Основная лемма вариационного исчисления

В математике , особенно в вариационном исчислении , изменение δf функции f может быть сосредоточено на сколь угодно малом интервале, но не в одной точке. Соответственно, необходимое условие экстремума ( функциональная производная равна нулю) появляется в слабой формулировке (вариационной форме), интегрированной с произвольной функцией δf . Основная лемма вариационного исчисления , как правило , использует для трансформации этой слабой композиции в сильную формулировку ( дифференциальное уравнение ), свободную от интеграции с произвольной функцией. Доказательство обычно использует возможность выбораδf сосредоточено на интервале, на котором f сохраняет знак (положительный или отрицательный). Используются несколько версий леммы. Базовые версии легко сформулировать и доказать. При необходимости используются более мощные версии.

Базовая версия [ править ]

Если непрерывная функция на открытом интервале удовлетворяет равенству${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle (а, б)}$

${\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} е (х) час (х) \, \ mathrm {d} х = 0}$

для всех гладких функций с компактным носителем на , то тождественно равна нулю. ^{[1] [2]}${\ displaystyle h}$${\ Displaystyle (а, б)}$${\ displaystyle f}$

Здесь «гладкий» может быть интерпретирован как «бесконечно дифференцируемый» ^[1], но часто интерпретируется как «дважды непрерывно дифференцируемый» или «непрерывно дифференцируемый» или даже просто «непрерывный», ^[2] поскольку эти более слабые утверждения могут быть достаточно сильными для заданная задача. «Компактно поддерживается» означает « для некоторых исчезает наружу , так что »; ^[1] , но часто более слабое утверждение хватает, предполагая , что только (или и ряд его производных) обращается в нуль на концах , ; ^[2] в этом случае используется закрытый интервал .${\ displaystyle [c, d]}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle a <c <d <b}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ Displaystyle [а, б]}$

Версия для двух данных функций [ править ]

Если пара непрерывных функций f , g на интервале ( a , b ) удовлетворяет равенству

${\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} (е (х) \, h (x) + g (x) \, h '(x)) \, \ mathrm {d} x = 0}$

для всех гладких функций h с компактным носителем на ( a , b ), то g дифференцируема и g ' = f  всюду. ^{[3] [4]}

Частный случай для g = 0 - это просто базовая версия.

Вот частный случай для f = 0 (часто достаточно).

Если непрерывная функция g на интервале ( a , b ) удовлетворяет равенству

${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} g (x) \, h '(x) \, \ mathrm {d} x = 0}$

для всех гладких функций ч на ( , б ) таким образом, что , то г является постоянным . ^[5]${\ Displaystyle ч (а) = ч (Ь) = 0}$

Если, кроме того, непрерывная дифференцируемость из г предполагаются, то интегрирование по частям уменьшает оба утверждения в базовую версию; этот случай приписывается Жозефу-Луи Лагранжу , а доказательство дифференцируемости g принадлежит Полю дю Буа-Реймону .

Версии для прерывных функций [ править ]

Данные функции ( f , g ) могут быть разрывными при условии, что они локально интегрируемы (на заданном интервале). В данном случае имеется в виду интегрирование Лебега , выводы справедливы почти всюду (таким образом, во всех точках непрерывности), а дифференцируемость g интерпретируется как локальная абсолютная непрерывность (а не непрерывная дифференцируемость). ^{[6] [7]} Иногда данные функции предполагаются кусочно-непрерывными , и в этом случае достаточно интегрирования Римана , и выводы формулируются везде, кроме конечного множества точек разрыва. ^[4]

Высшие производные [ править ]

Если набор непрерывных функций на интервале ( a , b ) удовлетворяет равенству${\ displaystyle f_ {0}, f_ {1}, \ dots, f_ {n}}$

${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} (f_ {0} (x) \, h (x) + f_ {1} (x) \, h '(x) + \ dots + f_ {n}) (х) \, h ^ {(n)} (x)) \, \ mathrm {d} x = 0}$

