Оператор (физика)

В физике оператор - это функция из пространства физических состояний в другое пространство физических состояний. Простейшим примером полезности операторов является изучение симметрии (что делает понятие группы полезным в данном контексте). Из-за этого они являются очень полезными инструментами в классической механике . Операторы еще более важны в квантовой механике , где они составляют неотъемлемую часть формулировки теории.

Операторы в классической механике [ править ]

В классической механике движение частицы (или системы частиц) полностью определяется лагранжианом или, что эквивалентно, гамильтонианом , функцией обобщенных координат q , обобщенных скоростей и их сопряженных импульсов :${\displaystyle L(q,{\dot {q}},t)}$ ${\displaystyle H(q,p,t)}$ ${\displaystyle {\dot {q}}=\mathrm {d} q/\mathrm {d} t}$

${\displaystyle p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}}$

Если либо L, либо H не зависят от обобщенной координаты q , то есть L и H не изменяются при изменении q , что, в свою очередь, означает, что динамика частицы остается той же самой, даже когда q изменяется, соответствующие импульсы сопряжены с импульсами. координаты будут сохранены (это часть теоремы Нётер , а инвариантность движения относительно координаты q является симметрией ). С этими симметриями связаны операторы классической механики.

Более технически, когда H инвариантен относительно действия некоторой группы преобразований G :

${\displaystyle S\in G,H(S(q,p))=H(q,p)}$.

элементы G являются физическими операторами, которые отображают физические состояния между собой.

Таблица операторов классической механики [ править ]

Трансформация	Оператор	Должность	Импульс
Поступательная симметрия	${\displaystyle X(\mathbf {a} )}$	${\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\mathbf {a} }$	${\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p} }$
Симметрия перевода времени	${\displaystyle U(t_{0})}$	${\displaystyle \mathbf {r} (t)\rightarrow \mathbf {r} (t+t_{0})}$	${\displaystyle \mathbf {p} (t)\rightarrow \mathbf {p} (t+t_{0})}$
Вращательная инвариантность	${\displaystyle R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )}$	${\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )\mathbf {r} }$	${\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )\mathbf {p} }$
Галилеевы преобразования	${\displaystyle G(\mathbf {v} )}$	${\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\mathbf {v} t}$	${\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p} +m\mathbf {v} }$
Паритет	${\displaystyle P}$	${\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow -\mathbf {r} }$	${\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow -\mathbf {p} }$
Т-симметрия	${\displaystyle T}$	${\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} (-t)}$	${\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow -\mathbf {p} (-t)}$

где - матрица вращения вокруг оси, определяемой единичным вектором и углом θ .${\displaystyle R({\hat {\boldsymbol {n}}},\theta )}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {n}}}}$

Генераторы [ править ]

Если преобразование бесконечно малое, действие оператора должно иметь вид

${\displaystyle I+\epsilon A}$

где - оператор идентичности, - параметр с небольшим значением, который будет зависеть от выполняемого преобразования, и называется генератором группы . Опять же, в качестве простого примера, мы выведем генератор пространственных трансляций для одномерных функций.${\displaystyle I}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle A}$

Как уже было сказано, . Если бесконечно мала, то мы можем написать${\displaystyle T_{a}f(x)=f(x-a)}$${\displaystyle a=\epsilon }$

${\displaystyle T_{\epsilon }f(x)=f(x-\epsilon )\approx f(x)-\epsilon f'(x).}$

Эту формулу можно переписать как

${\displaystyle T_{\epsilon }f(x)=(I-\epsilon D)f(x)}$

где - генератор группы трансляций, которая в данном случае является производным оператором. Таким образом, говорят, что генератор переводов - это производная.${\displaystyle D}$

Экспоненциальная карта [ править ]

При нормальных обстоятельствах вся группа может быть восстановлена ​​от генераторов с помощью экспоненциальной карты . В случае с переводами идея работает так.

