В вариационном исчислении и классической механики , в уравнения Эйлера-Лагранжа [1] представляет собой систему второго порядка обыкновенных дифференциальных уравнений , решения которых являются стационарными точками данного функционала действия . Уравнения были открыты в 1750-х годах швейцарским математиком Леонардом Эйлером и итальянским математиком Жозефом-Луи Лагранжем .
Поскольку дифференцируемый функционал стационарен в своих локальных экстремумах , уравнение Эйлера – Лагранжа полезно для решения задач оптимизации, в которых при заданном функционале ищется функция, минимизирующая или максимизирующая его. Это аналогично теореме Ферма в исчислении , утверждающей, что в любой точке, где дифференцируемая функция достигает локального экстремума, ее производная равна нулю.
В лагранжевой механике , согласно принципу стационарного действия Гамильтона , эволюция физической системы описывается решениями уравнения Эйлера для действия системы. В этом контексте уравнения Эйлера обычно называют уравнениями Лагранжа . В классической механике он эквивалентен законам движения Ньютона , но имеет то преимущество, что принимает ту же форму в любой системе обобщенных координат и лучше подходит для обобщений. В классической теории поля есть аналогичное уравнение для расчета динамики поля .
История Уравнение Эйлера – Лагранжа было разработано в 1750-х годах Эйлером и Лагранжем в связи с их исследованиями проблемы таутохрон . Это проблема определения кривой, на которой взвешенная частица упадет в фиксированную точку за фиксированный промежуток времени, независимо от начальной точки.
Лагранж решил эту проблему в 1755 году и отправил решение Эйлеру. Оба далее развили метод Лагранжа и применили его к механике , что привело к формулировке лагранжевой механики . Их соответствие в конечном итоге привело к вариационному исчислению - термину, введенному самим Эйлером в 1766 году [2].
Заявление Позволять ( Икс , L ) {\ displaystyle (X, L)} быть механической системой с п {\ displaystyle n} степени свободы. Здесь Икс {\ displaystyle X} это конфигурационное пространство и L знак равно L ( т , q , v ) {\ Displaystyle L = L (т, {\ boldsymbol {q}}, {\ boldsymbol {v}})} лагранжиан , т.е. гладкая вещественная функция такая , что q ∈ Икс , {\ displaystyle {\ boldsymbol {q}} \ в X,} а также v {\ displaystyle {\ boldsymbol {v}}} является п {\ displaystyle n} -мерный «вектор скорости». (Для тех, кто знаком с касательными связками , L : р т × Т Икс → р ) . {\ displaystyle L: {\ mathbb {R}} _ {t} \ times TX \ to {\ mathbb {R}}).}
Позволять п ( а , б , Икс а , Икс б ) {\ displaystyle {\ cal {P}} (a, b, {\ boldsymbol {x}} _ {a}, {\ boldsymbol {x}} _ {b})} быть набором гладких путей q : [ а , б ] → M {\ displaystyle {\ boldsymbol {q}}: от [a, b] \ до M} для которого q ( а ) знак равно Икс а {\ displaystyle {\ boldsymbol {q}} (а) = {\ boldsymbol {x}} _ {a}} а также q ( б ) знак равно Икс б . {\ displaystyle {\ boldsymbol {q}} (b) = {\ boldsymbol {x}} _ {b}.} Функционал действия S : п ( а , б , Икс а , Икс б ) → р {\ displaystyle S: {\ cal {P}} (a, b, {\ boldsymbol {x}} _ {a}, {\ boldsymbol {x}} _ {b}) \ to \ mathbb {R}} определяется через
S [ q ] знак равно ∫ а б L ( т , q ( т ) , q ˙ ( т ) ) d т . {\ displaystyle \ displaystyle S [{\ boldsymbol {q}}] = \ int _ {a} ^ {b} L (t, {\ boldsymbol {q}} (t), {\ dot {\ boldsymbol {q}) }} (t)) \, dt.} Путь q ∈ п ( а , б , Икс а , Икс б ) {\ displaystyle {\ boldsymbol {q}} \ in {\ cal {P}} (a, b, {\ boldsymbol {x}} _ {a}, {\ boldsymbol {x}} _ {b})} является стационарной точкой из S {\ displaystyle S} если и только если
∂ L ∂ q я ( т , q ( т ) , q ˙ ( т ) ) - d d т ∂ L ∂ q ˙ я ( т , q ( т ) , q ˙ ( т ) ) знак равно 0 , я знак равно 1 , … , п . {\ displaystyle {\ frac {\ partial L} {\ partial q ^ {i}}} (t, {\ boldsymbol {q}} (t), {\ dot {\ boldsymbol {q}}} (t)) - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {q}} ^ {i}}} (t, {\ boldsymbol {q}} (t), {\ dot {\ boldsymbol {q}}} (t)) = 0, \ quad i = 1, \ dots, n.}
Здесь, q ˙ ( т ) {\ Displaystyle {\ точка {\ boldsymbol {q}}} (т)} является производной по времени от q ( т ) . {\ displaystyle {\ boldsymbol {q}} (t).}
Вывод одномерного уравнения Эйлера – Лагранжа. Вывод одномерного уравнения Эйлера – Лагранжа - одно из классических доказательств в математике . Он основан на основной лемме вариационного исчисления .
