Распределение (математика)

Эта статья может быть слишком длинной для чтения и удобной навигации . Пожалуйста, рассмотрите возможность разделения контента на подстатьи, сжатия или добавления подзаголовков . Пожалуйста, обсудите этот вопрос на странице обсуждения статьи . ( Декабрь 2020 г. )

Распределения , также известные как распределения Шварца или обобщенные функции , являются объектами, которые обобщают классическое понятие функций в математическом анализе . Распределения позволяют дифференцировать функции, производные которых не существуют в классическом смысле. В частности, любая локально интегрируемая функция имеет производную по распределению. Распределения широко используются в теории уравнений с частными производными , где может быть проще установить существование распределительных решений, чем классических решений, или подходящие классические решения могут не существовать. Распределения также важны в физике иинженерия, где многие проблемы естественным образом приводят к дифференциальным уравнениям, решениями или начальными условиями которых являются распределения, такие как дельта- функция Дирака .

Функция , как правило , думают как действует на точках в своей области пути «отправка» точка $й$ в своей области с точкой Вместо того чтобы действовать по точкам, теория распределения переосмысливает функцию , такие как , как действует на функциях определенным образом. Тестовые функции обычно представляют собой бесконечно дифференцируемые комплекснозначные (или иногда вещественнозначные ) функции с компактным носителем ( функции выдавливания $f$ $f(x).$ $f$ являются примерами тестовых функций). Многие «стандартные функции» (означающие, например, функцию, которая обычно встречается в курсе исчисления ), скажем, например, непрерывная карта, могут быть канонически интерпретированы как действующие на тестовые функции (вместо их обычной интерпретации как действующей на точки своей области) через действие, известное как « интеграция с тестовой функцией»; явно это означает, что "действует" на тестовую функцию $g$ , "посылая" $g$ на число. Таким образом, это новое действие является комплексным (или действительным) -значным отображением , обозначенным, чьей областью является пространство $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,$ $f$ $\textstyle \int _{\mathbb {R} }fg\,dx.$ $f$ $D_{f},$ тестовых функций; Оказывается, у этой карты есть два дополнительных свойства ^{[примечание 1],} которые превращают ее в так называемое распределение. $\mathbb {R} .$ Распределения, возникающие из "стандартных функций", являются прототипами распределений. Но есть много распределений, которые не возникают таким образом, и эти распределения известны как «обобщенные функции». Примеры включают дельта-функцию Дирака или некоторые распределения, которые возникают в результате действия «интегрирования тестовых функций против мер ». Однако, используя различные методы, все же возможно свести любое произвольное распределение к более простому семействусвязанных дистрибутивов, которые возникают в результате таких действий интеграции.

В приложениях к физике и технике пространство пробных функций обычно состоит из гладких функций с компактным носителем , которые определены на некотором заданном непустом открытом подмножестве. Это пространство пробных функций обозначается символом или, а распределение на $U$ по определению является линейным. функционал на это непрерывный , когда дается топология называемой канонической топологии LF . Это приводит к в пространстве (все) распределений на $U$ , обычно обозначаемые (обратите внимание на простое число ), который по определению является $U\subset \mathbb {R} ^{n}.$ $C_{c}^{\infty }(U)$ ${\mathcal {D}}(U)$ $C_{c}^{\infty }(U)$ $C_{c}^{\infty }(U)$ ${\mathcal {D}}'(U)$ пространство всех распределений на (то есть, она является непрерывным сопряженным из ); именно этим дистрибутивам посвящена основная тема данной статьи. $U$ $C_{c}^{\infty }(U)$

Есть и другие возможные варианты выбора пространства тестовых функций, которые приводят к другим другим пространствам распределений. Если тогда использование функций Шварца ^{[примечание 2] в} качестве тестовых функций приводит к возникновению определенного подпространства , элементы которого называются умеренными распределениями . Это важно, потому что они позволяют расширить преобразование Фурье от «стандартных функций» до умеренных распределений. Набор обобщенных образует векторное подпространство в в пространстве распределений и, таким образом , одним из примеров в пространстве распределений; есть много других пространств дистрибутивов. $U=\mathbb {R} ^{n}$ ${\mathcal {D}}'(U)$ ${\mathcal {D}}'(U)$

Существуют также другие основные классы тестовых функций, которые не являются подмножествами, например, пространства аналитических тестовых функций , которые производят очень разные классы распределений. Теория таких распределений носит иной характер, чем предыдущая, поскольку не существует аналитических функций с непустым компактным носителем. ^{[примечание 3]} Использование аналитических тестовых функций привело к теории гиперфункций Сато . $C_{c}^{\infty }(U),$

История [ править ]

Практическое использование распределений можно проследить до использования функций Грина в 1830-х годах для решения обыкновенных дифференциальных уравнений, но формализовалась лишь намного позже. Согласно Колмогорову и Фомину (1957) , обобщенные функции возникли в работе Сергея Соболева ( 1936 ) по гиперболическим уравнениям с частными производными второго порядка, и эти идеи были развиты в несколько расширенной форме Лораном Шварцем в конце 1940-х годов. Согласно его автобиографии, Шварц ввел термин «распределение» по аналогии с распределением электрического заряда, возможно, включая не только точечные заряды, но и диполи и так далее. Гординг (1997)комментирует, что, хотя идеи в преобразующей книге Шварца (1951) не были полностью новыми, именно широкая атака и убежденность Шварца в том, что распределения будут полезны почти повсюду в анализе, имели значение.

Обозначение [ править ]

В этой статье будут использоваться следующие обозначения:

$n$ это фиксированное положительное целое число , а фиксированное непустое открытое подмножество в евклидовом пространстве $U$ $\mathbb {R} ^{n}.$

$\mathbb {N} =\{0,1,2,\ldots \}$ обозначает натуральные числа .

$k$ будет обозначать неотрицательное целое число или $\infty .$

Если это функция , то будет обозначать его домен и поддержку в обозначаемой определяются быть замыканием множества в $f$ $\operatorname {Dom} (f)$ $f,$ $\operatorname {supp} (f),$ $\{x\in \operatorname {Dom} (f):f(x)\neq 0\}$ $\operatorname {Dom} (f).$

Для двух функций следующие обозначения определяют каноническую пару : $f,g:U\to \mathbb {C}$

\langle f,g\rangle :=\int _{U}f(x)g(x)\,dx.

Многоиндексных размера является элементом (при условии , что фиксируется, если размер мультииндексам опущен , то размер должен считать ). Длина мультизагрузочных индекса определяются как и обозначается мультииндексами особенно полезны при работе с функциями нескольких переменных, в частности , мы введем следующие обозначения для данного мультииндекса : $n$ $\mathbb {N} ^{n}$ $n$ $n$ $\alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\in \mathbb {N} ^{n}$ $\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n}$ $|\alpha |.$ $\alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\in \mathbb {N} ^{n}$

{\begin{aligned}x^{\alpha }&=x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}\\\partial ^{\alpha }&={\frac {\partial ^{|\alpha |}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}\end{aligned}}

Мы также вводим частичный порядок всех мультииндексов тогда и только тогда, когда для всех Когда мы определяем их мультииндексный биномиальный коэффициент как:

\beta \geq \alpha

\beta _{i}\geq \alpha _{i}

1\leq i\leq n.

\beta \geq \alpha

{\binom {\beta }{\alpha }}:={\binom {\beta _{1}}{\alpha _{1}}}\cdots {\binom {\beta _{n}}{\alpha _{n}}}.

$\mathbb {K}$ будет обозначать некий непустой набор компактных подмножеств (подробно описанных ниже). $U$

Определения тестовых функций и распределений [ править ]

В этом разделе мы формально определим вещественнозначные распределения на $U$ . С небольшими изменениями можно также определять комплекснозначные распределения и заменять их любым ( паракомпактным ) гладким многообразием . $\mathbb {R} ^{n}$

Обозначение : Предположим $k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \}.$
Пусть обозначим векторное пространство всех $к$ -кратного непрерывно дифференцируемые вещественные функции на $U$ . $C^{k}(U)$
Для любого компактного подмножества $K \subseteq U$ пусть и оба обозначают векторное пространство всех этих функций, таких что $C^{k}(K)$ $C^{k}(K;U)$ $f\in C^{k}(U)$ $\operatorname {supp} (f)\subseteq K.$
Обратите внимание , что зависит от того, как $K$ и $U$ , но мы будем указывать только $K$ , где , в частности, если то область является $U$ , а не $K$ . Мы будем использовать обозначения только тогда, когда они могут быть неоднозначными. $C^{k}(K)$ $f\in C^{k}(K)$ $f$ $C^{k}(K;U)$ $C^{k}(K)$
Ясно, что каждый содержит постоянное отображение $0$ , даже если $K$ $= \emptyset$ . $C^{k}(K)$
Пусть обозначим множество всех таких , что для некоторого компактного подмножества $K$ из $U$ . $C_{c}^{k}(U)$ $f\in C^{k}(U)$ $f\in C^{k}(K)$
Равнозначно, это набор всего такого, что имеет компактную опору. $C_{c}^{k}(U)$ $f\in C^{k}(U)$ $f$
$C_{c}^{k}(U)$ равно объединению всех, поскольку $K$ пробегает $𝕂$ . $C^{k}(K)$
Если - функция с действительным знаком на $U$ , то является элементом тогда и только тогда, когда является функцией выпуклости . Каждая действительная тестовая функция на всегда также является комплексной тестовой функцией на $f$ $f$ $C_{c}^{k}(U)$ $f$ $C^{k}$ $U$ $U.$

График функции выпуклости, где и Эта функция является тестовой функцией на и является элементом Поддержкой этой функции является замкнутый единичный диск в Он не равен нулю на открытом единичном диске и равен

0

везде за пределами Это.

(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\mapsto \Psi (r),

r=(x^{2}+y^{2})^{\frac {1}{2}}

\Psi (r)=e^{-{\frac {1}{1-r^{2}}}}\cdot \mathbf {1} _{\{|r|<1\}}.

\mathbb {R} ^{2}

C_{c}^{\infty }\left(\mathbb {R} ^{2}\right).

\mathbb {R} ^{2}.

Обратите внимание, что для всех и любых компактных подмножеств $K$ и $L$ в $U$ мы имеем: $j,k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \}$

{\begin{aligned}C^{k}(K)&\subseteq C_{c}^{k}(U)\subseteq C^{k}(U)\\C^{k}(K)&\subseteq C^{k}(L)&&{\text{if }}K\subseteq L\\C^{k}(K)&\subseteq C^{j}(K)&&{\text{if }}j\leq k\\C_{c}^{k}(U)&\subseteq C_{c}^{j}(U)&&{\text{if }}j\leq k\\C^{k}(U)&\subseteq C^{j}(U)&&{\text{if }}j\leq k\\\end{aligned}}

Определение : Элементы называются функциями тестирования на $U$ и называется пространство тестовой функции на $U$ . Мы будем использовать оба и для обозначения этого пространства. $C_{c}^{\infty }(U)$ $C_{c}^{\infty }(U)$ ${\mathcal {D}}(U)$ $C_{c}^{\infty }(U)$

Распределения на $U$ определяются как непрерывные линейные функционалы на, когда это векторное пространство наделено определенной топологией, называемой канонической LF-топологией . Эту топологию, к сожалению, нелегко определить, но, тем не менее, все еще можно охарактеризовать распределения таким образом, чтобы не упоминать каноническую LF-топологию. $C_{c}^{\infty }(U)$

Предложение : если $T$ - линейный функционал на, то $T$ является распределением тогда и только тогда, когда выполняются следующие эквивалентные условия: $C_{c}^{\infty }(U)$

Для каждого компактного подмножества существуют константы и такие , что для всех ^[1] $K\subseteq U$ $C>0$ $N\in \mathbb {N}$ $f\in C^{\infty }(K),$
$|T(f)|\leq C\sup\{|\partial ^{\alpha }f(x)|:x\in U,|\alpha |\leq N\};$
Для каждого компактного подмножества существуют такие константы и такие, что для всех с носителем, содержащимся в ^[2] $K\subseteq U$ $C_{K}>0$ $N_{K}\in \mathbb {N}$ $f\in C_{c}^{\infty }(U)$ $K,$
$|T(f)|\leq C_{K}\sup\{|\partial ^{\alpha }f(x)|:x\in K,|\alpha |\leq N_{K}\};$
Для любого компактного подмножества и любой последовательности в if сходится равномерно к нулю на для всех мультииндексов , то $K\subseteq U$ $\{f_{i}\}_{i=1}^{\infty }$ $C^{\infty }(K),$ $\{\partial ^{\alpha }f_{i}\}_{i=1}^{\infty }$ $K$ $\alpha$ $T(f_{i})\to 0.$

Приведенные выше характеристики могут использоваться для определения того, является ли линейный функционал распределением, но более продвинутое использование распределений и тестовых функций (например, приложения к дифференциальным уравнениям ) ограничено, если топологии не размещены, и для определения пространства распределений. мы должны сначала определить каноническую LF-топологию, которая, в свою очередь, требует, чтобы сначала были определены несколько других топологических векторных пространств (TVS). Сначала мы определим топологию затем присвоить каждому в топологии подпространства , индуцированный на него и , наконец , определим канонический LF-топологию $C_{c}^{\infty }(U)$ ${\mathcal {D}}(U).$ $C^{\infty }(U),$ $C^{\infty }(K)$ $C^{\infty }(U),$ $C_{c}^{\infty }(U).$ Мы используем каноническую LF-топологию для определения топологии в пространстве распределений, которая позволяет нам рассматривать такие вещи, как сходимость распределений.

Выбор компактов $𝕂$

Всюду $𝕂$ будет любой набор компактных подмножеств в $U$ такой, что (1) и (2) для любого компактного $K$ $\subseteq$ $U$ существует некоторый $K$ $2$ $\in 𝕂$ такой, что $K$ $\subseteq$ $K$ $2$ . Наиболее распространенные варианты для $𝕂$ : $U=\cup _{K\in \mathbb {K} }K,$

Множество всех компактных подмножеств $U$ , или
Набор , где и для всех $I$ , и $U$ $я$ является относительно компактным непустым открытым подмножеством $U$ (т.е. «относительно компактных» означает , что замыкание на $U$ $я$ , в любом $U$ или компактно). $\left\{{\overline {U_{1}}},{\overline {U_{2}}},\ldots \right\}$ $U=\cup _{i=1}^{\infty }U_{i},$ ${\overline {U_{i}}}\subseteq U_{i+1}$ $\mathbb {R} ^{n},$

Мы делаем $𝕂$ в направленном множество путем определения $К 1 \leq K 2$ , если и только если $K 1 \subseteq K 2$ . Обратите внимание, что хотя определения определяемых впоследствии топологий явно ссылаются на $𝕂$ , в действительности они не зависят от выбора $𝕂$ ; то есть, если $𝕂 1$ и $𝕂 2$ - любые два таких набора компактных подмножеств $U$ , то топологии, определенные на и с использованием $𝕂$ $1$ вместо $𝕂$ $C^{k}(U)$ $C_{c}^{k}(U)$ такие же, как те, что определены с использованием $𝕂 2$ вместо $𝕂$ .

Топология на C ^k (U) [ править ]

Теперь мы вводим полунормы, которые будут определять топологию на разных авторах, иногда используют разные семейства полунорм, поэтому мы перечислим наиболее общие семейства ниже. Однако результирующая топология одинакова независимо от того, какое семейство используется. $C^{k}(U).$

Пусть и $K$ произвольное компактное подмножество $U$ . Предположим, что $i$ - целое число такое, что $0 \leq$ $i$ $\leq$ $k$ ^{[примечание 4]} и $p$ - мультииндекс с длиной $|$ $p$ $|$ $\leq$ $к$ . Для $K$ $\neq \emptyset$ определим: $k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \}$
${\begin{aligned}s_{p,K}(f)&:=\sup _{x_{0}\in K}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\\[4pt]q_{i,K}(f)&:=\sup _{|p|\leq i}\left(\sup _{x_{0}\in K}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\right)=\sup _{|p|\leq i}\left(s_{p,K}(f)\right)\\[4pt]r_{i,K}(f)&:=\sup _{\stackrel {|p|\leq i}{x_{0}\in K}}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\\[4pt]t_{i,K}(f)&:=\sup _{x_{0}\in K}\left(\sum _{|p|\leq i}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\right)\end{aligned}}$
в то время как для $K = \emptyset$ мы определяем все вышеупомянутые функции как постоянное отображение $0$ .