Перевод для конечного значения может быть получен повторным применением бесконечно малого перевода:${\displaystyle a}$

${\displaystyle T_{a}f(x)=\lim _{N\to \infty }T_{a/N}\cdots T_{a/N}f(x)}$

с указанием времени применения . Если велико, каждый из факторов можно считать бесконечно малым:${\displaystyle \cdots }$${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle T_{a}f(x)=\lim _{N\to \infty }\left(I-{\frac {a}{N}}D\right)^{N}f(x).}$

Но этот предел можно переписать в виде экспоненты:

${\displaystyle T_{a}f(x)=\exp(-aD)f(x).}$

Чтобы убедиться в справедливости этого формального выражения, мы можем разложить экспоненту в ряд по степеням:

${\displaystyle T_{a}f(x)=\left(I-aD+{a^{2}D^{2} \over 2!}-{a^{3}D^{3} \over 3!}+\cdots \right)f(x).}$

Правую часть можно переписать как

${\displaystyle f(x)-af'(x)+{\frac {a^{2}}{2!}}f''(x)-{\frac {a^{3}}{3!}}f^{(3)}(x)+\cdots }$

что является просто разложением Тейлора , которое было нашим исходным значением .${\displaystyle f(x-a)}$${\displaystyle T_{a}f(x)}$

Математические свойства физических операторов - тема очень важная сама по себе. Для получения дополнительной информации см. C * -алгебру и теорему Гельфанда-Наймарка .

Операторы в квантовой механике [ править ]

Математическая формулировка квантовой механики (QM) построена на концепции оператора.

Физические чистые состояния в квантовой механике представлены как векторы единичной нормы (вероятности нормированы на единицу) в специальном комплексном гильбертовом пространстве . Временная эволюция в этом векторном пространстве задается применением оператора эволюции .

Любая наблюдаемая , т. Е. Любая величина, которую можно измерить в физическом эксперименте, должна быть связана с самосопряженным линейным оператором . Операторы должны выдавать действительные собственные значения , поскольку они могут появиться в результате эксперимента. Математически это означает, что операторы должны быть эрмитовыми . ^[1] Вероятность каждого собственного значения связана с проекцией физического состояния на подпространство, связанное с этим собственным значением. См. Ниже математические подробности об эрмитовых операторах.

В формулировке QM волновой механикой волновая функция изменяется в зависимости от пространства и времени или, что эквивалентно, от импульса и времени (см. Подробности в пространстве положения и импульса ), поэтому наблюдаемые являются дифференциальными операторами .

В формулировке матричной механики норма физического состояния должна оставаться фиксированной, поэтому оператор эволюции должен быть унитарным , а операторы могут быть представлены в виде матриц. Любая другая симметрия, отображающая физическое состояние в другое, должна сохранять это ограничение.

Волновая функция [ править ]

Волновая функция должна быть квадратично интегрируемой (см. Пространства Lp ), что означает:

${\displaystyle \iiint _{\mathbb {R} ^{3}}|\psi (\mathbf {r} )|^{2}{\rm {d}}^{3}\mathbf {r} =\iiint _{\mathbb {R} ^{3}}\psi (\mathbf {r} )^{*}\psi (\mathbf {r} ){\rm {d}}^{3}\mathbf {r} <\infty }$

и нормализуемый, так что:

${\displaystyle \iiint _{\mathbb {R} ^{3}}|\psi (\mathbf {r} )|^{2}{\rm {d}}^{3}\mathbf {r} =1}$

Два случая собственных состояний (и собственных значений):

Линейные операторы в волновой механике [ править ]

Пусть ψ - волновая функция квантовой системы и любой линейный оператор для некоторой наблюдаемой A (такой как положение, импульс, энергия, угловой момент и т. Д.). Если ψ - собственная функция оператора , то${\displaystyle {\hat {A}}}$${\displaystyle {\hat {A}}}$

${\displaystyle {\hat {A}}\psi =a\psi ,}$

где a - собственное значение оператора, соответствующее измеренному значению наблюдаемого, т.е. наблюдаемое A имеет измеренное значение a .