Мы хотим найти функцию ж {\ displaystyle f} которое удовлетворяет граничным условиям ж ( а ) знак равно А {\ Displaystyle f (а) = А} , ж ( б ) знак равно B {\ Displaystyle f (b) = B} , и который экстремизирует функционал
J знак равно ∫ а б F ( Икс , ж ( Икс ) , ж ′ ( Икс ) ) d Икс . {\ Displaystyle J = \ int _ {a} ^ {b} F (x, f (x), f '(x)) \, \ mathrm {d} x \.} Мы предполагаем, что F {\ displaystyle F} дважды непрерывно дифференцируемо. [3] Можно использовать более слабое предположение, но доказательство становится сложнее. [ необходима цитата ]
Если ж {\ displaystyle f} экстремизирует функционал с учетом граничных условий, то любое незначительное возмущение ж {\ displaystyle f} сохраняющий граничные значения должен либо увеличивать J {\ displaystyle J} (если ж {\ displaystyle f} минимизатор) или уменьшить J {\ displaystyle J} (если ж {\ displaystyle f} является максимайзером).
Позволять грамм ε ( Икс ) знак равно ж ( Икс ) + ε η ( Икс ) {\ Displaystyle г _ {\ varepsilon} (х) = е (х) + \ varepsilon \ eta (x)} быть результатом такого возмущения ε η ( Икс ) {\ Displaystyle \ varepsilon \ eta (х)} из ж {\ displaystyle f} , где ε {\ Displaystyle \ varepsilon} маленький и η ( Икс ) {\ Displaystyle \ eta (х)} дифференцируемая функция, удовлетворяющая η ( а ) знак равно η ( б ) знак равно 0 {\ displaystyle \ eta (a) = \ eta (b) = 0} . Затем определите
J ε знак равно ∫ а б F ( Икс , грамм ε ( Икс ) , грамм ε ′ ( Икс ) ) d Икс знак равно ∫ а б F ε d Икс {\ Displaystyle J _ {\ varepsilon} = \ int _ {a} ^ {b} F (x, g _ {\ varepsilon} (x), g _ {\ varepsilon} '(x)) \, \ mathrm {d} x = \ int _ {a} ^ {b} F _ {\ varepsilon} \, \ mathrm {d} x} где F ε знак равно F ( Икс , грамм ε ( Икс ) , грамм ε ′ ( Икс ) ) {\ Displaystyle F _ {\ varepsilon} = F (x, \, g _ {\ varepsilon} (x), \, g _ {\ varepsilon} '(x))} .
Теперь мы хотим вычислить полную производную от J ε {\ displaystyle J _ {\ varepsilon}} по ε .
d J ε d ε знак равно d d ε ∫ а б F ε d Икс знак равно ∫ а б d F ε d ε d Икс . {\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} J _ {\ varepsilon}} {\ mathrm {d} \ varepsilon}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} \ varepsilon}} \ int _ {a} ^ {b} F _ {\ varepsilon} \, \ mathrm {d} x = \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {\ mathrm {d} F _ {\ varepsilon}} {\ mathrm {d} \ varepsilon}} \, \ mathrm {d} x.} Из полной производной следует, что
d F ε d ε знак равно d Икс d ε ∂ F ε ∂ Икс + d грамм ε d ε ∂ F ε ∂ грамм ε + d грамм ε ′ d ε ∂ F ε ∂ грамм ε ′ знак равно d грамм ε d ε ∂ F ε ∂ грамм ε + d грамм ε ′ d ε ∂ F ε ∂ грамм ε ′ знак равно η ( Икс ) ∂ F ε ∂ грамм ε + η ′ ( Икс ) ∂ F ε ∂ грамм ε ′ . {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ mathrm {d} F _ {\ varepsilon}} {\ mathrm {d} \ varepsilon}} & = {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} \ varepsilon}} {\ frac {\ partial F _ {\ varepsilon}} {\ partial x}} + {\ frac {\ mathrm {d} g _ {\ varepsilon}} {\ mathrm {d} \ varepsilon} } {\ frac {\ partial F _ {\ varepsilon}} {\ partial g _ {\ varepsilon}}} + {\ frac {\ mathrm {d} g _ {\ varepsilon} '} {\ mathrm {d} \ varepsilon}} {\ frac {\ partial F _ {\ varepsilon}} {\ partial g _ {\ varepsilon} '}} \\ & = {\ frac {\ mathrm {d} g _ {\ varepsilon}} {\ mathrm {d} \ varepsilon }} {\ frac {\ partial F _ {\ varepsilon}} {\ partial g _ {\ varepsilon}}} + {\ frac {\ mathrm {d} g '_ {\ varepsilon}} {\ mathrm {d} \ varepsilon }} {\ frac {\ partial F _ {\ varepsilon}} {\ partial g '_ {\ varepsilon}}} \\ & = \ eta (x) {\ frac {\ partial F _ {\ varepsilon}} {\ partial g _ {\ varepsilon}}} + \ eta '(x) {\ frac {\ partial F _ {\ varepsilon}} {\ partial g _ {\ varepsilon}'}} \. \\\ конец {выровнено}}} Так
