Неравенство Коши – Шварца утверждает, что для всех векторов а также из внутреннего пространства продукта это правда , что
| | ( Неравенство Коши-Шварца [написано с использованием только внутреннего произведения] ) |
где это внутренний продукт . Примеры внутренних продуктов включают реальный и сложный скалярный продукт ; см. примеры во внутреннем продукте . Каждое внутреннее произведение порождает норму , называемую канонической или индуцированной нормой , где норма вектора обозначается и определяется следующим образом:
так что эта норма и внутренний продукт связаны определяющим условием где всегда является неотрицательным действительным числом (даже если внутренний продукт является комплексным). Извлекая квадратный корень из обеих частей указанного выше неравенства, неравенство Коши – Шварца можно записать в более привычной форме: [2] [3]
| | ( Неравенство Коши-Шварца [написано с использованием нормы и внутреннего произведения] ) |
Более того, обе стороны равны тогда и только тогда, когда а также являются линейно зависимыми . [4] [5]
Лемма Титу - Положительные действительные числа
Лемма Титу (названная в честь Титу Андрееску , также известная как лемма Т2, форма Энгеля или неравенство Седракяна ) утверждает, что для положительных действительных чисел
Это прямое следствие неравенства Коши – Шварца, полученного при подстановке а также Эта форма особенно полезна, когда в неравенстве участвуют дроби, числитель которых представляет собой полный квадрат.
ℝ 2 - Самолет
Неравенство Коши-Шварца в единичной окружности евклидовой плоскости
Реальное векторное пространство обозначает 2-мерную плоскость. Это также двумерное евклидово пространство, где внутренним продуктом является скалярное произведение . Если а также то неравенство Коши – Шварца принимает вид:
где это угол между а также .
Приведенная выше форма, пожалуй, самая легкая для понимания неравенства, поскольку квадрат косинуса может быть не более 1, что происходит, когда векторы находятся в одном или противоположных направлениях. Его также можно переформулировать в терминах векторных координат а также в виде
где равенство выполняется тогда и только тогда, когда вектор находится в том же или противоположном направлении, что и вектор , или если один из них - нулевой вектор.
ℝ n - n -мерное евклидово пространство
В евклидовом пространстве со стандартным внутренним произведением, которое является скалярным произведением , неравенство Коши – Шварца принимает следующий вид:
Неравенство Коши – Шварца в этом случае можно доказать, используя только идеи элементарной алгебры. Рассмотрим следующий квадратичным полиномом ин
Поскольку он неотрицателен, он имеет не более одного действительного корня для следовательно, его дискриминант меньше или равен нулю. Это,
откуда следует неравенство Коши – Шварца.
ℂ n - n -мерное комплексное пространство
Если с участием а также (где а также ) и если скалярное произведение в векторном пространстве - канонический сложный внутренний продукт (определяется как ), то неравенство может быть переформулировано более явно следующим образом (где штриховая нотация используется для комплексного сопряжения ):
Это,
L 2
Для пространства скалярного произведения комплекснозначных функций , интегрируемых с квадратом , выполняется следующее неравенство:
Неравенство Гельдера является обобщением этого.
Существует много различных доказательств [6] неравенства Коши – Шварца, помимо приведенных ниже. [1] [3] При обращении к другим источникам часто возникают два источника путаницы. Во-первых, некоторые авторы определяют ⟨⋅, ⋅⟩ как линейные по второму аргументу, а не по первому. Во-вторых, некоторые доказательства действительны только тогда, когда поле и нет [7]
В этом разделе приведены доказательства следующей теоремы:
Неравенство Коши-Шварца - Пусть а также быть произвольными векторами в пространстве внутреннего продукта над скалярным полем где это поле действительных чисел или комплексные числа потом
| | ( Неравенство Коши-Шварца ) |
где, кроме того, равенство выполняется в неравенстве Коши-Шварца тогда и только тогда, когда а также являются линейно зависимыми ; явно это означает:
если и только если один из а также является скалярным кратным другого. | | ( Характеристика равенства в Коши-Шварце ) |
Более того, если выполняется это равенство и если тогда
Во всех приведенных ниже доказательствах доказательство в тривиальном случае, когда хотя бы один из векторов равен нулю (или, что то же самое, в случае, когда ) та же. Он представлен сразу ниже только один раз, чтобы уменьшить повторение. Он также включает простую часть доказательства - вышеупомянутую характеристику равенства ; то есть доказывает, что если а также линейно зависимы, то
Доказательство тривиальных частей: случай, когда вектор а также одно направление Характеризации Равенства |
---|
По определению, а также линейно зависимы тогда и только тогда, когда один является скалярным кратным другому. Если где это какой-то скаляр, тогда
что показывает, что равенство выполняется в неравенстве Коши-Шварца . Случай, когда для некоторого скаляра очень похожа, с основным отличием комплексного сопряжения :
Если хотя бы один из а также нулевой вектор, то а также обязательно линейно зависимы (просто скалярно умножьте ненулевой вектор на число получить нулевой вектор; например, если тогда пусть чтобы ), что доказывает обратное этой характеризации в этом частном случае; то есть это показывает, что если хотя бы один из а также является тогда имеет место Характеристика Равенства . Если что происходит тогда и только тогда, когда тогда а также так что, в частности, неравенство Коши-Шварца выполняется, поскольку обе его части равны Доказательство в случае идентично. |
Следовательно, неравенство Коши-Шварца должно быть доказано только для ненулевых векторов, а также должно быть показано только нетривиальное направление характеризации равенства .
