Положение и импульсное пространство

В физике и геометрии есть два тесно связанных векторных пространства , обычно трехмерных, но в целом может быть любое конечное число измерений.

Положение пространство (также реальное пространство или координаты пространства ) есть множество всех векторов положения г в пространстве, и имеет размеры по длине . Вектор положения определяет точку в пространстве. Если вектор положения точечной частицы изменяется со временем, он будет отслеживать путь, траекторию частицы. Импульсное пространство - это набор всех векторов импульса p , которые может иметь физическая система. Вектор импульса частицы соответствует ее движению в единицах [масса] [длина] [время] ^-1 .

Математически двойственность между положением и импульсом является примером двойственности Понтрягина . В частности, если функция задана в пространстве позиций, f ( r ), то ее преобразование Фурье дает функцию в пространстве импульсов, φ ( p ). И наоборот, обратное преобразование Фурье импульсной пространственной функции является функцией позиционного пространства.

Эти величины и идеи выходят за рамки всей классической и квантовой физики, и физическая система может быть описана с использованием либо положений составляющих частиц, либо их импульсов, обе формулировки эквивалентно предоставляют одинаковую информацию о рассматриваемой системе. Еще одну величину полезно определить в контексте волн . Волновой вектор к (или просто « к -векторному») имеют размеры обратной длины , что делает его аналогом угловой частоту со , которая имеет размерность обратного времени . Множество всех волновых векторов - это k-пространство . Обычно r интуитивно понятнее и проще, чем k, хотя может быть и обратное, например, в физике твердого тела .

Квантовая механика дает два основных пример двойственности между положением и импульсом, то принцип неопределенности Гейзенберга Δ х Δ р ≥ ħ / 2 котором говорится , что положение и импульс не может быть одновременно известен произвольной точность, а де Бройля р = ħ к которой государство импульс и волновой вектор свободной частицы пропорциональны друг другу. ^[1] В этом контексте, когда это недвусмысленно, термины « импульс » и «волновой вектор» используются как синонимы. Однако в кристалле соотношение де Бройля неверно.

Позиционные и импульсные пространства в классической механике [ править ]

Лагранжева механика [ править ]

Чаще всего в лагранжевой механике лагранжиан L ( q , d q / dt , t ) находится в конфигурационном пространстве , где q = ( q ₁ , q ₂ , ..., q _n ) - набор из n обобщенных координат . В уравнения Эйлера-Лагранжа движения являются

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} = {\ frac {\ partial L} {\ partial q_ {i}}} \ ,, \ quad {\ dot {q}} _ {i} \ Equiv {\ frac {dq_ {i}} {dt}} \ ,.}

(Одна точка означает одну производную по времени ). Вводя определение канонического импульса для каждой обобщенной координаты

{\ displaystyle p_ {i} = {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} \ ,,}

уравнения Эйлера – Лагранжа принимают вид

{\ displaystyle {\ dot {p}} _ {i} = {\ frac {\ partial L} {\ partial q_ {i}}} \ ,.}

Лагранжиан может быть выражено в импульсном пространстве также, ^[2] л '( р , д р / дт , т ), где р = ( р ₁ , р ₂ , ..., р _п ) является п -кратного из обобщенные импульсы. Преобразование Лежандра выполняется , чтобы изменить переменные в полном дифференциале обобщенных координатного пространства Лагранжа;

{\ displaystyle dL = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left ({\ frac {\ partial L} {\ partial q_ {i}}} dq_ {i} + {\ frac {\ partial L}) {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} d {\ dot {q}} _ {i} \ right) + {\ frac {\ partial L} {\ partial t}} dt = \ sum _ {i = 1} ^ {n} ({\ dot {p}} _ {i} dq_ {i} + p_ {i} d {\ dot {q}} _ {i}) + {\ frac {\ частичный L} {\ partial t}} dt \ ,,}

где определение обобщенного импульса и Эйлера-Лагранжа уравнений заменили частные производные L . Правило продукта для дифференциалов ^{[NB 1]} позволяет осуществлять обмен дифференциалов в обобщенных координатах и скоростях для дифференциалов обобщенных импульсов и их производных по времени,

