Уравнение Паули

Квантовая механика
Часть серии по
${\ Displaystyle я \ HBAR {\ гидроразрыва {\ partial} {\ partial t}} \| \ psi (t) \ rangle = {\ hat {H}} \| \ psi (t) \ rangle}$ Уравнение Шредингера
Вступление Глоссарий История Учебники
Фон Классическая механика Старая квантовая теория Обозначение Бра – Кет Гамильтониан Вмешательство
Основы Родившееся правило Комптоновская длина волны Согласованность Декогеренция Комплементарность Уровень энергии Запутанность Гамильтониан Принцип неопределенности Основное состояние Вмешательство Измерение Слабое измерение Нелокальность Наблюдаемый Оператор Квантовая Квантовая флуктуация Квантовое число Квантовый шум Квантовая область Квантовое состояние Квантовая система Квантовая телепортация Кубит Вращение Суперпозиция Квантовое вакуумное состояние Симметрия (Спонтанное) нарушение симметрии Состояние вакуума Распространение волн Волновая функция Коллапс волновой функции Дуальность волна-частица Волна материи Прямоугольный потенциальный барьер Пространство фока
Последствия Эффект Зеемана Эффект Старка Эффект Ааронова – Бома Квантование Ландау Квантовый эффект Холла Квантовый эффект Зенона Квантовое туннелирование Фотоэлектрический эффект Эффект Казимира
Эксперименты Неравенство Белла Дэвиссон-Гермер Двойная щель Элицур – Вайдман Франк-Герц Неравенство Леггетта – Гарга Мах – Цендер Поппер Квантовый ластик ( отложенный выбор ) Кот Шредингера Штерн-Герлах Отсроченный выбор Уиллера
Составы Обзор Динамические картинки ( Гейзенберг ; Взаимодействие ; Шредингер ) Матрица Фазовое пространство Суммирование по историям (интеграл по путям)
Уравнения Дирак Хеллманн-Фейнман Кляйн – Гордон Липпманн-Швингер Паули Ридберг Шредингер
Интерпретации Обзор Байесовский Последовательные истории Копенгаген Космологический де Бройль-Бом Ансамбль Скрытая переменная Многомиры Объективный коллапс Квантовая логика Реляционный Стохастик Транзакционный
Дополнительные темы Квантовый отжиг Квантовый хаос Квантовые вычисления Квантовая геометрия Матрица плотности Квантовая теория поля Дробная квантовая механика Квантовая гравитация Квантовая информатика Квантовое машинное обучение Теория возмущений (квантовая механика) Релятивистская квантовая механика Теория рассеяния Теория сверхтекучего вакуума Самопроизвольное параметрическое преобразование с понижением частоты Квантовая статистическая механика
Ученые Ааронов Колокол Блэкетт Блох Бом Бор Родившийся Bose де Бройль Кэндлин Комптон Дирак Дэвиссон Дебай Эренфест Эйнштейн Эверетт Фок Ферми Фейнман Глаубер Gutzwiller Гейзенберг Гильберта Иордания Крамерс Паули ягненок Ландо Лауэ Мозли Милликен Оннес Планк Раби Раман Ридберг Шредингер Зоммерфельд фон Нейман Weyl Вена Вигнер Zeeman Цайлингер Гоудсмит Уленбек Ян
Категории ► Квантовая механика
v т е

В квантовой механике , то уравнение Паули или уравнение Шредингера-Паули является формулировкой уравнения Шредингера для спин-½ частиц, который учитывает взаимодействие частицы спины с внешним электромагнитным полем . Это нерелятивистский предел уравнения Дирака, и его можно использовать, когда частицы движутся со скоростью намного меньшей, чем скорость света , так что релятивистскими эффектами можно пренебречь. Он был сформулирован Вольфгангом Паули в 1927 году. ^[1]

Уравнение [ править ]

Для частицы массы и электрического заряда в электромагнитном поле, описываемом векторным магнитным потенциалом и электрическим скалярным потенциалом , уравнение Паули гласит: ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$ $\phi$

Уравнение Паули (общее)

$\left[{\frac {1}{2m}}({\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {p} -q\mathbf {A} ))^{2}+q\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle$

Вот являются операторы Паули , собранные в вектор для удобства, и является оператором импульса . Состояние системы (записанное в обозначениях Дирака ) можно рассматривать как двухкомпонентную спинорную волновую функцию или вектор-столбец (после выбора базиса): ${\boldsymbol {\sigma }}=(\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})$ $\mathbf {p} =-i\hbar \nabla$ $|\psi \rangle$

|\psi \rangle =\psi _{+}|{\mathord {\uparrow }}\rangle +\psi _{-}|{\mathord {\downarrow }}\rangle \,{\stackrel {\cdot }{=}}\,{\begin{bmatrix}\psi _{+}\\\psi _{-}\end{bmatrix}}

.

