоразмерной реализацией) бесконечно малых вращений в трехмерном пространстве. Однако, хотя $su (2)$ и $so (3)$ изоморфны как алгебры Ли, $SU (2)$ и $SO (3)$ не изоморфны как группы Ли. $SU (2)$ на самом деле является двойной крышкой из $SO (3)$ , а это означает , что существует гомоморфизм групп два-к-одному из $SU (2)$ с $SO (3)$ , см зависимости между SO (3) и SU (2) .

Кватернионы [ править ]

Вещественная линейная оболочка ${I, iσ 1, iσ 2, iσ 3}$ изоморфна вещественной алгебре кватернионов $ℍ$ . Изоморфизм от $ℍ$ к этому множеству задается следующей картой (обратите внимание на перевернутые знаки для матриц Паули):

1\mapsto I,\quad \mathbf {i} \mapsto -\sigma _{2}\sigma _{3}=-i\sigma _{1},\quad \mathbf {j} \mapsto -\sigma _{3}\sigma _{1}=-i\sigma _{2},\quad \mathbf {k} \mapsto -\sigma _{1}\sigma _{2}=-i\sigma _{3}.

В качестве альтернативы изоморфизм может быть достигнут с помощью карты с использованием матриц Паули в обратном порядке ^[6]

1\mapsto I,\quad \mathbf {i} \mapsto i\sigma _{3},\quad \mathbf {j} \mapsto i\sigma _{2},\quad \mathbf {k} \mapsto i\sigma _{1}.

Поскольку множество версоров U ⊂ образует группу, изоморфную $SU (2)$ , U дает еще один способ описания $SU (2)$ . Гомоморфизм два к одному от $SU (2)$ к $SO (3)$ может быть задан в терминах матриц Паули в этой формулировке.

Физика [ править ]

Классическая механика [ править ]

В классической механике матрицы Паули полезны в контексте параметров Кэли-Клейна. ^[7] Матрица P, соответствующая положению точки в пространстве, определяется в терминах указанной выше векторной матрицы Паули, ${\vec {x}}$

P={\vec {x}}\cdot {\vec {\sigma }}=x\sigma _{x}+y\sigma _{y}+z\sigma _{z}~.

Следовательно, матрица преобразования $Q θ$ для поворотов вокруг оси x на угол θ может быть записана в терминах матриц Паули и единичной матрицы как ^[7]

Q_{\theta }=1\!\!1\cos {\frac {\theta }{2}}+i\sigma _{x}\sin {\frac {\theta }{2}}~.

Аналогичные выражения следуют для общих вращений вектора Паули, как описано выше.

Квантовая механика [ править ]

В квантовой механике , каждая матрица Паулей связана с оператором углового момента , который соответствует наблюдаемому , описывающему вращению в виде ½ спина частицы, в каждом из трех пространственных направлений. Как непосредственное следствие упомянутого выше разложения Картана, $iσ j$ являются генераторами проективного представления ( спинового представления ) группы вращений SO (3), действующей на нерелятивистские частицы со спином 1/2. В состоянии частиц представлены в виде двухкомпонентных спиноров. Таким же образом матрицы Паули связаны с оператором изоспина .

Интересное свойство частиц со спином 1/2 состоит в том, что они должны быть повернуты на угол 4 $π$ , чтобы вернуться к своей исходной конфигурации. Это происходит из-за соответствия два к одному между SU (2) и SO (3), упомянутого выше, и того факта, что, хотя один визуализирует вращение вверх / вниз как северный / южный полюс на 2-сфере $S 2$ , они фактически представлены ортогональными векторами в двумерном комплексном гильбертовом пространстве .

Для частицы со спином 1/2 оператор спина имеет вид $J = час / 2 σ$ , тофундаментальное представлениеоSU (2).Повторноберя с собой произведенияКронекераэтого представления, можно построить все высшие неприводимые представления. То есть результирующиеоператоры спинадля систем с более высоким спином в трех пространственных измерениях для произвольно большогоjмогут быть вычислены с использованием этогооператора спинаилестничных операторов. Их можно найти вгруппе вращений SO (3) # Замечание по алгебре Ли. Формула-аналог вышеприведенного обобщения формулы Эйлера для матриц Паули, группового элемента в терминах спиновых матриц, понятна, но менее проста.^[8]

Общая группа Паули $G$ $n,$ также полезная в квантовой механике многочастичных систем, определяется как состоящая из всех $n$ -кратных тензорных произведений матриц Паули.