{\ displaystyle {\ dot {p}} _ {i} dq_ {i} = d (q_ {i} {\ dot {p}} _ {i}) - q_ {i} d {\ dot {p}} _{я}}

p_{i}d{\dot {q}}_{i}=d({\dot {q}}_{i}p_{i})-{\dot {q}}_{i}dp_{i}

который после замены упрощается и перестраивается на

d\left[L-\sum _{i=1}^{n}(q_{i}{\dot {p}}_{i}+{\dot {q}}_{i}p_{i})\right]=-\sum _{i=1}^{n}({\dot {q}}_{i}dp_{i}+q_{i}d{\dot {p}}_{i})+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\,.

Теперь полный дифференциал лагранжиана импульсного пространства L ′ равен

dL'=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial L'}{\partial p_{i}}}dp_{i}+{\frac {\partial L'}{\partial {\dot {p}}_{i}}}d{\dot {p}}_{i}\right)+{\frac {\partial L'}{\partial t}}dt

поэтому при сравнении дифференциалов лагранжианов, импульсов и их производных по времени лагранжиан импульсного пространства L ′ и обобщенные координаты, полученные из L ′, соответственно

L'=L-\sum _{i=1}^{n}(q_{i}{\dot {p}}_{i}+{\dot {q}}_{i}p_{i})\,,\quad -{\dot {q}}_{i}={\frac {\partial L'}{\partial p_{i}}}\,,\quad -q_{i}={\frac {\partial L'}{\partial {\dot {p}}_{i}}}\,.

Объединение последних двух уравнений дает уравнения Эйлера – Лагранжа импульсного пространства

{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L'}{\partial {\dot {p}}_{i}}}={\frac {\partial L'}{\partial p_{i}}}\,.

Преимущество преобразования Лежандра состоит в том, что соотношение между новыми и старыми функциями и их переменными получается в процессе. И координатная, и импульсная формы уравнения эквивалентны и содержат одинаковую информацию о динамике системы. Эта форма может быть более полезной, когда импульс или угловой момент входит в лагранжиан.

Гамильтонова механика [ править ]

В гамильтоновой механике , в отличие от лагранжевой механики, которая использует либо все координаты, либо импульсы, гамильтоновы уравнения движения приравнивают координаты и импульсы. Для системы с гамильтонианом H ( q , p , t ) уравнения имеют вид

{\dot {q}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\,,\quad {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}\,.

Позиционные и импульсные пространства в квантовой механике [ править ]

В квантовой механике частица описывается квантовым состоянием . Это квантовое состояние можно представить как суперпозицию (т.е. линейную комбинацию как взвешенную сумму ) базисных состояний. В принципе, можно свободно выбирать набор базовых состояний, если они охватывают пространство. Если один выбирает собственные функции этого оператора координаты как набор базисных функций, то говорят о состоянии в виде волновой функции ( г ) в пространстве (положение нашего обычного понятия пространства с точки зрения длины ). Знакомый $\psi$ Уравнение Шредингера в терминах позиции r является примером квантовой механики в позиционном представлении. ^[3]

Выбирая собственные функции другого оператора в качестве набора базисных функций, можно получить ряд различных представлений одного и того же состояния. Если выбрать собственные функции оператора импульса как набор базисных функций, результирующая волновая функция ( k ) называется волновой функцией в импульсном пространстве. ^[3] $\phi$

Особенностью квантовой механики является то, что фазовые пространства могут быть разных типов: дискретно-переменные, роторные и непрерывно-переменные. В таблице ниже приведены некоторые отношения, задействованные в трех типах фазовых пространств. ^[4]

Сравнение и сводка соотношений между сопряженными переменными в фазовых пространствах дискретных переменных (DV), ротора (ROT) и непрерывных переменных (CV) (взято из arXiv: 1709.04460). Наиболее физически релевантные фазовые пространства состоят из комбинаций этих трех. Каждое фазовое пространство состоит из позиции и импульса, возможные значения которых берутся из локально компактной абелевой группы и ее двойственной. Квантово-механическое состояние может быть полностью представлено в терминах любой из переменных, и преобразование, используемое для перехода между пространством положения и пространством импульса, в каждом из трех случаев является вариантом преобразования Фурье. В таблице используются обозначения скобок, а также математическая терминология, описывающая канонические коммутационные отношения (CCR).