Каждая из перечисленных выше функций является неотрицательной $ℝ$ -значной ^{[примечание 5]} полунормой на $C^{k}(U).$

Каждое из следующих семейств полунорм порождает одну и ту же локально выпуклую векторную топологию на : $C^{k}(U)$

{\begin{alignedat}{4}(1)\quad &\{q_{i,K}&&:\;K\in \mathbb {K} ,\;\;&&i\in \mathbb {N} ,\;&&0\leq i\leq k\}\\(2)\quad &\{r_{i,K}&&:\;K\in \mathbb {K} ,\;\;&&i\in \mathbb {N} ,\;&&0\leq i\leq k\}\\(3)\quad &\{t_{i,K}&&:\;K\in \mathbb {K} ,\;\;&&i\in \mathbb {N} ,\;&&0\leq i\leq k\}\\(4)\quad &\{s_{p,K}&&:\;K\in \mathbb {K} ,\;\;&&p\in \mathbb {N} ^{n},\;&&|p|\leq k\}\end{alignedat}}

Предположение : в дальнейшем мы будем предполагать, что он наделен локально выпуклой топологией, определяемой любым (или, что эквивалентно, всеми) семействами полунорм, описанных выше. $C^{k}(U)$

С помощью этой топологии, становится локально выпуклыми ( нон -normable ) пространство Фреше и все полунормов определенных выше непрерывны на этом пространстве. Все определенные выше полунормы являются непрерывными функциями на. В этой топологии сеть в сходится к тогда и только тогда, когда для каждого мультииндекса $p$ с $|$ $p$ $| <$ $К$ $+ 1$ и каждый $K$ $\in 𝕂$ , чистая сходится к равномерно на $К$ . ^[3] Для любого любого ограниченного подмножества из $C^{k}(U)$ $C^{k}(U).$ $(f_{i})_{i\in I}$ $C^{k}(U)$ $f\in C^{k}(U)$ $(\partial ^{p}f_{i})_{i\in I}$ $\partial ^{p}f$ $k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \},$ $C^{k+1}(U)$ является относительно компактным подмножеством ^[4] В частности, подмножество ограничено тогда и только тогда, когда оно ограничено для всех ^[4] Пространство является пространством Монтеля тогда и только тогда, когда $k$ $= \infty$ . ^[5] $C^{k}(U).$ $C^{\infty }(U)$ $C^{i}(U)$ $i\in \mathbb {N} .$ $C^{k}(U)$

Топология на является высшим пределом топологий подпространств, индуцированных TVS, когда $i$ пробегает неотрицательные целые числа. ^[3] Подмножество $W$ из открыто в этой топологии тогда и только тогда , когда существует такое , что $W$ открыта , когда наделено топологией подпространства , индуцированной $C^{\infty }(U)$ $C^{\infty }(U)$ $C^{i}(U)$ $C^{\infty }(U)$ $i\in \mathbb {N}$ $C^{\infty }(U)$ $C^{i}(U).$

Метрика, определяющая топологию

Если семейство компактов удовлетворяет условию и для всех $i$ , то полную трансляционно-инвариантную метрику на можно получить, взяв подходящую счетную комбинацию Фреше любого из перечисленных выше семейств. Например, использование полунорм приводит к $\mathbb {K} =\left\{{\overline {U_{1}}},{\overline {U_{2}}},\ldots \right\}$ $U=\cup _{i=1}^{\infty }U_{i}$ ${\overline {U_{i}}}\subseteq U_{i+1}$ $C^{\infty }(U)$ $\left(r_{i,K_{i}}\right)_{i=1}^{\infty }$

d(f,g):=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{i}}}{\frac {r_{i,{\overline {U_{i}}}}(f-g)}{1+r_{i,{\overline {U_{i}}}}(f-g)}}=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{i}}}{\frac {\sup _{|p|\leq i,x\in {\overline {U_{i}}}}\left|\partial ^{p}(f-g)(x)\right|}{\left[1+\sup _{|p|\leq i,x\in {\overline {U_{i}}}}\left|\partial ^{p}(f-g)(x)\right|\right]}}.

Часто проще рассмотреть просто полунорм.

Топология на C ^k (K) [ править ]

Как и прежде, исправить Напомним , что если любое компактное подмножество , то $k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \}.$ $K$ $U$ $C^{k}(K)\subseteq C^{k}(U).$

Предположение : для любого компактного подмножества $K \subseteq U$ мы в дальнейшем будем предполагать, что оно наделено топологией подпространств, наследуемой от пространства Фреше. $C^{k}(K)$ $C^{k}(U).$

Для любого компактного подмножества $K \subseteq U$ , замкнутое подпространство пространства Фреше и, таким образом , также пространство Фреше . Для всех компактных $K$ $,$ $L$ $\subseteq$ $U$ с $K$ $\subseteq$ $L$ , обозначим естественное включение через Then это отображение является линейным вложением TVS (т. Е. Линейным отображением, которое также является топологическим вложением ), образ которого замкнут в своей области ; говорит , по- другому, топология на совпадают с топологией подпространства он наследует от , а также является замкнутым подмножеством The внутренней части $C^{k}(K)$ $C^{k}(U)$ $\operatorname {In} _{K}^{L}:C^{k}(K)\to C^{k}(L).$ $C^{k}(K)$ $C^{k}(L),$ $C^{k}(K)$ $C^{k}(L).$ $C^{\infty }(K)$ относительно пусто. ^[6] $C^{\infty }(U)$

Если конечно, то является банаховым пространством ^[7] с топологией, которая может быть определена нормой $k$ $C^{k}(K)$

r_{K}(f):=\sup _{|p|<k}\left(\sup _{x_{0}\in K}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\right).

А когда $k = 2$ , то даже гильбертово пространство . ^[7] Пространство является выделенным пространством Шварца- Монтеля, поэтому, если оно не нормируется и, следовательно, не является банаховым пространством (хотя, как и все другие, оно является пространством Фреше ). $C^{k}(K)$ $C^{\infty }(K)$ $C^{\infty }(K)\neq \{0\}$ $C^{k}(K),$

Тривиальные расширения и независимость топологии C ^k ( K ) от U [ править ]

Определение зависит от $U,$ поэтому мы будем обозначать топологическое пространство, которое по определению является топологическим подпространством в. Предположим, что $V$ - открытое подмножество, содержащее. Учитывая его тривиальное расширение на $V$ , по определению функция определяется следующим образом: $C^{k}(K)$ $C^{k}(K;U)$ $C^{k}(K),$ $C^{k}(U).$ $\mathbb {R} ^{n}$ $U.$ $f\in C_{c}^{k}(U),$ $F:V\to \mathbb {C}$

F(x)={\begin{cases}f(x)&x\in U,\\0&{\text{otherwise}},\end{cases}}

так что Пусть обозначит отображение, переводящее функцию в его тривиальное расширение на $V$ . Это отображение является линейным вложением, и для каждого компактного подмножества мы имеем где - векторное подпространство, состоящее из отображений с носителем, содержащимся в $K$ (поскольку $K$ $\subseteq$ $U$ $\subseteq$ $V$ , $K также$ является компактным подмножеством $V$ ). Отсюда следует, что если $I$ ограничен, то следующее индуцированное линейное отображение является гомеоморфизмом (и, следовательно, TVS-изоморфизмом): $F\in C^{k}(V).$ $I:C_{c}^{k}(U)\to C^{k}(V)$ $C_{c}^{k}(U)$ $K\subseteq U,$ $I\left(C^{k}(K;U)\right)=C^{k}(K;V),$ $C^{k}(K;V)$ $C^{k}(V)$ $I\left(C_{c}^{k}(U)\right)\subseteq C_{c}^{k}(V).$ $C^{k}(K;U)$

C^{k}(K;U)\to C^{k}(K;V)

и, таким образом, следующие две карты (которые, как и предыдущая, определяются как ) являются топологическими вложениями : $f\mapsto I(f)$

C^{k}(K;U)\to C^{k}(V),

C^{k}(K;U)\to C_{c}^{k}(V),

(топология на канонической LF топологии, которая определена позже). Используя мы идентифицируем с ее изображением в Из - за счет этой идентификации, можно также рассматривать как подмножество Важно отметить, что подпространство топологии наследует от (когда оно рассматривается как подмножество ) совпадает с топологией подпространства , что он наследует от (когда это рассматривается вместо этого как подмножество через идентификацию). Таким образом, топология не зависит от открытого подмножества $U$ из который содержит $K$ . ^[6] Это оправдывает практику написания вместо $C_{c}^{k}(V)$ $C_{c}^{k}(U)\ni f\mapsto I(f)\in C_{c}^{k}(V)$ $C_{c}^{k}(U)$ $C_{c}^{k}(V)\subseteq C^{k}(V).$ $C^{k}(K;U)\subseteq C_{c}^{k}(U),$ $C^{k}(K;U)$ $C^{k}(V).$ $C^{k}(K;U)$ $C^{k}(U)$ $C^{k}(U)$ $C^{k}(V)$ $C^{k}(K;U)$ $C^{k}(V)$ $C^{k}(K;U)$ $\mathbb {R} ^{n}$ $C^{k}(K)$ $C^{k}(K;U).$

Топология на пространствах тестовых функций и распределений [ править ]

Напомним, что обозначены все те функции в, которые имеют компактный носитель в $U$ , где обратите внимание, что это объединение всех, поскольку $K$ пробегает $𝕂$ . Кроме того, для каждого $к$ , плотное подмножество частного случая , когда $к$ $= \infty$ дает нам пространство пробных функций. $C_{c}^{k}(U)$ $C^{k}(U)$ $C_{c}^{k}(U)$ $C^{k}(K)$ $C_{c}^{k}(U)$ $C^{k}(U).$

$C_{c}^{\infty }(U)$ называется пространством пробных функций на $U$ и может также обозначаться ${\mathcal {D}}(U).$

Каноническая LF топология [ править ]

Теперь определим каноническую топологию LF как прямой предел . Также возможно определить эту топологию в терминах ее окрестностей начала координат, что будет описано позже.

Для любых двух множеств $K$ и $L$ мы объявляем, что $K \leq L$ тогда и только тогда, когда $K \subseteq L$ , что, в частности, превращает набор $𝕂$ компактных подмножеств $U$ в направленное множество (мы говорим, что такой набор направляется включением подмножества ). Для всех компактных $K, L \subseteq U$ с $K \subseteq L$ существуют естественные включения

\operatorname {In} _{K}^{L}:C^{k}(K)\to C^{k}(L)\quad {\text{and}}\quad \operatorname {In} _{K}^{U}:C^{k}(K)\to C_{c}^{k}(U).

Напомним, что карта является топологическим вложением . Коллекция карт $\operatorname {In} _{K}^{L}:C^{k}(K)\to C^{k}(L)$

\left\{\operatorname {In} _{K}^{L}\;:\;K,L\in \mathbb {K} \;{\text{ and }}\;K\subseteq L\right\}

образует прямую систему в категории из локально выпуклых топологических векторных пространств , которые , направленные на $𝕂$ (при включении подмножества). Прямой предел этой системы (в категории локально выпуклых TVS) - это пара, где естественные включения и где теперь наделена (единственной) сильнейшей локально выпуклой топологией, делающей все отображения включений непрерывными. $(C_{c}^{k}(U),\operatorname {In} _{\bullet }^{U})$ $\operatorname {In} _{\bullet }^{U}:=\left(\operatorname {In} _{K}^{U}\right)_{K\in \mathbb {K} }$ $C_{c}^{k}(U)$ $\operatorname {In} _{\bullet }^{U}=\left(\operatorname {In} _{K}^{U}\right)_{K\in \mathbb {K} }$

Каноническая топология НЧА на $C_{c}^{k}(U)$ это лучшая локально выпуклая топология на что делает все включения карты непрерывной (где $К$ пробегает $𝕂$ ). $C_{c}^{k}(U)$ $\operatorname {In} _{K}^{U}:C^{k}(K)\to C_{c}^{k}(U)$

Допущение : как это принято в математической литературе, в этой статье отныне предполагается, что он наделен своей канонической LF-топологией (если явно не указано иное). $C_{c}^{k}(U)$

Окрестности происхождения

Если $U$ - выпуклое подмножество, то $U$ является окрестностью начала координат в канонической LF-топологии тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет следующему условию: $C_{c}^{k}(U),$

Для всех

K \in 𝕂

является окрестностью начала координат в

U\cap C^{k}(K)

C^{k}(K).

( CN )

Заметим, что любое выпуклое множество, удовлетворяющее этому условию, обязательно поглощает в. Поскольку топология любого топологического векторного пространства трансляционно-инвариантна, любая TVS-топология полностью определяется множеством окрестностей начала координат. Это означает, что можно фактически определить каноническую топологию LF, объявив, что выпуклое сбалансированное подмножество $U$ является окрестностью начала координат тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет условию CN . $C_{c}^{k}(U).$

Топология, определяемая с помощью дифференциальных операторов

Линейный дифференциальный оператор в $U$ с гладкими коэффициентами является суммой

P:=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} ^{n}}c_{\alpha }\partial ^{\alpha }

где и все, кроме конечного числа , тождественно $0$ . Целое число называется порядком дифференциального оператора. Если является линейным дифференциальным оператором порядка $k,$ то оно индуцирует каноническое линейное отображение, определяемое формулой, где мы будем повторно использовать обозначения, а также обозначать это отображение через ^[8] $c_{\alpha }\in C^{\infty }(U)$ $c_{\alpha }$ $\sup\{|\alpha |:c_{\alpha }\neq 0\}$ $P.$ $P$ $C^{k}(U)\to C^{0}(U)$ $\phi \mapsto P\phi ,$ $P.$

Для любого $1 \leq k \leq \infty$ каноническая топология LF на является самой слабой локально выпуклой топологией TVS, превращающей все линейные дифференциальные операторы в $U$ порядка $<$ $k$ $+ 1$ в непрерывные отображения из в ^[8] $C_{c}^{k}(U)$ $C_{c}^{k}(U)$ $C_{c}^{0}(U).$

Основные свойства [ править ]

Независимость канонической LF топологии от $𝕂$

Одно из преимуществ определения канонической LF-топологии как прямого предела прямой системы состоит в том, что мы можем сразу использовать универсальное свойство прямых пределов. Еще одно преимущество состоит в том, что мы можем использовать хорошо известные результаты теории категорий, чтобы вывести, что каноническая LF-топология фактически не зависит от конкретного выбора направленного набора $𝕂$ компактных множеств. И, рассматривая различные коллекции $𝕂$ (в частности, $𝕂$ упоминалось в начале этой статьи), мы можем вывести различные свойства этой топологии. В частности, мы можем вывести, что каноническая топология LF превращается в хаусдорфову локально выпуклую $C_{c}^{k}(U)$ строгое LF-пространство (а также строгое LB-пространство, если $k \neq \infty$ ), что, конечно, является причиной того, что эта топология называется «канонической LF-топологией» (см. эту сноску для более подробной информации). ^{[примечание 6]}

Универсальная собственность

Из универсального свойства прямых ограничений , мы знаем , что если есть линейное отображение в локально выпуклое пространство $Y$ (не обязательно хаусдорфово), то $у$ непрерывен тогда и только тогда , когда $у$ будет ограничено тогда и только тогда , когда для любого $K$ $\in 𝕂$ , то ограничение $u$ на непрерывно (или ограничено). ^[9]^[10] $u:C_{c}^{k}(U)\to Y$ $C^{k}(K)$

Зависимость канонической топологии СФ от $U$

Предположим, что $V$ - открытое подмножество содержащихся. Позвольте обозначить карту, которая отправляет функцию в ее тривиальное расширение на $V$ (которое было определено выше). Эта карта представляет собой непрерывную линейную карту. ^[11] Если (и только если) $U$ $\neq$ $V$ , то это не плотное подмножество , и это не топологическое вложение . ^[11] Следовательно, если $U$ $\neq$ $V,$ то транспонирование не взаимно однозначно и не на. ^[11] $\mathbb {R} ^{n}$ $U.$ $I:C_{c}^{k}(U)\to C_{c}^{k}(V)$ $C_{c}^{k}(U)$ $I(C_{c}^{\infty }(U))$ $C_{c}^{\infty }(V)$ $I:C_{c}^{\infty }(U)\to C_{c}^{\infty }(V)$ $I:C_{c}^{\infty }(U)\to C_{c}^{\infty }(V)$

Ограниченные подмножества

Подмножество $B$ из является ограниченным в том и только тогда , когда существует некоторое $K$ $\in 𝕂$ таким образом, что и $В$ представляет собой ограниченное подмножество ^[10] Кроме того, если $K$ $\subseteq$ $U$ является компактным и затем $S$ ограничена в том и только тогда , когда оно ограничено in Для любого $0 \leq$ $k$ $\leq \infty$ любое ограниченное подмножество (соответственно ) является относительно компактным подмножеством (соответственно ), где $\infty + 1 = \infty$ . ^[10] $C_{c}^{k}(U)$ $C_{c}^{k}(U)$ $B\subseteq C^{k}(K)$ $C^{k}(K).$ $S\subseteq C^{k}(K)$ $C^{k}(K)$ $C^{k}(U).$ $C_{c}^{k+1}(U)$ $C^{k+1}(U)$ $C_{c}^{k}(U)$ $C^{k}(U)$

