Волновая функция

Сравнение представлений о классическом и квантовом гармоническом осцилляторе для одиночной бесспиновой частицы. Эти два процесса сильно различаются. Классический процесс (A – B) представлен как движение частицы по траектории. У квантового процесса (C – H) такой траектории нет. Скорее он представлен в виде волны; здесь вертикальная ось показывает действительную часть (синий цвет) и мнимую часть (красный цвет) волновой функции. Панели (C – F) показывают четыре различных решения уравнения Шредингера для стоячей волны . Панели (G – H) дополнительно показывают две разные волновые функции, которые являются решениями уравнения Шредингера, но не стоячими волнами.

Волновая функция в квантовой физике является математическим описанием квантового состояния изолированной квантовой системы . Волновая функция - это комплексная амплитуда вероятности , и вероятности возможных результатов измерений, выполненных в системе, могут быть получены из нее. Наиболее распространенные символы для волновой функции - греческие буквы ψ и Ψ (строчные и заглавные psi соответственно).

Волновая функция является функцией от степеней свободы , соответствующих некоторому максимальному набору коммутирующих наблюдаемых . Как только такое представление выбрано, волновая функция может быть получена из квантового состояния.

Для данной системы выбор того, какие коммутирующие степени свободы использовать, не является уникальным, и, соответственно, область определения волновой функции также не является уникальной. Например, это может быть функция всех координат положения частиц в пространстве позиций или импульсы всех частиц в пространстве импульсов ; эти два связаны преобразованием Фурье . Некоторые частицы, такие как электроны и фотоны , имеют ненулевой спин , и волновая функция таких частиц включает спин как внутреннюю дискретную степень свободы; также могут быть включены другие дискретные переменные, такие как изоспин. Когда система имеет внутренние степени свободы, волновая функция в каждой точке непрерывных степеней свободы (например, точка в пространстве) присваивает комплексное число для каждого возможного значения дискретных степеней свободы (например, z-компонента спин) - эти значения часто отображаются в виде матрицы - столбца (например, 2 × 1 вектор - столбец для нерелятивистской электрона со спином ¹ / ₂ ).

Согласно принципу суперпозиции квантовой механики, волновые функции можно складывать и умножать на комплексные числа, чтобы сформировать новые волновые функции и сформировать гильбертово пространство . Внутренний продукт между двумя волновыми функциями является мерой перекрытия между соответствующими физическими состояниями и используется в фундаментальной вероятностной интерпретации квантовой механики, правиле Борна , связывающем вероятности перехода со внутренними продуктами. Уравнение Шредингера определяет, как волновые функции развиваются во времени, а волновая функция качественно ведет себя так же, как и другие волны , такие как волны на воде.или волны на струне, потому что уравнение Шредингера математически является разновидностью волнового уравнения . Это объясняет название «волновая функция» и приводит к дуальности волна-частица . Однако волновая функция в квантовой механике описывает своего рода физическое явление, все еще открытое для различных интерпретаций , которое принципиально отличается от такового для классических механических волн. ^{[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7]}

В статистической интерпретации Борна в нерелятивистской квантовой механике ^{[8] [9] [10]} квадрат модуля волновой функции, | ψ | ² , представляет собой действительное число интерпретируется как плотность вероятности в измерении частицы как в данном месте - или имеющие заданный импульс - в данный момент времени, и , возможно , имеющая определенные значения для дискретных степеней свободы. Интеграл этой величины по всем степеням свободы системы должен быть равен 1 в соответствии с вероятностной интерпретацией. Это общее требование, которому должна удовлетворять волновая функция, называетсяусловие нормализации . Поскольку волновая функция имеет комплексные значения, можно измерить только ее относительную фазу и относительную величину - ее значение по отдельности ничего не говорит о величинах или направлениях измеримых наблюдаемых; необходимо применить квантовые операторы , собственные значения которых соответствуют множествам возможных результатов измерений, к волновой функции ψ и вычислить статистические распределения для измеримых величин.

Историческая справка [ править ]

Часть серии по
Квантовая механика
${\ Displaystyle я \ HBAR {\ гидроразрыва {\ partial} {\ partial t}} | \ psi (t) \ rangle = {\ hat {H}} | \ psi (t) \ rangle}$ Уравнение Шредингера
Вступление Глоссарий История Учебники
Фон Классическая механика Старая квантовая теория Обозначение Бра – Кет Гамильтониан Вмешательство
Основы Согласованность Декогеренция Комплементарность Уровень энергии Запутанность Гамильтониан Принцип неопределенности Основное состояние Вмешательство Измерение Нелокальность Наблюдаемый Оператор Квантовая Квантовая флуктуация Квантовое число Квантовый шум Квантовая область Квантовое состояние Квантовая система Квантовая телепортация Кубит Вращение Суперпозиция Квантовое вакуумное состояние Симметрия (Спонтанное) нарушение симметрии Состояние вакуума Распространение волн Волновая функция Коллапс волновой функции Дуальность волна-частица Волна материи Прямоугольный потенциальный барьер
Последствия Эффект Зеемана Эффект Старка Эффект Ааронова – Бома Квантование Ландау Квантовый эффект Холла Квантовый эффект Зенона Квантовое туннелирование Фотоэлектрический эффект Эффект Казимира
Эксперименты Неравенство Белла Дэвиссон-Гермер Двойная щель Элицур – Вайдман Франк-Герц Неравенство Леггетта – Гарга Мах – Цендер Поппер Квантовый ластик  ( отложенный выбор ) Кот Шредингера Штерн-Герлах Отсроченный выбор Уиллера
Составы Обзор Динамические картинки ( Гейзенберг ; Взаимодействие ; Шредингер ) Матрица Фазовое пространство Суммирование по историям (интеграл по путям)
Уравнения Дирак Хеллманн-Фейнман Кляйн – Гордон Липпманн-Швингер Паули Ридберг Шредингер
Интерпретации Обзор Байесовский Последовательные истории Копенгаген де Бройль-Бом Ансамбль Скрытая переменная Многомиры Объективный коллапс Квантовая логика Реляционный Стохастик Транзакционный
Дополнительные темы Квантовый отжиг Квантовый хаос Квантовые вычисления Квантовая геометрия Матрица плотности Квантовая теория поля Дробная квантовая механика Квантовая гравитация Квантовая информатика Квантовое машинное обучение Теория возмущений (квантовая механика) Релятивистская квантовая механика Теория рассеяния Теория сверхтекучего вакуума Самопроизвольное параметрическое преобразование с понижением частоты Квантовая статистическая механика
Ученые Ааронов Колокол Блэкетт Блох Бом Бор Родившийся Bose де Бройль Кэндлин Комптон Дирак Дэвиссон Дебай Эренфест Эйнштейн Эверетт Фок Ферми Фейнман Глаубер Gutzwiller Гейзенберг Гильберта Иордания Крамерс Паули ягненок Ландо Лауэ Мозли Милликен Оннес Планк Раби Раман Ридберг Шредингер Зоммерфельд фон Нейман Weyl Вена Вигнер Zeeman Цайлингер Гоудсмит Уленбек Ян
Категории ► Квантовая механика
v т е

В 1905 году Альберт Эйнштейн постулировал пропорциональность между частотой фотона и его энергии , , ^[11] , а в 1916 году соответствующее соотношение между фотона импульса и длины волны , , ^[12] , где есть постоянная Планка . В 1923 году де Бройль был первым , чтобы предположить , что отношение , теперь называется отношение Де Бройля , имеет место для массивных частиц, главный ключ будучи лоренц - инвариантность , ^[13]${\ displaystyle f}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E = hf}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ lambda = {\ dfrac {h} {p}}}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle \ lambda = {\ frac {h} {p}}}$и это можно рассматривать как отправную точку для современного развития квантовой механики. Уравнения представляют дуальность волна-частица как для безмассовых, так и для массивных частиц.