Оператор Гамильтона представляет собой матрицу 2 × 2 из-за операторов Паули .

{\hat {H}}={\frac {1}{2m}}\left[{\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {p} -q\mathbf {A} )\right]^{2}+q\phi

Подстановка в уравнение Шредингера дает уравнение Паули. Этот гамильтониан похож на классический гамильтониан для заряженной частицы, взаимодействующей с электромагнитным полем. См. Подробности этого классического случая в силе Лоренца . Кинетическая энергия термин для свободной частицы в отсутствии электромагнитного поля просто , где есть кинетическая импульс , в то время как в присутствии электромагнитного поля она включает в себя минимальное соединение , где в настоящее время является кинетическим моментом и является каноническим импульсом . ${\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}$ $\mathbf {p}$ $\mathbf {\Pi } =\mathbf {p} -q\mathbf {A}$ $\mathbf {\Pi }$ $\mathbf {p}$

Операторы Паули могут быть удалены из члена кинетической энергии, используя тождество вектора Паули :

({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {a} )({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +i{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)

Обратите внимание, что в отличие от вектора, дифференциальный оператор имеет ненулевое произведение на себя. Это можно увидеть, рассматривая перекрестное произведение, примененное к скалярной функции : $\mathbf {p} -q\mathbf {A} =-i\hbar \nabla -q\mathbf {A}$ $\psi$

\left[\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right)\times \left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right)\right]\psi =-q\left[\mathbf {p} \times \left(\mathbf {A} \psi \right)+\mathbf {A} \times \left(\mathbf {p} \psi \right)\right]=iq\hbar \left[\nabla \times \left(\mathbf {A} \psi \right)+\mathbf {A} \times \left(\nabla \psi \right)\right]=iq\hbar \left[\psi \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)-\mathbf {A} \times \left(\nabla \psi \right)+\mathbf {A} \times \left(\nabla \psi \right)\right]=iq\hbar \mathbf {B} \psi

где - магнитное поле. $\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$

Тогда для полного уравнения Паули получаем ^[2]

Уравнение Паули (стандартная форма)

${\hat {H}}|\psi \rangle =\left[{\frac {1}{2m}}\left[\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right)^{2}-q\hbar {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} \right]+q\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle$

Слабые магнитные поля [ править ]

В случае, когда магнитное поле является постоянным и однородным, можно использовать симметричный датчик , где - оператор положения . Мы получаем ${\textstyle (\mathbf {p} -q\mathbf {A} )^{2}}$ ${\textstyle \mathbf {A} ={\frac {1}{2}}\mathbf {B} \times \mathbf {r} }$ ${\textstyle \mathbf {r} }$

(\mathbf {p} -q\mathbf {A} )^{2}=|\mathbf {p} |^{2}-q(\mathbf {r} \times \mathbf {p} )\cdot \mathbf {B} +{\frac {1}{4}}q^{2}\left(|\mathbf {B} |^{2}|\mathbf {r} |^{2}-|\mathbf {B} \cdot \mathbf {r} |^{2}\right)\approx \mathbf {p} ^{2}-q\mathbf {L} \cdot \mathbf {B} \,,

где - угловой момент частицы, и мы пренебрегли членами в квадрате магнитного поля . Следовательно, получаем ${\textstyle \mathbf {L} }$ ${\textstyle B^{2}}$

Уравнение Паули (слабые магнитные поля)

$\left[{\frac {1}{2m}}\left[\left(|\mathbf {p} |^{2}-q(\mathbf {L} +2\mathbf {S} )\cdot \mathbf {B} \right)\right]+q\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle$