Неметризуемость

Для всех компактных $K \subseteq U$ внутренность in пуста, поэтому она сама по себе относится к первой категории. Из теоремы Бэра следует, что оно не метризуемо и, следовательно, также не нормируемо (см. Эту сноску ^{[примечание 7]} для объяснения того, как неметризуемое пространство может быть полным, даже если оно не допускает метрики). Тот факт, что пространство Монтеля является ядерным, компенсирует неметризуемость (см. Эту сноску для более подробного объяснения). ^{[примечание 8]} $C^{k}(K)$ $C_{c}^{k}(U)$ $C_{c}^{k}(U)$ $C_{c}^{k}(U)$ $C_{c}^{k}(U)$ $C_{c}^{\infty }(U)$ $C_{c}^{\infty }(U)$

Отношения между пространствами

Используя универсальное свойство прямых пределов и тот факт, что все естественные включения являются топологическими вложениями , можно показать, что все отображения также являются топологическими вложениями. Иными словами, топология на идентична топологии подпространства, которую она наследует, откуда, напомним, топология России была определена как топология подпространства, индуцированная на ней, в частности, обеими и индуцирует одну и ту же топологию подпространства на. Однако это не означает что каноническая топология LF на равно топологии подпространства наведенного на по $\operatorname {In} _{K}^{L}:C^{k}(K)\to C^{k}(L)$ $\operatorname {In} _{K}^{U}:C^{k}(K)\to C_{c}^{k}(U)$ $C^{k}(K)$ $C_{c}^{k}(U),$ $C^{k}(K)$ $C^{k}(U).$ $C_{c}^{k}(U)$ $C^{k}(U)$ $C^{k}(K).$ $C_{c}^{k}(U)$ $C_{c}^{k}(U)$ $C^{k}(U)$ ; эти две топологии на самом деле никогда не равны друг другу, поскольку каноническая топология LF никогда не является метризуемой, в то время как топология подпространства, индуцированная на ней посредством , метризуема (так как напомним, что она метризуема). Каноническая топология НЧА на самом деле строго тоньше , чем топология подпространства , что он наследует от (таким образом , естественного вложения является непрерывным , но не топологическим вложением ). ^[7] $C_{c}^{k}(U)$ $C^{k}(U)$ $C^{k}(U)$ $C_{c}^{k}(U)$ $C^{k}(U)$ $C_{c}^{k}(U)\to C^{k}(U)$

Действительно, каноническая топология LF настолько хороша, что если обозначает некоторую линейную карту, которая является «естественным включением» (например, или или другие карты, обсуждаемые ниже), то эта карта обычно будет непрерывной, что, как показано ниже, в конечном итоге является причиной почему локально интегрируемые функции, меры Радона и т. д. порождают распределения (через транспонирование такого «естественного включения»). Иными словами, причина, по которой существует так много разных способов определения распределений из других пространств, в конечном итоге проистекает из того, насколько прекрасна каноническая LF-топология. Более того, поскольку распределения являются просто непрерывными линейными функционалами на тонкой природе канонической топологии LF, означает, что больше линейных функционалов на $C_{c}^{\infty }(U)\to X$ $C_{c}^{\infty }(U)\to C^{k}(U),$ $C_{c}^{\infty }(U)\to L^{p}(U),$ $C_{c}^{\infty }(U),$ $C_{c}^{\infty }(U)$ в конечном итоге быть непрерывным («больше» означает по сравнению с более грубой топологией, которую мы могли бы разместить , например, топология подпространства, индуцированная некоторыми, которая, хотя она и сделала бы метризуемыми, это также привело бы к меньшему количеству линейных функционалов на будучи непрерывным, и, следовательно, было бы меньше распределений; кроме того, эта конкретная более грубая топология также имеет недостаток, заключающийся в том, что она не превращается в полную TVS ^[12] ). $C_{c}^{\infty }(U)$ $C^{k}(U),$ $C_{c}^{\infty }(U)$ $C_{c}^{\infty }(U)$ $C_{c}^{\infty }(U)$

Прочие свойства

Отображение дифференцирования является сюръективным непрерывным линейным оператором. ^[13] $C_{c}^{\infty }(U)\to C_{c}^{\infty }(U)$
Карта билинейной умножения дается это не непрерывно; однако это лицемерно . ^[14] $C^{\infty }(\mathbb {R} ^{m})\times C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\to C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{m+n})$ $(f,g)\mapsto fg$

Распределения [ править ]

Как обсуждалось ранее, непрерывные линейные функционалы на А известны как распределений на $U$ . Таким образом, множество всех распределений на $U$ представляет собой непрерывное двойственное пространство, к которому при наложении сильной дуальной топологии обозначается через $C_{c}^{\infty }(U)$ $C_{c}^{\infty }(U),$ ${\mathcal {D}}'(U).$

По определению, распределение на $U$ определенно , чтобы быть непрерывным линейным функционалом на Said по- разному, распределение на $U$ представляет собой элемент из непрерывного сопряженного пространства из , когда наделен его канонической топологией LF. $C_{c}^{\infty }(U).$ $C_{c}^{\infty }(U)$ $C_{c}^{\infty }(U)$

У нас есть каноническая двойственность между распределением $T$ на $U$ и пробной функцией, которая обозначается угловыми скобками как $f\in C_{c}^{\infty }(U),$

{\begin{cases}{\mathcal {D}}'(U)\times C_{c}^{\infty }(U)\to \mathbb {R} \\(T,f)\mapsto \langle T,f\rangle :=T(f)\end{cases}}

Интерпретировать эти обозначения , как распределение $Т$ , действующее на функции тестирования , чтобы дать скаляр или симметрично в качестве тестовой функции , действующей на распределение $Т$ . $f$ $f$

Характеристики распределений

Предложение. Если $T$ - линейный функционал на, то следующие утверждения эквивалентны: $C_{c}^{\infty }(U)$

$Т$ - распределение;
( Определение ) $Т$ является непрерывным ;
$Т$ является непрерывным в начале координат;
$Т$ является равномерно непрерывен ;
$T$ - ограниченный оператор ;
Т является последовательно непрерывен ;
- явно, для каждой последовательности в который сходится по некоторому ^{[примечание 9]} $\left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ $C_{c}^{\infty }(U)$ $C_{c}^{\infty }(U)$ $f\in C_{c}^{\infty }(U),$ $\lim _{i\to \infty }T\left(f_{i}\right)=T(f);$
Т является последовательно непрерывна в начале координат; другими словами, T отображает нулевые последовательности ^{[примечание 10]} в нулевые последовательности;
- явно, для каждой последовательности в который сходится по к происхождению (такая последовательность называется последовательность нуля ), $\left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ $C_{c}^{\infty }(U)$ $C_{c}^{\infty }(U)$ $\lim _{i\to \infty }T\left(f_{i}\right)=0;$
- последовательность нуля является последовательностью определения , что сходится к происхождению;
T отображает нулевые последовательности в ограниченные подмножества;
- явно, для каждой последовательности в который сходится по к происхождению, последовательность ограничена; $\left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ $C_{c}^{\infty }(U)$ $C_{c}^{\infty }(U)$ $\left(T\left(f_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }$
T отображает нулевые последовательности сходимости Макки ^{[примечание 11]} в ограниченные подмножества;
- явно для каждой сходящейся к Макки нулевой последовательности в последовательности ограничена; $\left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ $C_{c}^{\infty }(U),$ $\left(T\left(f_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }$
- последовательность $f • = (f i) \infty я = 1$ называется сходящейся по Макки к $0,$ если существует расходящаяся последовательность $r • = (r i) \infty я = 1 \to \infty$ положительного действительного числа такое, что последовательность $(r i f i) \infty я = 1$ ограничен; каждая последовательность, сходящаяся по Макки к $0,$ обязательно сходится к началу координат (в обычном смысле);
Ядро $T$ - замкнутое подпространство в $C_{c}^{\infty }(U);$
График $T$ замкнутый;
Там существует непрерывная полунорма $г$ на такое , что $C_{c}^{\infty }(U)$ $|T|\leq g;$
Существует константа $C > 0$ , набор непрерывных полунорм, который определяет каноническую топологию LF, и конечное подмножество такое, что ^{[примечание 12]} ${\mathcal {P}},$ $C_{c}^{\infty }(U),$ $\{g_{1},\ldots ,g_{m}\}\subseteq {\mathcal {P}}$ $|T|\leq C(g_{1}+\cdots g_{m});$
Для каждого компактного подмножества существуют константы и такие , что для всех ^[1] $K\subseteq U$ $C>0$ $N\in \mathbb {N}$ $f\in C^{\infty }(K),$
$|T(f)|\leq C\sup\{|\partial ^{p}f(x)|:x\in U,|\alpha |\leq N\};$
Для каждого компактного подмножества существуют такие константы и такие, что для всех с носителем, содержащимся в ^[15] $K\subseteq U$ $C_{K}>0$ $N_{K}\in \mathbb {N}$ $f\in C_{c}^{\infty }(U)$ $K,$
$|T(f)|\leq C_{K}\sup\{|\partial ^{\alpha }f(x)|:x\in K,|\alpha |\leq N_{K}\};$
Для любого компактного подмножества и любой последовательности в if сходится равномерно к нулю для всех мультииндексов $p$ , то $K\subseteq U$ $\{f_{i}\}_{i=1}^{\infty }$ $C^{\infty }(K),$ $\{\partial ^{p}f_{i}\}_{i=1}^{\infty }$ $T(f_{i})\to 0;$
Любое из трех утверждений непосредственно выше (т.е. утверждения 14, 15 и 16), но с дополнительным требованием, чтобы компакт $K$ принадлежал $𝕂$ .

Топология на пространстве распределений [ править ]

Определение и обозначение : пространство распределений на $U$ , обозначается является непрерывным сопряженным пространством из наделенной топологии равномерной сходимости на ограниченные подмножества из ^[7] Более кратко, пространства распределений на $U$ является ${\mathcal {D}}'(U),$ $C_{c}^{\infty }(U)$ $C_{c}^{\infty }(U).$ ${\mathcal {D}}'(U):=(C_{c}^{\infty }(U))'_{b}.$

Топология равномерной сходимости на ограниченных множествах также называется сильной двойной топологией . ^{[примечание 13]} Эта топология выбрана потому, что именно с этой топологией становится ядерное пространство Монтеля, и именно с этой топологией выполняется теорема Шварца о ядрах . ^[16] Независимо от того , что двойная топология помещается на , ^{[примечание 14]} последовательность распределений сходится в этой топологии тогда и только тогда , когда она сходится точечно (хотя это не обязательно быть правдой в сети ). Независимо от того, какая топология выбрана, будет неметризуемым , ${\mathcal {D}}'(U)$ ${\mathcal {D}}'(U)$ ${\mathcal {D}}'(U)$ локально выпуклое топологическое векторное пространство . Пространство является разъемным ^[17] и имеет сильный Пыткеев свойство ^[18] , но оно не является ни к-пространство ^[18] , ни последовательное пространство , ^[17] , который , в частности , означает , что она не метризуемая , а также , что его топология может не может быть определен с использованием только последовательностей. ${\mathcal {D}}'(U)$

Топологические свойства [ править ]

Категории топологического векторного пространства

Каноническая LF-топология превращается в полное выделенное строгое LF-пространство (и строгое LB-пространство тогда и только тогда, когда $k$ $\neq \infty$ ^[19] ), что означает, что она является скудным подмножеством самой себя. ^[20] Кроме того, как и его сильное сопряженное пространство , является полным Хаусдорфов локально выпуклой бочечным борнологическим пространством Макки . Сильное сопряженное из является пространством Фреше тогда и только тогда , когда $к$ $\neq \infty$ так , в частности, сильное сопряженное $C_{c}^{k}(U)$ $C_{c}^{k}(U)$ $C_{c}^{k}(U),$ $C_{c}^{k}(U)$ $C_{c}^{\infty }(U),$ которое является пространством распределений на $U$ , не является метризуемым (заметим, что слабая * топология на также неметризуема и, более того, в ней отсутствуют почти все хорошие свойства, которые дает сильная дуальная топология ). ${\mathcal {D}}'(U)$ ${\mathcal {D}}'(U)$ ${\mathcal {D}}'(U)$

Три пространства и пространство Шварца, а также сильные двойники каждого из этих трех пространств являются полными ядерными ^[21] Монтелевскими ^[22] борнологическими пространствами, из чего следует, что все шесть из этих локально выпуклых пространств также являются паракомпактными ^[23] рефлексивными. бочковые пробелы Макки . Оба пространства и являются выделенными пространствами Фреше . Более того, оба и являются ТВП Шварца . $C_{c}^{\infty }(U),$ $C^{\infty }(U),$ ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}),$ $C^{\infty }(U)$ ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ $C_{c}^{\infty }(U)$ ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$

Сходящиеся последовательности [ править ]

Сходящиеся последовательности и их недостаточность для описания топологий

Сильно сопряженные пространства к и являются секвенциальными пространствами, но не пространствами Фреше-Урысона . ^[17] Более того, ни пространство пробных функций, ни его сильное двойственное пространство не является секвенциальным пространством (даже пространством Асколи ), ^[17]^[24], что, в частности, означает, что их топологии не могут быть полностью определены в терминах сходящихся последовательностей. . $C^{\infty }(U)$ ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ $C_{c}^{\infty }(U)$ ${\mathcal {D}}'(U)$

Последовательность в сходится в тогда и только тогда, когда существует некоторый $K$ $\in 𝕂$ , содержащий эту последовательность, и эта последовательность сходится в ; эквивалентно, он сходится тогда и только тогда, когда выполняются следующие два условия: ^[25] $(f_{i})_{i=1}^{\infty }$ $C_{c}^{k}(U)$ $C_{c}^{k}(U)$ $C^{k}(K)$ $C^{k}(K)$

Существует компакт $K \subseteq U,$ содержащий носители всех $f_{i}.$
Для каждого мультииндекса $α$ последовательность частных производных равномерно стремится к $\partial ^{\alpha }f_{i}$ $\partial ^{\alpha }f.$

Ни пространство , ни его сильное сопряженное является последовательным пространством , ^[17]^[24] и , следовательно, их топологии могут не быть определены исключительно в терминах сходящихся последовательностей. По этой причине, выше характеристика Когда последовательность сходится это не достаточно , чтобы определить каноническую топологию LF на То же самое можно сказать и о сильной двойной топологии $C_{c}^{\infty }(U)$ ${\mathcal {D}}'(U)$ $C_{c}^{\infty }(U).$ ${\mathcal {D}}'(U).$

Какие последовательности характеризуют

Тем не менее, как мы сейчас обсудим, последовательности действительно характеризуют многие важные свойства. Известно , что в сопряженном пространстве любого монтелевском пространства, последовательность сходится в сильной двойной топологии тогда и только тогда , когда она сходится в слабой * топологии , ^[26] , которая , в частности, является причиной того, почему последовательность распределений сходится ( в сильной двойственной топологии) тогда и только тогда, когда она сходится поточечно (это заставляет многих авторов использовать поточечную сходимость для фактического определения сходимости последовательности распределений; это нормально для последовательностей, но не распространяется на сходимость сетей распределений, поскольку сеть может поточечно сходиться, но не может сойтись в сильной двойственной топологии).