В 1920-х и 1930-х годах квантовая механика развивалась с использованием исчисления и линейной алгебры . Технику исчисления использовали Луи де Бройль , Эрвин Шредингер и другие, разработавшие « волновую механику ». Среди тех, кто применял методы линейной алгебры, были Вернер Гейзенберг , Макс Борн и другие, разработавшие «матричную механику». Впоследствии Шредингер показал, что эти два подхода эквивалентны. ^[14]

В 1926 году Шредингер опубликовал знаменитое волновое уравнение, теперь названное его именем, уравнение Шредингера . Это уравнение основано на классическом сохранении энергии с использованием квантовых операторов и соотношений де Бройля, а решения уравнения являются волновыми функциями квантовой системы. ^[15] Однако никто не знал, как это интерпретировать . ^[16] Сначала Шредингер и другие думали, что волновые функции представляют собой частицы, которые разбросаны, причем большая часть частицы находится там, где волновая функция велика. ^[17]Было показано, что это несовместимо с упругим рассеянием волнового пакета (представляющего собой частицу) на мишени; он распространяется во всех направлениях. ^[8] Хотя рассеянная частица может разлететься в любом направлении, она не разбивается и не улетает во всех направлениях. В 1926 году Борн представил перспективу амплитуды вероятности . ^{[8] [9] [18]} Это связывает вычисления квантовой механики непосредственно с вероятностными экспериментальными наблюдениями. Это принято как часть копенгагенской интерпретации квантовой механики. Есть много других интерпретаций квантовой механики . В 1927 году Хартри и Фоксделал первый шаг в попытке решить волновую функцию N- тела и разработал цикл самосогласования : итерационный алгоритм для аппроксимации решения. Сейчас он также известен как метод Хартри – Фока . ^[19] слэтеровский детерминант и постоянный (из матрицы ) является частью методы, предоставленной John C. Slater .

Шредингер действительно столкнулся с уравнением для волновой функции, которое удовлетворяло релятивистскому закону сохранения энергии, прежде чем он опубликовал нерелятивистское, но отверг его, поскольку оно предсказывало отрицательные вероятности и отрицательные энергии . В 1927 году Клейн , Гордон и Фок также обнаружили его, но учли электромагнитное взаимодействие и доказали, что оно является инвариантом Лоренца . Де Бройль также пришел к тому же уравнению в 1928 году. Это релятивистское волновое уравнение сейчас наиболее широко известно как уравнение Клейна – Гордона . ^[20]

В 1927 году Паули феноменологически нашел нерелятивистское уравнение для описания частиц со спином 1/2 в электромагнитных полях, которое теперь называется уравнением Паули . ^[21] Паули обнаружил, что волновая функция не описывалась одной комплексной функцией пространства и времени, а требовалось два комплексных числа, которые соответственно соответствуют состояниям фермиона со спином +1/2 и -1/2. Вскоре после этого, в 1928 году, Дирак нашел уравнение из первого успешного объединения специальной теории относительности и квантовой механики, примененное к электрону , которое теперь называется уравнением Дирака . В этом случае волновая функция представляет собой спинор, представленный четырьмя комплексными компонентами:^[19] два для электрона и два для античастицы электрона, позитрона . В нерелятивистском пределе волновая функция Дирака напоминает волновую функцию Паули для электрона. Позжебыли найденыдругие релятивистские волновые уравнения .

Волновые функции и волновые уравнения в современных теориях [ править ]

Все эти волновые уравнения имеют непреходящее значение. Уравнение Шредингера и уравнение Паули во многих случаях являются превосходными приближениями релятивистских вариантов. Их значительно проще решать в практических задачах, чем релятивистские аналоги.

Уравнение Клейна-Гордона и уравнение Дирака , в то же время релятивистская, не представляют полного примирения квантовой механики и специальной теории относительности. Раздел квантовой механики, где эти уравнения изучаются так же, как уравнение Шредингера, часто называемое релятивистской квантовой механикой , хотя и очень успешен, имеет свои ограничения (см., Например, сдвиг Лэмба ) и концептуальные проблемы (см., Например, море Дирака ).

Относительность делает неизбежным, что количество частиц в системе непостоянно. Для полного согласования нужна квантовая теория поля . ^[22] В этой теории волновые уравнения и волновые функции имеют свое место, но в несколько ином обличье. Основными объектами интереса являются не волновые функции, а скорее операторы, так называемые операторы поля (или просто поля, в которых понимается «оператор») на гильбертовом пространстве состояний (будет описано в следующем разделе). Оказывается, исходные релятивистские волновые уравнения и их решения по-прежнему необходимы для построения гильбертова пространства. Кроме того, операторы свободных полей, т.е. когда предполагается, что взаимодействий не существует, оказывается, что (формально) удовлетворяет то же уравнение, что и поля (волновые функции) во многих случаях.

Таким образом, уравнение Клейна-Гордона (спин 0 ) и уравнение Дирака (спин ¹ / ₂ ) , в таком виде остаются в теории. Высшие аналоги спиновых включают уравнение Proca (спин 1 ), уравнение Рариты-Швингер (спин ³ / ₂ ), а также , в более общем смысле , в уравнение Баргмано-Вигнер . Для безмассовых свободных полей двумя примерами являются уравнение Максвелла свободного поля (спин 1 ) и уравнение Эйнштейна свободного поля (спин 2 ) для операторов поля. ^[23]Все они по существу являются прямым следствием требования лоренц-инвариантности . Их решения должны преобразовываться при преобразовании Лоренца заданным образом, то есть в соответствии с определенным представлением группы Лоренца и что вместе с некоторыми другими разумными требованиями, например принципом кластерной декомпозиции , ^[24] с последствиями для причинности достаточно, чтобы исправить уравнения.

Это относится к уравнениям свободного поля; взаимодействия не включены. Если плотность лагранжиана (включая взаимодействия) доступна, то формализм лагранжиана даст уравнение движения на классическом уровне. Это уравнение может быть очень сложным и не поддающимся решению. Любое решение будет относиться к фиксированному количеству частиц и не будет учитывать термин «взаимодействие», как упоминается в этих теориях, который включает в себя создание и уничтожение частиц, а не внешние потенциалы, как в обычной «квантованной сначала» квантовой теории.

В теории струн ситуация остается аналогичной. Например, волновая функция в импульсном пространстве играет роль коэффициента разложения Фурье в общем состоянии частицы (струны) с импульсом, который не определен четко. ^[25]

Определение (одна бесспиновая частица в одном измерении) [ править ]

А пока рассмотрим простой случай нерелятивистской одиночной частицы без спина в одном пространственном измерении. Более общие случаи обсуждаются ниже.

Позиционно-пространственные волновые функции [ править ]

Состояние такой частицы полностью описывается ее волновой функцией,

${\ Displaystyle \ пси (х, т) \ ,,}$

где x - позиция, а t - время. Это комплексная функция двух действительных переменных x и t .

Для одной бесспиновой частицы в одном измерении, если волновая функция интерпретируется как амплитуда вероятности , квадрат модуля волновой функции, положительное действительное число

${\ Displaystyle \ влево | \ пси (х, т) \ вправо | ^ {2} = \ пси ^ {*} (х, т) \ пси (х, т) = \ ро (х, т),}$

интерпретируется как плотность вероятности того, что частица находится в точке x . Звездочка указывает на комплексное сопряжение . Если положение частицы измеряется , ее местоположение не может быть определено с помощью волновой функции, оно описывается распределением вероятностей .

Условие нормализации [ править ]

Вероятность того, что его положение x будет в интервале a ≤ x ≤ b, является интегралом плотности на этом интервале:

${\displaystyle P_{a\leq x\leq b}(t)=\int \limits _{a}^{b}\,|\Psi (x,t)|^{2}dx}$

где t - время измерения частицы. Это приводит к условию нормализации :

${\displaystyle \,\int \limits _{-\infty }^{\infty }\,|\Psi (x,t)|^{2}dx=1\,,}$

потому что если частицу измерить, есть 100% вероятность, что она где-то будет .

