Оператор Лапласа

В математике , то оператор Лапласа или лапласиан является дифференциальный оператор задается дивергенции от градиента в виде функции на евклидовом пространстве . Обычно его обозначают символами ∇ · ∇ , ∇ ² (где ∇ - оператор набла ) или Δ . В декартовой системе координат лапласиан задается суммой вторых частных производных функции по каждой независимой переменной . В другомСистемы координат , такие как цилиндрические и сферические координаты , лапласиан также имеет полезную форму. Неформально, лапласиан Δ f ( p ) функции f в точке p измеряет, насколько среднее значение f по маленьким сферам или шарам с центром в p отклоняется от f ( p ) .

Оператор Лапласа назван в честь французского математика Пьера-Симона де Лапласа (1749–1827), который первым применил оператор к изучению небесной механики , где оператор дает постоянную, кратную плотности массы, когда он применяется к гравитационному исследованию. потенциал из-за распределения массы с данной плотностью. Решения уравнения Δ f = 0 , теперь называемого уравнением Лапласа , являются так называемыми гармоническими функциями и представляют возможные гравитационные поля в областях вакуума .

Лапласиан встречается в дифференциальных уравнениях, которые описывают многие физические явления, такие как электрические и гравитационные потенциалы , уравнение диффузии для потока тепла и жидкости , распространение волн и квантовую механику . Лапласиан представляет собой плотность потока от градиента потокафункции. Например, чистая скорость, с которой химическое вещество, растворенное в жидкости, движется к некоторой точке или от нее, пропорциональна лапласиану химической концентрации в этой точке; выраженное символически, результирующее уравнение является уравнением диффузии. По этим причинам он широко используется в науке для моделирования различных физических явлений. Лапласиан - простейший эллиптический оператор, он лежит в основе теории Ходжа, а также результатов когомологий де Рама . В обработке изображений и компьютерном зрении оператор Лапласа используется для различных задач, таких как обнаружение пятен и краев .

Определение [ править ]

Оператор Лапласа - это дифференциальный оператор второго порядка в n- мерном евклидовом пространстве , определяемый как дивергенция ( ∇ · ) градиента ( ∇ f ). Таким образом, если f - дважды дифференцируемая вещественнозначная функция , то лапласиан f определяется следующим образом:

${\ displaystyle \ Delta f = \ nabla ^ {2} f = \ nabla \ cdot \ nabla f}$

( 1 )

где последние обозначения происходят от формальной записи:

${\displaystyle \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right).}$

Эквивалентно, лапласиан f представляет собой сумму всех несмешанных вторых частных производных в декартовых координатах x _i :

${\displaystyle \Delta f=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}^{2}}}}$

( 2 )

Как дифференциальный оператор второго порядка, оператор Лапласа отображает функции C k в функции C ^{k −2} при k ≥ 2 . Выражение ( 1 ) (или эквивалентно ( 2 )) определяет оператор Δ: C ^k (ℝ ⁿ ) → C ^{k −2} (ℝ ⁿ ) или, в более общем смысле, оператор Δ: C ^k (Ω) → C ^{k - 2} (Ω) для любого открытого множества Ω .

Мотивация [ править ]

Распространение [ править ]

В физической теории диффузии оператор Лапласа (через уравнение Лапласа ) естественным образом возникает при математическом описании равновесия . ^[1] В частности, если у есть плотность в равновесии некоторой величины , такие как химические концентрации, то результирующий поток из U через границу любой гладкой области V равен нуль, при условии , что нет источника или раковин в пределах V :

${\displaystyle \int _{\partial V}\nabla u\cdot \mathbf {n} \,dS=0,}$

где п есть внешнее единичный вектор нормали к границе V . По теореме о дивергенции ,

${\displaystyle \int _{V}\operatorname {div} \nabla u\,dV=\int _{\partial V}\nabla u\cdot \mathbf {n} \,dS=0.}$

Поскольку это верно для всех гладких областей V , можно показать, что это влечет:

${\displaystyle \operatorname {div} \nabla u=\Delta u=0.}$

Левая часть этого уравнения - оператор Лапласа. Сам оператор Лапласа имеет физическую интерпретацию неравновесной диффузии как степень, в которой точка представляет источник или сток химической концентрации, в некотором смысле, уточненном уравнением диффузии .