Последовательности характеризуют непрерывность линейных отображений со значениями в локально выпуклом пространстве. Предположим, что $X$ - локально выпуклое борнологическое пространство (например, любое из шести упомянутых ранее TVS). Тогда линейное отображение $F : X \to Y$ в локально выпуклое пространство $Y$ непрерывно тогда и только тогда , когда он отображает нулевые последовательности ^{[Примечание 10]} в $X$ в ограниченных подмножеств в $Y$ . ^{[примечание 15] В} более общем смысле такое линейное отображение $F : X \to Y$ непрерывно тогда и только тогда, когда оно отображает сходящиеся по Макки нулевые последовательности^{[примечание 11]} к ограниченным подмножествамSo, в частности, если линейное отображение $F$ $:$ $X$ $\to$ $Y$ в локально выпуклое пространство секвенциально непрерывно в нуле, то оно непрерывно. ^[27] Однако это не обязательно распространяется на нелинейные отображения и / или отображения со значениями в топологических пространствах, которые не являются локально выпуклыми TVS. $Y.$

Поскольку каждый является секвенциально плотным в ^[28] Кроме того, является секвенциально плотным подмножеством (с его сильной двойственной топологией) ^[29], а также секвенциально плотным подмножеством сильного двойственного пространства из ^[29] $k\in \{0,1,\ldots ,\infty \},C_{c}^{\infty }(U)$ $C_{c}^{k}(U).$ $\{D_{\phi }:\phi \in C_{c}^{\infty }(U)\}$ ${\mathcal {D}}'(U)$ $C^{\infty }(U).$

Последовательности раздач

Последовательность распределений сходится относительно слабой топологии на распределении $T$ тогда и только тогда, когда $(T_{i})_{i=1}^{\infty }$ ${\mathcal {D}}'(U)$

\langle T_{i},f\rangle \to \langle T,f\rangle

для каждой тестовой функции Например, если функция $f\in {\mathcal {D}}(U).$ $f_{m}:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$

f_{m}(x)={\begin{cases}m&{\text{if }}x\in [0,{\frac {1}{m}}]\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}

а $T m$ - распределение, соответствующее тогда $f_{m},$

\langle T_{m},f\rangle =m\int _{0}^{\frac {1}{m}}f(x)\,dx\to f(0)=\langle \delta ,f\rangle

при $m \to \infty$ , поэтому $T m \to δ$ in Таким образом, для больших $m$ функцию можно рассматривать как приближение дельта-распределения Дирака. ${\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ).$ $f_{m}$

Прочие свойства

Сильное двойственное пространство для TVS изоморфно через канонический TVS-изоморфизм, определяемый отправкой в значение at (т. Е. Линейному функционалу on, определенному отправкой в ); ${\mathcal {D}}'(U)$ $C_{c}^{\infty }(U)$ $C_{c}^{\infty }(U)\to ({\mathcal {D}}'(U))'_{b}$ $f\in C_{c}^{\infty }(U)$ $f$ ${\mathcal {D}}'(U)$ $d\in {\mathcal {D}}'(U)$ $d(f)$
На любом ограниченном подмножестве топологии слабого и сильного подпространств совпадают; то же самое верно для ; ${\mathcal {D}}'(U),$ $C_{c}^{\infty }(U)$
Каждая слабо сходящаяся последовательность в сильно сходится (хотя это не распространяется на сети ). ${\mathcal {D}}'(U)$

Локализация дистрибутивов [ править ]

Там нет никакого способа определить значение распределения в в определенной точке $U$ . Однако, как и в случае с функциями, распределения на $U$ ограничение дать распределения на открытых подмножеств $U$ . Кроме того, распределения определяются локально в том смысле, что распределение на всем $U$ может быть собрано из распределения на открытой обложке $U,$ удовлетворяющем некоторым условиям совместимости на перекрытиях. Такая конструкция называется связкой . ${\mathcal {D}}'(U)$

Ограничения для открытого подмножества [ править ]

Пусть $U$ и $V$ открытые подмножества с $V$ $\subseteq$ $U$ . Пусть оператор , который простирается от нуля заданной гладкая функции с компактным носителем в $V$ к гладкой функции с компактным носителем в широком множестве $U$ . Транспонирования из называется отображение сужения и обозначается $\mathbb {R} ^{n}$ $E_{VU}:{\mathcal {D}}(V)\to {\mathcal {D}}(U)$ $E_{VU}$ $\rho _{VU}:={}^{t}E_{VU}:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(V).$

Отображение представляет собой непрерывную инъекцию, где, если $V$ $\subseteq$ $U,$ то это не топологическое вложение, и его диапазон не является плотным, из чего следует, что транспонирование этого отображения не является ни инъективным, ни сюръективным и что топология, которая переносится из на его образ, строго тоньше, чем топология подпространства, индуцирующая на этом же множестве. ^[11] Распределение называется расширяемым до $U,$ если оно принадлежит диапазону транспонирования, и оно называется расширяемым, если оно расширяется до ^[11] $E_{VU}:{\mathcal {D}}(V)\to {\mathcal {D}}(U)$ ${\mathcal {D}}(U),$ $E_{VU}$ ${\mathcal {D}}(V)$ ${\mathcal {D}}(U)$ $S\in {\mathcal {D}}'(V)$ $E_{VU}$ $\mathbb {R} ^{n}.$

Для любого распределения ограничение $ρ$ $VU$ $($ $T$ $)$ является распределением в, определяемым по формуле: $T\in {\mathcal {D}}'(U),$ ${\mathcal {D}}'(V)$

\qquad \langle \rho _{VU}T,\phi \rangle =\langle T,E_{VU}\phi \rangle \quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(V).

Если $U = V$ , ограничение на $V не$ является ни инъективным, ни сюръективным . Отсутствие сюрьективности следует , так как распределение может дуть по направлению к границе $V$ . Например, если $U = ℝ$ и $V = (0, 2)$ , то распределение

T(x)=\sum _{n=1}^{\infty }n\,\delta \left(x-{\frac {1}{n}}\right)

есть, но не допускает расширения ${\mathcal {D}}'(V)$ ${\mathcal {D}}'(U).$

Склеивание и исчезающие распределения в наборе [ править ]

Теорема ^[30] - Позвольте быть набором открытых подмножеств For каждый let и предположим, что для всех ограничение to равно ограничению to (обратите внимание, что оба ограничения являются элементами ). Тогда существует единственное такое, что для всех ограничений $T$ на равен $(U_{i})_{i\in I}$ $\mathbb {R} ^{n}.$ $i\in I,$ $T_{i}\in {\mathcal {D}}'(U_{i})$ $i,j\in I,$ $T_{i}$ $U_{i}\cap U_{j}$ $T_{j}$ $U_{i}\cap U_{j}$ ${\mathcal {D}}'(U_{i}\cap U_{j})$ $T\in {\mathcal {D}}'(\cup _{i\in I}U_{i})$ $i\in I,$ $U_{i}$ $T_{i}.$

Пусть $V$ открытое подмножество $U$ . называется равным нулю в $V,$ если для всех таких, что у нас есть $T,$ обращается в нуль в $V$ тогда и только тогда, когда ограничение $T$ на $V$ равно 0, или, что то же самое, тогда и только тогда, когда $T$ лежит в ядре отображения ограничения $ρ$ $VU$ . $T\in {\mathcal {D}}'(U)$ $f\in {\mathcal {D}}(U)$ $\operatorname {supp} (f)\subseteq V$ $Tf=0.$

Следствие. ^[30] Позвольте быть набором открытых подмножеств и пусть

T

= 0

тогда и только тогда, когда для каждого ограничение

T

to равно 0.

(U_{i})_{i\in I}

\mathbb {R} ^{n}

T\in {\mathcal {D}}'(\cup _{i\in I}U_{i}).

i\in I,

U_{i}

Следствие. ^[30] Объединение всех открытых подмножеств

U,

в которых распределение

T

равно нулю, является открытым подмножеством

U,

в котором

T

обращается в нуль.

Поддержка раздачи [ править ]

Из этого последнего следствия следует, что для любого распределения $T$ на $U$ существует единственное наибольшее подмножество $V$ в $U$ такое, что $T$ обращается в нуль в $V$ (и не обращается в нуль ни в каком открытом подмножестве $U$ , не содержащемся в $V$ ); дополнение в $U$ этого уникального по величине открытого подмножества называется в поддержке от $Т$ . ^[30] Таким образом

\operatorname {supp} (T)=U\setminus \bigcup \{V\mid \rho _{VU}T=0\}.

Если локально интегрируемая функция на $U$ , и если это связанное с ним распределение, то поддержка наименьшее замкнутое подмножество $U$ , в состав которой является почти всюду равна 0. ^[30] Если непрерывна, то при поддержке IS равно замыканию множества точек в $U,$ в которых не обращается в нуль. ^[30] Носителем распределения, связанного с мерой Дирака в точке, является множество ^[30] Если носитель тестовой функции не пересекает носитель распределения $T$ $f$ $D_{f}$ $D_{f}$ $f$ $f$ $D_{f}$ $f$ $x_{0}$ $\{x_{0}\}.$ $f$ тогда $Tf = 0$ . Распределение $T$ равно 0 тогда и только тогда, когда его носитель пуст. Если тождественно 1 на некотором открытом множестве , содержащем носитель распределения $Т$ , то $фт$ $=$ $Т$ . Если носитель распределения $T$ компактный, то он имеет конечный порядок и, кроме того, существуют константа C и неотрицательное целое число N такие, что: ^[6] $f\in C^{\infty }(U)$

\qquad |T\phi |\leq C\|\phi \|_{N}:=C\sup \left\{\left|\partial ^{\alpha }\phi (x)\right|:x\in U,|\alpha |\leq N\right\}\quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U).

Если $T$ имеет компактный носитель, то он единственным образом продолжается до непрерывного линейного функционала на ; этот функционал может быть определена , где любая функция , которая тождественно 1 на открытом множестве , содержащем носитель $T$ . ^[6] ${\widehat {T}}$ $C^{\infty }(U)$ ${\widehat {T}}(f):=T(\psi f),$ $\psi \in {\mathcal {D}}(U)$

Если, а затем и Таким образом, распределения с поддержкой в данном подмножестве образуют векторное подпространство ; такое подпространство слабо замкнуто в том и только тогда , когда замкнуто в $U$ . ^[31] Кроме того, если - дифференциальный оператор в $U$ , то для всех распределений $T$ на $U$ и всех, что мы имеем, и ^[31] $S,T\in {\mathcal {D}}'(U)$ $\lambda \neq 0$ $\operatorname {supp} (S+T)\subseteq \operatorname {supp} (S)\cup \operatorname {supp} (T)$ $\operatorname {supp} (\lambda T)=\operatorname {supp} (T).$ $A\subseteq U$ ${\mathcal {D}}'(U)$ ${\mathcal {D}}'(U)$ $P$ $f\in C^{\infty }(U)$ $\operatorname {supp} (P(x,\partial )T)\subseteq \operatorname {supp} (T)$ $\operatorname {supp} (fT)\subseteq \operatorname {supp} (f)\cap \operatorname {supp} (T).$

Распределения с компактной поддержкой [ править ]

Опора в точечном множестве и меры Дирака

Для любого через обозначим распределение, индуцированное мерой Дирака в точке x . Для любого распределения и носитель $T$ содержится в том и только в том случае, если $T$ является конечной линейной комбинацией производных меры Дирака в ^[32]. Если вдобавок порядок $T$ равен, то существуют такие константы , что: ^[33] $x\in U,$ $\delta _{x}\in {\mathcal {D}}'(U)$ $x_{0}\in U$ $T\in {\mathcal {D}}'(U),$ $\{x_{0}\}$ $x_{0}.$ $\leq k$ $\alpha _{p}$

T=\sum _{|p|\leq k}\alpha _{p}\partial ^{p}\delta _{x_{0}}.

Иначе говоря, если $Т$ имеет поддержку в одной точке , то $Т$ является фактически конечной линейной комбинацией распределительных производных $б$ функции в точке $P$ . То есть существует целое число $m$ и комплексные константы $a$ $α$ такие, что $\{P\},$

T=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }\partial ^{\alpha }(\tau _{P}\delta )

где оператор перевода. $\tau _{P}$

Распространение с компактной опорой

Теорема ^[6] - Пусть $T$ является распределение на $U$ с компактным носителем $K$ . Существуют непрерывная функция, определенная на $U,$ и мультииндекс $p$ такие, что $f$

T=\partial ^{p}f,

где производные понимаются в смысле распределений. То есть, для всех тестовых функций на $U$ , $\phi$

T\phi =(-1)^{|p|}\int _{U}f(x)(\partial ^{p}\phi )(x)\,dx.

Распределения конечного порядка с поддержкой в открытом подмножестве

Теорема ^[6] - Пусть $Т$ является распределением на $U$ с компактным носителем $K$ , и пусть $V$ открытое подмножество $U$ , содержащего $K$ . Поскольку каждое распределение с компактным носителем имеет конечный порядок, возьмем $N$ в качестве порядка $T$ и определим Существует семейство непрерывных функций, определенных на $U$ с носителем в $V,$ таких что $P:=\{0,1,\ldots ,N+2\}^{n}.$ $(f_{p})_{p\in P}$

T=\sum _{p\in P}\partial ^{p}f_{p},

где производные понимаются в смысле распределений. То есть, для всех тестовых функций на $U$ , $\phi$

T\phi =\sum _{p\in P}(-1)^{|p|}\int _{U}f_{p}(x)(\partial ^{p}\phi )(x)\,dx.

Глобальная структура раздач [ править ]

Формальное определение распределений показывает их как подпространство очень большого пространства, а именно топологическое двойственное пространство (или пространство Шварца ${\mathcal {D}}(U)$ ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ для умеренных дистрибутивов). Из определения не сразу ясно, насколько экзотическим может быть распределение. Чтобы ответить на этот вопрос, поучительно увидеть распределения, построенные из меньшего пространства, а именно из пространства непрерывных функций. Грубо говоря, любое распределение является локально (кратной) производной непрерывной функции. Точная версия этого результата, приведенная ниже, верна для распределений с компактным носителем, умеренных распределений и общих распределений. Вообще говоря, никакое собственное подмножество пространства распределений не содержит всех непрерывных функций и не замкнуто относительно дифференцирования. Это говорит о том, что распределения не являются особо экзотическими объектами; они настолько сложны, насколько это необходимо.

Распределения в виде связок

Теорема ^[34] - Пусть $Т$ распределение на $U$ . Там существует последовательность в таким образом, что каждая $Т$ $я$ имеет компактный носитель и каждое компактное подмножество $K$ $\subseteq$ $U$ пересекает поддержку лишь конечное число $Т$ $я$ , и последовательность частичных сумм , определенных сходится в к $Т$ ; другими словами у нас есть: $(T_{i})_{i=1}^{\infty }$ ${\mathcal {D}}'(U)$ $(S_{j})_{j=1}^{\infty },$ $S_{j}:=T_{1}+\cdots +T_{j},$ ${\mathcal {D}}'(U)$

T=\sum _{i=1}^{\infty }T_{i}.

Напомним, что последовательность сходится в (с ее сильной двойственной топологией) тогда и только тогда, когда она сходится поточечно. ${\mathcal {D}}'(U)$

Разложение распределений в виде сумм производных непрерывных функций [ править ]

Объединяя приведенные выше результаты, можно выразить любое распределение на $U$ в виде суммы ряда распределений с компактным носителем, причем каждый из этих распределений может быть в своей очереди записать в виде конечной суммы производных распределительного непрерывных функций на $U$ . Другими словами, для произвольного мы можем написать: $T\in {\mathcal {D}}'(U)$

T=\sum _{i=1}^{\infty }\sum _{p\in P_{i}}\partial ^{p}f_{ip},

где - конечные множества мультииндексов, а функции непрерывны. $P_{1},P_{2},\ldots$ $f_{ip}$

Теорема ^[35] - Пусть $Т$ распределение на $U$ . Для каждого мультииндекса $p$ существует непрерывная функция $g p$ на $U$ такая, что

любое компактное подмножество $K$ в $U$ пересекает носитель только конечного числа $g p$ , и
$T=\sum \nolimits _{p}\partial ^{p}g_{p}.$

Более того, если $T$ имеет конечный порядок, то можно выбрать $g p$ таким образом, чтобы только конечное число из них было ненулевым.

Обратите внимание, что указанная выше бесконечная сумма хорошо определена как распределение. Значение $T$ для данного может быть вычислено с использованием конечного числа $g$ $α,$ которые пересекают носитель $f\in {\mathcal {D}}(U)$ $f.$

Операции с дистрибутивами [ править ]

Многие операции, которые определены для гладких функций с компактным носителем, также могут быть определены для распределений. В общем случае, если это линейное отображение, непрерывное относительно слабой топологии , то можно продолжить $A$ до отображения , перейдя к пределу. ^{[примечание 16]}^[^{необходима цитата}^]^[^{требуется разъяснение}^] $A:{\mathcal {D}}(U)\to {\mathcal {D}}(U)$ $A:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)$

Предварительные сведения: транспонирование линейного оператора [ править ]

Операции над распределениями и пространствами распределений часто определяются с помощью транспонирования линейного оператора, потому что он обеспечивает единый подход к множеству определений в теории распределений и из-за его многих хорошо известных топологических свойств. ^[36] В общем случае транспонированные непрерывного линейного отображения является линейным отображение определяется или , что эквивалентно, это уникальное отображение , удовлетворяющее всем и все Так как непрерывно, транспонированное также непрерывно , когда оба двойственных наделены их соответствующих сильным двойные топологии; он также непрерывен, когда оба двойника наделены соответствующими слабыми * топологиями $A:X\to Y$ ${}^{t}A:Y'\to X'$ ${}^{t}A(y'):=y'\circ A,$ $\langle y',A(x)\rangle =\left\langle {}^{t}A(y'),x\right\rangle$ $x\in X$ $y'\in Y'.$ ${}^{t}A:Y'\to X'$ (подробнее см. статьи « Полярная топология и двойная система» ).

В контексте распределений характеристику транспонирования можно немного уточнить. Позвольте быть непрерывным линейным отображением. Тогда по определению транспонированный оператор $A$ является единственным линейным оператором, который удовлетворяет: $A:{\mathcal {D}}(U)\to {\mathcal {D}}(U)$ $A^{t}:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)$

\langle {}^{t}A(T),\phi \rangle =\langle T,A(\phi )\rangle

для всех и всех

\phi \in {\mathcal {D}}(U)

T\in {\mathcal {D}}'(U).

Однако, поскольку изображение плотно в нем, достаточно, чтобы указанное выше равенство выполнялось для всех распределений вида где Явно, это означает, что указанное выше условие выполняется тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие: ${\mathcal {D}}(U)$ ${\mathcal {D}}'(U),$ $T=D_{\psi }$ $\psi \in {\mathcal {D}}(U).$

\langle {}^{t}A(D_{\psi }),\phi \rangle =\langle D_{\psi },A(\phi )\rangle =\langle \psi ,A(\phi )\rangle =\int _{U}\psi (A\phi )\,dx

для всех

\phi ,\psi \in {\mathcal {D}}(U).

