Неравенство Виртингера для функций
В математике исторически неравенство Виртингера для действительных функций было неравенством , используемым в анализе Фурье . Он был назван в честь Вильгельма Виртингера . Он был использован в 1904 году для доказательства изопериметрического неравенства . Множество тесно связанных результатов сегодня известны как неравенство Виртингера.
Пусть — периодическая функция периода 2π, непрерывная и имеющая непрерывную производную по всему R , такая, что
с равенством тогда и только тогда, когда f ( x ) = a sin ( x ) + b cos ( x ) для некоторых a и b (или, что то же самое , f ( x ) = c sin ( x + d ) для некоторых c и d ).
Эта версия неравенства Виртингера представляет собой одномерное неравенство Пуанкаре с оптимальной константой.
всякий раз , когда f является функцией C 1 такой, что f (0) = f ( a ) = 0. В этой форме неравенство Виртингера рассматривается как одномерная версия неравенства Фридрихса .
Доказательства обеих версий аналогичны. Вот доказательство первой версии неравенства. Поскольку условия Дирихле выполнены, мы можем написать