где - спин частицы. Множитель 2 перед спином известен как Дирак г -фактора . Член в имеет форму, которая представляет собой обычное взаимодействие между магнитным моментом и магнитным полем, как в эффекте Зеемана . ${\textstyle \mathbf {S} =\hbar {\boldsymbol {\sigma }}/2}$ ${\textstyle \mathbf {B} }$ ${\textstyle -{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} }$ ${\textstyle {\boldsymbol {\mu }}}$

Для заряженного электрона в изотропном постоянном магнитном поле можно дополнительно уменьшить уравнение, используя полный угловой момент и теорему Вигнера-Эккарта . Таким образом, мы находим ${\textstyle -e}$ ${\textstyle \mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} }$

\left[{\frac {|\mathbf {p} |^{2}}{2m}}+\mu _{\rm {B}}g_{J}m_{j}|\mathbf {B} |-e\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle

где это магнетон Бора и представляет собой магнитное квантовое число , связанное с . Этот термин известен как g-фактор Ланде и выражается здесь как ${\textstyle \mu _{\rm {B}}={\frac {e\hbar }{2m}}}$ ${\textstyle m_{j}}$ ${\textstyle \mathbf {J} }$ ${\textstyle g_{J}}$

g_{J}={\frac {3}{2}}+{\frac {{\frac {3}{4}}-\ell (\ell +1)}{2j(j+1)}},

^[а]

где - орбитальное квантовое число, связанное с, и - полное орбитальное квантовое число, связанное с . $\ell$ $L^{2}$ $j$ $J^{2}$

Из уравнения Дирака [ править ]

Уравнение Паули - это нерелятивистский предел уравнения Дирака , релятивистского квантового уравнения движения для частиц со спином 1/2. ^[3]

Вывод [ править ]

Уравнение Дирака можно записать как:

\mathrm {i} \,\hbar \,\partial _{t}\,\left({\begin{array}{c}\psi _{1}\\\psi _{2}\end{array}}\right)=c\,\left({\begin{array}{c}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }}\,\psi _{2}\\{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }}\,\psi _{1}\end{array}}\right)+q\,\phi \,\left({\begin{array}{c}\psi _{1}\\\psi _{2}\end{array}}\right)+mc^{2}\,\left({\begin{array}{c}\psi _{1}\\-\psi _{2}\end{array}}\right)

,

где и - двухкомпонентные спиноры , образующие биспинор. ${\textstyle \partial _{t}={\frac {\partial }{\partial t}}}$ $\psi _{1},\psi _{2}$

Используя следующий анзац:

\left({\begin{array}{c}\psi _{1}\\\psi _{2}\end{array}}\right)=\mathrm {e} ^{-\displaystyle i{\frac {mc^{2}t}{\hbar }}}\left({\begin{array}{c}\psi \\\chi \end{array}}\right)

,

с двумя новыми спинорами уравнение принимает вид $\psi ,\chi$

i\hbar \partial _{t}\left({\begin{array}{c}\psi \\\chi \end{array}}\right)=c\,\left({\begin{array}{c}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }}\,\chi \\{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }}\,\psi \end{array}}\right)+q\,\phi \,\left({\begin{array}{c}\psi \\\chi \end{array}}\right)+\left({\begin{array}{c}0\\-2\,mc^{2}\,\chi \end{array}}\right)

.

В нерелятивистском пределе и кинетическая, и электростатическая энергии малы по сравнению с энергией покоя . $\partial _{t}\chi$ $mc^{2}$

Таким образом

\chi \approx {\frac {{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }}\,\psi }{2\,mc}}\,.

Подставляя в верхнюю часть уравнения Дирака, находим уравнение Паули (общий вид):

\mathrm {i} \,\hbar \,\partial _{t}\,\psi =\left[{\frac {({\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }})^{2}}{2\,m}}+q\,\phi \right]\psi .