d J ε d ε знак равно ∫ а б [ η ( Икс ) ∂ F ε ∂ грамм ε + η ′ ( Икс ) ∂ F ε ∂ грамм ε ′ ] d Икс . {\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} J _ {\ varepsilon}} {\ mathrm {d} \ varepsilon}} = \ int _ {a} ^ {b} \ left [\ eta (x) {\ frac {\ partial F _ {\ varepsilon}} {\ partial g _ {\ varepsilon}}} + \ eta '(x) {\ frac {\ partial F _ {\ varepsilon}} {\ partial g _ {\ varepsilon}'}} \ , \ right] \, \ mathrm {d} x \.} При ε = 0 имеем g ε = f , F ε = F (x, f (x), f '(x)) и J ε имеет экстремальное значение, так что
d J ε d ε | ε знак равно 0 знак равно ∫ а б [ η ( Икс ) ∂ F ∂ ж + η ′ ( Икс ) ∂ F ∂ ж ′ ] d Икс знак равно 0 . {\ displaystyle \ left. {\ frac {\ mathrm {d} J _ {\ varepsilon}} {\ mathrm {d} \ varepsilon}} \ right | _ {\ varepsilon = 0} = \ int _ {a} ^ { b} \ left [\ eta (x) {\ frac {\ partial F} {\ partial f}} + \ eta '(x) {\ frac {\ partial F} {\ partial f'}} \, \ right ] \, \ mathrm {d} x = 0 \.} Следующим шагом является использование интегрирования по частям во втором члене подынтегральной функции, в результате чего получаем
∫ а б [ ∂ F ∂ ж - d d Икс ∂ F ∂ ж ′ ] η ( Икс ) d Икс + [ η ( Икс ) ∂ F ∂ ж ′ ] а б знак равно 0 . {\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} \ left [{\ frac {\ partial F} {\ partial f}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} {\ frac {\ partial F} {\ partial f '}} \ right] \ eta (x) \, \ mathrm {d} x + \ left [\ eta (x) {\ frac {\ partial F} {\ partial f '}} \ right] _ {a} ^ {b} = 0 \.} Используя граничные условия η ( а ) знак равно η ( б ) знак равно 0 {\ displaystyle \ eta (a) = \ eta (b) = 0} ,
∫ а б [ ∂ F ∂ ж - d d Икс ∂ F ∂ ж ′ ] η ( Икс ) d Икс знак равно 0 . {\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} \ left [{\ frac {\ partial F} {\ partial f}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} {\ frac {\ partial F} {\ partial f '}} \ right] \ eta (x) \, \ mathrm {d} x = 0 \.} Теперь, применяя фундаментальную лемму вариационного исчисления, получаем уравнение Эйлера – Лагранжа
∂ F ∂ ж - d d Икс ∂ F ∂ ж ′ знак равно 0 . {\ displaystyle {\ frac {\ partial F} {\ partial f}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} {\ frac {\ partial F} {\ partial f ' }} = 0 \.}
Альтернативный вывод одномерного уравнения Эйлера – Лагранжа. Учитывая функционал
J знак равно ∫ а б F ( т , у ( т ) , у ′ ( т ) ) d т {\ Displaystyle J = \ int _ {a} ^ {b} F (t, y (t), y '(t)) \, \ mathrm {d} t} на C 1 ( [ а , б ] ) {\ Displaystyle С ^ {1} ([а, Ь])} с граничными условиями у ( а ) знак равно А {\ Displaystyle у (а) = А} а также у ( б ) знак равно B {\ Displaystyle у (Ь) = В} , будем приближать экстремальную кривую ломаной с п {\ displaystyle n} сегментов и переходят к пределу при сколь угодно большом увеличении количества сегментов.
