белый шум

Форма сигнала гауссовского белого шума, нанесенная на график

В обработке сигналов , белый шум является случайным сигналом , имеющим одинаковую интенсивность на разных частотах , придавая ему постоянная мощность спектральной плотность . ^[1] Термин в этом или аналогичном значении используется во многих научных и технических дисциплинах, включая физику , акустическую инженерию , телекоммуникации и статистическое прогнозирование . Белый шум относится к статистической модели сигналов и источников сигналов, а не к какому-либо конкретному сигналу. Белый шум получил свое название от белого света , ^[2] хотя свет, который кажется белым, обычно не имеет плоской спектральной плотности мощности в видимом диапазоне.

Изображение "белого шума"

В дискретном времени белый шум - это дискретный сигнал , выборки которого рассматриваются как последовательность последовательно некоррелированных случайных величин с нулевым средним и конечной дисперсией ; единственная реализация белого шума - это случайный удар . В зависимости от контекста может также потребоваться, чтобы выборки были независимыми и имели одинаковое распределение вероятностей (другими словами, независимые и одинаково распределенные случайные величины являются простейшим представлением белого шума). ^[3] В частности, если каждый образец имеет нормальное распределениес нулевым средним значением сигнал называется аддитивным белым гауссовским шумом . ^[4]

Выборки сигнала белого шума могут быть последовательными во времени или располагаться по одному или нескольким пространственным измерениям. В области цифровой обработки изображений , то пиксели из более белого шума изображения , как правило , расположены в виде прямоугольной сетки, и предполагается, что независимые случайные величины с равномерным распределением вероятностей через некоторый интервал. Эту концепцию можно определить также для сигналов, распространяющихся по более сложным областям, таким как сфера или тор .

Сигнал белого шума бесконечна полоса пропускания является чисто теоретической конструкцией. Полоса пропускания белого шума на практике ограничена механизмом генерации шума, средой передачи и ограниченными возможностями наблюдения. Таким образом, случайные сигналы считаются «белым шумом», если наблюдается плоский спектр в диапазоне частот, соответствующих контексту. Для звукового сигнала соответствующий диапазон - это полоса слышимых звуковых частот (от 20 до 20 000 Гц ). Такой сигнал воспринимается человеческим ухом как шипящий звук , напоминающий звук / ч / при длительном вдохе. С другой стороны, звук / sh / в слове «ash» - это цветной шум, потому что он имеет формантную структуру. В музыкеи акустика , термин «белый шум» может использоваться для любого сигнала, который имеет подобный шипящий звук.

Термин «белый шум» иногда используется в контексте филогенетических статистических методов для обозначения отсутствия филогенетической закономерности в сравнительных данных. ^[5] Иногда это слово используется аналогично в нетехническом контексте для обозначения «случайных разговоров без значимого содержания». ^{[6] [7]}

Статистические свойства [ править ]

Возможно любое распределение значений (хотя оно должно иметь нулевую постоянную составляющую ). Даже двоичный сигнал, который может принимать только значения 1 или 0, будет белым, если последовательность статистически некоррелирована. Шум, имеющий непрерывное распределение, такое как нормальное распределение , конечно, может быть белым.

Часто ошибочно предполагается, что гауссовский шум (т. Е. Шум с гауссовым распределением амплитуд - см. Нормальное распределение ) обязательно относится к белому шуму, но ни одно свойство не подразумевает другого. Гауссовость относится к распределению вероятности относительно значения, в этом контексте вероятность попадания сигнала в любой конкретный диапазон амплитуд, в то время как термин «белый» относится к способу распределения мощности сигнала (т. Е. Независимо) во времени. или среди частот.

Белый шум - это обобщенная среднеквадратичная производная винеровского процесса или броуновского движения .

Обобщением случайных элементов в бесконечномерных пространствах, таких как случайные поля , является мера белого шума .

Практическое применение [ править ]

Музыка [ править ]

Белый шум обычно используется в производстве электронной музыки , обычно либо напрямую, либо в качестве входа для фильтра для создания других типов шумового сигнала. Он широко используется в синтезе звука , обычно для воссоздания ударных инструментов, таких как тарелки или малые барабаны, которые имеют высокий уровень шума в своей частотной области. Простой пример белого шума - несуществующая радиостанция (статическая).

Электронная инженерия [ править ]

Белый шум также используется для получения импульсной характеристики электрической цепи, в частности усилителей и другого звукового оборудования. Он не используется для тестирования громкоговорителей, так как его спектр содержит слишком большое количество высокочастотной составляющей. Розовый шум , который отличается от белого шума тем, что он имеет одинаковую энергию в каждой октаве, используется для тестирования датчиков, таких как громкоговорители и микрофоны.