Для данной системы набор всех возможных нормализуемых волновых функций (в любой момент времени) образует абстрактное математическое векторное пространство , что означает, что можно складывать вместе различные волновые функции и умножать волновые функции на комплексные числа (см. Векторное пространство для Детали). Технически из-за условия нормализации волновые функции образуют проективное пространство, а не обычное векторное пространство. Это векторное пространство бесконечномерным мерная , поскольку не существует конечное множество функций , которые могут быть добавлены вместе в различных комбинациях , чтобы создать все возможные функции. Кроме того, это гильбертово пространство , потому что скалярное произведение двух волновых функций Ψ₁ и Ψ ₂ можно определить как комплексное число (в момент времени t ) ^{[nb 1]}

${\displaystyle (\Psi _{1},\Psi _{2})=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\,\Psi _{1}^{*}(x,t)\Psi _{2}(x,t)dx.}$

Более подробная информация представлена ниже . Хотя внутреннее произведение двух волновых функций является комплексным числом, внутреннее произведение волновой функции Ψ на себя,

${\displaystyle (\Psi ,\Psi )=\|\Psi \|^{2}\,,}$

это всегда положительное число. Число || Ψ || (не || Ψ || ² ) называется нормой волновой функции Ф .

Если (Ψ, Ψ) = 1 , то Ψ нормализовано. Если Ψ не нормализовано, то деление на его норму дает нормированную функцию Ψ / || Ψ || . Две волновые функции ф ₁ и Ψ ₂ являются ортогональными , если (Ψ ₁ , Ψ ₂ ) = 0 . Если они нормализованы и ортогональны, они ортонормированы . Ортогональность (а значит, и ортонормированность) волновых функций не является необходимым условием, которому должны удовлетворять волновые функции, но их полезно учитывать, поскольку это гарантирует линейную независимость.функций. В линейной комбинации ортогональных волновых функций Ψ _n имеем

${\displaystyle \Psi =\sum _{n}a_{n}\Psi _{n}\,,\quad a_{n}={\frac {(\Psi _{n},\Psi )}{(\Psi _{n},\Psi _{n})}}}$

Если бы волновые функции Ψ _n были неортогональными, коэффициенты получить было бы труднее.

Квантовые состояния как векторы [ править ]

В копенгагенской интерпретации квадрат модуля внутреннего произведения (комплексного числа) дает действительное число

${\displaystyle \left|(\Psi _{1},\Psi _{2})\right|^{2}=P\left(\Psi _{2}\rightarrow \Psi _{1}\right)\,,}$

которая, если предположить, что обе волновые функции нормированы, интерпретируется как вероятность того, что волновая функция Ψ ₂ "схлопнется" до новой волновой функции Ψ ₁ при измерении наблюдаемой, собственные значения которой являются возможными результатами измерения, причем Ψ ₁ будет собственный вектор результирующего собственного значения. Это правило рождения , ^[8] и является одним из основных постулатов квантовой механики.

В конкретный момент времени все значения волновой функции Ψ ( x , t ) являются компонентами вектора. Их бесчисленно бесконечно много, и вместо суммирования используется интегрирование. В обозначениях Бра – ке этот вектор записывается

${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =\int \Psi (x,t)|x\rangle dx}$

и называется «вектором квантового состояния» или просто «квантовым состоянием». Есть несколько преимуществ понимания волновых функций как элементов абстрактного векторного пространства:

• Все мощные инструменты линейной алгебры можно использовать для управления волновыми функциями и их понимания. Например:
  • Линейная алгебра объясняет, как векторному пространству можно дать базис , а затем любой вектор в векторном пространстве может быть выражен в этом базисе. Это объясняет взаимосвязь между волновой функцией в пространстве позиций и волновой функцией в импульсном пространстве и предполагает, что есть и другие возможности.
  • Обозначения Брэке можно использовать для управления волновыми функциями.
• Идея о том, что квантовые состояния являются векторами в абстрактном векторном пространстве, является полностью общей для всех аспектов квантовой механики и квантовой теории поля , тогда как идея о том, что квантовые состояния являются комплексными "волновыми" функциями пространства, верна только в определенных ситуациях.

Параметр времени часто не используется, и он будет следующим. Х координат представляет собой непрерывный индекс. | х ⟩ базисные векторы, которые являются ортонормированными поэтому их скалярным произведением является дельта - функцией ;

${\displaystyle \langle x'|x\rangle =\delta (x'-x)}$

таким образом

${\displaystyle \langle x'|\Psi \rangle =\int \Psi (x)\langle x'|x\rangle dx=\Psi (x')}$

и

${\displaystyle |\Psi \rangle =\int |x\rangle \langle x|\Psi \rangle dx=\left(\int |x\rangle \langle x|dx\right)|\Psi \rangle }$

который освещает идентификационный оператор

${\displaystyle I=\int |x\rangle \langle x|dx\,.}$

Нахождение оператора идентичности в базисе позволяет явно выражать абстрактное состояние в базисе и т.д. (внутренний продукт между двумя векторами состояния и другими операторами для наблюдаемых может быть выражен в базисе).

Импульсно-пространственные волновые функции [ править ]

Частица также имеет волновую функцию в импульсном пространстве :

${\displaystyle \Phi (p,t)}$

где p - импульс в одном измерении, который может быть любым значением от −∞ до + ∞ , а t - время.

Аналогично случаю положения, скалярное произведение двух волновых функций Φ ₁ ( p , t ) и Φ ₂ ( p , t ) может быть определено как:

${\displaystyle (\Phi _{1},\Phi _{2})=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\,\Phi _{1}^{*}(p,t)\Phi _{2}(p,t)dp\,.}$

Одним из частных решений не зависящего от времени уравнения Шредингера является

${\displaystyle \Psi _{p}(x)=e^{ipx/\hbar },}$

плоская волна , которые могут быть использованы в описании частицы с импульсом точно р , так как она является собственной функцией оператора импульса. Эти функции нельзя нормализовать до единицы (они не интегрируемы с квадратом), поэтому на самом деле они не являются элементами физического гильбертова пространства. Набор

${\displaystyle \{\Psi _{p}(x,t),-\infty \leq p\leq \infty \}}$

образует так называемый импульсный базис . Этот «базис» не является базисом в обычном математическом смысле. Во-первых, поскольку функции нельзя нормализовать, они вместо этого нормализуются до дельта-функции ,

${\displaystyle (\Psi _{p},\Psi _{p'})=\delta (p-p').}$

Во-вторых, хотя они линейно независимы, их слишком много (они образуют несчетное множество) для основы физического гильбертова пространства. Их все еще можно использовать для выражения всех функций в нем с помощью преобразований Фурье, как описано ниже.

Отношения между представлениями позиции и импульса [ править ]

Представления x и p являются

${\displaystyle {\begin{aligned}|\Psi \rangle =I|\Psi \rangle &=\int |x\rangle \langle x|\Psi \rangle dx=\int \Psi (x)|x\rangle dx,\\|\Psi \rangle =I|\Psi \rangle &=\int |p\rangle \langle p|\Psi \rangle dp=\int \Phi (p)|p\rangle dp.\end{aligned}}}$

Теперь возьмет проекцию состояния Ф на собственный импульс , используя последнее выражение в двух уравнениях ^[26]

${\displaystyle \int \Psi (x)\langle p|x\rangle dx=\int \Phi (p')\langle p|p'\rangle dp'=\int \Phi (p')\delta (p-p')dp'=\Phi (p).}$

Затем, используя известное выражение для подходящим образом нормированных собственных состояний импульса в решениях позиционного представления свободного уравнения Шредингера

${\displaystyle \langle x|p\rangle =p(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}e^{{\frac {i}{\hbar }}px}\Rightarrow \langle p|x\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}e^{-{\frac {i}{\hbar }}px},}$

можно получить

${\displaystyle \Phi (p)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int \Psi (x)e^{-{\frac {i}{\hbar }}px}dx\,.}$

Аналогичным образом, используя собственные функции положения,

${\displaystyle \Psi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int \Phi (p)e^{{\frac {i}{\hbar }}px}dp\,.}$

Таким образом, оказывается, что волновые функции пространственного положения и пространства импульса являются преобразованиями Фурье друг друга. ^[27] Две волновые функции содержат одинаковую информацию, и любой одной достаточно для вычисления любого свойства частицы. Как представители элементов абстрактного физического гильбертова пространства, элементы которого являются возможными состояниями рассматриваемой системы, они представляют один и тот же вектор состояния, следовательно, идентичные физические состояния , но в целом они не равны, если рассматривать их как интегрируемые с квадратом функции.

