Слабое измерение

В квантовой механике (а также вычислениях и информации ) слабые измерения - это тип квантовых измерений , в результате которых наблюдатель получает в среднем очень мало информации о системе, но также очень мало нарушает ее состояние. ^[1] Согласно теореме Буша ^[2] система обязательно нарушается измерениями. В литературе слабые измерения также известны как нечеткие , ^[3] нечеткие, ^{[3] [4]} тусклые, зашумленные, ^[5] приблизительные и мягкие ^[6]измерения. Кроме того, слабые измерения часто путают с четким, но связанным понятием слабого значения . ^[7]

История [ править ]

Впервые о слабых измерениях думали в контексте слабых непрерывных измерений квантовых систем ^[8] (т.е. квантовой фильтрации и квантовых траекторий ). Физика непрерывных квантовых измерений заключается в следующем. Рассмотрите возможность использования вспомогательных средств, например поля или тока., чтобы исследовать квантовую систему. Взаимодействие между системой и зондом коррелирует две системы. Обычно взаимодействие слабо коррелирует между системой и вспомогательной службой. (В частности, унитарность взаимодействия должна быть расширена только до первого или второго порядка в теории возмущений.) Измеряя вспомогательную, а затем используя теорию квантовых измерений, можно определить состояние системы, обусловленное результатами измерения. Чтобы получить надежное измерение, многие вспомогательные элементы должны быть соединены, а затем измерены. В пределе, когда существует континуум вспомогательных функций, процесс измерения становится непрерывным во времени. Впервые этот процесс описал: Менский; ^{[9] [10]} Белавкин ; ^{[11] [12]} Барчелли, Ланц, Проспери; ^[13] Барчелли; ^[14] пещеры ; ^{[15] [16]} Пещеры и Милберн . ^[17] Позже Говард Кармайкл ^[18] и Говард М. Уайзман ^[19] также внесли важный вклад в эту область.

Представление о слабом измерении часто ошибочно приписывается Ааронову , Альберту и Вайдману . ^[7] В своей статье они рассматривают пример слабого измерения (и, возможно, используют фразу «слабое измерение») и используют его, чтобы мотивировать свое определение слабого значения , которое они определили там впервые.

Математика [ править ]

Общепринятого определения слабого измерения не существует. Один из подходов состоит в том, чтобы объявить слабое измерение обобщенным измерением, в котором некоторые или все операторы Крауса близки к тождеству. ^[20] Предлагаемый ниже подход состоит в том, чтобы слабо взаимодействовать между двумя системами и затем измерять одну из них. ^[21] После подробного описания этого подхода мы проиллюстрируем его примерами.

Слабое взаимодействие и вспомогательные измерения [ править ]

Рассмотрим систему, которая начинается в квантовом состоянии, и вспомогательную систему, которая начинается в состоянии , объединенное начальное состояние . Эти две системы взаимодействуют через гамильтониан , который генерирует эволюцию во времени (в единицах, где ), где - «сила взаимодействия», которая имеет единицы обратного времени. Предположим фиксированное время взаимодействия и оно невелико, так что . Расширительный ряд ин дает${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle | \ phi \ rangle}$${\ Displaystyle | \ Psi \ rangle = | \ psi \ rangle \ otimes | \ phi \ rangle}$ ${\ displaystyle H = A \ otimes B}$${\ Displaystyle U (т) = \ ехр [-ixtH]}$${\ displaystyle \ hbar = 1}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle t = \ Delta t}$${\ displaystyle \ lambda = x \ Delta t}$${\ displaystyle \ lambda ^ {3} \ приблизительно 0}$${\ displaystyle U}$${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle {\begin{aligned}U&=I\otimes I-i\lambda H-{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}H^{2}+O(\lambda ^{3})\\&\approx I\otimes I-i\lambda A\otimes B-{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}A^{2}\otimes B^{2}.\end{aligned}}}$

Поскольку в теории возмущений было необходимо только разложить унитарную систему до низкого порядка, мы называем это слабым взаимодействием. Кроме того, тот факт, что унитарным является преимущественно единичный оператор, поскольку и малы, означает, что состояние после взаимодействия радикально не отличается от начального состояния. Комбинированное состояние системы после взаимодействия${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda ^{2}}$

${\displaystyle |\Psi '\rangle =\left(I\otimes I-i\lambda A\otimes B-{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}A^{2}\otimes B^{2}\right)|\Psi \rangle .}$

Теперь мы выполняем измерение на вспомогательной системе, чтобы узнать о системе, это известно как измерение, связанное с вспомогательной системой. Мы будем рассматривать измерения в базе (по вспомогательной системе) такой, что . Действие измерений на обе системы описывается воздействием проекторов на совместное состояние . Из теории квантового измерения мы знаем, что условное состояние после измерения${\displaystyle |q\rangle }$${\displaystyle \sum _{q}|q\rangle \langle q|=I}$${\displaystyle \Pi _{q}=I\otimes |q\rangle \langle q|}$${\displaystyle |\Psi '\rangle }$

${\displaystyle {\begin{aligned}|\Psi _{q}\rangle &={\frac {\Pi _{q}|\Psi '\rangle }{\sqrt {\langle \Psi '|\Pi _{q}|\Psi '\rangle }}}\\&={\frac {I\langle q|\phi \rangle -i\lambda A\langle q|B|\phi \rangle -{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}A^{2}\langle q|B^{2}|\phi \rangle }{\mathcal {N}}}|\psi \rangle \otimes |q\rangle ,\end{aligned}}}$