Вычисления [ править ]

Белый шум используется в качестве основы некоторых генераторов случайных чисел . Например, Random.org использует систему атмосферных антенн для генерации случайных цифр из белого шума.

Лечение тиннитуса [ править ]

Белый шум - это распространенный источник синтетического шума, используемый для маскировки звука маскировщиком тиннитуса . ^[8] Машины белого шума и другие источники белого шума продаются как усилители конфиденциальности и средства для сна (см. Музыку и сон ), а также для маскировки шума в ушах . ^{[9] В} качестве альтернативы, использование FM-радио, настроенного на неиспользуемые частоты («статические»), является более простым и более экономичным источником белого шума. ^[10] Однако белый шум, генерируемый обычным коммерческим радиоприемником, настроенным на неиспользуемую частоту, чрезвычайно уязвим для заражения паразитными сигналами, такими как соседние радиостанции, гармоники от несоседних радиостанций, электрическое оборудование в непосредственной близости от приемной антенны, вызывающее помехи или даже атмосферные явления, такие как солнечные вспышки и особенно молния.

Существуют доказательства того, что терапия воздействием белого шума может вызывать дезадаптивные изменения в мозге, которые ухудшают неврологическое здоровье и ухудшают познавательные способности. ^[11]

Рабочая среда [ править ]

Влияние белого шума на когнитивные функции неоднозначно. Недавно небольшое исследование показало, что фоновая стимуляция белым шумом улучшает когнитивные функции среди учащихся средних школ с синдромом дефицита внимания и гиперактивности (СДВГ), снижая успеваемость учащихся без СДВГ. ^{[12] [13]} Другая работа показывает, что он эффективен в улучшении настроения и производительности работников за счет маскировки фонового офисного шума ^[14], но снижает когнитивные способности в сложных задачах сортировки карточек. ^[15]

Точно так же эксперимент был проведен на шестидесяти шести здоровых участниках, чтобы увидеть преимущества использования белого шума в учебной среде. В эксперименте участники идентифицировали разные изображения, имея разные звуки на заднем фоне. В целом эксперимент показал, что белый шум действительно имеет преимущества по отношению к обучению. Эксперименты показали, что белый шум немного улучшил способности участников к обучению и их память распознавания. ^[16]

Математические определения [ править ]

Вектор белого шума [ править ]

Случайный вектор (то есть, частично неопределенный процесс , который производит векторы действительных чисел) называются белым шум вектор или белым случайный вектор , если ее компоненты каждый имеют распределение вероятностей с нулевым средним и конечной дисперсией , и являются статистически независимыми : то есть их совместное распределение вероятностей должно быть произведением распределений отдельных компонентов. ^[17]

Необходимым (но, в общем, недостаточным ) условием статистической независимости двух переменных является их статистическая некоррелированность ; то есть их ковариация равна нулю. Следовательно, ковариационная матрица R компонентов вектора белого шума w с n элементами должна быть диагональной матрицей n на n , где каждый диагональный элемент R _ii является дисперсией компонента w _i ; а корреляционная матрица должна быть n на n единичная матрица.

Если, помимо независимости, каждая переменная в w также имеет нормальное распределение с нулевым средним и такой же дисперсией , w называется вектором гауссовского белого шума. В этом случае совместное распределение w является многомерным нормальным распределением ; тогда независимость между переменными означает, что распределение обладает сферической симметрией в n -мерном пространстве. Следовательно, любое ортогональное преобразование вектора приведет к гауссовскому белому случайному вектору. В частности, при большинстве типов дискретного преобразования Фурье , таких как БПФ и${\ displaystyle \ sigma ^ {2}}$Хартли , преобразование W функции w также будет вектором гауссовского белого шума; то есть n коэффициентов Фурье w будут независимыми гауссовскими переменными с нулевым средним и той же дисперсией .${\ displaystyle \ sigma ^ {2}}$

Спектр мощности Р случайного вектора ш можно определить как ожидаемое значение квадрата модуля каждого коэффициента ее преобразование Фурье W , то есть Р _я = Е (| Ш _я | ² ). Согласно этому определению, вектор гауссовского белого шума будет иметь совершенно плоский спектр мощности с P _i  =  σ ² для всех  i .

