Слабая формулировка

Слабые формулировки являются важными инструментами для анализа математических уравнений , допускающих передачу понятий о линейной алгебры для решения проблем в других областях , таких как дифференциальных уравнений с частными . В слабой формулировке уравнение больше не обязательно должно выполняться абсолютно (и это даже не определено четко), а вместо этого имеет слабые решения только по отношению к определенным «тестовым векторам» или « тестовым функциям ». Это эквивалентно формулировке проблемы, требующей решения в смысле распределения . ^{[ необходима цитата ]}

Мы вводим слабые формулировки на нескольких примерах и представляем основную теорему для решения - теорему Лакса – Милграма . Теорема названа в честь Питера Лакса и Артура Милграма , которые доказали ее в 1954 году.

Общая концепция [ править ]

Позвольте быть банаховым пространством . Мы хотим найти решение уравнения${\ displaystyle V}$${\displaystyle u\in V}$

${\displaystyle Au=f}$,

где и с быть двойной из .${\displaystyle A\colon V\to V'}$${\displaystyle f\in V'}$${\displaystyle V'}$${\displaystyle V}$

Это эквивалентно нахождению такого, что для всех удержаний:${\displaystyle u\in V}$${\displaystyle v\in V}$

${\displaystyle [Au](v)=f(v)}$.

Здесь мы вызываем тестовый вектор или тестовую функцию.${\displaystyle v}$

Мы приведем это в общую форму слабой формулировки, а именно найдем такую, что${\displaystyle u\in V}$

${\displaystyle a(u,v)=f(v)\quad \forall v\in V,}$

путем определения билинейной формы

${\displaystyle a(u,v):=[Au](v).}$

Поскольку это очень абстрактно, давайте рассмотрим несколько примеров.

Пример 1: линейная система уравнений [ править ]

Теперь позвольте и быть линейным отображением. Тогда слабая формулировка уравнения${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle A:V\to V}$

${\displaystyle Au=f}$

требует нахождения такого, что для всех выполняется следующее уравнение:${\displaystyle u\in V}$${\displaystyle v\in V}$

${\displaystyle \langle Au,v\rangle =\langle f,v\rangle ,}$

где обозначает внутренний продукт.${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

Поскольку это линейное отображение, достаточно протестировать с базисными векторами, и мы получим${\displaystyle A}$

${\displaystyle \langle Au,e_{i}\rangle =\langle f,e_{i}\rangle \quad i=1,\ldots ,n.}$

Фактически, раскладывая , мы получаем матричную форму уравнения${\displaystyle u=\sum _{j=1}^{n}u_{j}e_{j}}$

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {u} =\mathbf {f} ,}$

где и .${\displaystyle a_{ij}=\langle Ae_{j},e_{i}\rangle }$${\displaystyle f_{i}=\langle f,e_{i}\rangle }$

Билинейная форма, связанная с этой слабой формулировкой, есть

${\displaystyle a(u,v)=\mathbf {v} ^{T}\mathbf {A} \mathbf {u} .}$

Пример 2: уравнение Пуассона [ править ]

Наша цель - решить уравнение Пуассона

${\displaystyle -\nabla ^{2}u=f,}$

в области с на ее границе, и мы хотим указать пространство решений позже. Мы будем использовать -скалярное произведение${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle u=0}$${\displaystyle V}$${\displaystyle L^{2}}$

${\displaystyle \langle u,v\rangle =\int _{\Omega }uv\,dx}$

чтобы вывести нашу слабую формулировку. Тогда, тестируя дифференцируемые функции , получаем${\displaystyle v}$

${\displaystyle -\int _{\Omega }(\nabla ^{2}u)v\,dx=\int _{\Omega }fv\,dx.}$

Мы можем сделать левую сторону этого уравнения более симметричного по интегрированию по частям , используя тождество Грина, и при условии , что на :${\displaystyle v=0}$${\displaystyle \partial \Omega }$

${\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\,dx=\int _{\Omega }fv\,dx.}$