На практике волновая функция пространственного положения используется гораздо чаще, чем волновая функция импульсного пространства. Потенциал, входящий в соответствующее уравнение (Шредингера, Дирака и т. Д.), Определяет, на каком основании описание является наиболее простым. Для гармонического осциллятора , х и р входят симметрично, так что это не имеет значения, описание одного использования. То же уравнение (по модулю констант) получается. Из этого следует, с немного задним числом, A Factoid: Решения волнового уравнения гармонического осциллятора являются собственным преобразование Фурье в L ² . ^{[nb 2]}

Определения (другие случаи) [ править ]

Ниже приведены общие формы волновой функции для систем более высоких измерений и с большим количеством частиц, а также включающие другие степени свободы, кроме координат положения или компонентов импульса.

Одночастичные состояния в трехмерном позиционном пространстве [ править ]

Волновая функция пространственной позиции одиночной частицы без спина в трех пространственных измерениях аналогична случаю одного пространственного измерения выше:

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}$

где r - вектор положения в трехмерном пространстве, а t - время. Как всегда, Ψ ( r ,  t ) является комплексной функцией действительных переменных. Как единый вектор в обозначениях Дирака

${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =\int d^{3}\!\mathbf {r} \,\Psi (\mathbf {r} ,t)\,|\mathbf {r} \rangle }$

Все предыдущие замечания о скалярных произведениях, волновых функциях импульсного пространства, преобразованиях Фурье и так далее распространяются на более высокие измерения.

Для частицы со спином , игнорируя позиционные степени свободы, волновая функция является функцией только спина (время - параметр);

${\displaystyle \xi (s_{z},t)}$

где s _z - квантовое число проекции спина вдоль оси z . ( Ось z выбрана произвольно; вместо нее можно использовать другие оси, если волновая функция преобразована соответствующим образом, см. Ниже.) Параметр s _z , в отличие от r и t , является дискретной переменной . Например, для частицы со спином 1/2 s _z может быть только +1/2 или −1/2 , и никаким другим значением. (В общем случае , для спина s , ево _Z может быть ыми , S- 1, ..., - s + 1, - s ). Вставка каждого квантового числа дает комплексную функцию пространства и времени, их 2 s + 1 . Их можно упорядочить в вектор-столбец ^{[nb 3]}

${\displaystyle {\xi ={\begin{bmatrix}\xi (s,t)\\\xi (s-1,t)\\\vdots \\\xi (-(s-1),t)\\\xi (-s,t)\\\end{bmatrix}}=\xi (s,t){\begin{bmatrix}1\\0\\\vdots \\0\\0\\\end{bmatrix}}+\xi (s-1,t){\begin{bmatrix}0\\1\\\vdots \\0\\0\\\end{bmatrix}}+\cdots +\xi (-(s-1),t){\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\1\\0\\\end{bmatrix}}+\xi (-s,t){\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\0\\1\\\end{bmatrix}}}}$

В обозначениях скобок их легко объединить в компоненты вектора ^{[nb 4]}

${\displaystyle |\xi (t)\rangle =\sum _{s_{z}=-s}^{s}\xi (s_{z},t)\,|s_{z}\rangle }$

Весь вектор ξ является решением уравнения Шредингера (с подходящим гамильтонианом), которое разворачивается в связанную систему из 2 s + 1 обыкновенных дифференциальных уравнений с решениями ξ ( s , t ), ξ ( s - 1, t ), ..., ξ (- s , t ) . Некоторые авторы используют термин «спиновая функция» вместо «волновая функция». Это контрастирует с решениями пространственных волновых функций, где координаты положения являются непрерывными степенями свободы, потому что тогда уравнение Шредингера действительно принимает форму волнового уравнения.

В более общем смысле, для частицы в трехмерном пространстве с любым спином волновая функция может быть записана в "пространстве положения-спина" как:

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,s_{z},t)}$

и они также могут быть организованы в вектор-столбец

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)={\begin{bmatrix}\Psi (\mathbf {r} ,s,t)\\\Psi (\mathbf {r} ,s-1,t)\\\vdots \\\Psi (\mathbf {r} ,-(s-1),t)\\\Psi (\mathbf {r} ,-s,t)\\\end{bmatrix}}}$

в котором спиновая зависимость помещена в индексирование элементов, а волновая функция является сложной векторной функцией только пространства и времени.

Все значения волновой функции, не только для дискретных, но и для непрерывных переменных, собираются в один вектор.

${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =\sum _{s_{z}}\int d^{3}\!\mathbf {r} \,\Psi (\mathbf {r} ,s_{z},t)\,|\mathbf {r} ,s_{z}\rangle }$

Для отдельной частицы тензорное произведение ⊗ ее вектора состояния | г | ⟩ и спин вектор состояния | • £ , ⟩ дает вектор состояния композитной позиционно-спиновое

${\displaystyle |\psi (t)\rangle \!\otimes \!|\xi (t)\rangle =\sum _{s_{z}}\int d^{3}\!\mathbf {r} \,\psi (\mathbf {r} ,t)\,\xi (s_{z},t)\,|\mathbf {r} \rangle \!\otimes \!|s_{z}\rangle }$

с идентификациями

${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =|\psi (t)\rangle \!\otimes \!|\xi (t)\rangle }$

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,s_{z},t)=\psi (\mathbf {r} ,t)\,\xi (s_{z},t)}$

${\displaystyle |\mathbf {r} ,s_{z}\rangle =|\mathbf {r} \rangle \!\otimes \!|s_{z}\rangle }$

Факторизация тензорного произведения возможна только в том случае, если орбитальный и спиновой угловые моменты частицы разделимы в гамильтоновом операторе, лежащем в основе динамики системы (другими словами, гамильтониан можно разбить на сумму орбитальных и спиновых членов ^[28] ). Временная зависимость может быть помещена в любой фактор, и временная эволюция каждого может быть изучена отдельно. Факторизация невозможна для тех взаимодействий, когда внешнее поле или какая-либо пространственно-зависимая величина взаимодействует со спином; примеры включают частицу в магнитном поле и спин-орбитальное взаимодействие .

Предыдущее обсуждение не ограничивается спином как дискретной переменной, также можно использовать полный угловой момент J. ^[29] Другие дискретные степени свободы, такие как изоспин , можно выразить аналогично случаю спина выше.

Многочастичные состояния в трехмерном позиционном пространстве [ править ]

Если частиц много, обычно существует только одна волновая функция, а не отдельная волновая функция для каждой частицы. Тот факт, что одна волновая функция описывает множество частиц, делает возможными квантовую запутанность и парадокс ЭПР . Волновая функция пространственного положения для N частиц записывается: ^[19]

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\cdots \mathbf {r} _{N},t)}$

где r _i - положение i- й частицы в трехмерном пространстве, а t - время. В целом, это комплексная функция от 3 N + 1 действительных переменных.

В квантовой механике существует фундаментальное различие между идентичными частицами и различимыми частицами. Например, любые два электрона идентичны и принципиально неотличимы друг от друга; законы физики делают невозможным «штамповать идентификационный номер» на определенном электроне, чтобы отслеживать его. ^[27] Это означает требование к волновой функции для системы идентичных частиц:

${\displaystyle \Psi \left(\ldots \mathbf {r} _{a},\ldots ,\mathbf {r} _{b},\ldots \right)=\pm \Psi \left(\ldots \mathbf {r} _{b},\ldots ,\mathbf {r} _{a},\ldots \right)}$

где знак + встречается, если все частицы являются бозонами, и знак -, если все они фермионы . Другими словами, волновая функция либо полностью симметрична по положению бозонов, либо полностью антисимметрична по положению фермионов. ^[30] Физический обмен частицами соответствует математическому переключению аргументов в волновой функции. Свойство антисимметрии фермионных волновых функций приводит к принципу Паули . Как правило, требования бозонной и фермионной симметрии являются проявлением статистики частиц и присутствуют в других формализмах квантовых состояний.