Связь между пространством и обратным пространством [ править ]

Импульсное представление волновой функции очень тесно связано с преобразованием Фурье и концепцией частотной области . Поскольку квантово-механическая частица имеет частоту, пропорциональную импульсу (уравнение де Бройля, приведенное выше), описание частицы как суммы ее компонентов импульса эквивалентно описанию ее как суммы частотных компонентов (то есть преобразование Фурье). ^[5] Это становится ясным, когда мы спрашиваем себя, как мы можем перейти от одного представления к другому.

Функции и операторы в позиционном пространстве [ править ]

Предположим, что у нас есть трехмерная волновая функция в позиционном пространстве ( r ), тогда мы можем записать эти функции в виде взвешенной суммы ортогональных базисных функций _j ( r ): $\psi$ $\psi$

\psi (\mathbf {r} )=\sum _{j}\phi _{j}\psi _{j}(\mathbf {r} )

или, в непрерывном случае, как интеграл

\psi (\mathbf {r} )=\int _{\mathbf {k} {\rm {-space}}}\phi (\mathbf {k} )\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} ){\rm {d}}^{3}\mathbf {k}

Ясно, что если мы определим набор функций , скажем, как набор собственных функций оператора импульса, функция ( k ) содержит всю информацию, необходимую для восстановления ( r ), и, следовательно, является альтернативным описанием состояния . $\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )$ $\phi$ $\psi$ $\psi$

В квантовой механике оператор импульса задается выражением

\mathbf {\hat {p}} =-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}

(см. матричное исчисление для обозначения знаменателя) с соответствующей областью . Собственные функции :

\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{({\sqrt {2\pi }})^{3}}}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }

и собственные значения ħ k . Так

\psi (\mathbf {r} )={\frac {1}{({\sqrt {2\pi }})^{3}}}\int _{\mathbf {k} {\rm {-space}}}\phi (\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }{\rm {d}}^{3}\mathbf {k}

и мы видим, что представление импульса связано с представлением положения преобразованием Фурье. ^[6]

Функции и операторы в импульсном пространстве [ править ]

И наоборот, трехмерная волновая функция в импульсном пространстве ( k ) как взвешенная сумма ортогональных базисных функций _j ( k ): $\phi$ $\phi$

\phi (\mathbf {k} )=\sum _{j}\psi _{j}\phi _{j}(\mathbf {k} )

или как интеграл:

\phi (\mathbf {k} )=\int _{\mathbf {r} {\rm {-space}}}\psi (\mathbf {r} )\phi _{\mathbf {r} }(\mathbf {k} ){\rm {d}}^{3}\mathbf {r}

оператор позиция задается

\mathbf {\hat {r}} =i\hbar {\frac {\partial }{\partial \mathbf {p} }}=i{\frac {\partial }{\partial \mathbf {k} }}

с собственными функциями

\phi _{\mathbf {r} }(\mathbf {k} )={\frac {1}{({\sqrt {2\pi }})^{3}}}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }

и собственные значения r . Таким образом, аналогичное разложение ( k ) может быть выполнено в терминах собственных функций этого оператора, что оказывается обратным преобразованием Фурье: ^[6] $\phi$

\phi (\mathbf {k} )={\frac {1}{({\sqrt {2\pi }})^{3}}}\int _{\mathbf {r} {\rm {-space}}}\psi (\mathbf {r} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }{\rm {d}}^{3}\mathbf {r}

Унитарная эквивалентность между оператором позиции и импульса [ править ]

В г и р операторы унитарно эквивалентны , причем унитарный оператор отдается явно с помощью преобразования Фурье. Таким образом, у них одинаковый спектр . На физическом языке p, действующий на волновые функции импульсного пространства, совпадает с r, действующим на волновые функции пространственного положения (согласно изображению преобразования Фурье).

