Квантовое стохастическое исчисление

Квантовое стохастическое исчисление - это обобщение стохастического исчисления на некоммутирующие переменные. ^[1] Инструменты, предоставляемые квантовым стохастическим исчислением, очень полезны для моделирования случайной эволюции систем, подвергающихся измерению , например, в квантовых траекториях. ^{[2] : 148} Так же, как основное уравнение Линдблада обеспечивает квантовое обобщение уравнения Фоккера – Планка , квантовое стохастическое исчисление позволяет вывод квантовых стохастических дифференциальных уравнений (КСДУ), аналогичных классическим уравнениям Ланжевена .

В оставшейся части этой статьи стохастическое исчисление будет называться классическим стохастическим исчислением , чтобы четко отличать его от квантового стохастического исчисления.

Тепловые ванны [ править ]

Важным физическим сценарием, в котором необходимо квантовое стохастическое исчисление, является случай системы, взаимодействующей с термостатом . Во многих случаях целесообразно моделировать термостат как набор гармонических осцилляторов . Один тип взаимодействия между системой и ванной можно смоделировать (после выполнения канонического преобразования) следующим гамильтонианом : ^{[3] : 42, 45}

${\ displaystyle H = H _ {\ mathrm {sys}} (\ mathbf {Z}) + {\ frac {1} {2}} \ sum _ {n} \ left ((p_ {n} - \ kappa _ { n} X) ^ {2} + \ omega _ {n} ^ {2} q_ {n} ^ {2} \ right) \ ,,}$

где - гамильтониан системы, - вектор, содержащий системные переменные, соответствующие конечному числу степеней свободы, - индекс для различных режимов ванны, - частота конкретной моды и являются операторами ванны для конкретной моды, является системный оператор и количественно определяет связь между системой и конкретным режимом ванны.${\ displaystyle H _ {\ mathrm {sys}}}$${\ displaystyle \ mathbf {Z}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ omega _ {n}}$${\ displaystyle p_ {n}}$${\ displaystyle q_ {n}}$${\ displaystyle X}$${\displaystyle \kappa _{n}}$

В этом сценарии уравнение движения для произвольного системного оператора называется квантовым уравнением Ланжевена и может быть записано как: ^{[3] : 46–47}${\displaystyle Y}$

где и обозначают коммутатор и антикоммутатор (соответственно), функция памяти определяется как:${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(t)\equiv \sum _{n}\kappa _{n}^{2}\cos(\omega _{n}t)\,,}$

а оператор зависящего от времени шума определяется как:${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle \xi (t)\equiv i\sum _{n}\kappa _{n}{\sqrt {\frac {\hbar \omega _{n}}{2}}}\left(-a_{n}(t_{0})e^{-i\omega _{n}(t-t_{0})}+a_{n}^{\dagger }(t_{0})e^{i\omega _{n}(t-t_{0})}\right)\,,}$

где оператор аннигиляции ванны определяется как:${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle a_{n}\equiv {\frac {\omega _{n}q_{n}+ip_{n}}{\sqrt {2\hbar \omega _{n}}}}\,.}$

Часто это уравнение является более общим, чем необходимо, и для его упрощения делаются дополнительные приближения.

Формализм белого шума [ править ]

Для многих целей удобно делать приблизительные оценки природы термостата, чтобы получить формализм белого шума . В таком случае взаимодействие может быть смоделировано гамильтонианом, где: ^{[4] : 3762}${\displaystyle H=H_{\mathrm {sys} }+H_{B}+H_{\mathrm {int} }}$

${\displaystyle H_{B}=\hbar \int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} \omega \,\omega b^{\dagger }(\omega )b(\omega )\,,}$

и

${\displaystyle H_{\mathrm {int} }=i\hbar \int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} \omega \,\kappa (\omega )\left(b^{\dagger }(\omega )c-c^{\dagger }b(\omega )\right)\,,}$

где - операторы уничтожения ванны с коммутационным соотношением , - оператор системы, количественно определяет силу связи мод ванны с системой и описывает развитие свободной системы. ^{[3] : 148} Эта модель использует приближение вращающейся волны и расширяет нижний предел до , чтобы допустить математически простой формализм белого шума. Силы связи также обычно упрощаются до константы в том, что иногда называют первым марковским приближением: ^{[4] : 3763}${\displaystyle b(\omega )}$${\displaystyle [b(\omega ),b^{\dagger }(\omega ^{\prime })]=\delta (\omega -\omega ^{\prime })}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \kappa (\omega )}$${\displaystyle H_{\mathrm {sys} }}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle -\infty }$