Средние [ править ]

Учитывая дважды непрерывно дифференцируемую функцию , точку и действительное число , мы позволяем быть средним значением по шару с радиусом с центром в , и быть средним значением по сфере с радиусом с центром в . Тогда у нас есть: ^[2]${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle h>0}$${\displaystyle {\overline {f}}_{B}(p,h)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle h}$${\displaystyle p}$${\displaystyle {\overline {f}}_{S}(p,h)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle h}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\overline {f}}_{B}(p,h)=f(p)+{\frac {\Delta f(p)}{2(n+2)}}h^{2}+o(h^{2})\;\;\;\;{\mbox{for}}\;\;h\to 0}$

и

${\displaystyle {\overline {f}}_{S}(p,h)=f(p)+{\frac {\Delta f(p)}{2n}}h^{2}+o(h^{2})\;\;\;\;{\mbox{for}}\;\;h\to 0.}$

Плотность, связанная с потенциалом [ править ]

Если φ обозначает электростатический потенциал, связанный с распределением заряда q , то само распределение заряда задается отрицанием лапласиана φ :

${\displaystyle q=-\varepsilon _{0}\Delta \varphi ,}$

где ε ₀ - электрическая постоянная .

Это следствие закона Гаусса . Действительно, если V - любая гладкая область, то по закону Гаусса поток электростатического поля E пропорционален приложенному заряду:

${\displaystyle \int _{\partial V}\mathbf {E} \cdot \mathbf {n} \,dS=\int _{V}\operatorname {div} \mathbf {E} \,dV={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int _{V}q\,dV.}$

где первое равенство следует из теоремы о расходимости . Поскольку электростатическое поле представляет собой (отрицательный) градиент потенциала, теперь это дает:

${\displaystyle -\int _{V}\operatorname {div} (\operatorname {grad} \varphi )\,dV={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int _{V}q\,dV.}$

Итак, поскольку это верно для всех областей V , мы должны иметь

${\displaystyle \operatorname {div} (\operatorname {grad} \varphi )=-{\frac {1}{\varepsilon _{0}}}q}$

Тот же подход подразумевает, что отрицательным элементом лапласиана гравитационного потенциала является распределение масс . Часто указывается распределение заряда (или массы), а связанный с ним потенциал неизвестен. Нахождение потенциальной функции с подходящими граничными условиями эквивалентно решению уравнения Пуассона .

Минимизация энергии [ править ]

Другая причина появления лапласиана в физике состоит в том, что решения для Δ f = 0 в области U являются функциями, которые делают функционал энергии Дирихле стационарным :

${\displaystyle E(f)={\frac {1}{2}}\int _{U}\Vert \nabla f\Vert ^{2}\,dx.}$

Чтобы убедиться в этом, предположим , что F  : U → ℝ является функцией, и у  : U → ℝ это функция , которая обращается в нуль на границе U . Потом:

${\displaystyle \left.{\frac {d}{d\varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}E(f+\varepsilon u)=\int _{U}\nabla f\cdot \nabla u\,dx=-\int _{U}u\,\Delta f\,dx}$

где последнее равенство следует из первого тождества Грина . Этот расчет показывает, что если Δ f = 0 , то E неподвижен вокруг f . Наоборот, если E стационарно вокруг f , то Δ f = 0 по основной лемме вариационного исчисления .

Выражения координат [ править ]

Два измерения [ править ]

Оператор Лапласа в двух измерениях определяется выражением:

В декартовой системе координат ,

${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}}$

где х и у являются стандартными декартовы координаты по ху плоскости.

В полярных координатах ,

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta f&={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}\\&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}},\end{aligned}}}$

где r представляет собой радиальное расстояние, а θ - угол.

Три измерения [ править ]

В трех измерениях обычно работают с лапласианом в различных системах координат.

В декартовой системе координат ,

${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.}$

В цилиндрических координатах ,

${\displaystyle \Delta f={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial f}{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}},}$

где представляет собой радиальное расстояние, φ - азимутальный угол, а z - высоту.${\displaystyle \rho }$

В сферических координатах :

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta f&={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}},\end{aligned}}}$

где φ представляет собой азимутальный угол, а θ - зенитный угол или со-широту .