для всех гладких функций h с компактным носителем на ( a , b ) существуют непрерывно дифференцируемые функции на ( a , b ) такие, что${\ displaystyle u_ {0}, u_ {1}, \ dots, u_ {n-1}}$

${\displaystyle f_{0}=u'_{0},\;f_{1}=u_{0}+u'_{1},\;\dots ,\;f_{n-1}=u_{n-2}+u'_{n-1},\;f_{n}=u_{n-1}}$

везде. ^[8]

Этого необходимого условия также достаточно, поскольку подынтегральное выражение принимает вид ${\displaystyle (u_{0}h)'+(u_{1}h')'+\dots +(u_{n-1}h^{(n-1)})'.}$

Случай n = 1 - это всего лишь вариант для двух данных функций, так как и, следовательно,${\displaystyle f=f_{0}=u'_{0}}$${\displaystyle f_{1}=u_{0},}$${\displaystyle f_{0}-f'_{1}=0.}$

Напротив, случай n = 2 не приводит к соотношению, поскольку функция не должна быть дифференцируемой дважды. Достаточное условие не является обязательным. Скорее, необходимое и достаточное условие можно записать как для n = 2, для n = 3 и так далее; в общем, скобки раскрыть нельзя из-за недифференцируемости.${\displaystyle f_{0}-f'_{1}+f''_{2}=0,}$${\displaystyle f_{2}=u_{1}}$${\displaystyle f_{0}-f'_{1}+f''_{2}=0}$${\displaystyle f_{0}-(f_{1}-f'_{2})'=0}$${\displaystyle f_{0}-(f_{1}-(f_{2}-f'_{3})')'=0}$

Векторнозначные функции [ править ]

Обобщение на векторные функции несложно; каждый применяет результаты для скалярных функций к каждой координате отдельно ^[9] или рассматривает векторнозначный случай с самого начала. ^[10]${\displaystyle (a,b)\to \mathbb {R} ^{d}}$

Функции с несколькими переменными [ править ]

Если непрерывная функция многих переменных f на открытом множестве удовлетворяет равенству${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{d}}$

${\displaystyle \int _{\Omega }f(x)\,h(x)\,\mathrm {d} x=0}$

для всех гладких функций h с компактным носителем на Ω, то f тождественно равна нулю.

Аналогично базовой версии, можно рассматривать непрерывную функцию f на замыкании Ω, предполагая, что h обращается в нуль на границе Ω (а не с компактным носителем). ^[11]

Вот версия для разрывных функций с несколькими переменными.

Пусть - открытое множество и удовлетворяет равенству${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle f\in L^{2}(\Omega )}$

${\displaystyle \int _{\Omega }f(x)\,h(x)\,\mathrm {d} x=0}$

для всех гладких функций h с компактным носителем на Ω. Тогда е = 0 (в L ² , то есть почти везде). ^[12]

Приложения [ править ]

Эта лемма используется для доказательства того, что экстремумы из функционала

${\displaystyle J[y]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}L(t,y(t),{\dot {y}}(t))\,\mathrm {d} t}$

являются слабыми решениями (для подходящего векторного пространства ) уравнения Эйлера – Лагранжа${\displaystyle y:[x_{0},x_{1}]\to V}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\partial L(t,y(t),{\dot {y}}(t)) \over \partial y}={\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}{\partial L(t,y(t),{\dot {y}}(t)) \over \partial {\dot {y}}}.}$

Уравнение Эйлера – Лагранжа играет важную роль в классической механике и дифференциальной геометрии .

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Йост, Юрген; Ли-Йост, Сяньцин (1998), Вариационное исчисление , Кембриджский университет
• Гельфанд И.М.; Фомин, С. В. (1963), Вариационное исчисление , Прентис-Холл. (пер. с русского).
• Хестенс, Магнус Р. (1966), Вариационное исчисление и теория оптимального управления , Джон Вили.
• Джакинта, Мариано; Хильдебрандт, Стефан (1996), Вариационное исчисление I , Springer