Прямой метод вариационного исчисления

В математике , то прямой метод в исчислении вариаций является общим методом для построения доказательства существования минимайзера для данного функционала , ^[1] введено Заремба и Давида Гильберта около 1900 Метод основан на методах функционального анализа и топология . Прямые методы не только используются для доказательства существования решения, но и для вычисления решения с желаемой точностью. ^[2]

Метод [ править ]

В вариационном исчислении используются функционалы , где - некоторое функциональное пространство и . Главный интерес темы - найти минимизаторы для таких функционалов, то есть таких функций , что:${\ displaystyle J: V \ to {\ bar {\ mathbb {R}}}}$${\ displaystyle V}$${\ Displaystyle {\ бар {\ mathbb {R}}} = \ mathbb {R} \ чашка \ {\ infty \}}$${\ displaystyle v \ in V}$${\ Displaystyle J (v) \ leq J (u) \ forall u \ in V.}$

Стандартным средством получения необходимых условий для того, чтобы функция была минимизатором, является уравнение Эйлера – Лагранжа . Но поиск минимизатора среди функций, удовлетворяющих этим требованиям, может привести к ложным выводам, если существование минимизатора не установлено заранее.

Чтобы функционал имел минимизатор, он должен быть ограничен снизу. Это означает${\displaystyle J}$

${\displaystyle \inf\{J(u)|u\in V\}>-\infty .\,}$

Этого условия недостаточно, чтобы знать, что минимизатор существует, но оно показывает существование минимизирующей последовательности , то есть последовательности в такой, что${\displaystyle (u_{n})}$${\displaystyle V}$${\displaystyle J(u_{n})\to \inf\{J(u)|u\in V\}.}$

Прямой метод можно разбить на следующие этапы

1. Возьмите минимизирующую последовательность для .${\displaystyle (u_{n})}$${\displaystyle J}$
2. Покажите, что допускает некоторую подпоследовательность , сходящуюся к a относительно топологии на .${\displaystyle (u_{n})}$ ${\displaystyle (u_{n_{k}})}$${\displaystyle u_{0}\in V}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle V}$
3. Покажите, что последовательно полунепрерывно снизу по топологии .${\displaystyle J}$${\displaystyle \tau }$

Чтобы увидеть, что это показывает существование минимизатора, рассмотрим следующую характеризацию последовательно полунепрерывных снизу функций.

Функция последовательно полунепрерывна снизу, если${\displaystyle J}$

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }J(u_{n})\geq J(u_{0})}$для любой сходящейся последовательности в .${\displaystyle u_{n}\to u_{0}}$${\displaystyle V}$

Выводы следует из

${\displaystyle \inf\{J(u)|u\in V\}=\lim _{n\to \infty }J(u_{n})=\lim _{k\to \infty }J(u_{n_{k}})\geq J(u_{0})\geq \inf\{J(u)|u\in V\}}$,

другими словами

${\displaystyle J(u_{0})=\inf\{J(u)|u\in V\}}$.

Подробности [ править ]

Банаховы пространства [ править ]

Прямой метод часто может успешно применяться, когда пространство является подмножеством сепарабельного рефлексивного банахова пространства . В этом случае из секвенциальной теоремы Банаха – Алаоглу следует, что любая ограниченная последовательность в in имеет подпоследовательность, сходящуюся к некоторой в относительно слабой топологии . Если последовательно закрывается , то есть находится внутри , прямой метод может быть применен к функционалу , показывая${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$${\displaystyle (u_{n})}$${\displaystyle V}$${\displaystyle u_{0}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle u_{0}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle J:V\to {\bar {\mathbb {R} }}}$

1. ${\displaystyle J}$ ограничено снизу,
2. любая минимизирующая последовательность для ограничена, и${\displaystyle J}$
3. ${\displaystyle J}$слабо секвенциально полунепрерывно снизу, т. е. для любой слабо сходящейся последовательности выполняется .${\displaystyle u_{n}\to u_{0}}$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }J(u_{n})\geq J(u_{0})}$

Вторая часть обычно завершается демонстрацией того, что допускает некоторое состояние роста. Примером является${\displaystyle J}$

${\displaystyle J(x)\geq \alpha \lVert x\rVert ^{q}-\beta }$для некоторых , и .${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle q\geq 1}$${\displaystyle \beta \geq 0}$

Функционал с этим свойством иногда называют принудительным. Отображение последовательной нижней полунепрерывности обычно является наиболее сложной частью при применении прямого метода. Ниже приведены некоторые теоремы для общего класса функционалов.