В общих криволинейных координатах ( ξ ¹ , ξ ² , ξ ³ ):

${\displaystyle \Delta =\nabla \xi ^{m}\cdot \nabla \xi ^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \xi ^{m}\partial \xi ^{n}}}+\nabla ^{2}\xi ^{m}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{m}}}=g^{mn}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \xi ^{m}\partial \xi ^{n}}}-\Gamma _{mn}^{l}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{l}}}\right),}$

где подразумевается суммирование по повторяющимся индексам , g ^mn - обратный метрический тензор, а Γ ^l _mn - символы Кристоффеля для выбранных координат.

N измерений [ править ]

В произвольных координатах криволинейных в N измерениях ( £ , ¹ , ..., ξ ^N ), то можно записать лапласиан в терминах обратного метрического тензора , :${\displaystyle g^{ij}}$

${\displaystyle \Delta ={\frac {1}{\sqrt {\det g}}}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{i}}}\left({\sqrt {\det g}}g^{ij}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{j}}}\right)}$,

из формулы Фосса - Вейля ^[3] для расходимости .

В сферических координатах в N измерениях , с параметризацией x = rθ ∈ ℝ ^N, где r представляет положительный вещественный радиус, а θ - элемент единичной сферы S N −1 ,

${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {N-1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}\Delta _{S^{N-1}}f}$

где Δ _{S ^{N −1}} - оператор Лапласа – Бельтрами на ( N - 1) -сфере, известный как сферический лапласиан. Два члена с радиальной производной могут быть эквивалентно переписаны как:

${\displaystyle {\frac {1}{r^{N-1}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{N-1}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right).}$

Как следствие, сферический лапласиан функции , определенный на S ^{N -1} ⊂ ℝ ^N может быть вычислен как обычный лапласиан функции продлен до ℝ ^N ∖ {0} , так что он является постоянным вдоль лучей, то есть, однородные степеней нуль.

Евклидова инвариантность [ править ]

Лапласиан инвариантен относительно всех евклидовых преобразований : вращений и сдвигов . Например, в двух измерениях это означает, что:

${\displaystyle \Delta (f(x\cos \theta -y\sin \theta +a,x\sin \theta +y\cos \theta +b))=(\Delta f)(x\cos \theta -y\sin \theta +a,x\sin \theta +y\cos \theta +b)}$

для всех θ , a и b . В произвольных размерах,

${\displaystyle \Delta (f\circ \rho )=(\Delta f)\circ \rho }$

когда ρ - вращение, и аналогично:

${\displaystyle \Delta (f\circ \tau )=(\Delta f)\circ \tau }$

всякий раз, когда τ - перевод. (В более общем плане это остается верным, когда ρ - ортогональное преобразование, такое как отражение .)

Фактически, алгебра всех скалярных линейных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами, которые коммутируют со всеми евклидовыми преобразованиями, является алгеброй полиномов, порожденной оператором Лапласа.

Спектральная теория [ править ]

Спектр оператора Лапласа состоит из всех собственных значений А , для которых есть соответствующий собственная функция F с:

${\displaystyle -\Delta f=\lambda f.}$

Это известно как уравнение Гельмгольца .

Если Ω является ограниченная область в ℝ ^п , то собственные функции лапласиана являются ортонормированный базис для гильбертова пространства L 2 (Q) . Этот результат по существу следует из спектральной теоремы о компактных самосопряженных операторах , примененной к обратному лапласиану (который компактен в силу неравенства Пуанкаре и теоремы Реллиха – Кондрахова ). ^[4] Также можно показать, что собственные функции являются бесконечно дифференцируемыми функциями. ^[5]В более общем плане эти результаты верны для оператора Лапласа – Бельтрами на любом компактном римановом многообразии с краем или для проблемы собственных значений Дирихле любого эллиптического оператора с гладкими коэффициентами в ограниченной области. Когда Ω является n- сферой , собственными функциями лапласиана являются сферические гармоники .