Доказательство 1 -
Частный случай было доказано выше, поэтому в дальнейшем предполагается, что Как теперь показано, Коши-Шварца в равенстве (и остальные теоремы) является почти немедленным corrollary следующего равенства :
| | ( Уравнение 1 ) |
что легко проверяется элементарным разложением (через определение нормы), а затем упрощение.
Заметив, что левая часть (LHS) уравнения. 1 неотрицательно (что делает то же самое и для правой части (RHS)) доказывает, чтооткуда следует неравенство Коши-Шварца (извлечение квадратного корня из обеих частей). Еслитогда правая часть (и, следовательно, также левая часть) уравнения. 1 это что возможно только если ; [примечание 1] таким образом что показывает, что а также линейно зависимы. Поскольку (тривиальное) обратное доказано выше, доказательство теоремы завершено. ⯀
Детали Элементарные расширения даны для заинтересованного читателя. Позволять а также чтобы а также потом
Обратите внимание, что это расширение не требует быть ненулевым; тем не мение, должен быть ненулевым, чтобы обе стороны разделить на и вывести из него неравенство Коши-Шварца. Обмен а также рождает:
и поэтому
Доказательство 2 -
Частный случай было доказано выше, поэтому в дальнейшем предполагается, что Позволять
Из линейности внутреннего продукта в его первом аргументе следует, что:
Следовательно, вектор, ортогональный вектору (Действительно, является проекцией из на плоскость, ортогональную ) Таким образом, мы можем применить теорему Пифагора к
который дает
Неравенство Коши – Шварца следует умножением на а затем извлекать квадратный корень. Более того, если соотношение в приведенном выше выражении на самом деле является равенством, тогда и поэтому ; определение затем устанавливает связь линейной зависимости между а также Обратное было доказано в начале этого раздела, так что доказательство завершено. ⯀
Доказательство 3 -
Частный случай было доказано выше, поэтому в дальнейшем предполагается, что Позволять определяться
потом
Следовательно, или же
Если неравенство выполняется как равенство, то и другие таким образом а также линейно зависимы. Обратное было доказано в начале этого раздела, так что доказательство завершено. ⯀
Доказательство 4 -
Хорошо известный способ написать Коши-Шварца: :
Теперь, чтобы упростить, пусть
Таким образом, утверждение, которое мы пытаемся доказать, можно записать как .
Это перестраивается на , и если у нас есть квадратное уравнение , То дискриминант является.
Следовательно, будет достаточно доказать, что у этой квадратичной нет действительных корней (или одного), то есть:
Подставляя обратно в наши ценности , мы получили:
Опять же, это перестраивается на:
Это факторы для:
Что верно из-за тривиального неравенства ( https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Trivial_Inequality ).
Поэтому для завершения доказательства нам нужно только показать, что равенство достижимо.
Мы видим, что является случаем равенства для Коши-Шварца после проверки
и равенство достижимо. ⯀
Анализ
В любом внутреннем пространстве продукта , то неравенство треугольника является следствием неравенства Коши-Шварца, так как теперь показано:
Извлечение квадратного корня дает неравенство треугольника:
Неравенство Коши – Шварца используется для доказательства того, что скалярное произведение является непрерывной функцией по отношению к топологии, индуцированной самим скалярным произведением. [9] [10]
Геометрия
Неравенство Коши – Шварца позволяет расширить понятие «угол между двумя векторами» на любое реальное внутреннее произведение пространства, определив: [11] [12]
Неравенство Коши – Шварца доказывает, что это определение разумно, показывая, что правая часть лежит в интервале [−1, 1], и оправдывает понятие, что (действительные) гильбертовы пространства являются просто обобщениями евклидова пространства . Его также можно использовать для определения угла в сложных пространствах внутреннего продукта , взяв абсолютное значение или действительную часть правой части [13] [14], как это делается при извлечении метрики из квантовой точности .
Теория вероятности
Позволять а также - случайные величины , то ковариационное неравенство: [15] [16] дается формулой
После определения внутреннего продукта на множестве случайных величин с использованием математического ожидания их продукта,
неравенство Коши – Шварца принимает вид
Чтобы доказать ковариационное неравенство с помощью неравенства Коши – Шварца, пусть а также тогда
где обозначает дисперсию иобозначает ковариацию .
Существуют различные обобщения неравенства Коши – Шварца. Неравенство Гёльдера обобщает его нанорм. В более общем смысле его можно интерпретировать как частный случай определения нормы линейного оператора в банаховом пространстве (а именно, когда пространство является гильбертовым пространством ). Дальнейшие обобщения находятся в контексте теории операторов , например, для операторно-выпуклых функций и операторных алгебр , где область определения и / или диапазон заменены C * -алгеброй или W * -алгеброй .
Внутренний продукт может использоваться для определения положительного линейного функционала . Например, учитывая гильбертово пространство будучи конечной мерой, стандартный внутренний продукт дает положительный функционал от Наоборот, всякий положительный линейный функционал на может использоваться для определения внутреннего продукта где является точечно комплексно сопряженное изНа этом языке неравенство Коши – Шварца принимает вид [17]
дословно продолжается до положительных функционалов на C * -алгебрах:
Следующие две теоремы являются дополнительными примерами из операторной алгебры.
Это расширяет факт когда - линейный функционал. Случай, когда самосопряженный, т. е. иногда называют неравенством Кадисона .
Другое обобщение - это уточнение, полученное путем интерполяции между обеими сторонами неравенства Коши-Шварца:
Неравенство Каллебо [23] - для реальных
Эту теорему можно вывести из неравенства Гёльдера . [24] Существуют также некоммутативные версии для операторов и тензорных произведений матриц. [25]