Если ψ является собственной функцией данного оператора , то определенная величина (собственное значение a ) будет наблюдаться, если измерение наблюдаемой A выполняется в состоянии ψ . И наоборот, если ψ не является собственной функцией , то у нее нет собственного значения для , и наблюдаемая в этом случае не имеет единственного определенного значения. Вместо этого измерения наблюдаемой A будут давать каждое собственное значение с определенной вероятностью (связанной с разложением ψ относительно ортонормированного собственного базиса ).${\displaystyle {\hat {A}}}$${\displaystyle {\hat {A}}}$${\displaystyle {\hat {A}}}$${\displaystyle {\hat {A}}}$

Все вышесказанное можно записать в скобках;

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {A}}\psi &={\hat {A}}\psi (\mathbf {r} )={\hat {A}}\left\langle \mathbf {r} \mid \psi \right\rangle =\left\langle \mathbf {r} \left\vert {\hat {A}}\right\vert \psi \right\rangle \\a\psi &=a\psi (\mathbf {r} )=a\left\langle \mathbf {r} \mid \psi \right\rangle =\left\langle \mathbf {r} \mid a\mid \psi \right\rangle \\\end{aligned}}}$

которые равны , если есть собственный вектор , или eigenket наблюдаемой A .${\displaystyle \left|\psi \right\rangle }$

Из-за линейности векторы могут быть определены в любом количестве измерений, поскольку каждый компонент вектора действует на функцию отдельно. Одним из математических примеров является оператор del , который сам по себе является вектором (используется в квантовых операторах, связанных с импульсом, в таблице ниже).

Оператор в n -мерном пространстве можно записать:

${\displaystyle \mathbf {\hat {A}} =\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}}$

где e _j - базисные векторы, соответствующие каждому компонентному оператору A _j . Каждый компонент даст соответствующее собственное значение . Действуя таким образом на волновую функцию ψ :${\displaystyle a_{j}}$

${\displaystyle \mathbf {\hat {A}} \psi =\left(\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right)\psi =\sum _{j=1}^{n}\left(\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\psi \right)=\sum _{j=1}^{n}\left(\mathbf {e} _{j}a_{j}\psi \right)}$

в котором мы использовали ${\displaystyle {\hat {A}}_{j}\psi =a_{j}\psi .}$

В обозначениях бюстгальтера:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\hat {A}} \psi =\mathbf {\hat {A}} \psi (\mathbf {r} )=\mathbf {\hat {A}} \left\langle \mathbf {r} \mid \psi \right\rangle &=\left\langle \mathbf {r} \left\vert \mathbf {\hat {A}} \right\vert \psi \right\rangle \\\left(\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right)\psi =\left(\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right)\psi (\mathbf {r} )=\left(\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right)\left\langle \mathbf {r} \mid \psi \right\rangle &=\left\langle \mathbf {r} \left\vert \sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right\vert \psi \right\rangle \end{aligned}}}$

Коммутация операторов на Ψ [ править ]

Если две наблюдаемые A и B имеют линейные операторы и , коммутатор определяется следующим образом:${\displaystyle {\hat {A}}}$${\displaystyle {\hat {B}}}$

${\displaystyle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}}$

Коммутатор сам по себе является (составным) оператором. Действие коммутатора на ψ дает:

${\displaystyle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\psi ={\hat {A}}{\hat {B}}\psi -{\hat {B}}{\hat {A}}\psi .}$

Если ψ - собственная функция с собственными значениями a и b для наблюдаемых A и B соответственно, и если операторы коммутируют:

${\displaystyle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\psi =0,}$

тогда наблюдаемые A и B могут быть измерены одновременно с бесконечной точностью, то есть с погрешностями , одновременно. Тогда ψ называется одновременной собственной функцией A и B. Чтобы проиллюстрировать это:${\displaystyle \Delta A=0}$${\displaystyle \Delta B=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\psi &={\hat {A}}{\hat {B}}\psi -{\hat {B}}{\hat {A}}\psi \\&=a(b\psi )-b(a\psi )\\&=0.\\\end{aligned}}}$

Это показывает, что измерение A и B не вызывает сдвига состояния, т.е. начальное и конечное состояния одинаковы (нет помех из-за измерения). Предположим, мы измеряем A, чтобы получить значение a. Затем мы измеряем B, чтобы получить значение b. Мы снова измеряем A. Мы по-прежнему получаем то же значение a. Очевидно, что состояние ( ψ ) системы не разрушается, и поэтому мы можем измерять A и B одновременно с бесконечной точностью.