Для N различимых частиц (нет двух одинаковых , т. Е. Нет двух с одинаковым набором квантовых чисел) не требуется, чтобы волновая функция была симметричной или антисимметричной.

Для набора частиц, некоторые из которых идентичны с координатами r ₁ , r ₂ , ... и другие, различимые x ₁ , x ₂ , ... (не идентичные друг другу и не идентичные вышеупомянутым идентичным частицам), волна функция является симметричной или антисимметричной только в одинаковых координатах частицы r _i :

${\displaystyle \Psi \left(\ldots \mathbf {r} _{a},\ldots ,\mathbf {r} _{b},\ldots ,\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots \right)=\pm \Psi \left(\ldots \mathbf {r} _{b},\ldots ,\mathbf {r} _{a},\ldots ,\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots \right)}$

И снова нет требования симметрии для различимых координат x _i частицы .

Волновая функция для N частиц, каждая со спином, является комплексной функцией

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\cdots \mathbf {r} _{N},s_{z\,1},s_{z\,2}\cdots s_{z\,N},t)}$

Собирая все эти компоненты в один вектор,

${\displaystyle \underbrace {|\Psi \rangle } _{\text{state vector (ket)}}=\underbrace {\overbrace {\sum _{s_{z\,1},\ldots ,s_{z\,N}}} ^{\text{discrete labels}}\overbrace {\int \limits \limits _{R_{N}}d^{3}\mathbf {r} _{N}\cdots \int \limits \limits _{R_{1}}d^{3}\mathbf {r} _{1}} ^{\text{continuous labels}}} _{\text{adding up}}\,\underbrace {{\Psi }(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N},s_{z\,1},\ldots ,s_{z\,N})} _{\text{wave function (component of state vector along basis state)}}\underbrace {|\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N},s_{z\,1},\ldots ,s_{z\,N}\rangle } _{\text{basis state (basis ket)}}\,.}$

Для идентичных частиц требования симметрии применяются как к позиционным, так и к спиновым аргументам волновой функции, поэтому она имеет правильную симметрию в целом.

Формулы для скалярных произведений представляют собой интегралы по всем координатам или импульсам и суммы по всем квантовым числам спина. Для общего случая N частиц со спином в 3d

${\displaystyle (\Psi _{1},\Psi _{2})=\sum _{s_{z\,N}}\cdots \sum _{s_{z\,2}}\sum _{s_{z\,1}}\int \limits _{\mathrm {all\,space} }d^{3}\mathbf {r} _{1}\int \limits _{\mathrm {all\,space} }d^{3}\mathbf {r} _{2}\cdots \int \limits _{\mathrm {all\,space} }d^{3}\mathbf {r} _{N}\Psi _{1}^{*}\left(\mathbf {r} _{1}\cdots \mathbf {r} _{N},s_{z\,1}\cdots s_{z\,N},t\right)\Psi _{2}\left(\mathbf {r} _{1}\cdots \mathbf {r} _{N},s_{z\,1}\cdots s_{z\,N},t\right)}$

это всего N трехмерных объемных интегралов и N сумм по спинам. Элементы дифференциального объема d ³ r _i также обозначаются как « dV _i » или « dx _i dy _i dz _i ».

Многомерные преобразования Фурье пространственных волновых функций положения или положения-спина дают пространственные волновые функции импульса или импульса-спина.

Вероятностная интерпретация [ править ]

Для общего случая N частиц со спином в 3d, если Ψ интерпретировать как амплитуду вероятности, плотность вероятности равна

${\displaystyle \rho \left(\mathbf {r} _{1}\cdots \mathbf {r} _{N},s_{z\,1}\cdots s_{z\,N},t\right)=\left|\Psi \left(\mathbf {r} _{1}\cdots \mathbf {r} _{N},s_{z\,1}\cdots s_{z\,N},t\right)\right|^{2}}$

и вероятность того, что частица 1 находится в области R ₁ со спином s _{z 1} = m _1, а частица 2 находится в области R ₂ со спином s _{z 2} = m ₂ и т. д. в момент времени t, является интегралом плотности вероятности по этим областям и оценивается по этим номерам спинов:

${\displaystyle P_{\mathbf {r} _{1}\in R_{1},s_{z\,1}=m_{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N}\in R_{N},s_{z\,N}=m_{N}}(t)=\int \limits _{R_{1}}d^{3}\mathbf {r} _{1}\int \limits _{R_{2}}d^{3}\mathbf {r} _{2}\cdots \int \limits _{R_{N}}d^{3}\mathbf {r} _{N}\left|\Psi \left(\mathbf {r} _{1}\cdots \mathbf {r} _{N},m_{1}\cdots m_{N},t\right)\right|^{2}}$

Временная зависимость [ править ]

Для систем с не зависящими от времени потенциалами волновую функцию всегда можно записать как функцию степеней свободы, умноженных на зависящий от времени фазовый множитель, форма которого задается уравнением Шредингера. Для N частиц, учитывая только их положение и подавляя другие степени свободы,

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N},t)=e^{-iEt/\hbar }\,\psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N})\,,}$

где Е представляет собой собственное значение энергии системы , соответствующей собственного состояния Ф . Волновые функции такого вида называются стационарными состояниями .

Временная зависимость квантового состояния и операторов может быть размещена в соответствии с унитарными преобразованиями операторов и состояний. Для любого квантового состояния | и оператора O в картине Шредингера | Ψ ( t )⟩ изменяется со временем в соответствии с уравнением Шредингера, в то время как O постоянна. В картине Гейзенберга все наоборот, | Ψ⟩ постоянно, а O ( t )эволюционирует со временем в соответствии с уравнением движения Гейзенберга. Картина Дирака (или взаимодействия) является промежуточной, временная зависимость имеет место как в операторах, так и в состояниях, которые развиваются согласно уравнениям движения. Это полезно в первую очередь при вычислении элементов S-матрицы . ^[31]

Нерелятивистские примеры [ править ]

Ниже приведены решения уравнения Шредингера для одной нерелятивистской бесспиновой частицы.

Конечный потенциальный барьер [ править ]

Одна из наиболее заметных особенностей волновой механики - это возможность частицы достичь места с недопустимым (в классической механике) силовым потенциалом . Распространенной моделью является « потенциальный барьер », в одномерном случае потенциал

${\displaystyle V(x)={\begin{cases}V_{0}&|x|<a\\0&|x|\geq a\end{cases}}}$

а стационарные решения волнового уравнения имеют вид (при некоторых постоянных k , κ )

${\displaystyle \Psi (x)={\begin{cases}A_{\mathrm {r} }e^{ikx}+A_{\mathrm {l} }e^{-ikx}&x<-a,\\B_{\mathrm {r} }e^{\kappa x}+B_{\mathrm {l} }e^{-\kappa x}&|x|\leq a,\\C_{\mathrm {r} }e^{ikx}+C_{\mathrm {l} }e^{-ikx}&x>a.\end{cases}}}$

Обратите внимание, что эти волновые функции не нормализованы; см. обсуждение в теории рассеяния .

Стандартная интерпретация этого заключается в том, что поток частиц запускается на шаге слева (направление отрицательного x ): установка A _r = 1 соответствует запуску частиц по отдельности; члены, содержащие A _r и C _r, означают движение вправо, а A _l и C _l - влево. Согласно этой интерпретации пучка, положим C _l = 0, поскольку частицы не приходят справа. Таким образом, применяя непрерывность волновых функций и их производных на границах, можно определить указанные выше константы.

В полупроводниковом кристаллите , радиус которого меньше размера его экситонного боровского радиуса , экситоны сжимаются, что приводит к ограничению квантов . Затем уровни энергии можно смоделировать, используя модель частицы в ящике, в которой энергия различных состояний зависит от длины ящика.

