Теорема Ферма (стационарные точки)

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  стационарные точки "теоремы Ферма"  -  новости  · газеты  · книги  · научные сотрудники  · JSTOR ( июль 2019 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

В математике , теорема Ферма (также известный как теорема внутренней экстремума ) представляет собой метод , чтобы найти локальный максимумы и минимумы в дифференцируемых функций на открытых множеств , показывая , что каждый локальный экстремум в функции является стационарной точкой (функция по производной равна нулю в этой точке ). Теорема Ферма является теоремой в реальном анализе , названная в честь Пьера де Ферма .

Используя теорему Ферма, потенциальные экстремумы функции с производной находятся путем решения уравнения в . Теорема Ферма дает только необходимое условие для экстремальных значений функции, так как некоторые стационарные точки являются точками перегиба (не максимальными или минимальными). Функция по второй производной , если оно существует, может иногда быть использована для определения стационарной точкой является ли максимальное или минимальное.${\ displaystyle \ displaystyle f}$${\ displaystyle \ displaystyle f '}$${\ displaystyle \ displaystyle f '}$

Заявление [ править ]

Один из способов сформулировать теорему Ферма состоит в том, что если функция имеет локальный экстремум в некоторой точке и дифференцируема там, то производная функции в этой точке должна быть равна нулю. Выражаясь точным математическим языком:

Позвольте быть функцией и предположим, что это точка, где есть локальный экстремум. Если дифференцируема в , то .${\ displaystyle f \ двоеточие (a, b) \ rightarrow \ mathbb {R}}$${\ displaystyle x_ {0} \ in (a, b)}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle f '(x_ {0}) = 0}$

Другой способ понять теорему - использовать противоположное утверждение: если производная функции в любой точке не равна нулю, то в этой точке нет локального экстремума. Формально:

Если дифференцируем в , и , то не является локальным экстремумом .${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x_ {0} \ in (a, b)}$${\ displaystyle f '(x_ {0}) \ neq 0}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle f}$

Следствие [ править ]

Глобальные экстремумы функции f в области A встречаются только на границах , недифференцируемых точках и стационарных точках. Если - глобальный экстремум f , то верно одно из следующего:${\ displaystyle x_ {0}}$

• граница: находится на границе A${\ displaystyle x_ {0}}$
• недифференцируема: f не дифференцируема в${\ displaystyle x_ {0}}$
• стационарная точка: это стационарная точка f${\ displaystyle x_ {0}}$

Расширение [ править ]

В высших измерениях верно то же самое утверждение; однако доказательство несколько сложнее. Сложность состоит в том, что в одном измерении можно двигаться влево или вправо от точки, в то время как в более высоких измерениях можно перемещаться во многих направлениях. Таким образом, если производная не обращается в нуль, можно утверждать, что существует некоторое направление, в котором функция увеличивается - и, следовательно, в противоположном направлении функция уменьшается. Это единственное изменение в доказательстве или анализе.

Утверждение можно распространить и на дифференцируемые многообразия . Если это дифференцируемая функция на многообразии , то ее локальные экстремумы должны быть критические точки из , в частности точках , где внешняя производная равна нулю. ^[1]${\ displaystyle f: M \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle df}$

Приложения [ править ]

Теорема Ферма занимает центральное место в методе исчисления для определения максимумов и минимумов: в одном измерении можно найти экстремумы, просто вычислив стационарные точки (путем вычисления нулей производной), недифференцируемые точки и граничные точки, а также затем исследуя это множество, чтобы определить экстремумы.

Можно сделать это либо путем оценки функции в каждой точке и взятие максимума, или путем анализа производных далее, с использованием первой производной теста , то второй производной теста , или теста производной высшего порядка .

Интуитивный аргумент [ править ]

Интуитивно дифференцируемая функция аппроксимируется своей производной - дифференцируемая функция ведет себя бесконечно малым образом, как линейная функция, или, точнее , с точки зрения того, что «если f дифференцируема и имеет отличную от нуля производную в точке, то она не достигает экстремума в точке. "интуиция такова, что если производная при положительна, функция увеличивается вблизи, а если производная отрицательна, функция убывает вблизи${\ displaystyle a + bx,}$${\ displaystyle f (x_ {0}) + f '(x_ {0}) (x-x_ {0}).}$${\ displaystyle x_ {0},}$${\ displaystyle x_ {0},}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle x_ {0},}$${\ displaystyle x_ {0}.}$В обоих случаях он не может достичь максимума или минимума, потому что его значение меняется. Он может достичь максимума или минимума только в том случае, если он «останавливается» - если производная обращается в нуль (или если она не дифференцируема, или если кто-то сталкивается с границей и не может продолжаться). Однако для того, чтобы сделать «ведет себя как линейная функция» точным, требуется тщательное аналитическое доказательство.