Релятивистская квантовая механика [ править ]

В релятивистской квантовой механике спиноры в четырех измерениях представляют собой матрицы размером 4 × 1 (или 1 × 4). Следовательно, матрицы Паули или сигма-матрицы, работающие на этих спинорах, должны быть матрицами 4 × 4. Они определяются в терминах матриц Паули 2 × 2 как

{\mathsf {\Sigma }}_{i}={\begin{pmatrix}{\mathsf {\sigma }}_{i}&0\\0&{\mathsf {\sigma }}_{i}\end{pmatrix}}.

Из этого определения следует, что матрицы обладают теми же алгебраическими свойствами, что $и$ матрицы $σ$ $i$ . ${\mathsf {\Sigma }}_{i}$

Однако релятивистский угловой момент - это не трехвектор, а четырех-тензор второго порядка . Следовательно, его необходимо заменить на $Σ$ $μν$ , генератор преобразований Лоренца на спинорах . Из-за антисимметрии углового момента $Σ$ $μν$ также антисимметричны. Следовательно, существует только шесть независимых матриц. ${\mathsf {\Sigma }}_{i}$

Первые три - это остальные три , где матрицы Дирака α i определены как $\Sigma _{jk}\equiv \epsilon _{ijk}{\mathsf {\Sigma }}_{i}.$ $-i\Sigma _{0i}\equiv {\mathsf {\alpha }}_{i}$

{\mathsf {\alpha }}_{i}={\begin{pmatrix}0&{\mathsf {\sigma }}_{i}\\{\mathsf {\sigma }}_{i}&0\end{pmatrix}}.

Релятивистские спиновые матрицы $Σ μν$ в компактном виде записываются в терминах коммутатора гамма-матриц как

\Sigma _{\mu \nu }={\frac {i}{2}}\left[\gamma _{\mu },\gamma _{\nu }\right]

.

Квантовая информация [ править ]

В квантовой информации , одно- кубитов квантовые ворота являются 2 × 2 унитарные матрицы. Матрицы Паули - одни из самых важных операций с одним кубитом. В этом контексте приведенное выше разложение Картана называется Z – Y-разложением однокубитового вентильного элемента . Выбор другой пары Картана дает аналогичное X – Y-разложение однокубитового вентильного элемента .

См. Также [ править ]

Спиноры в трех измерениях
Гамма-матрицы
- § Базис Дирака
Угловой момент
Матрицы Гелл-Манна
Группа Пуанкаре
Обобщения матриц Паули
Сфера Блоха
Тождество Эйлера с четырьмя квадратами
Для более высоких спиновых обобщений матриц Паули см спин (физика) § Высшие спины
Матрица обмена (вторая матрица Паули - матрица обмена второго порядка)

Замечания [ править ]

^ Это соответствует математическому соглашению для матричной экспоненты , $iσ \mapsto exp (iσ)$ . По физическому соглашению $σ \mapsto exp (- iσ)$ , следовательно, в нем нетребуетсяпредварительного умножения на $i,$ чтобы $попасть$ в $SU (2)$ .
^ Вектор Паули - формальный прием. Его можно рассматривать как элемент $M 2 (ℂ) \otimes ℝ 3$ , где пространство тензорного произведения снабжено отображением $\cdot: ℝ 3 \times M 2 (ℂ) \otimes ℝ 3 \to M 2 (ℂ),$ индуцированным скалярное произведение на $ℝ 3$ .
^ NB Соотношение между $а, б, в, п, т, к$ , полученный здесьв $2 \times 2$ представления выполняется для всех представлений о $SU (2)$ , будучи групповой идентичности . Обратите внимание, что в силу стандартной нормировки генераторов этой группы как половины матриц Паули, параметры a , b , c соответствуют половине углов поворота группы вращения.