${\displaystyle \kappa (\omega )={\sqrt {\frac {\gamma }{2\pi }}}\,.}$

Системы, связанные с ванной из гармонических осцилляторов, можно рассматривать как управляемые шумом на входе и излучающие шум на выходе. ^{[3] : 43} Оператор входного шума во время определяется следующим образом: ^{[3] : 150 [4] : 3763}${\displaystyle t}$

${\displaystyle b_{\mathrm {in} }(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} \omega \,e^{-i\omega (t-t_{0})}b_{0}(\omega )\,,}$

где , поскольку этот оператор выражен в картине Гейзенберга . Выполнение коммутационного соотношения позволяет модели иметь строгое соответствие с основным марковским уравнением. ^{[2] : 142}${\displaystyle b_{0}(\omega )=\left.b(\omega )\right\vert _{t=t_{0}}}$${\displaystyle [b_{\mathrm {in} }(t),b_{\mathrm {in} }^{\dagger }(t^{\prime })]=\delta (t-t^{\prime })}$

В описанном выше случае белого шума квантовое уравнение Ланжевена для произвольного системного оператора принимает более простой вид: ^{[4] : 3763}${\displaystyle a}$

Для случая, наиболее близко соответствующего классическому белому шуму, вход в систему описывается оператором плотности, дающим следующее математическое ожидание : ^{[3] : 154}

${\displaystyle \langle b_{\mathrm {in} }^{\dagger }(t)b_{\mathrm {in} }(t^{\prime })\rangle _{\rho _{\mathrm {in} }}=N\delta (t-t^{\prime })\,.}$

( WN2 )

Квантовый винеровский процесс [ править ]

Чтобы определить квантовое стохастическое интегрирование, важно определить квантовый винеровский процесс : ^{[3] : 155 [4] : 3765}

${\displaystyle B(t,t_{0})=\int _{t_{0}}^{t}b_{\mathrm {in} }(t^{\prime })\mathrm {d} t^{\prime }\,.}$

Это определение дает квантовому винеровскому процессу коммутационное соотношение . Свойство операторов аннигиляции ванны в ( WN2 ) означает, что квантовый винеровский процесс имеет математическое ожидание:${\displaystyle [B(t,t_{0}),B^{\dagger }(t,t_{0})]=t-t_{0}}$

${\displaystyle \langle B^{\dagger }(t,t_{0})B(t,t_{0})\rangle _{\rho (t,t_{0})}=N(t-t_{0})\,.}$

Квантовые винеровские процессы также задаются так, чтобы их распределения квазивероятностей были гауссовскими, путем определения оператора плотности:

${\displaystyle \rho (t,t_{0})=(1-e^{-\kappa })\exp \left[-{\frac {\kappa B^{\dagger }(t,t_{0})B(t,t_{0})}{t-t_{0}}}\right]\,,}$

где . ^{[4] : 3765}${\displaystyle N=1/(e^{\kappa }-1)}$

Квантовая стохастическая интеграция [ править ]

Стохастическая эволюция системных операторов также может быть определена в терминах стохастического интегрирования данных уравнений.

Квантовый интеграл Ито [ править ]

Квантовый интеграл Ито системного оператора определяется выражением: ^{[3] : 155}${\displaystyle g(t)}$

${\displaystyle (\mathbf {I} )\int _{t_{0}}^{t}g(t^{\prime })\mathrm {d} B(t^{\prime })=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}g(t_{i})\left(B(t_{i+1},t_{0})-B(t_{i},t_{0})\right)\,,}$

где жирным шрифтом ( I ) перед интегралом обозначено Ито. Одной из характеристик такого определения интеграла является то, что приращения и коммутации с системным оператором.${\displaystyle \mathrm {d} B}$${\displaystyle \mathrm {d} B^{\dagger }}$

Квантовое стохастическое дифференциальное уравнение Ито [ править ]

Чтобы определить Itô QSDE , необходимо кое-что знать о статистике ванны. ^{[3] : 159} В контексте формализма белого шума, описанного ранее, QSDE Ито можно определить как: ^{[3] : 156}

${\displaystyle (\mathbf {I} )\,\mathrm {d} a=-{\frac {i}{\hbar }}[a,H_{\mathrm {sys} }]\mathrm {d} t+\gamma \left((N+1){\mathcal {D}}[c^{\dagger }]a+N{\mathcal {D}}[c]a\right)\mathrm {d} t-{\sqrt {\gamma }}\left([a,c^{\dagger }]\mathrm {d} B(t)-\mathrm {d} B^{\dagger }(t)[a,c]\right)\,,}$