Если операторы не ездят на работу:

${\displaystyle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\psi \neq 0,}$

они не могут быть подготовлены одновременно с произвольной точностью, и между наблюдаемыми существует соотношение неопределенности ,

${\displaystyle \Delta A\Delta B\geq \left|{\frac {1}{2}}\langle [A,B]\rangle \right|}$

даже если ψ является собственной функцией, указанное выше соотношение выполняется. Примечательными парами являются отношения неопределенности положения и импульса и энергии и времени, а также угловые моменты (спиновый, орбитальный и полный) относительно любых двух ортогональных осей (например, L _x и L _y , или s _y и s _z и т. д.). ^[2]

Ожидаемые значения операторов на Ψ [ править ]

Среднее значение (эквивалентно среднее или среднее значение) представляет собой среднее измерение наблюдаемого для частицы в области R . Ожидаемое значение оператора вычисляется по формуле: ^[3]${\displaystyle \left\langle {\hat {A}}\right\rangle }$${\displaystyle {\hat {A}}}$

${\displaystyle \left\langle {\hat {A}}\right\rangle =\int _{R}\psi ^{*}\left(\mathbf {r} \right){\hat {A}}\psi \left(\mathbf {r} \right)\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\left\langle \psi \left|{\hat {A}}\right|\psi \right\rangle .}$

Это можно обобщить на любую функцию F оператора:

${\displaystyle \left\langle F\left({\hat {A}}\right)\right\rangle =\int _{R}\psi (\mathbf {r} )^{*}\left[F\left({\hat {A}}\right)\psi (\mathbf {r} )\right]\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\left\langle \psi \left|F\left({\hat {A}}\right)\right|\psi \right\rangle ,}$

Примером F является 2-кратное действие A на ψ , то есть возведение оператора в квадрат или выполнение его дважды:

${\displaystyle {\begin{aligned}F\left({\hat {A}}\right)&={\hat {A}}^{2}\\\Rightarrow \left\langle {\hat {A}}^{2}\right\rangle &=\int _{R}\psi ^{*}\left(\mathbf {r} \right){\hat {A}}^{2}\psi \left(\mathbf {r} \right)\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\left\langle \psi \left\vert {\hat {A}}^{2}\right\vert \psi \right\rangle \\\end{aligned}}\,\!}$

Эрмитовы операторы [ править ]

Определение эрмитова оператора : ^[1]

${\displaystyle {\hat {A}}={\hat {A}}^{\dagger }}$

Отсюда в лифчиковой нотации:

${\displaystyle \left\langle \phi _{i}\left|{\hat {A}}\right|\phi _{j}\right\rangle =\left\langle \phi _{j}\left|{\hat {A}}\right|\phi _{i}\right\rangle ^{*}.}$

Важные свойства эрмитовых операторов включают:

• действительные собственные значения,
• собственные векторы с разными собственными значениями ортогональны ,
• собственные векторы могут быть выбраны как полный ортонормированный базис ,

Операторы в матричной механике [ править ]

Оператор может быть записан в матричной форме для отображения одного базисного вектора в другой. Поскольку операторы линейны, матрица представляет собой линейное преобразование (также известное как матрица перехода) между базами. Каждый базовый элемент может быть связан с другим ^[3] выражением:${\displaystyle \phi _{j}}$

${\displaystyle A_{ij}=\left\langle \phi _{i}\left|{\hat {A}}\right|\phi _{j}\right\rangle ,}$

который является матричным элементом:

${\displaystyle {\hat {A}}={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nn}\\\end{pmatrix}}}$

Еще одно свойство эрмитова оператора состоит в том, что собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. ^[1] В матричной форме операторы позволяют находить действительные собственные значения, соответствующие измерениям. Ортогональность позволяет использовать подходящий базисный набор векторов для представления состояния квантовой системы. Собственные значения оператора также вычисляются так же, как и для квадратной матрицы, путем решения характеристического полинома :

${\displaystyle \det \left({\hat {A}}-a{\hat {I}}\right)=0,}$

где I - единичная матрица размера n × n , как оператор она соответствует единичному оператору. Для дискретной основы:

${\displaystyle {\hat {I}}=\sum _{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|}$

а на постоянной основе:

${\displaystyle {\hat {I}}=\int |\phi \rangle \langle \phi |\mathrm {d} \phi }$

Обратный к оператору [ править ]

Неособый оператор имеет обратный, определяемый следующим образом:${\displaystyle {\hat {A}}}$${\displaystyle {\hat {A}}^{-1}}$

${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {A}}^{-1}={\hat {A}}^{-1}{\hat {A}}={\hat {I}}}$

Если у оператора нет обратного, это сингулярный оператор. В конечномерном пространстве оператор неособен тогда и только тогда, когда его определитель отличен от нуля:

${\displaystyle \det \left({\hat {A}}\right)\neq 0}$

а значит, для сингулярного оператора определитель равен нулю.