Примечания [ править ]

^ "Матрицы Паули" . Сайт Planetmath. 28 марта 2008 . Проверено 28 мая 2013 года .
^ См. Карту спиноров .
^ Нильсен, Майкл А .; Чуанг, Исаак Л. (2000). Квантовые вычисления и квантовая информация . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-63235-5. OCLC 43641333 .
^ ср. Дж. В. Гиббс (1884). Элементы векторного анализа , Нью-Хейвен, 1884, стр. 67. На самом деле, однако, формула восходит к Олинде Родригес , 1840 год, изобилуя половинным углом: "Des lois géometriques qui regissent les déplacements d 'un systéme solide dans l' espace, et de lacharacterized des correconnées provant de ces déplacement considérées indépendant des причин qui peuvent les produire ", J. Math. Pures Appl. 5 (1840), 380–440; онлайн
^ Явно, в соглашении «матрицы правого пространства в элементы матриц левого пространства», это $\left({\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\end{smallmatrix}}\right)~.$
↑ Накахара, Микио (2003). Геометрия, топология и физика (2-е изд.). CRC Press. ISBN 978-0-7503-0606-5., стр. xxii .
^ a b Гольдштейн, Герберт (1959). Классическая механика . Эддисон-Уэсли. С. 109–118.
^ Кертрайт, TL ; Fairlie, DB ; Захос, СК (2014). «Компактная формула для вращений как спиновых матричных многочленов». СИГМА . 10 : 084. arXiv : 1402.3541 . Bibcode : 2014SIGMA..10..084C . DOI : 10.3842 / SIGMA.2014.084 . S2CID 18776942 .

Ссылки [ править ]

Либофф, Ричард Л. (2002). Вводная квантовая механика . Эддисон-Уэсли. ISBN 0-8053-8714-5.
Шифф, Леонард I. (1968). Квантовая механика . Макгроу-Хилл. ISBN 978-0070552876.
Леонхардт, Ульф (2010). Основная квантовая оптика . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-14505-3.

[2] Это соответствует математическому соглашению для матричной экспоненты , $iσ \mapsto exp (iσ)$ . По физическому соглашению $σ \mapsto exp (- iσ)$ , следовательно, в нем нетребуетсяпредварительного умножения на $i,$ чтобы $попасть$ в $SU (2)$ .

[3] Вектор Паули - формальный прием. Его можно рассматривать как элемент $M 2 (ℂ) \otimes ℝ 3$ , где пространство тензорного произведения снабжено отображением $\cdot: ℝ 3 \times M 2 (ℂ) \otimes ℝ 3 \to M 2 (ℂ),$ индуцированным скалярное произведение на $ℝ 3$ .

[6] NB Соотношение между $а, б, в, п, т, к$ , полученный здесьв $2 \times 2$ представления выполняется для всех представлений о $SU (2)$ , будучи групповой идентичности . Обратите внимание, что в силу стандартной нормировки генераторов этой группы как половины матриц Паули, параметры a , b , c соответствуют половине углов поворота группы вращения.

[planetmath-1] "Матрицы Паули" . Сайт Planetmath. 28 марта 2008 . Проверено 28 мая 2013 года .

[4] См. Карту спиноров .

[5] Нильсен, Майкл А .; Чуанг, Исаак Л. (2000). Квантовые вычисления и квантовая информация . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-63235-5. OCLC 43641333 .

[7] ср. Дж. В. Гиббс (1884). Элементы векторного анализа , Нью-Хейвен, 1884, стр. 67. На самом деле, однако, формула восходит к Олинде Родригес , 1840 год, изобилуя половинным углом: "Des lois géometriques qui regissent les déplacements d 'un systéme solide dans l' espace, et de lacharacterized des correconnées provant de ces déplacement considérées indépendant des причин qui peuvent les produire ", J. Math. Pures Appl. 5 (1840), 380–440; онлайн

[8] Явно, в соглашении «матрицы правого пространства в элементы матриц левого пространства», это $\left({\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\end{smallmatrix}}\right)~.$

[9] Накахара, Микио (2003). Геометрия, топология и физика (2-е изд.). CRC Press. ISBN 978-0-7503-0606-5., стр. xxii .

[:0-10] Гольдштейн, Герберт (1959). Классическая механика . Эддисон-Уэсли. С. 109–118.

[11] Кертрайт, TL ; Fairlie, DB ; Захос, СК (2014). «Компактная формула для вращений как спиновых матричных многочленов». СИГМА . 10 : 084. arXiv : 1402.3541 . Bibcode : 2014SIGMA..10..084C . DOI : 10.3842 / SIGMA.2014.084 . S2CID 18776942 .

[1]