Разделите интервал [ а , б ] {\ Displaystyle [а, б]} в п {\ displaystyle n} равные сегменты с конечными точками т 0 знак равно а , т 1 , т 2 , … , т п знак равно б {\ displaystyle t_ {0} = a, t_ {1}, t_ {2}, \ ldots, t_ {n} = b} и разреши Δ т знак равно т k - т k - 1 {\ displaystyle \ Delta t = t_ {k} -t_ {k-1}} . Вместо гладкой функции у ( т ) {\ Displaystyle у (т)} мы рассматриваем ломаную с вершинами ( т 0 , у 0 ) , … , ( т п , у п ) {\ displaystyle (t_ {0}, y_ {0}), \ ldots, (t_ {n}, y_ {n})} , где у 0 знак равно А {\ displaystyle y_ {0} = A} а также у п знак равно B {\ displaystyle y_ {n} = B} . Соответственно, наш функционал становится реальной функцией п - 1 {\ displaystyle n-1} переменные, заданные
J ( у 1 , … , у п - 1 ) ≈ ∑ k знак равно 0 п - 1 F ( т k , у k , у k + 1 - у k Δ т ) Δ т . {\ Displaystyle J (y_ {1}, \ ldots, y_ {n-1}) \ приблизительно \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} F \ left (t_ {k}, y_ {k}, {\ frac {y_ {k + 1} -y_ {k}} {\ Delta t}} \ right) \ Delta t.} Экстремали этого нового функционала, определенные на дискретных точках т 0 , … , т п {\ displaystyle t_ {0}, \ ldots, t_ {n}} соответствуют точкам, где
∂ J ( у 1 , … , у п ) ∂ у м знак равно 0. {\ displaystyle {\ frac {\ partial J (y_ {1}, \ ldots, y_ {n})} {\ partial y_ {m}}} = 0.} Оценка этой частной производной дает
∂ J ∂ у м знак равно F у ( т м , у м , у м + 1 - у м Δ т ) Δ т + F у ′ ( т м - 1 , у м - 1 , у м - у м - 1 Δ т ) - F у ′ ( т м , у м , у м + 1 - у м Δ т ) . {\ displaystyle {\ frac {\ partial J} {\ partial y_ {m}}} = F_ {y} \ left (t_ {m}, y_ {m}, {\ frac {y_ {m + 1} -y_) {m}} {\ Delta t}} \ right) \ Delta t + F_ {y '} \ left (t_ {m-1}, y_ {m-1}, {\ frac {y_ {m} -y_ { m-1}} {\ Delta t}} \ right) -F_ {y '} \ left (t_ {m}, y_ {m}, {\ frac {y_ {m + 1} -y_ {m}} { \ Delta t}} \ right).} Разделив приведенное выше уравнение на Δ т {\ displaystyle \ Delta t} дает
∂ J ∂ у м Δ т знак равно F у ( т м , у м , у м + 1 - у м Δ т ) - 1 Δ т [ F у ′ ( т м , у м , у м + 1 - у м Δ т ) - F у ′ ( т м - 1 , у м - 1 , у м - у м - 1 Δ т ) ] , {\ displaystyle {\ frac {\ partial J} {\ partial y_ {m} \ Delta t}} = F_ {y} \ left (t_ {m}, y_ {m}, {\ frac {y_ {m + 1) } -y_ {m}} {\ Delta t}} \ right) - {\ frac {1} {\ Delta t}} \ left [F_ {y '} \ left (t_ {m}, y_ {m}, {\ frac {y_ {m + 1} -y_ {m}} {\ Delta t}} \ right) -F_ {y '} \ left (t_ {m-1}, y_ {m-1}, {\ frac {y_ {m} -y_ {m-1}} {\ Delta t}} \ right) \ right],} и принимая предел как Δ т → 0 {\ displaystyle \ Delta t \ to 0} правой части этого выражения дает
F у - d d т F у ′ знак равно 0. {\ displaystyle F_ {y} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} F_ {y '} = 0.} Левая часть предыдущего уравнения - это функциональная производная δ J / δ у {\ displaystyle \ delta J / \ delta y} функционального J {\ displaystyle J} . Необходимым условием для дифференцируемого функционала иметь экстремум на некоторой функции является то, что его функциональная производная на этой функции равна нулю, что дается последним уравнением.
Примеры Стандартный пример - это поиск вещественной функции y ( x ) на интервале [ a , b ], такой что y ( a ) = c и y ( b ) = d , для которой длина пути вдоль кривой, отслеживаемой y как можно короче.
s знак равно ∫ а б d Икс 2 + d у 2 знак равно ∫ а б 1 + у ′ 2 d Икс , {\ displaystyle {\ text {s}} = \ int _ {a} ^ {b} {\ sqrt {\ mathrm {d} x ^ {2} + \ mathrm {d} y ^ {2}}} = \ int _ {a} ^ {b} {\ sqrt {1 + y '^ {2}}} \, \ mathrm {d} x,} функция подынтегральной функции равна L ( x , y , y ′) = √ 1 + y ′ ² .