Таблица операторов QM [ править ]

Операторы, используемые в квантовой механике, собраны в таблице ниже (см., Например, ^{[1] [4]} ). Векторы, выделенные жирным шрифтом с циркумфлексами, не являются единичными векторами , это 3-векторные операторы; все три пространственных компонента, вместе взятые.

Оператор (общее имя / имена)	Декартова компонента	Общее определение	Единица СИ	Измерение
Должность	${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {x}}&=x,&{\hat {y}}&=y,&{\hat {z}}&=z\end{aligned}}}$	${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} =\mathbf {r} \,\!}$	м	[L]
Импульс	Общий ${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {p}}_{x}&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}},&{\hat {p}}_{y}&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}},&{\hat {p}}_{z}&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}\end{aligned}}}$	Общий ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla \,\!}$	Дж см −1 = N s	[M] [L] [T]−1
	Electromagnetic field ${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}-qA_{x}\\{\hat {p}}_{y}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}-qA_{y}\\{\hat {p}}_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}-qA_{z}\end{aligned}}}$	Electromagnetic field (uses kinetic momentum; A, vector potential) ${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\hat {p}} &=\mathbf {\hat {P}} -q\mathbf {A} \\&=-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} \\\end{aligned}}\,\!}$	J s m−1 = N s	[M] [L] [T]−1
Kinetic energy	Translation ${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {T}}_{x}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\\[2pt]{\hat {T}}_{y}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\\[2pt]{\hat {T}}_{z}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {T}}&={\frac {1}{2m}}\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} \\&={\frac {1}{2m}}(-i\hbar \nabla )\cdot (-i\hbar \nabla )\\&={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\end{aligned}}\,\!}$	J	[M] [L]2 [T]−2
	Electromagnetic field ${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {T}}_{x}&={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}-qA_{x}\right)^{2}\\{\hat {T}}_{y}&={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}-qA_{y}\right)^{2}\\{\hat {T}}_{z}&={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}-qA_{z}\right)^{2}\end{aligned}}\,\!}$	Electromagnetic field (A, vector potential) ${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {T}}&={\frac {1}{2m}}\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} \\&={\frac {1}{2m}}(-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} )\cdot (-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} )\\&={\frac {1}{2m}}(-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} )^{2}\end{aligned}}\,\!}$	J	[M] [L]2 [T]−2
	Rotation (I, moment of inertia) ${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {T}}_{xx}&={\frac {{\hat {J}}_{x}^{2}}{2I_{xx}}}\\{\hat {T}}_{yy}&={\frac {{\hat {J}}_{y}^{2}}{2I_{yy}}}\\{\hat {T}}_{zz}&={\frac {{\hat {J}}_{z}^{2}}{2I_{zz}}}\\\end{aligned}}\,\!}$	Rotation ${\displaystyle {\hat {T}}={\frac {\mathbf {\hat {J}} \cdot \mathbf {\hat {J}} }{2I}}\,\!}$[citation needed]	J	[M] [L]2 [T]−2
Potential energy	N/A	${\displaystyle {\hat {V}}=V\left(\mathbf {r} ,t\right)=V\,\!}$	J	[M] [L]2 [T]−2
Total energy	N/A	Time-dependent potential: ${\displaystyle {\hat {E}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\,\!}$ Time-independent: ${\displaystyle {\hat {E}}=E\,\!}$	J	[M] [L]2 [T]−2
Hamiltonian		${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}&={\hat {T}}+{\hat {V}}\\&={\frac {1}{2m}}\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} +V\\&={\frac {1}{2m}}{\hat {p}}^{2}+V\\\end{aligned}}\,\!}$	J	[M] [L]2 [T]−2
Angular momentum operator	${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {L}}_{x}&=-i\hbar \left(y{\partial \over \partial z}-z{\partial \over \partial y}\right)\\{\hat {L}}_{y}&=-i\hbar \left(z{\partial \over \partial x}-x{\partial \over \partial z}\right)\\{\hat {L}}_{z}&=-i\hbar \left(x{\partial \over \partial y}-y{\partial \over \partial x}\right)\end{aligned}}}$	${\displaystyle \mathbf {\hat {L}} =\mathbf {r} \times -i\hbar \nabla }$	J s = N s m	[M] [L]2 [T]−1
Spin angular momentum	${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {S}}_{x}&={\hbar \over 2}\sigma _{x}&{\hat {S}}_{y}&={\hbar \over 2}\sigma _{y}&{\hat {S}}_{z}&={\hbar \over 2}\sigma _{z}\end{aligned}}}$ where ${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{x}&={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\\\sigma _{y}&={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}\\\sigma _{z}&={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$ are the Pauli matrices for spin-½ particles.	${\displaystyle \mathbf {\hat {S}} ={\hbar \over 2}{\boldsymbol {\sigma }}\,\!}$ where σ is the vector whose components are the Pauli matrices.	J s = N s m	[M] [L]2 [T]−1
Total angular momentum	${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {J}}_{x}&={\hat {L}}_{x}+{\hat {S}}_{x}\\{\hat {J}}_{y}&={\hat {L}}_{y}+{\hat {S}}_{y}\\{\hat {J}}_{z}&={\hat {L}}_{z}+{\hat {S}}_{z}\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\hat {J}} &=\mathbf {\hat {L}} +\mathbf {\hat {S}} \\&=-i\hbar \mathbf {r} \times \nabla +{\frac {\hbar }{2}}{\boldsymbol {\sigma }}\end{aligned}}}$	J s = N s m	[M] [L]2 [T]−1
Transition dipole moment (electric)	${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {d}}_{x}&=q{\hat {x}},&{\hat {d}}_{y}&=q{\hat {y}},&{\hat {d}}_{z}&=q{\hat {z}}\end{aligned}}}$	${\displaystyle \mathbf {\hat {d}} =q\mathbf {\hat {r}} }$	C m	[I] [T] [L]