Дифференциальные операторы [ править ]

Дифференциация распределений [ править ]

Пусть - оператор частной производной. Для расширения мы вычисляем его транспонирование: $A:{\mathcal {D}}(U)\to {\mathcal {D}}(U)$ ${\tfrac {\partial }{\partial x_{k}}}.$ $A$

{\begin{aligned}\langle {}^{t}A(D_{\psi }),\phi \rangle &=\int _{U}\psi (A\phi )\,dx&&{\text{(See above.)}}\\&=\int _{U}\psi {\frac {\partial \phi }{\partial x_{k}}}\,dx\\[4pt]&=-\int _{U}\phi {\frac {\partial \psi }{\partial x_{k}}}\,dx&&{\text{(integration by parts)}}\\[4pt]&=-\left\langle {\frac {\partial \psi }{\partial x_{k}}},\phi \right\rangle \\[4pt]&=-\langle A\psi ,\phi \rangle \end{aligned}}

Следовательно, частная производная от по координате определяется формулой ${}^{t}A=-A.$ $T$ $x_{k}$

\left\langle {\frac {\partial T}{\partial x_{k}}},\phi \right\rangle =-\left\langle T,{\frac {\partial \phi }{\partial x_{k}}}\right\rangle \qquad {\text{for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U).

Согласно этому определению каждое распределение бесконечно дифференцируемо, а производная по направлению является линейным оператором на $x_{k}$ ${\mathcal {D}}'(U).$

В более общем смысле, если это произвольный мультииндекс , то частная производная распределения определяется как $\alpha$ $\partial ^{\alpha }T$ $T\in {\mathcal {D}}'(U)$

\langle \partial ^{\alpha }T,\phi \rangle =(-1)^{|\alpha |}\langle T,\partial ^{\alpha }\phi \rangle \qquad {\text{for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U).

Дифференцирование распределений - это непрерывный оператор, это важное и желательное свойство, которое не разделяется большинством других понятий дифференцирования. ${\mathcal {D}}'(U);$

Если $Т$ является распределение в $ℝ$ затем

\lim _{x\to 0}{\frac {T-\tau _{x}T}{x}}=T'\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ),

где - производная $T,$ а $τ$ $x$ - сдвиг на $x$ ; таким образом, производную $T$ можно рассматривать как предел частных. ^[37] $T'$

Дифференциальные операторы, действующие на гладкие функции [ править ]

Линейный дифференциальный оператор в $U$ с гладкими коэффициентами действует в пространстве гладких функций на. Учитывая, что мы хотели бы определить непрерывное линейное отображение, которое распространяет действие на на распределения на. Другими словами, мы хотели бы определить так, чтобы следующая диаграмма коммутирует: $U.$ $\textstyle P:=\sum \nolimits _{\alpha }c_{\alpha }\partial ^{\alpha }$ $D_{P}$ $P$ $C^{\infty }(U)$ $U.$ $D_{P}$

{\begin{matrix}{\mathcal {D}}'(U)&{\stackrel {D_{P}}{\longrightarrow }}&{\mathcal {D}}'(U)\\\uparrow &&\uparrow \\C^{\infty }(U)&{\stackrel {P}{\longrightarrow }}&C^{\infty }(U)\end{matrix}}

Если вертикальные карты задаются путем присвоения их канонического распределения, которое определяется следующим образом: для всех С этой нотацией коммутация диаграммы эквивалентна: $f\in C^{\infty }(U)$ $D_{f}\in {\mathcal {D}}'(U),$ $D_{f}(\phi )=\langle f,\phi \rangle$ $\phi \in {\mathcal {D}}(U).$

D_{P(f)}=D_{P}D_{f}\qquad {\text{ for all }}f\in C^{\infty }(U).

Чтобы найти, мы рассматриваем транспонирование непрерывной индуцированной карты, определяемой как обсуждалось выше, для любого транспонирования можно вычислить: $D_{P}$ ${}^{t}P:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)$ $P:{\mathcal {D}}(U)\to {\mathcal {D}}(U)$ $\phi \mapsto P(\phi ).$ $\phi \in {\mathcal {D}}(U),$

{\begin{aligned}\left\langle {}^{t}P(D_{f}),\phi \right\rangle &=\int _{U}f(x)P(\phi )(x)\,dx\\&=\int _{U}f(x)\left[\sum \nolimits _{\alpha }c_{\alpha }(x)(\partial ^{\alpha }\phi )(x)\right]\,dx\\&=\sum \nolimits _{\alpha }\int _{U}f(x)c_{\alpha }(x)(\partial ^{\alpha }\phi )(x)\,dx\\&=\sum \nolimits _{\alpha }(-1)^{|\alpha |}\int _{U}\phi (x)(\partial ^{\alpha }(c_{\alpha }f))(x)\,dx\end{aligned}}

В последней строке мы использовали интеграцию по частям в сочетании с тем, что и, следовательно, все функции имеют компактную поддержку. ^{[примечание 17]} Продолжая вычисления выше, мы имеем для всех $\phi$ $f(x)c_{\alpha }(x)\partial ^{\alpha }\phi (x)$ $\phi \in {\mathcal {D}}(U):$

{\begin{aligned}\left\langle {}^{t}P(D_{f}),\phi \right\rangle &=\sum \nolimits _{\alpha }(-1)^{|\alpha |}\int _{U}\phi (x)(\partial ^{\alpha }(c_{\alpha }f))(x)\,dx&&{\text{As shown above}}\\[4pt]&=\int _{U}\phi (x)\sum \nolimits _{\alpha }(-1)^{|\alpha |}(\partial ^{\alpha }(c_{\alpha }f))(x)\,dx\\[4pt]&=\int _{U}\phi (x)\sum _{\alpha }\left[\sum _{\gamma \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\gamma }}(\partial ^{\gamma }c_{\alpha })(x)(\partial ^{\alpha -\gamma }f)(x)\right]\,dx&&{\text{Leibniz rule}}\\&=\int _{U}\phi (x)\left[\sum _{\alpha }\sum _{\gamma \leq \alpha }(-1)^{|\alpha |}{\binom {\alpha }{\gamma }}(\partial ^{\gamma }c_{\alpha })(x)(\partial ^{\alpha -\gamma }f)(x)\right]\,dx\\&=\int _{U}\phi (x)\left[\sum _{\alpha }\left[\sum _{\beta \geq \alpha }(-1)^{|\beta |}{\binom {\beta }{\alpha }}\left(\partial ^{\beta -\alpha }c_{\beta }\right)(x)\right](\partial ^{\alpha }f)(x)\right]\,dx&&{\text{Grouping terms by derivatives of }}f\\&=\int _{U}\phi (x)\left[\sum \nolimits _{\alpha }b_{\alpha }(x)(\partial ^{\alpha }f)(x)\right]\,dx&&b_{\alpha }:=\sum _{\beta \geq \alpha }(-1)^{|\beta |}{\binom {\beta }{\alpha }}\partial ^{\beta -\alpha }c_{\beta }\\&=\left\langle \left(\sum \nolimits _{\alpha }b_{\alpha }\partial ^{\alpha }\right)(f),\phi \right\rangle \end{aligned}}

Определить на формальное транспонирование из $P,$ которых будет обозначаться , чтобы избежать путаницы с картой транспозиции, будет следующий дифференциальный оператор на $U$ : $P_{*}$

P_{*}:=\sum \nolimits _{\alpha }b_{\alpha }\partial ^{\alpha }

Вышеприведенные расчеты показали, что:

Лемма. Пусть - линейный дифференциальный оператор с гладкими коэффициентами в Тогда для всех мы имеем

P

U.

\phi \in {\mathcal {D}}(U)

\left\langle {}^{t}P(D_{f}),\phi \right\rangle =\left\langle D_{P_{*}(f)},\phi \right\rangle ,

что эквивалентно:

{}^{t}P(D_{f})=D_{P_{*}(f)}.

Лемма в сочетании с тем фактом, что формальное транспонирование формального транспонирования является исходным дифференциальным оператором, т. Е. ^[8] позволяет нам прийти к правильному определению: формальное транспонирование индуцирует (непрерывный) канонический линейный оператор, определенный формулой Мы утверждаем, что транспонировать эту карту, можно принять как Чтобы увидеть это, для каждого вычислите его действие на распределение формы с помощью : $P_{**}=P,$ $P_{*}:C_{c}^{\infty }(U)\to C_{c}^{\infty }(U)$ $\phi \mapsto P_{*}(\phi ).$ ${}^{t}P_{*}:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U),$ $D_{P}.$ $\phi \in {\mathcal {D}}(U)$ $D_{f}$ $f\in C^{\infty }(U)$

{\begin{aligned}\left\langle {}^{t}P_{*}(D_{f}),\phi \right\rangle &=\left\langle D_{P_{**}(f)},\phi \right\rangle &&{\text{Using Lemma above with }}P_{*}{\text{ in place of }}P\\&=\left\langle D_{P(f)},\phi \right\rangle &&P_{**}=P\end{aligned}}

Мы называем линейный непрерывный оператор на дифференциальный оператор на распределениях , простирающихся $P$ . ^[8] Его действие на произвольное распределение определяется через: $D_{P}:={}^{t}P_{*}:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)$ $S$

D_{P}(S)(\phi )=S(P_{*}(\phi ))\quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U).

Если сходится к, то для каждого мультииндекса сходится к $(T_{i})_{i=1}^{\infty }$ $T\in {\mathcal {D}}'(U)$ $\alpha ,(\partial ^{\alpha }T_{i})_{i=1}^{\infty }$ $\partial ^{\alpha }T\in {\mathcal {D}}'(U).$

Умножение распределений на гладкие функции [ править ]

Дифференциальный оператор порядка 0 - это просто умножение на гладкую функцию. И наоборот, если - гладкая функция, то является дифференциальным оператором порядка 0, формальная транспозиция которого есть сама (т.е. ). Индуцированный дифференциальный оператор отображает распределение $T$ в распределение, обозначенное We, таким образом, мы определили умножение распределения на гладкую функцию. $f$ $P:=f(x)$ $P_{*}=P$ $D_{P}:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)$ $fT:=D_{P}(T).$

Теперь мы дадим альтернативное представление умножения на гладкую функцию. Если - гладкая функция, а $T$ - распределение на $U$ , то произведение mT определяется формулой $m:U\to \mathbb {R}$

\langle mT,\phi \rangle =\langle T,m\phi \rangle \qquad {\text{for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U).

Это определение совпадает с определением транспонирования, поскольку если - оператор умножения на функцию $m$ (т. Е. ), То $M:{\mathcal {D}}(U)\to {\mathcal {D}}(U)$ $(M\phi )(x)=m(x)\phi (x)$

\int _{U}(M\phi )(x)\psi (x)\,dx=\int _{U}m(x)\phi (x)\psi (x)\,dx=\int _{U}\phi (x)m(x)\psi (x)\,dx=\int _{U}\phi (x)(M\psi )(x)\,dx,

чтобы ${}^{t}M=M.$

При умножении на гладкие функции, является модулем над кольцом. При таком определении умножения на гладкую функцию обычное правило произведения в исчислении остается в силе. Однако возникает и ряд необычных идентичностей. Например, если $δ$ $'$ является распределением дельты на $ℝ$ , то $mδ$ $=$ $т$ $(0)$ $δ$ , и если $б$ $'$ является производной от распределения дельты, то ${\mathcal {D}}'(U)$ $C^{\infty }(U).$

m\delta '=m(0)\delta '-m'\delta =m(0)\delta '-m'(0)\delta .

Карта билинейной умножение задается является не непрерывным; однако это лицемерно . ^[14] $C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\times {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})$ $(f,T)\mapsto fT$

Пример. Для любого распределения $T$ , произведение $Т$ с функцией, тождественно $1$ на $U$ равна $Т$ .

Пример. Предположим, есть последовательность тестовых функций на $U,$ которая сходится к постоянной функции. Для любого распределения $T$ на $U$ последовательность сходится к ^[38] $(f_{i})_{i=1}^{\infty }$ $1\in C^{\infty }(U).$ $(f_{i}T)_{i=1}^{\infty }$ $T\in {\mathcal {D}}'(U).$

Если сходится к и сходится к, то сходится к $(T_{i})_{i=1}^{\infty }$ $T\in {\mathcal {D}}'(U)$ $(f_{i})_{i=1}^{\infty }$ $f\in C^{\infty }(U)$ $(f_{i}T_{i})_{i=1}^{\infty }$ $fT\in {\mathcal {D}}'(U).$

Проблема умножения распределений [ править ]

Легко определить произведение распределения с гладкой функцией или, в более общем смысле, произведение двух распределений, особые носители которых не пересекаются. Приложив больше усилий, можно определить произведение нескольких распределений с хорошим поведением при условии, что их наборы волновых фронтов в каждой точке совместимы. Ограничением теории распределений (и гиперфункций) является отсутствие ассоциативного произведения двух распределений, расширяющих произведение распределения на гладкую функцию, как это было доказано Лораном Шварцем в 1950-х годах. Например, если pv $1 / Икс$ - распределение, полученное с помощью главного значения Коши

\left(\operatorname {p.v.} {\frac {1}{x}}\right)(\phi )=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{|x|\geq \varepsilon }{\frac {\phi (x)}{x}}\,dx\quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ).

Если $δ$ - дельта-распределение Дирака, то

(\delta \times x)\times \operatorname {p.v.} {\frac {1}{x}}=0

но

\delta \times \left(x\times \operatorname {p.v.} {\frac {1}{x}}\right)=\delta

поэтому произведение распределения на гладкую функцию (которая всегда хорошо определена) не может быть расширено до ассоциативного произведения на пространстве распределений.

Таким образом, нелинейные задачи не могут быть поставлены в общем и, следовательно, не могут быть решены в рамках одной только теории распределения. Однако в контексте квантовой теории поля решения могут быть найдены. В более чем двух пространственно - временных измерениях проблема связана с регуляризации с расхождениями . Здесь Анри Эпштейн и Владимир Глейзер разработали математически строгую (но чрезвычайно техническую) теорию причинных возмущений . В других ситуациях это не решает проблемы. Многие другие интересные теории не являются линейными, как, например, уравнений Навье-Стокса в гидродинамике .

Несколько не совсем удовлетворительным ^{[ править ]} теории алгебр из обобщенных функций были разработаны, среди которых (упрощенно) алгебра Коломбо в это , возможно , самый популярный в использовании сегодня.

Вдохновленный теорией грубого пути Лайонса ^[39] Мартин Хайрер предложил последовательный способ умножения распределений с определенной структурой ( структуры регулярности ^[40] ), доступный во многих примерах из стохастического анализа, особенно в стохастических уравнениях в частных производных. Смотрите также Gubinelli-Imkeller-Перковски (2015) для соответствующего развития на основе Bony «s paraproduct из фурье - анализа.

Композиция с плавной функцией [ править ]

Пусть $Т$ распределение на Пусть $V$ открытое множество в и $F$ $:$ $V$ $\to$ $U$ . Если $F$ - погружение , можно определить $U.$ $\mathbb {R} ^{n},$

T\circ F\in {\mathcal {D}}'(V).

Это композиция из распределения $Т$ с $F$ , а также называется в откате из $Т$ вдоль $Р$ , иногда пишется

F^{\sharp }:T\mapsto F^{\sharp }T=T\circ F.

Обратный ход часто обозначается F * , хотя это обозначение не следует путать с использованием символа «*» для обозначения сопряженного элемента линейного отображения.

Условие , что $Р$ субмерсия эквивалентно требованию , что якобиан производной $д Р (х)$ из $F$ является сюръективен линейным отображением для каждого $х \in V$ . Необходимым (но не достаточным) условием для расширения $F #$ на распределения является то, что $F$ - открытое отображение . ^[41] Теорема об обратной функции гарантирует, что субмерсия удовлетворяет этому условию.

Если $F$ - это погружение, то $F #$ определяется для распределений путем нахождения транспонированной карты. Уникальность этого расширения гарантируется, поскольку $F #$ является непрерывным линейным оператором на Существовании, однако требует использования формулы замены переменных , теоремы об обратной функции (локально) и разбиения аргумента единицы . ^[42] ${\mathcal {D}}(U).$

В частном случае , когда $Р$ является диффеоморфизмом из открытого подмножества $V$ из на открытое подмножество $U$ от замены переменных под интегралом дает $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$

\int _{V}\phi \circ F(x)\psi (x)\,dx=\int _{U}\phi (x)\psi \left(F^{-1}(x)\right)\left|\det dF^{-1}(x)\right|\,dx.

В этом конкретном случае $F #$ определяется формулой транспонирования:

\left\langle F^{\sharp }T,\phi \right\rangle =\left\langle T,\left|\det d(F^{-1})\right|\phi \circ F^{-1}\right\rangle .