Векторный лапласиан [ править ]

Оператор Лапласа вектор , также обозначается , является дифференциальным оператором , определенным над векторным полем . ^[6] Векторный лапласиан аналогичен скалярному лапласиану; тогда как скалярный лапласиан применяется к скалярному полю и возвращает скалярную величину, векторный лапласиан применяется к векторному полю , возвращая векторную величину. При вычислении в ортонормированных декартовых координатах возвращаемое векторное поле равно векторному полю скалярного лапласиана, примененного к каждому компоненту вектора.${\displaystyle \nabla ^{2}}$

Вектор лапласиана из векторного поля определяется как${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} ).}$

В декартовых координатах это сводится к гораздо более простой форме:

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} =(\nabla ^{2}A_{x},\nabla ^{2}A_{y},\nabla ^{2}A_{z}),}$

где , и - компоненты . Это можно рассматривать как частный случай формулы Лагранжа; см. тройное произведение вектора .${\displaystyle A_{x}}$${\displaystyle A_{y}}$${\displaystyle A_{z}}$${\displaystyle \mathbf {A} }$

Для выражения векторного лапласиана в других системах координат см. Del в цилиндрических и сферических координатах .

Обобщение [ править ]

Лапласиан любого тензорного поля ( «тензор» включает в себя скалярное и векторное) определяется как дивергенции от градиента тензора:${\displaystyle \mathbf {T} }$

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {T} =(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {T} .}$

В частном случае, когда - скаляр (тензор нулевой степени), лапласиан принимает знакомый вид.${\displaystyle \mathbf {T} }$

Если - вектор (тензор первой степени), градиент представляет собой ковариантную производную, которая приводит к тензору второй степени, и его дивергенция снова является вектором. Формула для векторного лапласиана, приведенная выше, может использоваться, чтобы избежать тензорной математики, и может быть показана как эквивалентная дивергенции матрицы Якоби, показанной ниже для градиента вектора:${\displaystyle \mathbf {T} }$

${\displaystyle \nabla \mathbf {T} =(\nabla T_{x},\nabla T_{y},\nabla T_{z})={\begin{bmatrix}T_{xx}&T_{xy}&T_{xz}\\T_{yx}&T_{yy}&T_{yz}\\T_{zx}&T_{zy}&T_{zz}\end{bmatrix}},{\text{ where }}T_{uv}\equiv {\frac {\partial T_{u}}{\partial v}}.}$

И таким же образом скалярное произведение, которое оценивается как вектор, вектора на градиент другого вектора (тензор 2-й степени) можно рассматривать как произведение матриц:

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \nabla \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&A_{z}\end{bmatrix}}\nabla \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} \cdot \nabla B_{x}&\mathbf {A} \cdot \nabla B_{y}&\mathbf {A} \cdot \nabla B_{z}\end{bmatrix}}.}$

Эта идентичность является результатом, зависящим от координат, и не является общим.

Использование в физике [ править ]

Примером использования векторного лапласиана являются уравнения Навье-Стокса для ньютоновского потока несжимаемой жидкости :

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} \right)=\rho \mathbf {f} -\nabla p+\mu \left(\nabla ^{2}\mathbf {v} \right),}$

где член с вектором лапласианом скорости поля представляет собой вязкие напряжения в жидкости.${\displaystyle \mu \left(\nabla ^{2}\mathbf {v} \right)}$

Другой пример - волновое уравнение для электрического поля, которое может быть получено из уравнений Максвелла в отсутствие зарядов и токов:

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {E} -\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}=0.}$

Предыдущее уравнение также можно записать как:

${\displaystyle \Box \,\mathbf {E} =0,}$

куда

${\displaystyle \Box \equiv {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2},}$

- даламбертиан , используемый в уравнении Клейна – Гордона .

Обобщения [ править ]

Вариант лапласиана может быть определен везде, где имеет смысл функционал энергии Дирихле , а именно теория форм Дирихле . Для пространств с дополнительной структурой можно дать более явное описание лапласиана следующим образом.

Оператор Лапласа – Бельтрами [ править ]

Лапласиан также может быть обобщен до эллиптического оператора, называемого оператором Лапласа – Бельтрами, определенным на римановом многообразии . Оператор Даламбера обобщается до гиперболического оператора на псевдоримановых многообразиях . Оператор Лапласа – Бельтрами, примененный к функции, представляет собой след ( tr ) гессиана функции :

${\displaystyle \Delta f=\operatorname {tr} {\big (}H(f){\big )}}$

где след берется по отношению к обратному метрическому тензору . Оператор Лапласа – Бельтрами также может быть обобщен на оператор (также называемый оператором Лапласа – Бельтрами), который работает с тензорными полями , по аналогичной формуле.