Точнее, интуицию можно сформулировать так: если производная положительна, есть некоторая точка справа от места, где f больше, и какая-то точка слева от места, где f меньше, и, таким образом, f не достигает ни максимума, ни минимум при. И наоборот, если производная отрицательна, есть точка справа, которая меньше, и точка слева, которая больше. Сказанное таким образом, доказательство просто переводит это в уравнения и проверяет, «насколько больше или меньше».${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle x_ {0}.}$

Интуиция основана на поведении полиномиальных функций . Предположим, что функция f имеет максимум при x ₀ , рассуждения аналогичны для минимума функции. Если это локальный максимум , то, грубо говоря, существует (возможно малая) окрестность из таких , как функции «увеличивается до» и «после» уменьшения ^{[примечание 1]} . Поскольку производная положительна для возрастающей функции и отрицательна для убывающей функции, она положительна до и отрицательна после . не пропускает значения (по теореме Дарбу${\ displaystyle \ displaystyle x_ {0} \ in (a, b)}$${\ displaystyle \ displaystyle x_ {0}}$ ${\ displaystyle \ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle \ displaystyle f '}$${\ displaystyle \ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle \ displaystyle f '}$), поэтому в какой-то момент между положительным и отрицательным значениями он должен быть равен нулю. Единственная точка по соседству, где это возможно, - это .${\ displaystyle \ displaystyle f '(x) = 0}$${\ displaystyle \ displaystyle x_ {0}}$

Теорема (и ее доказательство ниже) является более общим, чем интуиция, в том смысле, что она не требует, чтобы функция была дифференцируемой по окрестности . Достаточно, чтобы функция была дифференцируемой только в крайней точке.${\ displaystyle \ displaystyle x_ {0}}$

Доказательство [ править ]

Доказательство 1: ненулевые производные не влекут за собой экстремум [ править ]

Предположим, что f дифференцируема в точке с производной K, и без ограничения общности предположим, что касательная линия в точке имеет положительный наклон (возрастает). Тогда существует окрестность , на которой секущие линии через все имеют положительный наклон, и , таким образом , справа от F больше, и слева от F являются меньшим.${\ displaystyle x_ {0} \ in (a, b),}$${\ displaystyle K> 0,}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle x_ {0},}$ ${\ displaystyle x_ {0},}$

Схема доказательства:

• бесконечно малое утверждение о производной (касательной) в влечет${\ displaystyle x_ {0}}$
• местное утверждение о коэффициентах разности (секущие линии), рядом с которым подразумевается${\ displaystyle x_ {0},}$
• локальное утверждение о значении о е вблизи${\ displaystyle x_ {0}.}$

Формально по определению производной означает, что${\ displaystyle f '(x_ {0}) = K}$

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {f(x_{0}+\varepsilon )-f(x_{0})}{\varepsilon }}=K.}$

В частности, для достаточно малых (меньше некоторых ) фактор должен быть не меньше, чем по определению предела. Таким образом, на интервале :${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon _{0}}$${\displaystyle K/2,}$ ${\displaystyle (x_{0}-\varepsilon _{0},x_{0}+\varepsilon _{0})}$

${\displaystyle {\frac {f(x_{0}+\varepsilon )-f(x_{0})}{\varepsilon }}>K/2;}$

равенство в пределе (бесконечно малое утверждение) заменяется неравенством в окрестности (локальное утверждение). Таким образом, переставляя уравнение, если тогда:${\displaystyle \varepsilon >0,}$

${\displaystyle f(x_{0}+\varepsilon )>f(x_{0})+(K/2)\varepsilon >f(x_{0}),}$

поэтому на интервале справа f больше, и если тогда:${\displaystyle f(x_{0}),}$${\displaystyle \varepsilon <0,}$

${\displaystyle f(x_{0}+\varepsilon )<f(x_{0})+(K/2)\varepsilon <f(x_{0}),}$

поэтому на интервале слева f меньше, чем${\displaystyle f(x_{0}).}$

Таким образом, это не локальный или глобальный максимум или минимум f.${\displaystyle x_{0}}$

Доказательство 2: экстремум влечет за собой равенство нулю производной [ править ]

В качестве альтернативы можно начать с предположения, что это локальный максимум, а затем доказать, что производная равна 0.${\displaystyle \displaystyle x_{0}}$

Предположим, что это локальный максимум (аналогичное доказательство применимо, если это локальный минимум). Тогда существует такое, что и такое, что у нас есть для всех с . Следовательно, для любого мы имеем${\displaystyle \displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle (x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta )\subset (a,b)}$${\displaystyle f(x_{0})\geq f(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \displaystyle |x-x_{0}|<\delta }$${\displaystyle h\in (0,\delta )}$

${\displaystyle {\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}\leq 0.}$

Поскольку предел этого отношения, приближающийся к 0 сверху, существует и равен, мы заключаем, что . С другой стороны, поскольку мы замечаем, что${\displaystyle \displaystyle h}$${\displaystyle \displaystyle f'(x_{0})}$${\displaystyle f'(x_{0})\leq 0}$${\displaystyle h\in (-\delta ,0)}$

${\displaystyle {\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}\geq 0}$

но опять же предел, приближающийся к 0 снизу, существует и равен так и у нас .${\displaystyle \displaystyle h}$${\displaystyle \displaystyle f'(x_{0})}$${\displaystyle f'(x_{0})\geq 0}$