Свертка [ править ]

При некоторых обстоятельствах можно определить свертку функции с распределением или даже свертку двух распределений. Напомним , что если и $г$ являются функциями на то обозначим в свертке из и $г$ , определенной на быть неотъемлемой $f$ $\mathbb {R} ^{n}$ $f\ast g$ $f$ $x\in \mathbb {R} ^{n}$

(f\ast g)(x):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x-y)g(y)\,dy=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(y)g(x-y)\,dy

при условии, что интеграл существует. Если таковы, что 1 / r = (1 / p ) + (1 / q ) - 1, то для любых функций и мы имеем и ^[43] Если и $g$ - непрерывные функции по крайней мере на одной из которых имеет компактный носитель, то и если то значение на $А$ действительно не зависит от значений наружной части суммы Минковского ^[43] $1\leq p,q,r\leq \infty$ $f\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n})$ $g\in L^{q}(\mathbb {R} ^{n})$ $f\ast g\in L^{r}(\mathbb {R} ^{n})$ $\|f\ast g\|_{L^{r}}\leq \|f\|_{L^{p}}\|g\|_{L^{q}}.$ $f$ $\mathbb {R} ^{n},$ $\operatorname {supp} (f\ast g)\subseteq \operatorname {supp} (f)+\operatorname {supp} (g)$ $A\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ $f\ast g$ $f$ $A-\operatorname {supp} (g)=\{a-s:a\in A,s\in \operatorname {supp} (g)\}.$

Важно отметить, что если имеет компактный носитель, то для любого отображение свертки непрерывно, когда рассматривается как отображение или как отображение ^[43] $g\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ $0\leq k\leq \infty ,$ $f\mapsto f\ast g$ $C^{k}(\mathbb {R} ^{n})\to C^{k}(\mathbb {R} ^{n})$ $C_{c}^{k}(\mathbb {R} ^{n})\to C_{c}^{k}(\mathbb {R} ^{n}).$

Перевод и симметрия

Учитывая , оператор сдвига $τ$ посылает к определяется Это может быть продлен до транспонированной распределений следующим образом: дано распределение $Т$ , перевод из путем является распределение определяется ^[44]^[45] $a\in \mathbb {R} ^{n},$ $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C}$ $\tau _{a}f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} ,$ $\tau _{a}f(y)=f(y-a).$ $T$ $a$ $\tau _{a}T:{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to \mathbb {C}$ $\tau _{a}T(\phi ):=\left\langle T,\tau _{-a}\phi \right\rangle .$

С учетом определения функции по Учитывая распределение $Т$ , пусть будет распределение определяется Оператором называется симметрией относительно начала координат . ^[44] $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} ,$ ${\tilde {f}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C}$ ${\tilde {f}}(x):=f(-x).$ ${\tilde {T}}:{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to \mathbb {C}$ ${\tilde {T}}(\phi ):=T\left({\tilde {\phi }}\right).$ $T\mapsto {\tilde {T}}$

Свертка тестовой функции с распределением [ править ]

Свертка с определяет линейную карту: $f\in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})$

{\begin{cases}C_{f}:{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\\C_{f}(g):=f\ast g\end{cases}}

которое непрерывно относительно топологии канонического СФ пространства на ${\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n}).$

Свертка с распределением может быть определена путем транспонирования C _f относительно двойственности спаривания с пространством распределений. ^[46] Если, то по теореме Фубини $f$ $T\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})$ ${\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})$ ${\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})$ $f,g,\phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n}),$

\langle C_{f}g,\phi \rangle =\int _{\mathbb {R} ^{n}}\phi (x)\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x-y)g(y)\,dy\,dx=\left\langle g,C_{\tilde {f}}\phi \right\rangle .

Продолжая по непрерывности, свертка с распределением $T$ определяется формулой $f$

\langle f\ast T,\phi \rangle =\left\langle T,{\tilde {f}}\ast \phi \right\rangle ,

для всех $\phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n}).$

Альтернативный способ определить свертку тестовой функции и распределения $T$ - использовать оператор сдвига $τ$ $a$ . Свертка функции с компактным носителем и распределения $T$ является функцией, определяемой для каждого из соотношений $f$ $f$ $x\in \mathbb {R} ^{n}$

(f\ast T)(x)=\left\langle T,\tau _{x}{\tilde {f}}\right\rangle .

Можно показать, что свертка гладкой функции с компактным носителем и распределения является гладкой функцией. Если распределение $Т$ имеет компактный носитель затем , если есть многочлен (соотва. Экспоненциальная функция, аналитическая функция, ограничение целой аналитической функции от к ограничению целой функции экспоненциального типа в с ) , то же самое верно ^[44] Если распределение $T также$ имеет компактный носитель, то это функция с компактным носителем , и из теоремы Титчмарша о свертке Хёрмандера (1983 , теорема 4.3.3) следует, что $f$ $\mathbb {C} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n},$ $\mathbb {C} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $T\ast f.$ $f\ast T$

\operatorname {ch} (\operatorname {supp} (f\ast T))=\operatorname {ch} (\operatorname {supp} (f))+\operatorname {ch} (\operatorname {supp} (T))

где ch обозначает выпуклую оболочку, а supp обозначает опору.

Свертка гладкой функции с распределением [ править ]

Пусть и и предположим, что хотя бы один из и $T$ имеет компактный носитель. Свертка из и $Т$ , обозначается либо является гладкой функцией: ^[44] $f\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ $T\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})$ $f$ $f$ $f\ast T$ $T\ast f,$

{\begin{cases}f\ast T:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} \\(f\ast T)(x):=\left\langle T,\tau _{x}{\tilde {f}}\right\rangle \end{cases}}

удовлетворение для всех : $p\in \mathbb {N} ^{n}$

{\begin{aligned}&\operatorname {supp} (f\ast T)\subseteq \operatorname {supp} (f)+\operatorname {supp} (T)\\[6pt]&{\text{ for all }}p\in \mathbb {N} ^{n}:\quad {\begin{cases}\partial ^{p}\left\langle T,\tau _{x}{\tilde {f}}\right\rangle =\left\langle T,\partial ^{p}\tau _{x}{\tilde {f}}\right\rangle \\\partial ^{p}(T\ast f)=(\partial ^{p}T)\ast f=T\ast (\partial ^{p}f)\end{cases}}.\end{aligned}}

Если $T$ является распределением, то отображение непрерывно как отображение, где если дополнительно $T$ имеет компактный носитель, то оно также непрерывно как отображение и непрерывно как отображение ^[44] $f\mapsto T\ast f$ ${\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ $C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\to C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ ${\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n}).$

Если - непрерывное линейное отображение такое, что для всех и всех, то существует такое распределение , что для всех ^[6] $L:{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ $L\partial ^{\alpha }\phi =\partial ^{\alpha }L\phi$ $\alpha$ $\phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})$ $T\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})$ $L\phi =T\circ \phi$ $\phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n}).$

Пример. ^[6] Пусть Н является функция Хевисайда на $ℝ$ . Для любой $\phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ),$

(H\ast \phi )(x)=\int _{-\infty }^{x}\phi (t)\,dt.

Позвольте быть мерой Дирака в 0 и ее производной как распределение. Тогда и Важно отметить, что ассоциативный закон не выполняется: $\delta$ $\delta '$ $\delta '\ast H=\delta$ $1\ast \delta '=0.$

1=1\ast \delta =1\ast (\delta '\ast H)\neq (1\ast \delta ')\ast H=0\ast H=0.

Свертка распределений [ править ]

Также возможно определить свертку двух распределений $S$ и $T$ на при условии, что одно из них имеет компактный носитель. Неформально, чтобы определить $S$ $*$ $T,$ где $T$ имеет компактный носитель, идея состоит в том, чтобы расширить определение свертки $*$ до линейной операции над распределениями так, чтобы формула ассоциативности $\mathbb {R} ^{n},$

S\ast (T\ast \phi )=(S\ast T)\ast \phi

продолжает выполняться для всех тестовых функций ^[47] $\phi .$

Также возможно дать более явную характеристику свертки распределений. ^[46] Предположим, что $S$ и $T$ - распределения и $S$ имеет компактный носитель. Тогда линейные отображения

{\begin{cases}\bullet \ast {\tilde {S}}:{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\\f\mapsto f\ast {\tilde {S}}\end{cases}}\qquad {\begin{cases}\bullet \ast {\tilde {T}}:{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\\f\mapsto f\ast {\tilde {T}}\end{cases}}

непрерывны. Транспонирование этих карт,

{}^{t}\left(\bullet \ast {\tilde {S}}\right):{\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})\qquad {}^{t}\left(\bullet \ast {\tilde {T}}\right):{\mathcal {E}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})

следовательно, непрерывны, и можно показать, что

{}^{t}\left(\bullet \ast {\tilde {S}}\right)(T)={}^{t}\left(\bullet \ast {\tilde {T}}\right)(S).

^[44]

Это общее значение называется свертки из $S$ и $T$ , и это распределение , которое обозначается или оно удовлетворяет ^[44] Если $S$ и $Т$ являются два распределения, по меньшей мере , один из которых имеет компактный носитель, то для любого ^[44] , если $T$ - распределение в, а если - мера Дирака, то ^[44] $S\ast T$ $T\ast S.$ $\operatorname {supp} (S\ast T)\subseteq \operatorname {supp} (S)+\operatorname {supp} (T).$ $a\in \mathbb {R} ^{n},$ $\tau _{a}(S\ast T)=\left(\tau _{a}S\right)\ast T=S\ast \left(\tau _{a}T\right).$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\delta$ $T\ast \delta =T.$

Предположим, что именно $T$ имеет компактный носитель. Для рассмотрим функцию $\phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})$

\psi (x)=\langle T,\tau _{-x}\phi \rangle .

Нетрудно показать, что это определяет гладкую функцию от $x$ , которая, кроме того, имеет компактный носитель. Свертка $S$ и $T$ определяется формулой

\langle S\ast T,\phi \rangle =\langle S,\psi \rangle .

Это обобщает классическое понятие свертки функций и совместят с дифференциацией в следующем смысле: для каждого многоиндексного $альфа$ ,

\partial ^{\alpha }(S\ast T)=(\partial ^{\alpha }S)\ast T=S\ast (\partial ^{\alpha }T).

Свертка конечного числа распределений, все из которых (кроме, возможно, одного) имеют компактный носитель, ассоциативна . ^[44]

Это определение свертки остается в силе при менее ограничительных предположениях относительно $S$ и $T$ . ^[48]

Свертка распределений с компактным носителем индуцирует непрерывное билинейное отображение, определяемое где где обозначает пространство распределений с компактным носителем. ^[14] Однако отображение свертки как функция не является непрерывным ^[14], хотя оно является непрерывным по отдельности. ^[49] Карты свертки и, данные обоими, не могут быть непрерывными. ^{[14] Однако} каждое из этих прерывистых отображений по отдельности непрерывно и гипонепрерывно . ^[14] ${\mathcal {E}}'\times {\mathcal {E}}'\to {\mathcal {E}}'$ $(S,T)\mapsto S*T,$ ${\mathcal {E}}'$ ${\mathcal {E}}'\times {\mathcal {D}}'\to {\mathcal {D}}'$ ${\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\times {\mathcal {D}}'\to {\mathcal {D}}'$ ${\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\times {\mathcal {D}}'\to {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})$ $(f,T)\mapsto f*T$

Свертка против умножения [ править ]

Как правило, для произведений умножения требуется регулярность, а для произведений свертки - локальность . Это выражается в следующем расширении теоремы о свертке, которое гарантирует существование как свертки, так и произведений умножения. Пусть будет быстро убывающим умеренным распределением или, что то же самое, обычной (медленно растущей, гладкой) функцией в пространстве умеренных распределений, и пусть будет нормализованное (унитарное, обычное частотное) преобразование Фурье ^[50], тогда, согласно Шварцу (1951) ) , $F(\alpha )=f\in {\mathcal {O}}'_{C}$ $F(f)=\alpha \in {\mathcal {O}}_{M}$ $F$

F(f*g)=F(f)\cdot F(g)

F(\alpha \cdot g)=F(\alpha )*F(g)

удерживаются в пространстве умеренных распределений. ^[51]^[52]^[53] В частности, эти уравнения становятся формулой суммирования Пуассона, если является гребнем Дирака . ^[54] Пространство всех быстро убывающих умеренных распределений также называется пространством операторов свертки, а пространство всех обычных функций в пространстве умеренных распределений также называется пространством операторов умножения. В более общем смысле, и ^[55]^[56] Частным случаем является Палея-Винера-Шварца теорема , которая утверждает , что и это потому , что и $g\equiv \operatorname {\text{Ш}}$ ${\mathcal {O}}'_{C}$ ${\mathcal {O}}_{M}.$ $F({\mathcal {O}}'_{C})={\mathcal {O}}_{M}$ $F({\mathcal {O}}_{M})={\mathcal {O}}'_{C}.$ $F({\mathcal {E}}')=\operatorname {PW}$ $F(\operatorname {PW} )={\mathcal {E}}'.$ ${\mathcal {E}}'\subseteq {\mathcal {O}}'_{C}$ $\operatorname {PW} \subseteq {\mathcal {O}}_{M}.$ Другими словами, умеренные распределения с компактным носителем принадлежат пространству операторов свертки, а функции Пэли-Винера, более известные как функции с ограниченной полосой пропускания , принадлежат пространству операторов умножения ^[57] ${\mathcal {E}}'$ ${\mathcal {O}}'_{C}$ $\operatorname {PW} ,$ ${\mathcal {O}}_{M}.$

Например, пусть будет гребенка Дирака и быть дельта , то это функция , которая постоянно один и оба уравнения дают идентичность гребенки Дирака . Другой пример может служить , чтобы быть гребенка Дирака и быть прямоугольная функция , то есть функция синка и оба уравнения дают Классическую Sampling теорему для подходящих функций. В более общем смысле, если это гребенка Дирака и является гладкой оконной функцией ( функция Шварца ), например, гауссовой , то $g\equiv \operatorname {\text{Ш}} \in {\mathcal {S}}'$ $f\equiv \delta \in {\mathcal {E}}'$ $\alpha \equiv 1\in \operatorname {PW}$ $g$ $f\equiv \operatorname {rect} \in {\mathcal {E}}'$ $\alpha \equiv \operatorname {sinc} \in \operatorname {PW}$ $\operatorname {rect}$ $g$ $f\in {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {O}}'_{C}\cap {\mathcal {O}}_{M}$ $\alpha \in {\mathcal {S}}$ - еще одна гладкая оконная функция (функция Шварца). Они известны как смягчители , особенно в теории уравнений в частных производных , или как регуляризаторы в физике, потому что они позволяют превращать обобщенные функции в регулярные .

Тензорное произведение распределений [ править ]

Позвольте и быть открытыми множествами. Предположим, что все векторные пространства находятся над полем, где или For мы определяем следующее семейство функций: $U\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {F} ,$ $\mathbb {F} =\mathbb {R}$ $\mathbb {C} .$ $f\in {\mathcal {D}}(U\times V)$

\left\{\left.{\begin{cases}f_{x}:V\to \mathbb {F} \\y\mapsto f(x,y)\end{cases}}\right|x\in U\right\},\qquad \left\{\left.{\begin{cases}f^{y}:U\to \mathbb {F} \\x\mapsto f(x,y)\end{cases}}\right|y\in V\right\}.

Учитывая и определяем следующие функции: $S\in {\mathcal {D}}'(U)$ $T\in {\mathcal {D}}'(V)$

{\begin{aligned}{\begin{cases}\langle S,f^{\bullet }\rangle :V\to \mathbb {F} \\y\mapsto \langle S,f^{y}\rangle \end{cases}}\\[8pt]{\begin{cases}\langle T,f_{\bullet }\rangle :U\to \mathbb {F} \\x\mapsto \langle T,f_{x}\rangle \end{cases}}\end{aligned}}

Обратите внимание, что и Теперь мы определяем следующие непрерывные линейные карты, связанные с и : $\langle T,f_{\bullet }\rangle \in {\mathcal {D}}(U)$ $\langle S,f^{\bullet }\rangle \in {\mathcal {D}}(V).$ $S$ $T$

{\begin{aligned}{\mathcal {D}}'(U)\ni S&\longrightarrow {\begin{cases}{\mathcal {D}}(U\times V)\to {\mathcal {D}}(V)\\f\mapsto \langle S,f^{\bullet }\rangle \end{cases}}\\[8pt]{\mathcal {D}}'(V)\ni T&\longrightarrow {\begin{cases}{\mathcal {D}}(U\times V)\to {\mathcal {D}}(U)\\f\mapsto \langle T,f_{\bullet }\rangle \end{cases}}\end{aligned}}

Более того, если любой (соответственно ) имеет компактный носитель, то он также индуцирует непрерывное линейное отображение (соответственно ). ^[58] $S$ $T$ $C^{\infty }(U\times V)\to C^{\infty }(V)$ $C^{\infty }(U\times V)\to C^{\infty }(U)$

Теорема Фубини для распределений ^[58] - ПустьиДля каждогомы имеем: $S\in {\mathcal {D}}'(U)$ $T\in {\mathcal {D}}'(V).$ $f\in {\mathcal {D}}(U\times V)$ $\langle S,\langle T,f_{\bullet }\rangle \rangle =\langle T,\langle S,f^{\bullet }\rangle \rangle .$

Определение. Тензорное произведение из и обозначается или является распределение и определяется по формуле: ^[58] $S\in {\mathcal {D}}'(U)$ $T\in {\mathcal {D}}'(V),$ $S\otimes T$ $T\otimes S,$ $U\times V$

(S\otimes T)(f):=\langle S,\langle T,f_{\bullet }\rangle \rangle =\langle T,\langle S,f^{\bullet }\rangle \rangle .