Другое обобщение оператора Лапласа, доступное на псевдоримановых многообразиях, использует внешнюю производную , в терминах которой «лапласиан геометра» выражается как

${\displaystyle \Delta f=\delta df.}$

Здесь δ - кодифференциал , который также может быть выражен через звезду Ходжа и внешнюю производную. Этот оператор отличается по знаку от «лапласиана аналитика», определенного выше. В более общем смысле лапласиан «Ходжа» определяется на дифференциальных формах α формулой

${\displaystyle \Delta \alpha =\delta d\alpha +d\delta \alpha .}$

Это известно как оператор Лапласа – де Рама , который связан с оператором Лапласа – Бельтрами тождеством Вайтценбека .

Д'Аламбертиан [ править ]

Лапласиан может быть определенным образом обобщен на неевклидовы пространства, где он может быть эллиптическим , гиперболическим или ультрагиперболическим .

В пространстве Минковского оператор Лапласа-Бельтрами становится оператором Даламбера ⧠ или даламбертиана:

${\displaystyle \square ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}.}$

Это обобщение оператора Лапласа в том смысле, что это дифференциальный оператор, который инвариантен относительно группы изометрий основного пространства, и он сводится к оператору Лапласа, если ограничиваться функциями, не зависящими от времени. Общий знак метрики здесь выбран так, чтобы пространственные части оператора допускали отрицательный знак, что является обычным соглашением в физике частиц высоких энергий . Оператор Даламбера также известен как волновой оператор, потому что это дифференциальный оператор, фигурирующий в волновых уравнениях , а также часть уравнения Клейна – Гордона , которое сводится к волновому уравнению в безмассовом случае.

Дополнительный коэффициент c в метрике необходим в физике, если пространство и время измеряются в разных единицах; аналогичный коэффициент потребуется, если, например, направление x измеряется в метрах, а направление y - в сантиметрах. Действительно, физики-теоретики обычно работают с такими единицами, что c = 1 , чтобы упростить уравнение.

См. Также [ править ]

• Оператор Лапласа – Бельтрами , обобщение на подмногообразия в евклидовом пространстве, риманово и псевдориманово многообразие.
• Вектор Лапласа оператор, обобщение лапласиана в векторных полей .
• Лапласиан в дифференциальной геометрии .
• Дискретный оператор Лапласа является конечно-разностным аналогом непрерывного лапласиана, определенный на графиках и сетках.
• Лапласиан - распространенный оператор в обработке изображений и компьютерном зрении (см. Лапласиан гауссиана , детектор капель и масштабное пространство ).
• Список формул в римановой геометрии содержит выражение для лапласиана в терминах символов Кристоффеля.
• Лемма Вейля (уравнение Лапласа) .
• Теорема Ирншоу, которая показывает, что стабильная статическая гравитационная, электростатическая или магнитная подвеска невозможна.
• Del в цилиндрических и сферических координатах .
• Другими ситуациями, в которых определяется лапласиан, являются: анализ фракталов , исчисление шкалы времени и дискретное внешнее исчисление .

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Эванс, Л. (1998), Уравнения в частных производных , Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-0772-9
• Feynman, R .; Leighton, R; Сэндс, М. (1970), «Глава 12: Электростатические аналоги», Лекции Фейнмана по физике , 2 , Аддисон-Уэсли-Лонгман
• Gilbarg, D .; Трудингер Н. (2001), Эллиптические уравнения с частными производными второго порядка , Springer, ISBN 978-3-540-41160-4.
• Schey, HM (1996), Div, Grad, Curl, и все такое , WW Norton, ISBN 978-0-393-96997-9.

Дальнейшее чтение [ править ]

• http://farside.ph.utexas.edu/teaching/em/lectures/node23.html

Внешние ссылки [ править ]

• «Оператор Лапласа» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Лапласиан» . MathWorld .
• Как Лаплас спрятал козу: новая наука о магии Windows
• Вывод лапласиана в полярных координатах