Частные производные от L :
∂ L ( Икс , у , у ′ ) ∂ у ′ знак равно у ′ 1 + у ′ 2 а также ∂ L ( Икс , у , у ′ ) ∂ у знак равно 0. {\ displaystyle {\ frac {\ partial L (x, y, y ')} {\ partial y'}} = {\ frac {y '} {\ sqrt {1 + y' ^ {2}}}} \ quad {\ text {and}} \ quad {\ frac {\ partial L (x, y, y ')} {\ partial y}} = 0.} Подставляя их в уравнение Эйлера – Лагранжа, получаем
d d Икс у ′ ( Икс ) 1 + ( у ′ ( Икс ) ) 2 знак равно 0 у ′ ( Икс ) 1 + ( у ′ ( Икс ) ) 2 знак равно C знак равно постоянный ⇒ у ′ ( Икс ) знак равно C 1 - C 2 знак равно А ⇒ у ( Икс ) знак равно А Икс + B {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} {\ frac {y '(x)} {\ sqrt {1+ (y' (x) ) ^ {2}}}} & = 0 \\ {\ frac {y '(x)} {\ sqrt {1+ (y' (x)) ^ {2}}}} & = C = {\ text {constant}} \\\ Стрелка вправо y '(x) & = {\ frac {C} {\ sqrt {1-C ^ {2}}}}: = A \\\ Стрелка вправо y (x) & = Ax + Б \ конец {выровнено}}} то есть функция должна иметь постоянную первую производную, и поэтому ее график представляет собой прямую линию .
Обобщения Отдельная функция одной переменной с высшими производными Стационарные значения функционала
я [ ж ] знак равно ∫ Икс 0 Икс 1 L ( Икс , ж , ж ′ , ж ″ , … , ж ( k ) ) d Икс ; ж ′ знак равно d ж d Икс , ж ″ знак равно d 2 ж d Икс 2 , ж ( k ) знак равно d k ж d Икс k {\ displaystyle I [f] = \ int _ {x_ {0}} ^ {x_ {1}} {\ mathcal {L}} (x, f, f ', f' ', \ dots, f ^ {( k)}) ~ \ mathrm {d} x ~; ~~ f ': = {\ cfrac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} x}}, ~ f' ': = {\ cfrac { \ mathrm {d} ^ {2} f} {\ mathrm {d} x ^ {2}}}, ~ f ^ {(k)}: = {\ cfrac {\ mathrm {d} ^ {k} f} {\ mathrm {d} x ^ {k}}}} можно получить из уравнения Эйлера – Лагранжа [4]
∂ L ∂ ж - d d Икс ( ∂ L ∂ ж ′ ) + d 2 d Икс 2 ( ∂ L ∂ ж ″ ) - ⋯ + ( - 1 ) k d k d Икс k ( ∂ L ∂ ж ( k ) ) знак равно 0 {\ displaystyle {\ cfrac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial f}} - {\ cfrac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ left ({\ cfrac { \ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial f '}} \ right) + {\ cfrac {\ mathrm {d} ^ {2}} {\ mathrm {d} x ^ {2}}} \ left ({\ cfrac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial f ''}} \ right) - \ dots + (- 1) ^ {k} {\ cfrac {\ mathrm {d} ^ {k }} {\ mathrm {d} x ^ {k}}} \ left ({\ cfrac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial f ^ {(k)}}} \ right) = 0} при фиксированных граничных условиях как для самой функции, так и для первого k - 1 {\ displaystyle k-1} производные (т.е. для всех ж ( я ) , я ∈ { 0 , . . . , k - 1 } {\ Displaystyle е ^ {(я)}, я \ в \ {0, ..., к-1 \}} ). Конечные значения старшей производной ж ( k ) {\ displaystyle f ^ {(k)}} оставаться гибким.