Теорема Шварца о ядре [ править ]

Тензорное произведение определяет билинейное отображение

{\begin{cases}{\mathcal {D}}'(U)\times {\mathcal {D}}'(V)\to {\mathcal {D}}'(U\times V)\\(S,T)\mapsto S\otimes T\end{cases}}

промежуток диапазона этого отображения является плотным подпространством его области значений. Кроме того, ^[58] Кроме того, индуцирует непрерывные билинейные отображения: $\operatorname {supp} (S\otimes T)=\operatorname {supp} (S)\times \operatorname {supp} (T).$ $(S,T)\mapsto S\otimes T$

{\begin{aligned}{\mathcal {E}}'(U)\times {\mathcal {E}}'(V)&\to {\mathcal {E}}'(U\times V)\\{\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{m})\times {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})&\to {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{m+n})\end{aligned}}

где обозначает пространство распределений с компактным носителем, а - пространство Шварца быстро убывающих функций. ^[14] ${\mathcal {E}}'$ ${\mathcal {S}}$

Теорема Шварца о ядре ^[59] - У нас есть канонические изоморфизмы TVS:

{\begin{aligned}{\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{m+n})&\cong {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{m})\ {\widehat {\otimes }}\ {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})\cong L_{b}({\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{m});{\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n}))\\{\mathcal {E}}'(U\times V)&\cong {\mathcal {E}}'(U)\ {\widehat {\otimes }}\ {\mathcal {E}}'(V)\cong L_{b}(C^{\infty }(U);{\mathcal {E}}'(V))\\{\mathcal {D}}'(U\times V)&\cong {\mathcal {D}}'(U)\ {\widehat {\otimes }}\ {\mathcal {D}}'(V)\cong L_{b}({\mathcal {D}}(U);{\mathcal {D}}'(V))\end{aligned}}

Здесь представляет собой пополнение инъективного тензорного произведения (которое в данном случае идентично пополнению проективного тензорного произведения , поскольку эти пространства ядерны ) и имеет топологию равномерной сходимости на ограниченных подмножествах . ${\widehat {\otimes }}$ $L_{b}(X;Y)$

Этот результат не верен для гильбертовых пространств, таких как и его сопряженное пространство. ^[60] Почему такой результат верен для пространства распределений и пробных функций, но не для других «хороших» пространств, таких как гильбертово пространство ? Этот вопрос привел Александра Гротендика к открытию ядерных пространств , ядерных карт и инъективного тензорного произведения . В конечном итоге он показал, что теорема Шварца о ядре выполняется именно потому, что является ядерным пространством . $L^{2}$ $L^{2}$ ${\mathcal {D}}(U)$

Пространства распределений [ править ]

Для всех $0 < k <\infty$ и всех $1 < p <\infty$ все следующие канонические инъекции являются непрерывными и имеют диапазон, плотный в их области значений:

{\begin{matrix}C_{c}^{\infty }(U)&\to &C_{c}^{k}(U)&\to &C_{c}^{0}(U)&\to &L_{c}^{\infty }(U)&\to &L_{c}^{p}(U)&\to &L_{c}^{1}(U)\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&&&&&\\C^{\infty }(U)&\to &C^{k}(U)&\to &C^{0}(U)&&&&&&\\\end{matrix}}

где топологии на ( ) определены как прямые границы пространств аналогично тому, как были определены топологии на (так, в частности, они не являются обычными топологиями норм). Диапазон каждой из приведенных выше карт (и любой композиции приведенных выше карт) плотен в кодобласти. В самом деле, даже секвенциально плотно в каждом ^[28]. Все канонические инъекции ( ) непрерывны, и диапазон этой инъекции плотен в кодобласти тогда и только тогда, когда (здесь имеет свою обычную топологию нормы ). ^[61] $L_{c}^{q}(U)$ $1\leq q\leq \infty$ $L_{c}^{q}(K)$ $C_{c}^{k}(U)$ $C_{c}^{\infty }(U)$ $C_{c}^{k}(U).$ $C_{c}^{\infty }(U)\to L^{p}(U)$ $1\leq p\leq \infty$ $p\neq \infty$ $L^{p}(U)$

Предположим, что это одно из пробелов ( ), ( ) или ( ). Поскольку каноническая инъекция - это непрерывная инъекция, изображение которой плотно в кодомене, транспонирование является непрерывной инъекцией. Таким образом, это транспонирование позволяет нам отождествлять себя с определенным векторным подпространством пространства распределений. Эта транспонированная карта не обязательно является ТВС-вложения так , что топологии , что эта карта передает изображение , является более тонким , чем топология подпространства , что это пространство наследует от линейного подпространства в проведении локально выпуклой топологии , которые тоньше , чем топология подпространства , индуцированной IS называется пространство распределений $X$ $C_{c}^{k}(U)$ $k\in \{0,1,\ldots ,\infty \}$ $L_{c}^{p}(U)$ $1\leq p\leq \infty$ $L^{p}(U)$ $1\leq p<\infty$ $\operatorname {In} _{X}:C_{c}^{\infty }(U)\to X$ ${}^{t}\operatorname {In} _{X}:X'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U)=(C_{c}^{\infty }(U))'_{b}$ $X'$ $\operatorname {Im} \left({}^{t}\operatorname {In} _{X}\right)$ ${\mathcal {D}}'(U).$ ${\mathcal {D}}'(U)$ ${\mathcal {D}}'(U)=(C_{c}^{\infty }(U))'_{b}$ . ^[61] Почти все пространства распределений, упомянутые в этой статье, возникают таким образом (например, умеренное распределение, ограничения, распределения некоторого целого порядка , распределения, индуцированные положительной мерой Радона, распределения, индуцированные -функцией, и т. Д.) И любая теорема представления о двойственном пространстве $X$ может быть перенесена через транспонирование непосредственно на элементы пространства $\leq$ $L^{p}$ ${}^{t}\operatorname {In} _{X}:X'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U),$ $\operatorname {Im} \left({}^{t}\operatorname {In} _{X}\right).$

Радоновые меры [ править ]

Естественное включение - это непрерывная инъекция, изображение которой плотно в его кодомене, поэтому транспонирование также является непрерывной инъекцией. $\operatorname {In} :C_{c}^{\infty }(U)\to C_{c}^{0}(U)$ ${}^{t}\operatorname {In} :(C_{c}^{0}(U))'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U)=(C_{c}^{\infty }(U))'_{b}$

Обратите внимание, что непрерывное сопряженное пространство можно идентифицировать как пространство мер Радона , где существует взаимно однозначное соответствие между непрерывными линейными функционалами и интегралом относительно меры Радона; это, $(C_{c}^{0}(U))'_{b}$ $T\in (C_{c}^{0}(U))'_{b}$

если тогда существует такая мера Радона на $U$ , что для всех и $T\in (C_{c}^{0}(U))'_{b}$ $\mu$ $f\in C_{c}^{0}(U),T(f)=\textstyle \int _{U}f\,d\mu ,$

если - мера Радона на $U,$ то линейный функционал на, определенный через , непрерывен. $\mu$ $C_{c}^{0}(U)$ $C_{c}^{0}(U)\ni f\mapsto \textstyle \int _{U}f\,d\mu$

Через инъекции каждая мера Радона становится распределение на $U$ . Если - локально интегрируемая функция на $U,$ то распределение является мерой Радона; Таким образом, меры Радона образуют большое и важное пространство распределений. ${}^{t}\operatorname {In} :(C_{c}^{0}(U))'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U),$ $f$ $\phi \mapsto \textstyle \int _{U}f(x)\phi (x)\,dx$

Следующая теорема о структуре распределений радоновских мер показывает, что любую радоновскую меру можно записать как сумму производных локально функций в $U$ : $L^{\infty }$

Теорема. ^[34] Предположим, что это мера Радона,

V

\subseteq

U

- окрестность носителя

T

и существует семейство локально функций в

U

такое, что

T\in {\mathcal {D}}'(U)

I=\{p\in \mathbb {N} ^{n}:|p|\leq k\}.

L^{\infty }

T=\sum _{|p|\leq k}\partial ^{p}\mu _{p}

и для очень

p\in I,\operatorname {supp} \mu _{p}\subseteq V.

Положительные радоновые меры

Линейная функция $T$ на пространстве функций называется положительной, если всякий раз, когда функция , принадлежащая области определения $T$ , неотрицательна (т. Е. Имеет действительные значения и ), то можно показать, что каждый положительный линейный функционал на пространстве обязательно непрерывен (т. Е. обязательно мера Радона). ^[62] Обратите внимание, что мера Лебега является примером положительной меры Радона. $f$ $f$ $f\geq 0$ $T(f)\geq 0.$ $C_{c}^{0}(U)$

Локально интегрируемые функции как распределения [ править ]

Одним из особенно важных классов мер Радона являются те, которые являются индуцированными локально интегрируемыми функциями. Функция называется локально интегрируемой , если она интегрируема по Лебегу над каждое компактное подмножество $K$ из $U$ . ^{[примечание 18]} Это большой класс функций, который включает в себя все непрерывные функции и все функции L p . Топология на определяется таким образом, что любая локально интегрируемая функция дает непрерывный линейный функционал на - то есть, элемент - обозначаемый здесь $T$ $f$ , значение которого на пробной функции $f:U\to \mathbb {R}$ ${\mathcal {D}}(U)$ $f$ ${\mathcal {D}}(U)$ ${\mathcal {D}}'(U)$ $\phi$ дается интегралом Лебега:

\langle T_{f},\phi \rangle =\int _{U}f\phi \,dx.

Обычно злоупотребляют обозначением , идентифицируя $T f,$ при условии, что не может возникнуть путаницы, и, таким образом, соединение между $T$ $f$ и часто записывается $f,$ $\phi$

\langle f,\phi \rangle =\langle T_{f},\phi \rangle .

Если и $g$ - две локально интегрируемые функции, то ассоциированные распределения $T$ $f$ и $T$ $g$ равны одному и тому же элементу тогда и только тогда, когда и $g$ равны почти всюду (см., Например, Hörmander (1983 , теорема 1.2.5)) ). Подобным образом каждая мера Радона на $U$ определяет элемент , значение которого в тестовой функции равно. Как и выше, обычно злоупотребляют обозначениями и записывают пары между мерой Радона и тестовой функцией как $f$ ${\mathcal {D}}'(U)$ $f$ $\mu$ ${\mathcal {D}}'(U)$ $\phi$ $\textstyle \int \phi \,d\mu .$ $\mu$ $\phi$ $\langle \mu ,\phi \rangle .$ И наоборот, как показано в теореме Шварца (аналогичной теореме Рисса о представлении ), каждое распределение, которое является неотрицательным на неотрицательных функциях, имеет эту форму для некоторой (положительной) меры Радона.

Тестовые функции как распределения

Сами тестовые функции являются локально интегрируемыми и поэтому определяют распределения. Пространство пробных функций является последовательно плотным в относительно сильной топологии на ^[29] Это означает , что для любого существует последовательность тестовых функций, которая сходится к (в его сильной двойной топологии) , если рассматривать как последовательность распределений. Или, что то же самое, $C_{c}^{\infty }(U)$ ${\mathcal {D}}'(U)$ ${\mathcal {D}}'(U).$ $T\in {\mathcal {D}}'(U),$ $(\phi _{i})_{i=1}^{\infty },$ $T\in {\mathcal {D}}'(U)$

\langle \phi _{i},\psi \rangle \to \langle T,\psi \rangle \qquad {\text{ for all }}\psi \in {\mathcal {D}}(U).

Кроме того, также секвенциально плотно в сильном дуальном пространстве из ^[29] $C_{c}^{\infty }(U)$ $C^{\infty }(U).$

Распределения с компактной поддержкой [ править ]

Естественное включение - это непрерывная инъекция, изображение которой плотно в его кодомене, поэтому транспонирование также является непрерывной инъекцией. Таким образом, изображение транспонирования, обозначенное как, образует пространство распределений, когда оно наделено сильной двойственной топологией (перенесенной на него через карту транспонирования, поэтому топология более тонкая, чем топология подпространства, от которой наследуется этот набор ). ^[31] $\operatorname {In} :C_{c}^{\infty }(U)\to C^{\infty }(U)$ ${}^{t}\operatorname {In} :(C^{\infty }(U))'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U)=(C_{c}^{\infty }(U))'_{b}$ ${\mathcal {E}}'(U),$ $(C^{\infty }(U))'_{b}$ ${}^{t}\operatorname {In} :(C^{\infty }(U))'_{b}\to {\mathcal {E}}'(U),$ ${\mathcal {E}}'(U)$ ${\mathcal {D}}'(U)$

Элементы можно идентифицировать как пространство распределений с компактной опорой. ^{[31] В} явном виде, если $T$ является распределением на $U,$ то следующие эквивалентны: ${\mathcal {E}}'(U)=(C^{\infty }(U))'_{b}$

$T\in {\mathcal {E}}'(U)$ ;

носитель $T$ компактен;

ограничение на то, когда это пространство оснащено топологией подпространства, унаследованной от (более грубая топология, чем каноническая топология LF), является непрерывным; ^[31] $T$ $C_{c}^{\infty }(U),$ $C^{\infty }(U)$

существует такое компактное подмножество $K$ в $U$ , что для каждой пробной функции , носитель которой полностью вне $K$ , имеем $\phi$ $T(\phi )=0.$

Распределения с компактными носителями определяют непрерывные линейные функционалы в пространстве ; Напомним , что топология на определяется таким образом, что последовательность пробных функций сходится к 0 , если и только если все производные равномерно сходятся к 0 на каждом компактном подмножестве $U$ . Наоборот, можно показать, что каждый непрерывный линейный функционал на этом пространстве определяет распределение компактного носителя. Таким образом, распределения с компактным носителем можно отождествить с теми распределениями, которые могут быть расширены от до $C^{\infty }(U)$ $C^{\infty }(U)$ $\phi _{k}$ $\phi _{k}$ $C_{c}^{\infty }(U)$ $C^{\infty }(U).$

Распределения конечного порядка [ править ]

Пусть Естественное включение - это непрерывная инъекция, изображение которой плотно в его кодобласти, поэтому транспонирование также является непрерывной инъекцией. Следовательно, образ, обозначенный как, образует пространство распределений, когда он наделен сильной двойственной топологией (переданной ему через транспонированное отображение, поэтому топология тоньше, чем топология подпространства, от которой наследуется это множество ). Элементы являются в распределения заказа $\leq K$ . ^[34] Распределения порядка ≤ 0, которые также называют распределениями порядка $0.$ $k\in \mathbb {N} .$ $\operatorname {In} :C_{c}^{\infty }(U)\to C_{c}^{k}(U)$ ${}^{t}\operatorname {In} :(C_{c}^{k}(U))'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U)=(C_{c}^{\infty }(U))'_{b}$ ${}^{t}\operatorname {In} ,$ ${\mathcal {D}}'^{k}(U),$ $(C_{c}^{k}(U))'_{b}$ ${}^{t}\operatorname {In} :(C^{\infty }(U))'_{b}\to {\mathcal {D}}'^{k}(U),$ ${\mathcal {D}}'^{m}(U)$ ${\mathcal {D}}'(U)$ ${\mathcal {D}}'^{k}(U)$ , являются в точности распределениями, которые являются мерами Радона (описанными выше).

Для получения в распределении порядка $к$ является распределение порядка $\leq$ $к$ , который не является распределение порядка $\leq$ $K$ $- 1$ . ^[34] $0\neq k\in \mathbb {N} ,$

Распределение называется из конечного порядка , если существует некоторое целое число $к$ таково , что распределение порядка $\leq K$ , а множество распределений конечного порядка обозначим через Заметим , что если $к$ $\leq$ $л$ , то таким образом , что является векторным подпространством из и, более того, тогда и только тогда, когда ^[34] ${\mathcal {D}}'^{F}(U).$ ${\mathcal {D}}'^{k}(U)\subseteq {\mathcal {D}}'^{l}(U)$ ${\mathcal {D}}'^{F}(U)$ ${\mathcal {D}}'(U)$ ${\mathcal {D}}'^{F}(U)={\mathcal {D}}'(U).$

Структура распределений конечного порядка

Каждое распределение с компактным носителем в $U$ является распределением конечного порядка. ^[34] Действительно, каждое распределение в $U$ является локально распределением конечного порядка в следующем смысле: ^[34] Если $V$ - открытое и относительно компактное подмножество $U$ и если является отображением ограничения из $U$ в $V$ , то изображение из Under содержится в $\rho _{VU}$ ${\mathcal {D}}'(U)$ $\rho _{VU}$ ${\mathcal {D}}'^{F}(V).$

Ниже приводится теорема о структуре распределений конечного порядка, которая показывает, что любое распределение конечного порядка можно записать как сумму производных радоновских мер :

Теорема. ^[34] Предположим, что имеет конечный порядок

\leq

k

и Для любого открытого подмножества

V

в

U,

содержащего носитель

T

, существует семейство радоновских мер в

U

, такое, что для очень и

T\in {\mathcal {D}}'(U)

I=\{p\in \mathbb {N} ^{n}:|p|\leq k\}.

