В математике , то неравенство Пуанкаре [1] является результатом в теории пространств Соболева , названный в честь французского математика Анри Пуанкаре . Неравенство позволяет получить оценки функции, используя оценки ее производных и геометрию области определения. Такие оценки имеют большое значение в современных прямых методах вариационного исчисления . Очень тесно связанный результат - неравенство Фридрихса .
Формулировка неравенства
Классическое неравенство Пуанкаре
Пусть p , так что 1 ≤ p <∞ и Ω - подмножество, ограниченное хотя бы в одном направлении. Тогда существует константа С , зависящая только от Q , и р , так что, для каждой функции U в пространстве Соболева W 0 1, р (Ω) функций с нулевым следом,
Неравенство Пуанкаре – Виртингера.
Предположим , что 1 ≤ р ≤ ∞ и Ω является ограниченным связано открытое подмножество в п - мерном евклидовом пространстве R п с границей Липшица (т.е. Ω является Липшица домена ). Тогда существует постоянная C , зависящая только от Ω и p , такая, что для любой функции u из пространства Соболева W 1, p (Ω),
где
- среднее значение u по Ω, причем | Ω | обозначающая меру Лебега области Ω. Когда Ω - шар, указанное выше неравенство называется (p, p) -неравенство Пуанкаре; для более общих областей Ω это более известно как неравенство Соболева.
Обобщения
В контексте метрических пространств с мерой (например, субримановых многообразий) такие пространства поддерживают (q, p) -неравенство Пуанкаре для некоторых если есть постоянные C и так что для каждого шара B в пространстве
В контексте метрических пространств с мерой - минимальный p-слабый верхний градиент u в смысле Хейнонена и Коскелы [J. Хейнонен и П. Коскела, Квазиконформные отображения в метрических пространствах с управляемой геометрией, Acta Math. 181 (1998), 1–61]
Существуют и другие обобщения неравенства Пуанкаре на другие пространства Соболева. Например, следующее (взято из Garroni & Мюллера (2005) ) является неравенство Пуанкаре для пространства Соболева H 1/2 ( T 2 ), т.е. в пространстве функций у в L 2 пространства блока тора Т 2 с Преобразование Фурье û, удовлетворяющее
существует константа C такая, что для любого u ∈ H 1/2 ( T 2 ) с тождественным нулем u на открытом множестве E ⊆ T 2 ,
где колпачок ( Е × {0}) обозначает гармоническую емкость по E × {0} , когда рассматривать как подмножество R 3 .
Постоянная Пуанкаре
Оптимальная постоянная C в неравенстве Пуанкаре иногда называется постоянной Пуанкаре для области Ω. Определение постоянной Пуанкаре, как правило, является очень сложной задачей, которая зависит от значения p и геометрии области Ω. Однако некоторые особые случаи поддаются рассмотрению. Например, если Ω является ограниченным , выпуклая , липшицева область с диаметром D , то константа Пуанкаре не превосходит г / 2 при р = 1,для p = 2 ( Acosta & Durán 2004 ; Payne & Weinberger 1960 ), и это наилучшая возможная оценка постоянной Пуанкаре только с точки зрения диаметра. Для гладких функций это можно понимать как применение изопериметрического неравенства к множествам уровня функции . [1] В одном измерении это неравенство Виртингера для функций .
Однако в некоторых частных случаях постоянная C может быть определена конкретно. Например, для p = 2 хорошо известно, что над областью единичного равнобедренного прямоугольного треугольника C = 1 / π (< d / π, где). (См., Например, Kikuchi & Liu (2007) .)
Кроме того, для гладкой ограниченной области , поскольку фактор Рэлея для оператора Лапласа в пространствеминимизируется собственной функцией, соответствующей минимальному собственному значению λ 1 (отрицательного) лапласиана, это простое следствие, что для любого,
и, кроме того, что постоянная λ 1 оптимальна.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Пуанкаре, Х. (1890). "Sur les Equations aux Dérivées Partielles de la Physique Mathématique" . Американский журнал математики . 12 (3). Уравнение (11) стр. 253. doi : 10.2307 / 2369620 . ISSN 0002-9327 .
- Акоста, Габриэль; Дюран, Рикардо Г. (2004), "Оптимальное неравенство Пуанкаре в L 1 для выпуклых областей", Proc. Амер. Математика. Soc. , 132 (1): 195–202 (электронный), DOI : 10.1090 / S0002-9939-03-07004-7
- Эванс, Лоуренс К. (1998), уравнения в частных производных , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN 0-8218-0772-2
- Кикучи, Фумио; Лю, Сюэфэн (2007), "Оценка констант ошибок интерполяции для треугольных конечных элементов P0 и P1", Comput. Методы. Прил. Мех. Engrg. , 196 (37-40): 3750-3758, DOI : 10.1016 / j.cma.2006.10.029 МИСТЕР2340000
- Гаррони, Адриана; Мюллер, Стефан (2005), "Γ-предел модели дислокаций фазового поля", SIAM J. Math. Анальный. , 36 (6): 1943-1964 (электронный), DOI : 10,1137 / S003614100343768X МИСТЕР2178227
- Леони, Джованни (2009), Первый курс по пространствам Соболева , Аспирантура по математике, Американское математическое общество, стр. Xvi + 607 ISBN 978-0-8218-4768-8 , MR2527916 , г. Zbl 1180.46001 , MAA
- Payne, LE; Веинберджер, HF (1960), «Оптимальное неравенство Пуанкара для выпуклых областей», Архив для рациональной механики и анализа : 286-292, да : 10,1007 / BF00252910 , ISSN 0003-9527
- Heinonen, J .; Koskela, P. (1998), "Квазиконформные карты в метрических пространствах с регулируемой геометрией", Acta Mathematica : 1-61, DOI : 10.1007 / BF02392747 , ISSN 1871-2509