где - нормировочный коэффициент для волновой функции. Обратите внимание, что состояние вспомогательной системы записывает результат измерения. Объект является оператором в системном гильбертовом пространстве и называется оператором Крауса .${\displaystyle {\mathcal {N}}={\sqrt {\langle \Psi '|\Pi _{q}|\Psi '\rangle }}}$${\displaystyle M_{q}:=I\langle q|\phi \rangle -i\lambda A\langle q|B|\phi \rangle -{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}A^{2}\langle q|B^{2}|\phi \rangle }$

По отношению к операторам Крауса состояние комбинированной системы после измерения

${\displaystyle |\Psi _{q}\rangle ={\frac {M_{q}|\psi \rangle }{\sqrt {\langle \psi |M_{q}^{\dagger }M_{q}|\psi \rangle }}}\otimes |q\rangle .}$

Объекты являются элементами того , что называется POVM и должны подчиняться тем, чтобы соответствующие вероятности подвести к единице: . Поскольку вспомогательная система больше не коррелирует с основной системой, она просто записывает результат измерения, и мы можем проследить его. Это дает только условное состояние первичной системы:${\displaystyle E_{q}=M_{q}^{\dagger }M_{q}}$${\displaystyle \sum _{q}E_{q}=I}$${\displaystyle \sum _{q}\Pr(q|\psi )=\sum _{q}\langle \psi |E_{q}|\psi \rangle =1}$

${\displaystyle |\psi _{q}\rangle ={\frac {M_{q}|\psi \rangle }{\sqrt {\langle \psi |M_{q}^{\dagger }M_{q}|\psi \rangle }}},}$

которые мы по-прежнему маркируем по результатам измерения . Действительно, эти соображения позволяют вывести квантовую траекторию .${\displaystyle q}$

Примеры операторов Крауса [ править ]

Мы будем использовать канонический пример гауссовских операторов Крауса, приведенный Барчелли, Ланцем, Проспери; ^[13] и Кейвс и Милберн. ^[17] Возьмем , где положение и импульс в обеих системах имеют обычное каноническое коммутационное соотношение . Возьмите начальную волновую функцию вспомогательной функции, чтобы получить гауссово распределение${\displaystyle H=x\otimes p}$ ${\displaystyle [x,p]=i}$

${\displaystyle |\Phi \rangle ={\frac {1}{(2\pi \sigma ^{2})^{1/4}}}\int dq'\exp[-q'^{2}/(4\sigma ^{2})]|q'\rangle .}$

Волновая функция положения вспомогательной службы равна

${\displaystyle \Phi (q)=\langle q|\Phi \rangle ={\frac {1}{(2\pi \sigma ^{2})^{1/4}}}\exp[-q^{2}/(4\sigma ^{2})].}$

Операторы Крауса (по сравнению с обсуждением выше, мы полагаем )${\displaystyle \lambda =1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}M(q)&=\langle q|\exp[-ix\otimes p]|\Phi \rangle \\&={\frac {1}{(2\pi \sigma ^{2})^{1/4}}}\exp[-(q-x)^{2}/(4\sigma ^{2})],\end{aligned}}}$

а соответствующие элементы POVM

${\displaystyle {\begin{aligned}E(q)&=M_{q}^{\dagger }M_{q}\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\exp[-(q-x)^{2}/(2\sigma ^{2})],\end{aligned}}}$

которые подчиняются . Альтернативное представление часто встречается в литературе. Используя спектральное представление оператора позиции , мы можем написать${\displaystyle \int dq\,E(q)=I}$${\displaystyle x=\int x'dx'|x'\rangle \langle x'|}$

${\displaystyle {\begin{aligned}M(q)&={\frac {1}{(2\pi \sigma ^{2})^{1/4}}}\int dx'\exp[-(q-x')^{2}/(4\sigma ^{2})]|x'\rangle \langle x'|,\\E(q)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\int dx'\exp[-(q-x')^{2}/(2\sigma ^{2})]|x'\rangle \langle x'|.\end{aligned}}}$

Обратите внимание на это . ^[17] То есть в определенном смысле эти операторы ограничиваются точным измерением положения; для других значений мы называем измерение конечной прочностью; и как мы говорим, измерение слабое.${\displaystyle \lim _{\sigma \to 0}E(q)=|x=q\rangle \langle x=q|}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma \to \infty }$

Компромисс между получением информации и помехами [ править ]

Как указано выше, теорема Буша ^[2] препятствует бесплатному обеду: без помех не может быть получения информации. Тем не менее, компромисс между получением информации и возмущением был охарактеризован многими авторами, включая Фукса и Переса ; ^[22] Fuchs; ^[23] Фукс и Джейкобс; ^[24] и Банашек. ^[25]

Недавно соотношение компромисса между получением информации и помехами было исследовано в контексте так называемой «леммы о мягких измерениях». ^{[6] [26]}

Приложения [ править ]

С самого начала было ясно, что основное использование слабых измерений будет заключаться в управлении с обратной связью или адаптивных измерениях квантовых систем. В самом деле, это мотивировало большую часть работ Белавкина, и явный пример был дан Кейвсом и Милбурном. Одним из первых применений адаптивных слабых измерений было применение приемника Долинара ^[27], которое было реализовано экспериментально. ^{[28] [29]} Другим интересным применением слабых измерений является использование слабых измерений с последующими унитарными, возможно, обусловленными слабым результатом измерения, для синтеза других обобщенных измерений. ^[20] Книга Уайзмана и Милберна ^[21] является хорошим справочником по многим современным разработкам.

Предлагаемое дальнейшее чтение [ править ]

• Статья Бруна ^[1]
• Статья Джейкобса и Стек ^[30]
• Квантовая теория измерения и ее приложения, К. Джейкобс (Cambridge Press, 2014) ISBN  9781107025486
• Квантовые измерения и контроль, HM Wiseman и GJ Milburn (Cambridge Press, 2009) ^[21]
• Статья Тамира и Коэна ^[31]

Ссылки [ править ]