Из преобразования Фолди-Ваутуйзена [ править ]

Можно также строго вывести уравнение Паули, начав с уравнения Дирака во внешнем поле и выполнив преобразование Фолди-Ваутхойзена . ^[3]

Связь Паули [ править ]

Уравнение Паули выводится, требуя минимальной связи , которая обеспечивает g- фактор g = 2. Большинство элементарных частиц имеют аномальные g- факторы, отличные от 2. В области релятивистской квантовой теории поля определяется неминимальная связь, иногда называемая связью Паули, чтобы добавить аномальный фактор.

p_{\mu }\to p_{\mu }-qA_{\mu }+a\sigma _{\mu \nu }F^{\mu \nu }

где - оператор четырех импульсов , если четырехкомпонентный электромагнитный потенциал , - аномальный магнитный дипольный момент , - электромагнитный тензор , - матрицы лоренцевского спина и коммутатор гамма-матриц . ^[4]^[5] В контексте нерелятивистской квантовой механики, вместо работы с уравнением Шредингера связь Паули эквивалентна использованию уравнения Паули (или постулированию энергии Зеемана ) для произвольного g- фактора. $p_{\mu }$ $A_{\mu }$ $a$ $F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }$ ${\textstyle \sigma _{\mu \nu }={\frac {i}{2}}[\gamma _{\mu },\gamma _{\nu }]}$ $\gamma ^{\mu }$

См. Также [ править ]

Полуклассическая физика
Атомная, молекулярная и оптическая физика
Групповое сокращение
Разложение Гордона

Сноски [ править ]

^ Используемая здесь формула предназначена для частицы со спином 1/2, с g- фактороми орбитальным g- фактором. ${\textstyle g_{S}=2}$ ${\textstyle g_{L}=1}$

Ссылки [ править ]

^ Паули, Вольфганг (1927). "Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons" . Zeitschrift für Physik (на немецком языке). 43 (9–10): 601–623. Bibcode : 1927ZPhy ... 43..601P . DOI : 10.1007 / BF01397326 . ISSN 0044-3328 . S2CID 128228729 .
^ Брансден, BH; Иоахайн, CJ (1983). Физика атомов и молекул (1-е изд.). Прентис Холл. п. 638–638. ISBN 0-582-44401-2.
^ a b Грейнер, Уолтер (2012-12-06). Релятивистская квантовая механика: волновые уравнения . Springer. ISBN 978-3-642-88082-7.
↑ Дас, Ашок (2008). Лекции по квантовой теории поля . World Scientific. ISBN 978-981-283-287-0.
^ Барут, АО; МакЭван, Дж. (Январь 1986 г.). «Четыре состояния безмассового нейтрино с паули-взаимодействием с помощью спин-калибровочной инвариантности» . Письма по математической физике . 11 (1): 67–72. Bibcode : 1986LMaPh..11 ... 67B . DOI : 10.1007 / BF00417466 . ISSN 0377-9017 . S2CID 120901078 .

Книги [ править ]

Швабль, Франц (2004). Quantenmechanik я . Springer. ISBN 978-3540431060.
Швабль, Франц (2005). Quantenmechanik für Fortgeschrittene . Springer. ISBN 978-3540259046.
Клод Коэн-Таннуджи; Бернар Диу; Фрэнк Лало (2006). Квантовая механика 2 . Wiley, J. ISBN 978-0471569527.

[3] Используемая здесь формула предназначена для частицы со спином 1/2, с g- фактороми орбитальным g- фактором. ${\textstyle g_{S}=2}$ ${\textstyle g_{L}=1}$

[1] Паули, Вольфганг (1927). "Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons" . Zeitschrift für Physik (на немецком языке). 43 (9–10): 601–623. Bibcode : 1927ZPhy ... 43..601P . DOI : 10.1007 / BF01397326 . ISSN 0044-3328 . S2CID 128228729 .

[2] Брансден, BH; Иоахайн, CJ (1983). Физика атомов и молекул (1-е изд.). Прентис Холл. п. 638–638. ISBN 0-582-44401-2.

[:0-4] Грейнер, Уолтер (2012-12-06). Релятивистская квантовая механика: волновые уравнения . Springer. ISBN 978-3-642-88082-7.

[5] Дас, Ашок (2008). Лекции по квантовой теории поля . World Scientific. ISBN 978-981-283-287-0.

[6] Барут, АО; МакЭван, Дж. (Январь 1986 г.). «Четыре состояния безмассового нейтрино с паули-взаимодействием с помощью спин-калибровочной инвариантности» . Письма по математической физике . 11 (1): 67–72. Bibcode : 1986LMaPh..11 ... 67B . DOI : 10.1007 / BF00417466 . ISSN 0377-9017 . S2CID 120901078 .