Если w - белый случайный вектор, но не гауссовский, его коэффициенты Фурье W _i не будут полностью независимыми друг от друга; хотя для больших n и обычных распределений вероятностей зависимости очень тонкие, и их парные корреляции можно считать равными нулю.

Часто при определении белого шума используется более слабое условие «статистически некоррелированный» вместо «статистически независимый». Однако некоторые из обычно ожидаемых свойств белого шума (например, плоский спектр мощности) могут не соблюдаться для этой более слабой версии. При таком предположении более строгий вариант можно явно назвать независимым вектором белого шума. ^{[18] : с.60} Другие авторы вместо этого используют сильно белый и слабо белый. ^[19]

Примером случайного вектора, который является «гауссовским белым шумом» в слабом, но не в сильном смысле, является x = [ x ₁ , x ₂ ], где x ₁ - нормальная случайная величина с нулевым средним, а x ₂ равна + x ₁ или к - x ₁ с равной вероятностью. Эти две переменные некоррелированы и по отдельности нормально распределены, но они не совместно нормально распределены и не являются независимыми. Если x повернуть на 45 градусов, две его составляющие по-прежнему будут некоррелированными, но их распределение больше не будет нормальным.

В некоторых ситуациях можно ослабить определение, позволив каждому компоненту белого случайного вектора w иметь ненулевое ожидаемое значение . В частности, при обработке изображений , когда выборки обычно ограничиваются положительными значениями, часто берется половина максимального значения выборки. В этом случае коэффициент W ₀ Фурье, соответствующий компоненту нулевой частоты (по существу, среднему значению w _i ), также будет иметь ненулевое ожидаемое значение ; и спектр мощности P будет плоским только на ненулевых частотах.${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ mu {\ sqrt {n}}}$

Белый шум в дискретном времени [ править ]

Случайный процесс с дискретным временем - это обобщение случайных векторов с конечным числом компонентов на бесконечно много компонентов. Случайный процесс с дискретным временем называется белым шумом, если его среднее значение не зависит от времени и равно нулю, т. Е. Если автокорреляционная функция зависит только от, но не от и имеет ненулевое значение только для , т . Е.${\ Displaystyle W [п]}$${\ Displaystyle W [п]}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \operatorname {E} [W[n]]=0}$${\displaystyle R_{W}[n]=\operatorname {E} [W[k+n]W[k]]}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n=0}$${\displaystyle R_{W}[n]=\sigma ^{2}\delta [n]}$

Белый шум в непрерывном режиме [ править ]

Чтобы определить понятие «белый шум» в теории сигналов с непрерывным временем , необходимо заменить понятие «случайный вектор» на случайный сигнал с непрерывным временем; то есть случайный процесс, который генерирует функцию параметра с действительным знаком .${\displaystyle w}$${\displaystyle t}$

Такой процесс называется белым шумом в самом сильном смысле, если значение для любого времени является случайной величиной, которая статистически не зависит от всей своей предыдущей истории . Более слабое определение требует независимости только между значениями и в каждой паре различных моментов времени и . Еще более слабое определение требует, чтобы такие пары и были некоррелированными. ^[20] Как и в дискретном случае, некоторые авторы принимают более слабое определение «белого шума» и используют квалификатор «независимый» для обозначения любого из более сильных определений. Другие используют слабо белый и сильно белый цвет, чтобы различать их.${\displaystyle w(t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle t}$${\displaystyle w(t_{1})}$${\displaystyle w(t_{2})}$${\displaystyle t_{1}}$${\displaystyle t_{2}}$${\displaystyle w(t_{1})}$${\displaystyle w(t_{2})}$

Однако точное определение этих понятий нетривиально, потому что некоторые величины, являющиеся конечными суммами в конечном дискретном случае, должны быть заменены интегралами, которые могут не сходиться. В самом деле, множество всех возможных экземпляров сигнала больше не является конечномерным пространством , а бесконечномерным функциональным пространством . Более того, по любому определению сигнал белого шума должен быть по существу прерывистым в каждой точке; поэтому даже самые простые операции , такие как интегрирование на конечном интервале, требуют продвинутого математического аппарата.${\displaystyle w}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle w}$${\displaystyle w}$

Некоторые авторы требуют, чтобы каждое значение было действительной случайной величиной с математическим ожиданием и некоторой конечной дисперсией . Тогда ковариация между значениями в два раза и хорошо определена: она равна нулю , если время различны, и если они равны. Однако по этому определению интеграл${\displaystyle w(t)}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma ^{2}}$${\displaystyle \mathrm {E} (w(t_{1})\cdot w(t_{2}))}$${\displaystyle t_{1}}$${\displaystyle t_{2}}$${\displaystyle \sigma ^{2}}$