Несколько функций одной переменной с одной производной Если проблема связана с поиском нескольких функций ( ж 1 , ж 2 , … , ж м {\ displaystyle f_ {1}, f_ {2}, \ dots, f_ {m}} ) одной независимой переменной ( Икс {\ displaystyle x} ), определяющие экстремум функционала
я [ ж 1 , ж 2 , … , ж м ] знак равно ∫ Икс 0 Икс 1 L ( Икс , ж 1 , ж 2 , … , ж м , ж 1 ′ , ж 2 ′ , … , ж м ′ ) d Икс ; ж я ′ знак равно d ж я d Икс {\ displaystyle I [f_ {1}, f_ {2}, \ dots, f_ {m}] = \ int _ {x_ {0}} ^ {x_ {1}} {\ mathcal {L}} (x, f_ {1}, f_ {2}, \ dots, f_ {m}, f_ {1} ', f_ {2}', \ dots, f_ {m} ') ~ \ mathrm {d} x ~; ~~ f_ {i} ': = {\ cfrac {\ mathrm {d} f_ {i}} {\ mathrm {d} x}}} то соответствующие уравнения Эйлера – Лагранжа имеют вид [5]
∂ L ∂ ж я - d d Икс ( ∂ L ∂ ж я ′ ) знак равно 0 {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial f_ {i}}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x }} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial f_ {i} '}} \ right) = 0 \ end {align}}} Одна функция нескольких переменных с одной производной Многомерное обобщение происходит из рассмотрения функции от n переменных. Если Ω {\ displaystyle \ Omega} некоторая поверхность, то
я [ ж ] знак равно ∫ Ω L ( Икс 1 , … , Икс п , ж , ж 1 , … , ж п ) d Икс ; ж j знак равно ∂ ж ∂ Икс j {\ displaystyle I [f] = \ int _ {\ Omega} {\ mathcal {L}} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}, f, f_ {1}, \ dots, f_ {n} ) \, \ mathrm {d} \ mathbf {x} \, \! ~; ~~ f_ {j}: = {\ cfrac {\ partial f} {\ partial x_ {j}}}} экстремизируется, только если f удовлетворяет уравнению в частных производных
∂ L ∂ ж - ∑ j знак равно 1 п ∂ ∂ Икс j ( ∂ L ∂ ж j ) знак равно 0. {\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial f}} - \ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {j} }} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial f_ {j}}} \ right) = 0.} При n = 2 и функциональном я {\ displaystyle {\ mathcal {I}}} - функционал энергии , это приводит к проблеме минимальной поверхности мыльной пленки .
Несколько функций нескольких переменных с одной производной Если необходимо определить несколько неизвестных функций и несколько переменных, таких что
я [ ж 1 , ж 2 , … , ж м ] знак равно ∫ Ω L ( Икс 1 , … , Икс п , ж 1 , … , ж м , ж 1 , 1 , … , ж 1 , п , … , ж м , 1 , … , ж м , п ) d Икс ; ж я , j знак равно ∂ ж я ∂ Икс j {\ displaystyle I [f_ {1}, f_ {2}, \ dots, f_ {m}] = \ int _ {\ Omega} {\ mathcal {L}} (x_ {1}, \ dots, x_ {n }, f_ {1}, \ dots, f_ {m}, f_ {1,1}, \ dots, f_ {1, n}, \ dots, f_ {m, 1}, \ dots, f_ {m, n }) \, \ mathrm {d} \ mathbf {x} \, \! ~; ~~ f_ {i, j}: = {\ cfrac {\ partial f_ {i}} {\ partial x_ {j}}} } система уравнений Эйлера – Лагранжа имеет вид [4]
∂ L ∂ ж 1 - ∑ j знак равно 1 п ∂ ∂ Икс j ( ∂ L ∂ ж 1 , j ) знак равно 0 1 ∂ L ∂ ж 2 - ∑ j знак равно 1 п ∂ ∂ Икс j ( ∂ L ∂ ж 2 , j ) знак равно 0 2 ⋮ ⋮ ⋮ ∂ L ∂ ж м - ∑ j знак равно 1 п ∂ ∂ Икс j ( ∂ L ∂ ж м , j ) знак равно 0 м . {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial f_ {1}}} - \ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {j}}} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial f_ {1, j}}} \ right) & = 0_ {1} \\ {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial f_ {2}}} - \ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {j} }} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial f_ {2, j}}} \ right) & = 0_ {2} \\\ vdots \ qquad \ vdots \ qquad & \ quad \ vdots \\ {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial f_ {m}}} - \ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial} { \ partial x_ {j}}} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial f_ {m, j}}} \ right) & = 0_ {m}. \ end {выровнено }}} Одна функция двух переменных с высшими производными Если необходимо определить единственную неизвестную функцию f , которая зависит от двух переменных x 1 и x 2, и если функционал зависит от высших производных f до n -го порядка, таких что