Взаимное пространство и кристаллы [ править ]

Для электрона (или другой частицы ) в кристалле его значение k почти всегда связано с его импульсом кристалла , а не с его нормальным импульсом. Следовательно, k и p не просто пропорциональны, но играют разные роли. См. Пример теории возмущений k · p . Импульс кристалла подобен волновой огибающей, которая описывает, как волна изменяется от одной элементарной ячейки к другой, но не дает никакой информации о том, как волна изменяется в каждой элементарной ячейке.

Когда k относится к импульсу кристалла, а не к истинному импульсу, концепция k -пространства по-прежнему имеет смысл и чрезвычайно полезна, но она несколько отличается от некристаллического k- пространства, описанного выше. Например, в k- пространстве кристалла существует бесконечное множество точек, называемых обратной решеткой, которые «эквивалентны» k = 0 (это аналогично наложению имен ). Точно так же « первая зона Бриллюэна » - это конечный объем k -пространства, такой, что каждое возможное k «эквивалентно» ровно одной точке в этой области.

Подробнее см. Обратная решетка .

См. Также [ править ]

Фазовое пространство
Взаимное пространство
Пространство конфигурации

Сноски [ править ]

^ Для двух функций $u$ и $v$ дифференциал произведения равен $d (uv) = udv + vdu$ .

Ссылки [ править ]

^ Eisberg, R .; Резник, Р. (1985). Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (2-е изд.). Джон Вили и сыновья. ISBN 978-0-471-87373-0.
^ Рука, Луи Н.; Финч, Джанет Д. (1998). Аналитическая механика . ISBN 978-0-521-57572-0. стр.190
^ a b Peleg, Y .; Pnini, R .; Заарур, Э .; Хехт, Э. (2010). Квантовая механика (серия набросков Шаума) (2-е изд.). Макгроу Хилл. ISBN 978-0-07-162358-2.
^ Альберт, Виктор V; Паскацио, Саверио; Деворе, Мишель Х (2017). «Общие фазовые пространства: от дискретных переменных до роторного и континуального пределов». Журнал физики A: математический и теоретический . 50 (50): 504002. arXiv : 1709.04460 . DOI : 10.1088 / 1751-8121 / aa9314 . S2CID 119290497 .
^ Абер, E. (2004). Квантовая механика . Аддисон Уэсли, Prentice Hall Inc. ISBN 978-0-13-146100-0.
^ а б Р. Пенроуз (2007). Дорога в реальность . Винтажные книги. ISBN 978-0-679-77631-4.

[3] Для двух функций $u$ и $v$ дифференциал произведения равен $d (uv) = udv + vdu$ .

[1] Eisberg, R .; Резник, Р. (1985). Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (2-е изд.). Джон Вили и сыновья. ISBN 978-0-471-87373-0.

[2] Рука, Луи Н.; Финч, Джанет Д. (1998). Аналитическая механика . ISBN 978-0-521-57572-0. стр.190

[peleg-4] Peleg, Y .; Pnini, R .; Заарур, Э .; Хехт, Э. (2010). Квантовая механика (серия набросков Шаума) (2-е изд.). Макгроу Хилл. ISBN 978-0-07-162358-2.

[phasespaces-5] Альберт, Виктор V; Паскацио, Саверио; Деворе, Мишель Х (2017). «Общие фазовые пространства: от дискретных переменных до роторного и континуального пределов». Журнал физики A: математический и теоретический . 50 (50): 504002. arXiv : 1709.04460 . DOI : 10.1088 / 1751-8121 / aa9314 . S2CID 119290497 .

[6] Абер, E. (2004). Квантовая механика . Аддисон Уэсли, Prentice Hall Inc. ISBN 978-0-13-146100-0.

[Penrose-7] а б Р. Пенроуз (2007). Дорога в реальность . Винтажные книги. ISBN 978-0-679-77631-4.

[1]