где уравнение было упрощено с помощью супероператора Линдблада : ^{[2] : 105}

${\displaystyle {\mathcal {D}}[A]a\equiv AaA^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\left(A^{\dagger }Aa+aA^{\dagger }A\right)\,.}$

Это дифференциальное уравнение интерпретируется как определяющее системный оператор как квантовый интеграл Ито правой части и эквивалентно уравнению Ланжевена ( WN1 ). ^{[4] : 3765}${\displaystyle a}$

Квантовый интеграл Стратоновича [ править ]

Квантовый интеграл Стратоновича системного оператора определяется выражением ^{[3] : 157}${\displaystyle g(t)}$

${\displaystyle (\mathbf {S} )\int _{t_{0}}^{t}g(t^{\prime })\mathrm {d} B(t^{\prime })=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}{\frac {g(t_{i})+g(t_{i+1})}{2}}\left(B(t_{i+1},t_{0})-B(t_{i},t_{0})\right)\,,}$

где жирный шрифт ( S ) перед интегралом означает Стратоновича. В отличие от формулировки Ито, приращения интеграла Стратоновича не коммутируют с системным оператором, и можно показать, что: ^[3]

${\displaystyle (\mathbf {S} )\int _{t_{0}}^{t}g(t^{\prime })\mathrm {d} B(t^{\prime })-(\mathbf {S} )\int _{t_{0}}^{t}\mathrm {d} B(t^{\prime })g(t^{\prime })={\frac {\sqrt {\gamma }}{2}}\int _{t_{0}}^{t}\mathrm {d} t^{\prime }\,[g(t^{\prime }),c(t^{\prime })]\,.}$

Квантовое стохастическое дифференциальное уравнение Стратоновича [ править ]

QSDE Стратоновича можно определить как: ^{[3] : 158}

${\displaystyle (\mathbf {S} )\,\mathrm {d} a=-{\frac {i}{\hbar }}[a,H_{\mathrm {sys} }]\mathrm {d} t-{\frac {\gamma }{2}}\left([a,c^{\dagger }]c-c^{\dagger }[a,c]\right)\mathrm {d} t-{\sqrt {\gamma }}\left([a,c^{\dagger }]\mathrm {d} B(t)-\mathrm {d} B^{\dagger }(t)[a,c]\right)\,.}$

Это дифференциальное уравнение интерпретируется как определяющее системный оператор как квантовый интеграл Стратоновича правой части и имеет ту же форму, что и уравнение Ланжевена ( WN1 ). ^{[4] : 3766–3767}${\displaystyle a}$

Связь между интегралами Ито и Стратоновича [ править ]

Два определения квантовых стохастических интегралов связаны друг с другом следующим образом, предполагая, что термостат определен, как и раньше: ^[3]${\displaystyle N}$

${\displaystyle (\mathbf {S} )\int _{t_{0}}^{t}g(t^{\prime })\mathrm {d} B(t^{\prime })=(\mathbf {I} )\int _{t_{0}}^{t}g(t^{\prime })\mathrm {d} B(t^{\prime })+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\gamma }}N\int _{t_{0}}^{t}\mathrm {d} t^{\prime }\,[g(t^{\prime }),c(t^{\prime })]\,.}$

Правила исчисления [ править ]

Как и в случае с классическим стохастическим исчислением, соответствующее правило произведения может быть получено для интегрирования Ито и Стратоновича соответственно: ^{[3] : 156, 159}

${\displaystyle (\mathbf {I} )\,\mathrm {d} (ab)=a\,\mathrm {d} b+b\,\mathrm {d} a+\mathrm {d} a\,\mathrm {d} b\,,}$

${\displaystyle (\mathbf {S} )\,\mathrm {d} (ab)=a\,\mathrm {d} b+\mathrm {d} a\,b\,.}$

Как и в случае классического стохастического исчисления, форма Стратоновича - это форма, которая сохраняет обычное исчисление (которое в данном случае некоммутирующее). Особенностью квантового обобщения является необходимость определения интегрирования Ито и Стратоновича, чтобы доказать, что форма Стратоновича сохраняет правила некоммутирующего исчисления. ^{[3] : 155}

Квантовые траектории [ править ]