я [ ж ] знак равно ∫ Ω L ( Икс 1 , Икс 2 , ж , ж 1 , ж 2 , ж 11 , ж 12 , ж 22 , … , ж 22 … 2 ) d Икс ж я знак равно ∂ ж ∂ Икс я , ж я j знак равно ∂ 2 ж ∂ Икс я ∂ Икс j , … {\ displaystyle {\ begin {align} I [f] & = \ int _ {\ Omega} {\ mathcal {L}} (x_ {1}, x_ {2}, f, f_ {1}, f_ {2 }, f_ {11}, f_ {12}, f_ {22}, \ dots, f_ {22 \ dots 2}) \, \ mathrm {d} \ mathbf {x} \\ & \ qquad \ quad f_ {i }: = {\ cfrac {\ partial f} {\ partial x_ {i}}} \;, \ quad f_ {ij}: = {\ cfrac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {i} \ partial x_ {j}}} \;, \; \; \ точки \ конец {выровнены}}} то уравнение Эйлера – Лагранжа имеет вид [4]
∂ L ∂ ж - ∂ ∂ Икс 1 ( ∂ L ∂ ж 1 ) - ∂ ∂ Икс 2 ( ∂ L ∂ ж 2 ) + ∂ 2 ∂ Икс 1 2 ( ∂ L ∂ ж 11 ) + ∂ 2 ∂ Икс 1 ∂ Икс 2 ( ∂ L ∂ ж 12 ) + ∂ 2 ∂ Икс 2 2 ( ∂ L ∂ ж 22 ) - ⋯ + ( - 1 ) п ∂ п ∂ Икс 2 п ( ∂ L ∂ ж 22 … 2 ) знак равно 0 {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial f}} & - {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {1}}} \ left ( {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial f_ {1}}} \ right) - {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {2}}} \ left ({\ frac { \ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial f_ {2}}} \ right) + {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x_ {1} ^ {2}}} \ left ( {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial f_ {11}}} \ right) + {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x_ {1} \ partial x_ {2 }}} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial f_ {12}}} \ right) + {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x_ {2 } ^ {2}}} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial f_ {22}}} \ right) \\ & - \ dots + (- 1) ^ {n } {\ frac {\ partial ^ {n}} {\ partial x_ {2} ^ {n}}} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial f_ {22 \ dots 2}}} \ right) = 0 \ end {выровнено}}} который можно кратко представить как:
∂ L ∂ ж + ∑ j знак равно 1 п ∑ μ 1 ≤ … ≤ μ j ( - 1 ) j ∂ j ∂ Икс μ 1 … ∂ Икс μ j ( ∂ L ∂ ж μ 1 … μ j ) знак равно 0 {\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial f}} + \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ sum _ {\ mu _ {1} \ leq \ ldots \ leq \ mu _ {j}} (- 1) ^ {j} {\ frac {\ partial ^ {j}} {\ partial x _ {\ mu _ {1}} \ dots \ partial x _ {\ mu _ { j}}}} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial f _ {\ mu _ {1} \ dots \ mu _ {j}}}} \ right) = 0} в которой μ 1 … μ j {\ displaystyle \ mu _ {1} \ dots \ mu _ {j}} - индексы, охватывающие количество переменных, то есть здесь они идут от 1 до 2. Здесь суммирование по μ 1 … μ j {\ displaystyle \ mu _ {1} \ dots \ mu _ {j}} индексы только закончились μ 1 ≤ μ 2 ≤ … ≤ μ j {\ displaystyle \ mu _ {1} \ leq \ mu _ {2} \ leq \ ldots \ leq \ mu _ {j}} чтобы избежать многократного подсчета одной и той же частной производной, например ж 12 знак равно ж 21 год {\ displaystyle f_ {12} = f_ {21}} появляется только один раз в предыдущем уравнении.
Несколько функций нескольких переменных с высшими производными Если необходимо определить p неизвестных функций f i , которые зависят от m переменных x 1 ... x m, и если функционал зависит от высших производных f i до n -го порядка, таких что
я [ ж 1 , … , ж п ] знак равно ∫ Ω L ( Икс 1 , … , Икс м ; ж 1 , … , ж п ; ж 1 , 1 , … , ж п , м ; ж 1 , 11 , … , ж п , м м ; … ; ж п , 1 … 1 , … , ж п , м … м ) d Икс ж я , μ знак равно ∂ ж я ∂ Икс μ , ж я , μ 1 μ 2 знак равно ∂ 2 ж я ∂ Икс μ 1 ∂ Икс μ 2 , … {\ displaystyle {\ begin {align} I [f_ {1}, \ ldots, f_ {p}] & = \ int _ {\ Omega} {\ mathcal {L}} (x_ {1}, \ ldots, x_ {m}; f_ {1}, \ ldots, f_ {p}; f_ {1,1}, \ ldots, f_ {p, m}; f_ {1,11}, \ ldots, f_ {p, mm} ; \ ldots; f_ {p, 1 \ ldots 1}, \ ldots, f_ {p, m \ ldots m}) \, \ mathrm {d} \ mathbf {x} \\ & \ qquad \ quad f_ {i, \ mu}: = {\ cfrac {\ partial f_ {i}} {\ partial x _ {\ mu}}} \;, \ quad f_ {i, \ mu _ {1} \ mu _ {2}}: = {\ cfrac {\ partial ^ {2} f_ {i}} {\ partial x _ {\ mu _ {1}} \ partial x _ {\ mu _ {2}}}} \;, \; \; \ точки \ конец {выровнен}}} где μ 1 … μ j {\ displaystyle \ mu _ {1} \ dots \ mu _ {j}} - это индексы, охватывающие количество переменных, то есть они идут от 1 до m. Тогда уравнение Эйлера – Лагранжа имеет вид