Это то, что обычно называют слабой формулировкой уравнения Пуассона . Нам еще предстоит указать пространство, в котором нужно найти решение, но как минимум оно должно позволить нам записать это уравнение. Поэтому мы требуем, чтобы функции in равнялись нулю на границе и имели интегрируемые с квадратом производные. Подходящим пространством для удовлетворения этих требований является пространство Соболева функций со слабыми производными по и с нулевыми граничными условиями, поэтому мы полагаем${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle H_{0}^{1}(\Omega )}$${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$${\displaystyle V=H_{0}^{1}(\Omega )}$

Мы получаем общий вид, полагая

${\displaystyle a(u,v)=\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\,dx}$

и

${\displaystyle f(v)=\int _{\Omega }fv\,dx.}$

Теорема Лакса – Милгрэма [ править ]

Это формулировка теоремы Лакса – Милграма, основанная на свойствах симметричной части билинейной формы . Это не самая общая форма.

Пусть быть гильбертово пространство и в билинейной формы на , которая${\displaystyle V}$${\displaystyle a(\cdot ,\cdot )}$${\displaystyle V}$

1. ограниченный : и${\displaystyle |a(u,v)|\leq C\|u\|\|v\|}$
2. принудительный :${\displaystyle a(u,u)\geq c\|u\|^{2}.}$

Тогда для любого существует единственное решение уравнения${\displaystyle f\in V'}$${\displaystyle u\in V}$

${\displaystyle a(u,v)=f(v)\quad \forall v\in V}$

и он держит

${\displaystyle \|u\|\leq {\frac {1}{c}}\|f\|_{V'}.}$

Применение к примеру 1 [ править ]

Здесь применение теоремы Лакса – Милграма определенно является более сильным результатом, чем необходимо, но мы все же можем использовать его и придать этой проблеме ту же структуру, что и другие.

• Ограниченность: все билинейные формы на ограничены. В частности, у нас есть${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

  ${\displaystyle |a(u,v)|\leq \|A\|\,\|u\|\,\|v\|}$

• Коэрцитивность: на самом деле это означает, что действительные части собственных значений не меньше, чем . Поскольку отсюда, в частности, следует, что никакое собственное значение не равно нулю, система разрешима.${\displaystyle A}$${\displaystyle c}$

Дополнительно получаем оценку

${\displaystyle \|u\|\leq {\frac {1}{c}}\|f\|,}$

где - минимальная действительная часть собственного значения .${\displaystyle c}$${\displaystyle A}$

Применение к примеру 2 [ править ]

Здесь, как уже упоминалось выше, мы выбираем с нормой${\displaystyle V=H_{0}^{1}(\Omega )}$

${\displaystyle \|v\|_{V}:=\|\nabla v\|,}$

где норма справа - это -норма на (это дает истинную норму по неравенству Пуанкаре ). Но мы видим , что и по неравенству Коши-Шварца , .${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle V}$${\displaystyle |a(u,u)|=\|\nabla u\|^{2}}$${\displaystyle |a(u,v)|\leq \|\nabla u\|\,\|\nabla v\|}$

Таким образом, для любого , существует единственное решение из уравнения Пуассона и мы имеем оценку${\displaystyle f\in [H_{0}^{1}(\Omega )]'}$${\displaystyle u\in V}$

${\displaystyle \|\nabla u\|\leq \|f\|_{[H_{0}^{1}(\Omega )]'}.}$

См. Также [ править ]

• Теорема Бабушки – Лакса – Милграма.
• Теорема Лайонса – Лакса – Милграма.

Ссылки [ править ]

• Лакс, Питер Д .; Милграм, Артур Н. (1954), «Параболические уравнения», Вклад в теорию уравнений в частных производных , Annals of Mathematics Studies, 33 , Princeton, NJ : Princeton University Press , pp. 167–190, doi : 10.1515 / 9781400882182- 010 , Руководство по ремонту  0067317 , Zbl  0058.08703

Внешние ссылки [ править ]

• Страница MathWorld, посвященная теореме Лакса – Милграма