Examples of applying quantum operators[edit]

The procedure for extracting information from a wave function is as follows. Consider the momentum p of a particle as an example. The momentum operator in position basis in one dimension is:

${\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}}$

Letting this act on ψ we obtain:

${\displaystyle {\hat {p}}\psi =-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\psi ,}$

if ψ is an eigenfunction of ${\displaystyle {\hat {p}}}$, then the momentum eigenvalue p is the value of the particle's momentum, found by:

${\displaystyle -i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\psi =p\psi .}$

For three dimensions the momentum operator uses the nabla operator to become:

${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla .}$

In Cartesian coordinates (using the standard Cartesian basis vectors e_x, e_y, e_z) this can be written;

${\displaystyle \mathbf {e} _{\mathrm {x} }{\hat {p}}_{x}+\mathbf {e} _{\mathrm {y} }{\hat {p}}_{y}+\mathbf {e} _{\mathrm {z} }{\hat {p}}_{z}=-i\hbar \left(\mathbf {e} _{\mathrm {x} }{\frac {\partial }{\partial x}}+\mathbf {e} _{\mathrm {y} }{\frac {\partial }{\partial y}}+\mathbf {e} _{\mathrm {z} }{\frac {\partial }{\partial z}}\right),}$

that is:

${\displaystyle {\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}},\quad {\hat {p}}_{y}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}},\quad {\hat {p}}_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}\,\!}$

The process of finding eigenvalues is the same. Since this is a vector and operator equation, if ψ is an eigenfunction, then each component of the momentum operator will have an eigenvalue corresponding to that component of momentum. Acting ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} }$ on ψ obtains:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {p}}_{x}\psi &=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\psi =p_{x}\psi \\{\hat {p}}_{y}\psi &=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}\psi =p_{y}\psi \\{\hat {p}}_{z}\psi &=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}\psi =p_{z}\psi \\\end{aligned}}\,\!}$

See also[edit]

References[edit]