${\displaystyle W_{[a,a+r]}=\int _{a}^{a+r}w(t)\,dt}$

через любой интервал с положительной шириной был бы просто ширина раз ожидания: . Это свойство сделало бы концепцию неадекватной в качестве модели сигналов физического «белого шума».${\displaystyle r}$${\displaystyle r\mu }$

Поэтому большинство авторов определяют сигнал косвенно, задавая ненулевые значения для интегралов любого интервала и по любому интервалу в зависимости от его ширины . Однако в этом подходе значение в изолированное время не может быть определено как случайная величина с действительным знаком ^{[ необходима цитата ]} . Также ковариация становится бесконечной, когда ; а автокорреляционная функция должна быть определена как , где - некоторая действительная константа, а - «функция» Дирака .${\displaystyle w}$${\displaystyle w(t)}$${\displaystyle |w(t)|^{2}}$${\displaystyle [a,a+r]}$${\displaystyle r}$${\displaystyle w(t)}$${\displaystyle \mathrm {E} (w(t_{1})\cdot w(t_{2}))}$${\displaystyle t_{1}=t_{2}}$${\displaystyle \mathrm {R} (t_{1},t_{2})}$${\displaystyle N\delta (t_{1}-t_{2})}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \delta }$

При таком подходе, как правило , один указывает , что интеграл от за интервал является реальной случайной величиной с нормальным распределением, нулевым средним и дисперсией ; а также , что ковариационные интегралы , является , где ширина пересечения двух интервалов . Эта модель называется сигналом (или процессом) гауссовского белого шума.${\displaystyle W_{I}}$${\displaystyle w(t)}$${\displaystyle I=[a,b]}$${\displaystyle (b-a)\sigma ^{2}}$${\displaystyle \mathrm {E} (W_{I}\cdot W_{J})}$${\displaystyle W_{I}}$${\displaystyle W_{J}}$${\displaystyle r\sigma ^{2}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle I\cap J}$${\displaystyle I,J}$

Математические приложения [ править ]

Анализ временных рядов и регрессия [ править ]

В статистике и эконометрике часто предполагается, что наблюдаемый ряд значений данных является суммой ряда значений, созданных детерминированным линейным процессом , зависящим от некоторых независимых (объясняющих) переменных , а также от ряда значений случайного шума. Затем регрессионный анализ используется для вывода параметров модельного процесса из наблюдаемых данных, например, методом наименьших квадратов , и для проверки нулевой гипотезы.что каждый из параметров равен нулю, что противоречит альтернативной гипотезе о том, что он не равен нулю. Проверка гипотез обычно предполагает, что значения шума взаимно некоррелированы с нулевым средним и имеют одинаковое гауссовское распределение вероятностей - другими словами, что шум гауссовский белый (а не только белый). Если существует ненулевая корреляция между значениями шума, лежащими в основе различных наблюдений, тогда оцененные параметры модели все еще несмещены , но оценки их неопределенностей (например, доверительные интервалы ) будут смещены (в среднем неточны). Это также верно, если шум гетероскедастичен,  то есть если он имеет разные дисперсии для разных точек данных.

В качестве альтернативы, в подмножестве регрессионного анализа, известном как анализ временных рядов , часто нет независимых переменных, кроме прошлых значений моделируемой переменной ( зависимой переменной ). В этом случае шумовой процесс часто моделируется как процесс скользящего среднего , в котором текущее значение зависимой переменной зависит от текущего и прошлых значений последовательного процесса белого шума.

Случайные векторные преобразования [ править ]

Эти две идеи имеют решающие значение в таких приложениях, как оценка канала и выравнивание канала в связи и аудио . Эти концепции также используются при сжатии данных .

В частности, с помощью подходящего линейного преобразования (преобразования раскраски ) белый случайный вектор может использоваться для создания «небелого» случайного вектора (то есть списка случайных величин), элементы которого имеют заданную ковариационную матрицу . И наоборот, случайный вектор с известной ковариационной матрицей может быть преобразован в белый случайный вектор с помощью подходящего преобразования отбеливания .

Поколение [ править ]

Белый шум может генерироваться в цифровом виде с помощью цифрового сигнального процессора , микропроцессора или микроконтроллера . Генерация белого шума обычно влечет за собой подачу соответствующего потока случайных чисел в цифро-аналоговый преобразователь . Качество белого шума будет зависеть от качества используемого алгоритма. ^[21]

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме белого шума .