Квантовые траектории обычно можно рассматривать как путь через гильбертово пространство, по которому состояние квантовой системы проходит с течением времени. В стохастической обстановке, эти траектории часто обусловлены по результатам измерений. Безусловная марковская эволюция квантовой системы (усредненная по всем возможным результатам измерений) задается уравнением Линдблада. Чтобы описать обусловленную эволюцию в этих случаях, необходимо распутать уравнение Линдблада, выбрав непротиворечивую КСДУ . В случае, когда обусловленное состояние системы всегда чистое , распутывание могло бы быть в форме стохастического уравнения Шредингера(SSE). Если состояние может стать смешанным, тогда необходимо использовать стохастическое главное уравнение (SME). ^{[2] : 148}

Примеры распутывания [ править ]

Рассмотрим следующее основное уравнение Линдблада для системы, взаимодействующей с вакуумной ванной: ^{[2] : 145}

${\displaystyle {\dot {\rho }}={\mathcal {D}}[c]\rho -i[H_{\mathrm {sys} },\rho ]\,.}$

Это описывает эволюцию состояния системы, усредненную по результатам любого конкретного измерения, которое может быть выполнено на ванне. Следующий SME описывает эволюцию системы, обусловленную результатами измерения непрерывного счета фотонов, выполненного на ванне:

${\displaystyle \mathrm {d} \rho _{I}(t)=\left(\mathrm {d} N(t){\mathcal {G}}[c]-\mathrm {d} t{\mathcal {H}}[iH_{\mathrm {sys} }+{\frac {1}{2}}c^{\dagger }c]\right)\rho _{I}(t)\,,}$

куда

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\mathcal {G}}[r]\rho &\equiv &{\frac {r\rho r^{\dagger }}{\operatorname {Tr} [r\rho r^{\dagger }]}}-\rho \\{\mathcal {H}}[r]\rho &\equiv &r\rho +\rho r^{\dagger }-\operatorname {Tr} [r\rho +\rho r^{\dagger }]\rho \end{array}}}$

являются нелинейными супероператорами и являются фотоотсчетом, показывающим, сколько фотонов было зарегистрировано в данный момент, и дающим следующую вероятность скачка: ^{[2] : 152, 155}${\displaystyle N(t)}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle \operatorname {E} [\mathrm {d} N(t)]=\mathrm {d} t\operatorname {Tr} [c^{\dagger }c\rho _{I}(t)]\,,}$

где обозначает ожидаемое значение. Другой тип измерения, которое может быть выполнено на ванне, - это обнаружение гомодина , которое приводит к квантовым траекториям, заданным следующим SME :${\displaystyle \operatorname {E} [\cdot ]}$

${\displaystyle \mathrm {d} \rho _{J}(t)=-i[H_{\mathrm {sys} },\rho _{J}(t)]\mathrm {d} t+\mathrm {d} t{\mathcal {D}}[c]\rho _{J}(t)+\mathrm {d} W(t){\mathcal {H}}[c]\rho _{J}(t)\,,}$

где - приращение Винера, удовлетворяющее: ^{[2] : 161}${\displaystyle \mathrm {d} W(t)}$

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\mathrm {d} W(t)^{2}&=&\mathrm {d} t\\\operatorname {E} [\mathrm {d} W(t)]&=&0\,.\end{array}}}$

Хотя эти два малых и средних предприятия выглядят совершенно по-разному, расчет их ожидаемой эволюции показывает, что оба они действительно являются разгадками одного и того же главного уравнения Линдлада:

${\displaystyle \operatorname {E} [\mathrm {d} \rho _{I}(t)]=\operatorname {E} [\mathrm {d} \rho _{J}(t)]={\dot {\rho }}\mathrm {d} t\,.}$

Вычислительные аспекты [ править ]

Одним из важных приложений квантовых траекторий является сокращение вычислительных ресурсов, необходимых для моделирования главного уравнения. Для гильбертова пространства размерности d количество действительных чисел, необходимых для хранения матрицы плотности, имеет порядок d ² , а время, необходимое для вычисления эволюции главного уравнения, порядка d ⁴ . С другой стороны, для сохранения вектора состояния для SSE требуется только количество действительных чисел порядка d , а время для вычисления эволюции траектории составляет только порядок d ² . Затем эволюцию основного уравнения можно аппроксимировать путем усреднения по множеству отдельных траекторий, смоделированных с помощью SSE., метод, который иногда называют методом волновых функций Монте-Карло . ^[5] Хотя количество рассчитанных траекторий n должно быть очень большим, чтобы точно аппроксимировать основное уравнение, хорошие результаты могут быть получены для количества траекторий, намного меньших, чем d ² . Этот метод не только сокращает время вычислений, но также позволяет моделировать основные уравнения на машинах, у которых недостаточно памяти для хранения всей матрицы плотности. ^{[2] : 153}

Ссылки [ править ]