Соболевские просторы [ править ]

Типичный функционал вариационного исчисления представляет собой интеграл вида

${\displaystyle J(u)=\int _{\Omega }F(x,u(x),\nabla u(x))dx}$

где - подмножество и - действительная функция на . Аргумент функции является дифференцируемой , а ее якобиан отождествляется с -вектором.${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \Omega \times \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{mn}}$${\displaystyle J}$${\displaystyle u:\Omega \to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \nabla u(x)}$${\displaystyle mn}$

При выводе уравнения Эйлера – Лагранжа общий подход состоит в том, чтобы предположить, что у него есть граница, и позволить области определения быть . Это пространство является банаховым, если наделено супремум-нормой , но не рефлексивно. При применении прямого метода функционал обычно определяется на пространстве Соболева с , которое является рефлексивным банаховым пространством. Тогда производные от в формуле для должны рассматриваться как слабые производные . В следующем разделе представлены две теоремы о слабой секвенциальной полунепрерывности снизу функционалов указанного типа.${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle C^{2}}$${\displaystyle J}$${\displaystyle C^{2}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}$ ${\displaystyle W^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}$${\displaystyle p>1}$${\displaystyle u}$${\displaystyle J}$

Последовательная полунепрерывность снизу интегралов [ править ]

Поскольку многие функционалы в вариационном исчислении имеют вид

${\displaystyle J(u)=\int _{\Omega }F(x,u(x),\nabla u(x))dx}$,

где открыто, большое значение имеют теоремы, характеризующие функции, для которых слабо секвенциально полунепрерывно снизу по с .${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle J}$${\displaystyle W^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}$${\displaystyle p\geq 1}$

В целом получается следующее: ^[3]

Предположим, что это функция со следующими свойствами:${\displaystyle F}$

1. Функция непрерывна почти для всех .${\displaystyle (y,A)\mapsto F(x,y,A)}$ ${\displaystyle x\in \Omega }$
2. Функция является измерима для каждого .${\displaystyle x\mapsto F(x,y,A)}$${\displaystyle (y,A)\in \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{mn}}$
3. Там существуют с Гельдера конъюгату и таким образом, чтобы выполнялось неравенство справедливо для почти всех и каждого : . Здесь обозначает внутреннее произведение Фробениуса для и в ).${\displaystyle a\in L^{q}(\Omega ,\mathbb {R} ^{mn})}$ ${\displaystyle q={\tfrac {p}{p-1}}}$${\displaystyle b\in L^{1}(\Omega )}$${\displaystyle x\in \Omega }$${\displaystyle (y,A)\in \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{mn}}$${\displaystyle F(x,y,A)\geq \langle a(x),A\rangle +b(x)}$${\displaystyle \langle a(x),A\rangle }$${\displaystyle a(x)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{mn}}$

Если функция выпукла для почти всех и каждого ,${\displaystyle A\mapsto F(x,y,A)}$${\displaystyle x\in \Omega }$${\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{m}}$

то последовательно слабо полунепрерывно снизу.${\displaystyle J}$

Когда или следующая обратная теорема верна ^[4]${\displaystyle n=1}$${\displaystyle m=1}$

Предположим, что непрерывно и удовлетворяет${\displaystyle F}$

${\displaystyle |F(x,y,A)|\leq a(x,|y|,|A|)}$

для каждого , и фиксированная функция, возрастающая по и , и локально интегрируемая по . Если последовательно слабо полунепрерывно снизу, то для любого заданного функция выпуклая.${\displaystyle (x,y,A)}$${\displaystyle a(x,y,A)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle p}$${\displaystyle x}$${\displaystyle J}$${\displaystyle (x,y)\in \Omega \times \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle A\mapsto F(x,y,A)}$

В заключение, когда или , функционал , предполагающий разумный рост и ограниченность на , является слабо последовательно полунепрерывным снизу тогда и только тогда, когда функция является выпуклой. ${\displaystyle m=1}$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle J}$${\displaystyle F}$${\displaystyle A\mapsto F(x,y,A)}$

Если оба и больше 1, можно ослабить необходимость выпуклости до обобщений выпуклости, а именно поливыпуклости и квазивыпуклости. ^[5]${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$

Заметки [ править ]

Ссылки и дополнительная литература [ править ]

• Дакорогна, Бернар (1989). Прямые методы вариационного исчисления . Springer-Verlag. ISBN 0-387-50491-5.
• Фонсека, Ирен ; Джованни Леони (2007). Современные методы вариационного исчисления: пространства${\displaystyle L^{p}}$ . Springer. ISBN 978-0-387-35784-3. CS1 maint: discouraged parameter (link)
• Морри, CB, мл .: множественные интегралы в вариационном исчислении . Springer, 1966 (переиздано в 2008 г.), Berlin ISBN 978-3-540-69915-6 . 
• Йиндржих Нечас: Прямые методы в теории эллиптических уравнений . (Перевод с французского оригинала 1967 года А. Куфнера и Г. Тронеля), Springer, 2012, ISBN 978-3-642-10455-8 . 
• Т. Рубичек (2000). «Прямой метод решения параболических задач». Adv. Математика. Sci. Прил . 10 . С. 57–65. Руководство по ремонту  1769181 .