Квантовый гармонический осциллятор [ править ]

Волновые функции для квантового гармонического осциллятора могут быть выражены через полиномы Эрмита H _n , они имеют вид

${\displaystyle \Psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {1}{2^{n}\,n!}}}\cdot \left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\cdot e^{-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}}\cdot H_{n}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right)}$

где п = 0,1,2, ... .

Атом водорода [ править ]

Волновые функции электрона в атоме водорода выражаются в терминах сферических гармоник и обобщенных полиномов Лагерра (разные авторы определяют их по-разному - см. Основную статью о них и об атоме водорода).

Удобно использовать сферические координаты, а волновую функцию можно разделить на функции каждой координаты, ^[32]

${\displaystyle \Psi _{n\ell m}(r,\theta ,\phi )=R(r)\,\,Y_{\ell }^{m}\!(\theta ,\phi )}$

где R - радиальные функции, а Y^м
_ℓ( Θ , φ ) являются сферические гармоники степени л и порядка м . Это единственный атом, для которого уравнение Шредингера решено точно. Многоэлектронные атомы требуют приближенных методов. Семейство решений: ^[33]

${\displaystyle \Psi _{n\ell m}(r,\theta ,\phi )={\sqrt {{\left({\frac {2}{na_{0}}}\right)}^{3}{\frac {(n-\ell -1)!}{2n[(n+\ell )!]}}}}e^{-r/na_{0}}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)^{\ell }L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)\cdot Y_{\ell }^{m}(\theta ,\phi )}$

где a ₀ = 4 πε ₀ ħ ² / m _e e ² - радиус Бора , L^{2 ℓ + 1}
_{п - ℓ - 1}- обобщенные полиномы Лагерра степени n - ℓ - 1 , n = 1, 2, ... - главное квантовое число , ℓ = 0, 1, ... n - 1 - азимутальное квантовое число , m = - ℓ , - ℓ + 1, ..., ℓ - 1, ℓ магнитное квантовое число . У водородоподобных атомов очень похожие решения.

Это решение не учитывает спин электрона.

На рисунке водородных орбиталей 19 субизображений представляют собой изображения волновых функций в позиционном пространстве (квадрат их нормы). Волновые функции представляют абстрактное состояние, характеризующееся тройкой квантовых чисел ( n , l , m ) в правом нижнем углу каждого изображения. Это главное квантовое число, квантовое число орбитального углового момента и магнитное квантовое число. Вместе с одним квантовым числом проекции спина электрона это полный набор наблюдаемых.

Рисунок может служить иллюстрацией некоторых дополнительных свойств функциональных пространств волновых функций.

• В этом случае волновые функции интегрируемы с квадратом. Первоначально можно взять функциональное пространство как пространство функций, интегрируемых с квадратом, обычно обозначаемое L 2 .
• Отображаемые функции являются решениями уравнения Шредингера. Очевидно, что не каждая функция в L ² удовлетворяет уравнению Шредингера для атома водорода. Функциональное пространство, таким образом , подпространство L ² .
• Отображаемые функции составляют часть основы функционального пространства. Каждой тройке ( n , l , m ) соответствует базисная волновая функция. Если учесть спин, то для каждой тройки есть две базисные функции. Таким образом, функциональное пространство имеет счетную базу .
• Базисные функции взаимно ортонормированы .

Волновые функции и функциональные пространства [ править ]

Концепция функциональных пространств естественным образом входит в дискуссию о волновых функциях. Функциональное пространство - это набор функций, обычно с некоторыми определяющими требованиями к функциям (в данном случае они интегрируемы с квадратом ), иногда с алгебраической структурой на множестве (в данном случае структура векторного пространства со скалярным произведением ) вместе с топологией на множестве. Последнее будет использоваться здесь редко, оно необходимо только для получения точного определения того, что означает закрытие подмножества функционального пространства . Ниже будет сделан вывод, что функциональное пространство волновых функций является гильбертовым пространством. Это наблюдение является основой преобладающей математической формулировки квантовой механики.

Структура векторного пространства [ править ]

Волновая функция - это элемент функционального пространства, частично характеризующийся следующими конкретными и абстрактными описаниями.

• Уравнение Шредингера линейно. Это означает, что ее решения, волновые функции, можно складывать и умножать на скаляры, чтобы сформировать новое решение. Множество решений уравнения Шредингера представляет собой векторное пространство.
• Принцип суперпозиции квантовой механики. Если Ψ и Φ - два состояния в абстрактном пространстве состояний квантовой механической системы, а a и b - любые два комплексных числа, то a Ψ + b Φ также является допустимым состоянием. (Считается ли нулевой вектор допустимым состоянием («система отсутствует») - вопрос определения. Нулевой вектор ни в коем случае не описывает вакуумное состояние в квантовой теории поля.) Набор допустимых состояний представляет собой векторное пространство. .

Это сходство, конечно, не случайно. Также следует помнить о различиях между пространствами.

Представления [ править ]

Основные состояния характеризуются набором квантовых чисел. Это набор собственных значений максимального множества из коммутирующих наблюдаемых . Физические наблюдаемые представлены линейными операторами, также называемыми наблюдаемыми, в пространстве векторов. Максимальность означает, что в набор нельзя добавить никакие другие алгебраически независимые наблюдаемые, которые коммутируют с уже имеющимися. Выбор такого множества можно назвать выбором представления .

• Постулат квантовой механики состоит в том, что физически наблюдаемая величина системы, такая как положение, импульс или спин, представлена ​​линейным эрмитовым оператором в пространстве состояний. Возможные результаты измерения величины - собственные значения оператора. ^[17] На более глубоком уровне большинство наблюдаемых, а возможно, и все, возникают как генераторы симметрий . ^{[17] [34] [nb 5]}
• Физическая интерпретация заключается в том, что такой набор представляет то, что теоретически можно одновременно измерить с произвольной точностью. Соотношение неопределенностей Гейзенберга запрещает одновременные точные измерения двух некоммутирующих наблюдаемых.
• Набор неуникальный. Для одночастичной системы это может быть , например, z- проекция положения и спина ( x , S _z ) или y- проекция импульса и спина ( p , S _y ) . В этом случае оператор, соответствующий положению ( оператор умножения в представлении положения), и оператор, соответствующий импульсу ( дифференциальный оператор в представлении положения), не коммутируют.
• После того, как представление выбрано, произвол остается. Осталось выбрать систему координат. Это может, например, соответствовать выбору осей x , y и z или выбору криволинейных координат, как показано на примере сферических координат, используемых для волновых функций атомов водорода. Этот окончательный выбор также фиксирует основу в абстрактном гильбертовом пространстве. Основные состояния помечены квантовыми числами, соответствующими максимальному набору коммутирующих наблюдаемых и соответствующей системе координат. ^{[№ 6]}

Абстрактные состояния являются «абстрактными» только в том смысле, что не дается произвольный выбор, необходимый для их конкретного явного описания. Это то же самое, что сказать, что не было дано никакого выбора максимального набора коммутирующих наблюдаемых. Это аналогично векторному пространству без указанного базиса. Соответственно, волновые функции, соответствующие состоянию, не уникальны. Эта неединственность отражает неединственность в выборе максимального набора коммутирующих наблюдаемых. Для одной частицы со спином в одном измерении определенному состоянию соответствуют две волновые функции ( x , S _z ) и Ψ ( p , S _y ) , обе описывающие одно и то же государственный.

• Для каждого выбора максимальных коммутирующих наборов наблюдаемых для абстрактного пространства состояний существует соответствующее представление, которое связано с функциональным пространством волновых функций.
• Между всеми этими различными функциональными пространствами и абстрактным пространством состояний существуют взаимно однозначные соответствия (здесь не учитываются нормализация и ненаблюдаемые фазовые факторы), причем общим знаменателем здесь является конкретное абстрактное состояние. Связь между импульсными и пространственными волновыми функциями положения, например, описывающая одно и то же состояние, представляет собой преобразование Фурье .