Отсюда заключаем, что ${\displaystyle \displaystyle f'(x_{0})=0.}$

Предостережения [ править ]

Тонкое заблуждение, которое часто встречается в контексте теоремы Ферма, заключается в предположении, что она делает более сильное утверждение о локальном поведении, чем это делает. Примечательно, что в теореме Ферма не говорится, что функции (монотонно) «возрастают до» или «убывают вниз» от локального максимума. Это очень похоже на заблуждение, что предел означает «монотонное приближение к точке». Что касается «хорошо управляемых функций» (что здесь означает непрерывно дифференцируемые ), некоторые интуиции верны, но в целом функции могут вести себя плохо, как показано ниже. Мораль заключается в том, что производные определяют бесконечно малое поведение, а непрерывные производные определяют локальное поведение.

Непрерывно дифференцируемые функции [ править ]

Если е является непрерывно дифференцируемой на открытой окрестности точки , то это означает , что F увеличивается на окрестности следующим образом .${\displaystyle \left(C^{1}\right)}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle f'(x_{0})>0}$${\displaystyle x_{0},}$

Если и затем по непрерывности производной, есть такие, что для всех . Тогда f увеличивается на этом интервале по теореме о среднем значении : наклон любой секущей линии не меньше, чем он равен наклону некоторой касательной.${\displaystyle f'(x_{0})=K>0}$${\displaystyle f\in C^{1},}$${\displaystyle \varepsilon _{0}>0}$${\displaystyle f'(x)>K/2}$${\displaystyle x\in (x_{0}-\varepsilon _{0},x_{0}+\varepsilon _{0})}$${\displaystyle K/2,}$

Однако в общем утверждении теоремы Ферма, где указано только, что производная при положительна, можно только заключить, что проходящие через секущие линии будут иметь положительный наклон для секущих линий между достаточным количеством точек и вблизи них.${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{0}}$

И наоборот, если производная f в точке равна нулю ( является стационарной точкой), в общем случае нельзя сделать никаких выводов о локальном поведении f - она ​​может увеличиваться в одну сторону и уменьшаться в другую (как в ), увеличиваться до обе стороны (как в ), уменьшаются в обе стороны (как в ) или ведут себя более сложным образом, например, колеблются (как в , как обсуждается ниже).${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x^{3}}$${\displaystyle x^{4}}$${\displaystyle -x^{4}}$${\displaystyle x^{2}\sin(1/x)}$

Можно анализировать поведение бесконечно малую через второй производной испытания и испытания более высокого порядка производной , если функция дифференцируема достаточно, и если первый не обращается в нуль производная в является непрерывной функцией , можно затем заключить локальное поведение (то есть, если есть первая производная, отличная от нуля, и непрерывна, поэтому ), то можно рассматривать f как локально близкий к многочлену степени k, поскольку он ведет себя приблизительно так, как если бы k -я производная не была непрерывной, нельзя делать такие выводы , и может вести себя иначе.${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle f^{(k)}(x_{0})\neq 0}$${\displaystyle f^{(k)}}$${\displaystyle f\in C^{k}}$ ${\displaystyle f^{(k)}(x_{0})(x-x_{0})^{k},}$

Патологические функции [ править ]

Функция - она колеблется более быстро между и , как х приближается к 0. Следовательно, функция вибрирует более быстро между 0 и как х приближается к 0. Если один расширяет эту функцию, определяя затем продолженная функция непрерывна и всюду дифференцируема (она дифференцируема в 0 с производной 0), но имеет довольно неожиданное поведение вблизи 0: в любой окрестности 0 он достигает 0 бесконечно много раз, но также бесконечно часто равен (положительному числу).${\displaystyle \sin(1/x)}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle f(x)=(1+\sin(1/x))x^{2}}$${\displaystyle 2x^{2}}$${\displaystyle f(0)=0}$${\displaystyle 2x^{2}}$

Продолжая в том же духе, можно определить , что колеблется между и . Функция имеет свой локальный и глобальный минимум в точке , но ни в одной окрестности 0 она не убывает или не возрастает от 0 - она ​​сильно колеблется около 0.${\displaystyle g(x)=(2+\sin(1/x))x^{2}}$${\displaystyle x^{2}}$${\displaystyle 3x^{2}}$${\displaystyle x=0}$

Эту патологию можно понять, потому что, хотя функция g дифференцируема везде, она не дифференцируема непрерывно : предел as не существует, поэтому производная не является непрерывной в 0. Это отражает колебания между возрастающими и уменьшающимися значениями по мере приближения. 0.${\displaystyle g'(x)}$${\displaystyle x\to 0}$

См. Также [ править ]

• Оптимизация (математика)
• Максимумы и минимумы
• Производная
• Экстремальная ценность
• arg max
• Адекватность

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• «Теорема Ферма (стационарные точки)» . PlanetMath .
• «Доказательство теоремы Ферма (стационарные точки)» . PlanetMath .