В математике , А множество уровня из реальной значной функции F от п вещественных переменных является множество вида
то есть набор, в котором функция принимает заданное постоянное значение c .
Когда количество независимых переменных равно двум, набор уровня представляет собой кривую , называемую кривой уровня , также называемую контурной линией или изолинией. Таким образом, кривая уровня - это совокупность всех действительных решений уравнения с двумя переменными x 1 и x 2 . Когда n = 3, набор уровня называется поверхностью уровня (см. Также изоповерхность ), а для более высоких значений n набор уровня является гиперповерхностью уровня. Таким образом, поверхность уровня - это совокупность всех действительных корней уравнения от трех переменных x 1 , x 2 и x 3 , а гиперповерхность уровня - это совокупность всех действительных корней уравнения от n ( n > 3 ) переменные.
Уровень - это частный случай волокна .
Альтернативные названия
Наборы уровней появляются во многих приложениях, часто под разными именами.
Например, неявная кривая - это линия уровня, которая рассматривается независимо от соседних кривых, подчеркивая, что такая кривая определяется неявным уравнением . Аналогично, поверхность уровня иногда называют неявной поверхностью или изоповерхностью .
Также используется название изоконтур, что означает контур одинаковой высоты. В различных областях применения, isocontours получили имена конкретных, которые часто указывают на природу значений рассматриваемой функции, такие как изобары , изотермы , изогон , изохроне , изокванта и кривой безразличия .
Примеры
Рассмотрим двумерное евклидово расстояние:
Второй пример - это график функции Химмельблау, показанный на рисунке справа. Каждая показанная кривая является кривой уровня функции, и они разнесены логарифмически: если кривая представляет, кривая прямо «внутри» представляет , а кривая прямо «снаружи» представляет .
Наборы уровней по сравнению с градиентом
- Теорема : Если функция F является дифференцируемой , то градиент из F в точке равен либо нулю, либо перпендикулярно к множеству уровня F в этой точке.
Чтобы понять, что это означает, представьте, что два туриста находятся в одном месте на горе. Один из них смелый, и он решает пойти в том направлении, где склон самый крутой. Другой более осторожен; он не хочет ни подниматься, ни спускаться, выбирая путь, который удержит его на той же высоте. В нашей аналогии, приведенная выше теорема говорит, что два туриста отправятся в направлениях, перпендикулярных друг другу.
Следствием этой теоремы (и ее доказательство), что если F дифференцируема, множество уровня является гиперповерхность и многообразием вне критических точек из е . В критический момент, установленный уровня может быть уменьшена до точки (например , на локальный экстремум из F ) или могут иметь особенность , такие как точки самопересечения или острие .
Наборы подуровней и суперуровней
Набор формы
называется подуровень набор из F (или, альтернативно, нижнего установленного уровня или траншею от F ). Множеством строгих подуровней функции f является
по аналогии
называется superlevel набор из е . [2] [3] И аналогично строгий суперуровневый набор функции f
Множества подуровней важны в теории минимизации . Из ограниченности некоторого непустого множества подуровней и полунепрерывности снизу функции следует, что функция достигает своего минимума по теореме Вейерштрасса . Выпуклость всех множеств подуровней характеризует Квазивыпуклые функции . [4]
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Simionescu, PA (2011). «Некоторые достижения в визуализации ограниченных функций и неравенств двух переменных». Журнал вычислительной техники и информатики в инженерии . 11 (1). DOI : 10.1115 / 1.3570770 .
- ^ Войцеховский М.И. (2001) [1994], "Уровень" , Энциклопедия математики , EMS Press
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Набор уровней» . MathWorld .
- ^ Кивель, Кшиштоф К. (2001). «Сходимость и эффективность субградиентных методов квазивыпуклой минимизации». Математическое программирование, Series A . Берлин, Гейдельберг: Springer. 90 (1): 1–25. DOI : 10.1007 / PL00011414 . ISSN 0025-5610 . MR 1819784 . S2CID 10043417 .