Каждый выбор представления следует рассматривать как определение уникального функционального пространства, в котором живут волновые функции, соответствующие этому выбору представления. Это различие лучше всего сохранить, даже если можно было бы утверждать, что два таких функциональных пространства математически равны, например, являются набором квадратично интегрируемых функций. Тогда можно думать о функциональных пространствах как о двух различных копиях этого набора.

Внутренний продукт [ править ]

Существует дополнительная алгебраическая структура на векторных пространствах волновых функций и абстрактном пространстве состояний.

• Физически различные волновые функции интерпретируются как частично перекрывающиеся. Система в государственном Ф , что делает не перекрывается с государственной Ф не может быть установлена, что в состоянии Ф при измерении. Но если Ф ₁ , Ф ₂ , ... Перекрытие Ф в некоторой степени, существует вероятность того, что измерение системы , описываемой Ф будет найдено в состояниях Ф ₁ , Ф ₂ , ... . Также правила выборасоблюдаются применяются. Обычно их формулируют в сохранении некоторых квантовых чисел. Это означает, что определенные процессы, допустимые с некоторых точек зрения (например, сохранение энергии и импульса), не происходят, потому что начальная и конечная полные волновые функции не перекрываются.
• Математически оказывается, что решения уравнения Шредингера для конкретных потенциалов в некотором роде ортогональны , обычно это описывается интегралом

${\displaystyle \int \Psi _{m}^{*}\Psi _{n}w\,dV=\delta _{nm},}$

где m , n - (наборы) индексов (квантовых чисел), обозначающих различные решения, строго положительная функция w называется весовой функцией, а δ _mn - символом Кронекера . Интеграция осуществляется по всему соответствующему пространству.

Это мотивирует введение внутреннего продукта в векторное пространство абстрактных квантовых состояний, совместимого с математическими наблюдениями выше при переходе к представлению. Он обозначается (Ψ, Φ) , или в обозначении Бра – Кете | Φ⟩ . Это дает комплексное число. С внутренним продуктом функциональное пространство является внутренним пространством продукта . Явный вид внутреннего продукта (обычно интеграла или суммы интегралов) зависит от выбора представления, а комплексное число (Ψ, Φ) - нет. Большая часть физической интерпретации квантовой механики проистекает из правила Борна . Он утверждает, что вероятность pнахождения при измерении состояния Φ дается система находится в состоянии Ψ является

${\displaystyle p=|(\Phi ,\Psi )|^{2},}$

где Φ и Ψ предполагаются нормированными. Рассмотрим эксперимент по рассеянию . В квантовой теории поля, если Φ _out описывает состояние в «далеком будущем» («исходное состояние») после того, как взаимодействия между рассеивающими частицами прекратились, и Ψ _{в «} внутреннем состоянии» в «далеком прошлом», то величины (Φ _out , Ψ _in ) , где Φ _out и Ψ _in изменяются по полному набору входящих и исходящих состояний соответственно, называется S-матрицей или матрицей рассеяния . Знание этого, по сути, означает наличиерешил имеющуюся теорию, по крайней мере, в том, что касается прогнозов. Измеримые величины, такие как скорость распада и сечения рассеяния , вычисляются из S-матрицы. ^[35]

Гильбертово пространство [ править ]

Приведенные выше наблюдения отражают сущность функциональных пространств, элементами которых являются волновые функции. Однако описание еще не полное. Существует еще одно техническое требование к функциональному пространству, требование полноты , которое позволяет принимать пределы последовательностей в функциональном пространстве и гарантировать, что, если предел существует, он является элементом функционального пространства. Полное внутреннее пространство продукта называется гильбертовым пространством . Свойство полноты имеет решающее значение для передовых подходов к квантовой механике и ее приложений. Например, существование операторов проекции или ортогональных проекций зависит от полноты пространства. ^[36]Эти операторы проектирования, в свою очередь, необходимы для формулировки и доказательства многих полезных теорем, например, спектральной теоремы . Это не очень важно для вводной квантовой механики, а технические детали и ссылки можно найти в сносках, подобных следующей. ^{[nb 7]} Пространство L ² является гильбертовым пространством, скалярное произведение которого представлено позже. Функциональное пространство примере фигуры является подпространством L ² . Подпространство гильбертова пространства называется гильбертовым пространством, если оно замкнуто.

Таким образом, набор всех возможных нормализуемых волновых функций для системы с конкретным выбором базиса вместе с нулевым вектором составляют гильбертово пространство.

Не все интересующие функции являются элементами некоторого гильбертова пространства, скажем, L ² . Наиболее ярким примером является набор функций е ^{2 πi р · х / _ч} . Эти плоские волновые решения уравнения Шредингера для свободной частицы, но не нормируемые, следовательно , не в L ² . Но, тем не менее, они являются основополагающими для описания. С их помощью можно выразить функции, которые можно нормализовать с помощью волновых пакетов . Они в некотором смысле являются базисом (но не базисом гильбертова пространства или базисом Гамеля.), в которых могут быть выражены интересующие нас волновые функции. Существует также артефакт «нормализация к дельта-функции», который часто используется для удобства записи, см. Ниже. Сами дельта-функции также не интегрируемы в квадрате.

Приведенное выше описание функционального пространства, содержащего волновые функции, в основном математически мотивировано. Функциональные пространства из-за полноты в определенном смысле очень велики . Не все функции являются реалистичным описанием какой-либо физической системы. Например, в функциональном пространстве L ² можно найти функцию, которая принимает значение 0 для всех рациональных чисел и - i для иррациональных чисел в интервале [0, 1] . Это является интегрируемым квадратом, ^{[нб 8]} , но вряд ли может представлять собой физическое состояние.

Общие гильбертовые пространства [ править ]

Хотя пространство решений в целом является гильбертовым пространством, существует множество других гильбертовых пространств, которые обычно встречаются в качестве ингредиентов.

• Квадратно интегрируемые комплекснозначные функции на интервале [0, 2 π ] . Множество { e ^int / 2 π , n ∈ ℤ} является базисом гильбертова пространства, т. Е. Максимальным ортонормированным множеством.
• Преобразование Фурье переводит функции из указанного выше пространства в элементы l ² (ℤ) , пространства суммируемых с квадратом функций ℤ → ℂ . Последнее пространство является гильбертовым пространством, а преобразование Фурье - изоморфизмом гильбертовых пространств. ^{[nb 9]} Его базис - { e _i , i ∈ ℤ}, где e _i ( j ) = δ _ij , i , j ∈ ℤ .
• Самый простой пример остовных полиномов - это пространство квадратично интегрируемых функций на интервале [–1, 1], для которого полиномы Лежандра являются базисом гильбертова пространства (полным ортонормированным множеством).
• Квадратные интегрируемые функции на единичной сфере S ² есть гильбертово пространство. Базисными функциями в этом случае являются сферические гармоники . Полиномы Лежандра входят в состав сферических гармоник. Большинство задач с вращательной симметрией будут иметь "то же самое" (известное) решение относительно этой симметрии, поэтому исходная проблема сводится к проблеме меньшей размерности.
• Соответствующие полиномы Лагерра появляются в задаче водородной волновой функции после выделения сферических гармоник. Они покрывают гильбертово пространство квадратично интегрируемых функций на полубесконечном интервале [0, ∞) .

В более общем плане можно рассмотреть единое рассмотрение всех полиномиальных решений второго порядка уравнений Штурма – Лиувилля в контексте гильбертова пространства. К ним относятся многочлены Лежандра и Лагерра, а также полиномы Чебышева , многочлены Якоби и полиномы Эрмита . Все это на самом деле проявляется в физических задачах, последние - в гармоническом осцилляторе , и то, что иначе представляет собой запутанный лабиринт свойств специальных функций, становится организованным массивом фактов. Для этого см. Byron & Fuller (1992 , глава 5).

Встречаются также конечномерные гильбертовы пространства. Пространство ℂ ⁿ является гильбертовым пространством размерности n . Внутренний продукт является стандартным внутренним продуктом для этих пространств. В нем находится «спиновая часть» волновой функции одной частицы.