∂ L ∂ ж я + ∑ j знак равно 1 п ∑ μ 1 ≤ … ≤ μ j ( - 1 ) j ∂ j ∂ Икс μ 1 … ∂ Икс μ j ( ∂ L ∂ ж я , μ 1 … μ j ) знак равно 0 {\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial f_ {i}}} + \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ sum _ {\ mu _ {1} \ leq \ ldots \ leq \ mu _ {j}} (- 1) ^ {j} {\ frac {\ partial ^ {j}} {\ partial x _ {\ mu _ {1}} \ dots \ partial x _ {\ mu _ {j}}}} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial f_ {i, \ mu _ {1} \ dots \ mu _ {j}}}} \ справа) = 0} где суммирование по μ 1 … μ j {\ displaystyle \ mu _ {1} \ dots \ mu _ {j}} избегает подсчета одной и той же производной ж я , μ 1 μ 2 знак равно ж я , μ 2 μ 1 {\ Displaystyle е_ {я, \ му _ {1} \ му _ {2}} = е_ {я, \ му _ {2} \ му _ {1}}} несколько раз, как и в предыдущем подразделе. Более компактно это можно выразить как
∑ j знак равно 0 п ∑ μ 1 ≤ … ≤ μ j ( - 1 ) j ∂ μ 1 … μ j j ( ∂ L ∂ ж я , μ 1 … μ j ) знак равно 0 {\ displaystyle \ sum _ {j = 0} ^ {n} \ sum _ {\ mu _ {1} \ leq \ ldots \ leq \ mu _ {j}} (- 1) ^ {j} \ partial _ { \ mu _ {1} \ ldots \ mu _ {j}} ^ {j} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial f_ {i, \ mu _ {1} \ точки \ mu _ {j}}}} \ right) = 0}
Обобщение на многообразия Позволять M {\ displaystyle M} - гладкое многообразие , и пусть C ∞ ( [ а , б ] ) {\ Displaystyle С ^ {\ infty} ([а, б])} обозначим пространство гладких функций ж : [ а , б ] → M {\ displaystyle f: [a, b] \ to M} . Тогда для функционалов S : C ∞ ( [ а , б ] ) → р {\ Displaystyle S: C ^ {\ infty} ([a, b]) \ to \ mathbb {R}} формы
S [ ж ] знак равно ∫ а б ( L ∘ ж ˙ ) ( т ) d т {\ displaystyle S [f] = \ int _ {a} ^ {b} (L \ circ {\ dot {f}}) (t) \, \ mathrm {d} t} где L : Т M → р {\ displaystyle L: TM \ to \ mathbb {R}} - лагранжиан, утверждение d S ж знак равно 0 {\ Displaystyle \ mathrm {d} S_ {f} = 0} эквивалентно утверждению, что для всех т ∈ [ а , б ] {\ Displaystyle т \ в [а, б]} , тривиализация каждой системы координат ( Икс я , Икс я ) {\ Displaystyle (х ^ {я}, Х ^ {я})} района ж ˙ ( т ) {\ Displaystyle {\ точка {f}} (т)} дает следующие тусклый M {\ displaystyle \ dim M} уравнения:
∀ я : d d т ∂ L ∂ Икс я | ж ˙ ( т ) знак равно ∂ L ∂ Икс я | ж ˙ ( т ) . {\ displaystyle \ forall i: {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial L} {\ partial X ^ {i}}} {\ bigg |} _ {{\ dot {f}} (t)} = {\ frac {\ partial L} {\ partial x ^ {i}}} {\ bigg |} _ {{\ dot {f}} (t)}. }
Смотрите также Лагранжева механика Гамильтонова механика Аналитическая механика Белтрами личность Функциональная производная
Заметки ^ Фокс, Чарльз (1987). Введение в вариационное исчисление . Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-65499-7 . ↑ Краткая биография Лагранжа, заархивированная 14 июля 2007 г. в Wayback Machine. ^ Курант и Гильберт 1953 , стр. 184 ^ а б в Курант, R ; Гильберт, Д. (1953). Методы математической физики . Vol. I (Первое англ. Ред.). Нью-Йорк: ISBN Interscience Publishers, Inc. 978-0471504474 . ^ Вайншток, Р. (1952). Вариационное исчисление с приложениями к физике и технике . Нью-Йорк: Макгроу-Хилл.
Рекомендации "Уравнения Лагранжа (в механике)" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994] Вайсштейн, Эрик В. "Дифференциальное уравнение Эйлера-Лагранжа" . MathWorld . «Вариационное исчисление» . PlanetMath . Гельфанд, Израиль Моисеевич (1963). Вариационное исчисление . Дувр. ISBN 0-486-41448-5 . Рубичек, Т .: Вариационное исчисление . Глава 17 в: Математические инструменты для физиков . (Ред. М. Гринфельд) J. Wiley, Weinheim, 2014, ISBN 978-3-527-41188-7 , стр. 551-588.