• В нерелятивистском описании электрона n = 2, а полная волновая функция является решением уравнения Паули .
• В соответствующей релятивистской трактовке n = 4, и волновая функция решает уравнение Дирака .

С большим количеством частиц ситуация более сложная. Надо чтобы использовать тензорные произведения и теорию использования представлений групп симметрии (вовлеченные в группы вращений и группы Лоренца соответственно) для извлечения из тензорного произведения пространств , в которых (всего) спиновых волновых функциях находятся. (Дальнейшие проблемы возникают в релятивистском случае, если частицы не являются свободными. ^[37] См. Уравнение Бете – Солпитера .) Соответствующие замечания относятся к концепции изоспина , для которого группой симметрии является SU (2) . В моделях ядерных сил шестидесятых годов (которые используются и сегодня, см. Ядерные силы ) использовалась группа симметрииСУ (3) . В этом случае также часть волновых функций, соответствующая внутренним симметриям, находится в некоторых ℂ ⁿ или подпространствах тензорных произведений таких пространств.

• В квантовой теории поля основным гильбертовым пространством является пространство Фока . Он построен из свободных одночастичных состояний, то есть волновых функций, когда выбрано представление, и может вместить любое конечное, не обязательно постоянное во времени количество частиц. Интересная (или, скорее, управляемая ) динамика заключается не в волновых функциях, а в полевых операторах , действующих в пространстве Фока. Таким образом, картина Гейзенберга является наиболее распространенным выбором (постоянные состояния, изменяющиеся во времени операторы).

Из-за бесконечномерной природы системы соответствующие математические инструменты являются объектами изучения функционального анализа .

Упрощенное описание [ править ]

Не все вводные учебники идут длинным путем и знакомят с полным механизмом гильбертова пространства, но основное внимание уделяется нерелятивистскому уравнению Шредингера в представлении положения для определенных стандартных потенциалов. Следующие ограничения на волновую функцию иногда явно формулируются, чтобы вычисления и физическая интерпретация имели смысл: ^{[38] [39]}

• Волновая функция должна быть квадратично интегрируемой . Это мотивировано копенгагенской интерпретацией волновой функции как амплитуды вероятности.
• Он должен быть всюду непрерывным и всюду непрерывно дифференцируемым . Это мотивировано появлением уравнения Шредингера для большинства физически разумных потенциалов.

Можно несколько смягчить эти условия для специальных целей. ^{[nb 10]} Если эти требования не выполняются, невозможно интерпретировать волновую функцию как амплитуду вероятности. ^[40]

Это не изменяет структуру гильбертова пространства , что эти конкретные волновые функции обитать, но подпространство в квадратично интегрируемых функций L ² , который является гильбертово пространство, удовлетворяющее второе требование не замкнут в L ² , следовательно , не Гильберта пространство само по себе. ^{[nb 11]} Функции, которые не соответствуют требованиям, по-прежнему необходимы как по техническим, так и по практическим причинам. ^{[№ 12] [№ 13]}

Подробнее о волновых функциях и абстрактном пространстве состояний [ править ]

Как было показано, множество всевозможных волновых функций в некотором представлении системы составляет в общем бесконечномерное гильбертово пространство. Из-за множества возможных вариантов базиса представления эти гильбертовы пространства не уникальны. Поэтому говорят об абстрактном гильбертовом пространстве, пространстве состояний , где выбор представления и базиса остается неопределенным. В частности, каждое состояние представлено как абстрактный вектор в пространстве состояний. ^[41] Квантовое состояние | Ψ⟩ в любом представлении обычно выражается как вектор

${\displaystyle |\Psi \rangle =\sum _{\boldsymbol {\alpha }}\int d^{m}\!{\boldsymbol {\omega }}\,\,\Psi ({\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\omega }},t)\,|{\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\omega }}\rangle }$

куда

• | α , ш ⟩ базисные векторы выбранного представления
• d ^m ω = dω ₁ dω ₂ ... dω _m « элемент дифференциального объема » в непрерывных степенях свободы
• Ψ ( α , ω , t ) компонент вектора | Ψ⟩ , называемый волновой функцией системы
• α = ( α ₁ , α ₂ , ..., α _n ) безразмерные дискретные квантовые числа
• ω = ( ω ₁ , ω ₂ , ..., ω _m ) непрерывные переменные (не обязательно безразмерные)

Эти квантовые числа индексируют компоненты вектора состояния. Более того, все α находятся в n -мерном множестве A = A ₁ × A ₂ × ... A _n, где каждое A _i - это набор разрешенных значений для α _i ; все ω находятся в m -мерном «объеме» Ω ⊆ ℝ ^m, где Ω = Ω ₁ × Ω ₂ × ... Ω _m, и каждое Ω _i ⊆ ℝ является набором допустимых значений для ω _i, Подмножество из действительных чисел ℝ . Для общности n и m не обязательно равны.

Пример:

(a) Для отдельной частицы в 3d со спином s , пренебрегая другими степенями свободы, используя декартовы координаты, мы могли бы взять α = ( s _z ) в качестве спинового квантового числа частицы вдоль направления z, а ω = ( x , y , z ) для координат положения частицы. Здесь A = {- s , - s + 1, ..., s - 1, s } - это набор разрешенных спиновых квантовых чисел, а Ω = ³ - это набор всех возможных положений частиц в трехмерном позиционном пространстве.

(b) Альтернативный выбор: α = ( s _y ) для квантового числа спина вдоль направления y и ω = ( p _x , p _y , p _z ) для компонентов импульса частицы. В этом случае A и Ω такие же, как и раньше.

Плотность вероятности обнаружения системы в момент времени в состоянии | α , ш ⟩ есть${\displaystyle t}$

${\displaystyle \rho _{\alpha ,\omega }(t)=|\Psi ({\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\omega }},t)|^{2}}$

Вероятность найти систему с α в некоторых или во всех возможных конфигурациях с дискретной переменной, D ⊆ A , и ω в некоторых или во всех возможных конфигурациях с непрерывной переменной, C ⊆ Ω , является суммой и интегралом по плотности, ^{[nb 14]}

${\displaystyle P(t)=\sum _{{\boldsymbol {\alpha }}\in D}\int _{C}\rho _{\alpha ,\omega }(t)\,\,d^{m}\!{\boldsymbol {\omega }}}$

Поскольку сумма всех вероятностей должна быть равна 1, условие нормировки

${\displaystyle 1=\sum _{{\boldsymbol {\alpha }}\in A}\int _{\Omega }\rho _{\alpha ,\omega }(t)\,\,d^{m}\!{\boldsymbol {\omega }}}$

должны удерживаться на всех этапах развития системы.

Условие нормировки требует, чтобы ρ d ^m ω было безразмерным, согласно анализу размеров Ψ должно иметь те же единицы, что и ( ω ₁ ω ₂ ... ω _m ) ^−1/2 .

Онтология [ править ]

Существует ли на самом деле волновая функция и что она представляет - главные вопросы в интерпретации квантовой механики . Многие известные физики предыдущего поколения ломали голову над этой проблемой, например, Шредингер , Эйнштейн и Бор . Некоторые выступают за формулировки или варианты копенгагенской интерпретации (например, Бор, Вигнер и фон Нейман ), в то время как другие, такие как Уиллер или Джейнс , придерживаются более классического подхода ^[42]и рассматривать волновую функцию как представление информации в сознании наблюдателя, то есть как меру нашего знания реальности. Некоторые из них , в том числе Шрёдингер, Бома и Эверетт и другие, утверждали , что волновая функция должна иметь объективное, физическое существование. Эйнштейн считал, что полное описание физической реальности должно относиться непосредственно к физическому пространству и времени, в отличие от волновой функции, которая относится к абстрактному математическому пространству. ^[43]

См. Также [ править ]

Замечания [ править ]

Цитаты [ править ]

Общие источники [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Квантовая механика для инженеров
• Спин-волновые функции NYU
• Возвращение к идентичным частицам, Майкл Фаулер
• Природа многоэлектронных волновых функций
• Квантовая механика и квантовые вычисления в BerkeleyX
• Эйнштейн, Квантовая теория излучения