(\mu _{p})_{p\in I},

p\in I,\operatorname {supp} (\mu _{p})\subseteq V

T=\sum _{|p|\leq k}\partial ^{p}\mu _{p}.

Пример. (Распределения бесконечного порядка) Пусть $U : = (0, \infty)$ и для каждой пробной функции пусть $f,$

Sf:=\sum _{m=1}^{\infty }(\partial ^{m}f)\left({\frac {1}{m}}\right).

Тогда $S$ является распределение бесконечного порядка на $U$ . Кроме того, $S$ не может быть расширен до распределения на $ℝ$ ; то есть, не существует распределения $Т$ на $ℝ$ так , что ограничение $Т$ на $U$ равна $Т$ . ^[63]

Умеренные распределения и преобразование Фурье [ редактировать ]

Ниже определены умеренные распределения , которые образуют подпространство пространства распределений на. Это собственное подпространство: в то время как каждое умеренное распределение является распределением, а элемент обратного неверен. Умеренные распределения полезны, если кто-то изучает преобразование Фурье, поскольку все умеренные распределения имеют преобразование Фурье, что неверно для произвольного распределения в ${\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n}),$ $\mathbb {R} ^{n}.$ ${\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n}),$ ${\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n}).$

Пространство Шварца

Пространство Шварца , является пространством всех гладких функций, быстро убывающих на бесконечности вместе со всеми частными производными. Таким образом , в пространстве Шварца при условии, что любая производная от умножается на любую степень | x | сходится к 0 при $|$ $х$ $|$ $\to \infty$ . Эти функции образуют полную TVS с соответствующим образом определенным семейством полунорм . Точнее, для любых мультииндексов и определим: ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}),$ $\phi :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ $\phi ,$ $\alpha$ $\beta$

p_{\alpha ,\beta }(\phi )~=~\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left|x^{\alpha }\partial ^{\beta }\phi (x)\right|.

Тогда находится в пространстве Шварца, если все значения удовлетворяют: $\phi$

p_{\alpha ,\beta }(\phi )<\infty .

Семейство полунорм $p α, β$ определяет локально выпуклую топологию на пространстве Шварца. При n = 1 полунормы фактически являются нормами на пространстве Шварца. Для определения топологии можно также использовать следующее семейство полунорм: ^[64]

|f|_{m,k}=\sup _{|p|\leq m}\left(\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left\{(1+|x|)^{k}\left|(\partial ^{\alpha }f)(x)\right|\right\}\right),\qquad k,m\in \mathbb {N} .

В противном случае можно определить норму через ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$

\|\phi \|_{k}~=~\max _{|\alpha |+|\beta |\leq k}\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left|x^{\alpha }\partial ^{\beta }\phi (x)\right|,\qquad k\geq 1.

Пространство Шварца - это пространство Фреше (т. Е. Полное метризуемое локально выпуклое пространство). Поскольку преобразование Фурье превращается в умножение на и наоборот, эта симметрия подразумевает, что преобразование Фурье функции Шварца также является функцией Шварца. $\partial ^{\alpha }$ $x^{\alpha }$

Последовательность в сходится к 0 в том и только в том случае, если функции сходятся к 0 равномерно во всем, из чего следует, что такая последовательность должна сходиться к нулю в ^[64] $\{f_{i}\}$ ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ $(1+|x|)^{k}(\partial ^{p}f_{i})(x)$ $\mathbb {R} ^{n},$ $C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}).$

${\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})$ плотно в Подмножество всех аналитических функций Шварца также плотно в . ^[65] ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}).$ ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$

Пространство Шварца ядерно, и тензорное произведение двух отображений индуцирует канонические сюръективные TVS-изоморфизмы

{\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{m})\ {\widehat {\otimes }}\ {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{m+n}),

где представляет собой завершение инъективного тензорного произведения (которое в данном случае идентично завершению проективного тензорного произведения ). ^[59] ${\widehat {\otimes }}$

Закаленные дистрибутивы

Естественное включение - это непрерывная инъекция, изображение которой плотно в его кодомене, поэтому транспонирование также является непрерывной инъекцией. Таким образом, изображение транспонированной карты, обозначенное как, образует пространство распределений, когда оно наделено сильной двойственной топологией (переданной ему через транспонированную карту, так что топология более тонкая, чем топология подпространства, от которой наследуется это множество ) . $\operatorname {In} :{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ ${}^{t}\operatorname {In} :({\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}))'_{b}\to {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})$ ${\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n}),$ $({\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}))'_{b}$ ${}^{t}\operatorname {In} :({\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}))'_{b}\to {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n}),$ ${\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})$ ${\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})$

Пространство называется пространством > отпущенных распределений оно является непрерывным двойным пространства Шварца. Эквивалентно, распределение $T$ является умеренным тогда и только тогда, когда ${\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})$

\left({\text{ for all }}\alpha ,\beta \in \mathbb {N} ^{n}:\lim _{m\to \infty }p_{\alpha ,\beta }(\phi _{m})=0\right)\Longrightarrow \lim _{m\to \infty }T(\phi _{m})=0.

Производная умеренного распределения снова является умеренным распределением. Умеренные распределения обобщают ограниченные (или медленно растущие) локально интегрируемые функции; все распределения с компактной опорой и все интегрируемые с квадратом функции являются умеренными распределениями. В более общем смысле, все функции, которые являются произведениями многочленов с элементами для $p$ $\geq 1,$ являются умеренными распределениями. L p ( R n ) {\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}

В отпущенном распределение также можно охарактеризовать как медленно расту , а это означает , что каждый производная $T$ растет наиболее так быстро , как некоторый многочлен . Эта характеристика двойственна быстрому падению производных функции в пространстве Шварца, где каждая производная убывает быстрее, чем каждая обратная степень $|$ $х$ $|$ . Пример быстро падающей функции - для любых положительных $n$ , $λ$ , $β$ . $\phi$ $|x|^{n}\exp(-\lambda |x|^{\beta })$

преобразование Фурье

Для изучения преобразования Фурье лучше всего рассматривать комплексные пробные функции и комплексно-линейные распределения. Обыкновенного непрерывного преобразования Фурье является TVS- автоморфизм пространства Шварца и преобразование Фурье определяется как его транспонирование , который (злоупотребление обозначения) снова обозначим через $F$ . Таким образом, преобразование Фурье умеренного распределения $T$ определяется выражением $($ $FT$ $) ($ $ψ$ $) =$ $T$ $($ $Fψ$ $)$ для каждой функции Шварца $ψ$ . $FT$ $F:{\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ ${}^{t}F:{\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n}),$ таким образом, снова умеренное распределение. Преобразование Фурье - это TVS-изоморфизм пространства умеренных распределений на себя. Эта операция совместима с дифференцированием в том смысле, что

F{\dfrac {dT}{dx}}=ixFT

а также со сверткой: если $T$ - умеренное распределение, а $ψ$ - медленно растущая гладкая функция на $ψT$ , снова является умеренным распределением и $\mathbb {R} ^{n},$

F(\psi T)=F\psi *FT

свертка $FT$ и $Fψ$ . В частности, преобразование Фурье постоянной функции, равной 1, является распределением $δ$ .

Выражение умеренных распределений в виде сумм производных

Если - умеренное распределение, то существует постоянная $C$ $> 0$ и положительные целые числа $M$ и $N$ такие, что для всех функций Шварца $T\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})$ $\phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$

\langle T,\phi \rangle \leq C\sum \nolimits _{|\alpha |\leq N,|\beta |\leq M}\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left|x^{\alpha }\partial ^{\beta }\phi (x)\right|=C\sum \nolimits _{|\alpha |\leq N,|\beta |\leq M}p_{\alpha ,\beta }(\phi ).

Эта оценка вместе с некоторыми методами функционального анализа может использоваться, чтобы показать, что существует непрерывная медленно растущая функция $F$ и мультииндекс $α$ такие, что

T=\partial ^{\alpha }F.

Ограничение распределений на компактные множества

Если тогда для любого компакта существует непрерывная функция $F с$ компактным носителем в (возможно, на множестве, большем, чем само $K$ ), и мультииндекс $α$ такой, что на $T\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n}),$ $K\subseteq \mathbb {R} ^{n},$ $\mathbb {R} ^{n}$ $T=\partial ^{\alpha }F$ $C_{c}^{\infty }(K).$

Использование голоморфных функций в качестве тестовых [ править ]

Успех теории привел к исследованию идеи гиперфункции , в которой пространства голоморфных функций используются в качестве пробных функций. Была разработана усовершенствованная теория, в частности алгебраический анализ Микио Сато , с использованием теории пучков и нескольких комплексных переменных . Это расширяет диапазон символических методов, которые можно превратить в строгую математику, например интегралы Фейнмана .

См. Также [ править ]

Алгебра Коломбо
Текущий (математика)
Распределение (теория чисел)
Распределение на линейной алгебраической группе
Гельфанд тройной
Обобщенная функция
Однородное распределение
Гиперфункция
Лапласиан индикатора
Предел раздачи
Линейная форма
Теорема Мальгранжа – Эренпрейса
Псевдодифференциальный оператор
Теорема Рисса о представлении
Расплывчатая топология
Слабое решение

Заметки [ править ]

^ оказывается также линейным и непрерывным, если пространству пробных функций задана некоторая топология, называемая канонической ЛФ топологией . $D_{f}$
^ Пространство Шварца состоит из гладких быстро убывающих тестовых функций, где «быстро убывающий» означает, что функция убывает быстрее, чем любой полином увеличивается, когда точки в ее области перемещаются от начала координат.
^ За исключением тривиальной (т. Е. Тождественно $0$ ) карты, которая, конечно, всегда аналитическая.
^ Обратите внимание, что если $i$ является целым числом, значит, что $i \neq \infty$ . Иногда это выражается как $0 \leq i < k + 1$ . Поскольку $\infty + 1 = \infty$ , неравенство « $0 \leq i < k + 1$ » означает: $0 \leq i <\infty,$ если $k = \infty$ , а если $k \neq \infty,$ то это означает $0 \leq i \leq k$ .
^ Образ компакта $K$ при непрерывном $ℝ$ -значная карту (напримердля $х$ $\in$ $U$ ) самосебе является компактным , итаким образомограничена, подмножество $ℝ$ . Если $K$ $\neq \emptyset$ , то это означаетчто каждая из функцийопределенных выше $ℝ$ не -значная (т.е. ни один из supremums выше когдалибо равняться $\infty$ ). $x\mapsto \left|\partial ^{p}f(x)\right|$
^ Если мы возьмем $𝕂$ будет множество всех компактных подмножеств $U$ , то мы можем использовать универсальное свойство прямых ограничений заключитьчто включениеявляется непрерывным и дажечто они являются топологическим вложением для любого компактного подмножества $K$ $\subseteq$ $U$ . Однако если взять $we$ как множество замыканий некоторой счетной возрастающей последовательности относительно компактных открытых подмножеств $U,$ обладающих всеми свойствами, упомянутыми ранее в этой статье, то мы немедленно выводим, чтоэто хаусдорфово локально выпуклое строгое LF-пространство (и даже строгое LB-пространство, когда $k$ $\operatorname {In} _{K}^{U}:C^{k}(K)\to C_{c}^{k}(U)$ $C_{c}^{k}(U)$ $\neq \infty$ ). Все эти факты также могут быть доказаны напрямую, без использования прямых систем (хотя и с дополнительной работой).
^ Для любой TVS $X$ ( метризуемой или иной) понятие полноты полностью зависит от некоторой так называемой «канонической однородности », которая определяется с использованием только операции вычитания (см. Статью Полное топологическое векторное пространство для более подробной информации). Таким образом, понятие полной TVS не требует наличия какой-либо метрики . Однако, если TVS $X$ метризуем и если $d$ - любая трансляционно-инвариантная метрика на $X$ , определяющая ее топологию, то $X$ является полным как TVS (т.е. оно является полным равномерным пространством при его канонической однородности) тогда и только тогда, когда $(X, d)$ является полным метрическим пространством . Таким образом, если TVS $X$ имеет топологию, которая может быть определена такой метрикой $d,$ то $d$ может использоваться для вывода полноты $X,$ но наличие такой метрики не является необходимым для определения полноты, и можно даже вывести что метризуемая TVS является полной без учета метрики (например, поскольку декартово произведениеиз любого набора полных TVS снова является полным TVS, мы можем сразу сделать вывод, что TVS, которое оказывается метризуемым, является полным TVS; Обратите внимание, что не было необходимости рассматривать какие-либо метрики ). $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} },$ $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$
^ Одна из причиниспользования канонической LF-топологии состоит в том, что именно с этой топологиейи ее непрерывное двойственное пространство становятся ядерными пространствами, которые обладают множеством хороших свойств и которые можно рассматривать как обобщение конечномерных пространств (для сравнения, нормированные пространства - еще одно обобщение конечномерных пространств, обладающих множеством «хороших» свойств). Более подробно, есть два класса топологических векторных пространств (TVS), которые особенно похожи на конечномерные евклидовы пространства : банаховы пространства (особенно гильбертовы пространства ) и ядерные пространства Монтеля. $C_{c}^{\infty }(U)$ $C_{c}^{\infty }(U)$ . Пространства Монтеля - это класс TVS, в котором каждое замкнутое и ограниченное подмножество компактно (это обобщает теорему Гейне – Бореля ), что является свойством, которым не может обладать никакое бесконечномерное банахово пространство; то есть никакая бесконечномерная TVS не может быть одновременно банаховым пространством и пространством Монтеля. Кроме того, никакая бесконечномерная TVS не может быть одновременно банаховым и ядерным пространством. Все конечномерные евклидовы пространства являются ядерными гильбертовыми пространствами Монтеля, но как только один входит в бесконечномерное пространство, эти два класса разделяются. Ядерные пространства, в частности, обладают многими "хорошими" свойствами конечномерных ТВП (например, теорема о ядре Шварца), которых нет в бесконечномерных банаховых пространствах (подробнее см. свойства, достаточные условия и характеристики, приведенные в статье « Ядерное пространство» ). В этом смысле ядерные пространства являются «альтернативным обобщением» конечномерных пространств. Кроме того, как правило, на практике большинство «естественных» TVS обычно являются либо банаховыми пространствами, либо ядерными пространствами. Как правило, большинство TVS, связанных с гладкостью (т. Е. Бесконечной дифференцируемостью, такой как и ), в конечном итоге являются ядерными TVS, в то время как TVS связаны с конечной непрерывной дифференцируемостью (например, с $K$ compact и $k$ $\neq \infty$ $C_{c}^{\infty }(U)$ $C^{\infty }(U)$ $C^{k}(K)$ ) часто оказываются неядерными пространствами, такими как пространства Банаха.
^ Даже при том, что топологияне является метризуемой, линейный функционал нанепрерывен тогда и только тогда, когда он секвенциально непрерывен. $C_{c}^{\infty }(U)$ $C_{c}^{\infty }(U)$
^ Б последовательность нуль - последовательность , которая сходится к происхождению.
^ a b Последовательность $x • = (x i) \infty я = 1$ называется сходящейся по Макки к $0$ в $X,$ случае, если существует расходящаяся последовательность $r • = (r i) \infty я = 1 \to \infty$ положительного действительного числа такое, что $(r i x i) \infty я = 1$ ограниченное множество в $X.$
^ Еслиэто также направлено при обычном сравнении функций, то мы можем взять конечный набор, состоящий из одного элемента. ${\mathcal {P}}$
^ В функциональном анализе сильная двойственная топология часто является «стандартной» топологией или топологией «по умолчанию», размещенной на непрерывном двойственном пространстве,где, если $X$ - нормированное пространство, то эта сильная двойственная топология такая же, как обычная индуцированная нормой топология на $X',$ $X'.$
^ Технически топология должна быть более грубой, чем сильная двойственная топология, и одновременно более тонкой, чем слабая * топология .
^ Напомним, что линейное отображение ограничено тогда и только тогда, когда оно отображает нулевые последовательности в ограниченные последовательности.
^ Этот подход работает и для нелинейных отображений, если предполагается, что они равномерно непрерывны .
^ Например, пустьи принимаютза обычную производную для функций одной действительной переменной и предполагают, что носительсодержится в конечном интервале,тогда, поскольку $U=\mathbb {R}$ $P$ $\phi$ $(a,b),$ $\operatorname {supp} (\phi )\subseteq (a,b)$
${\begin{aligned}\int _{\mathbb {R} }\phi '(x)f(x)\,dx&=\int _{a}^{b}\phi '(x)f(x)\,dx\\&=\phi (x)f(x){\big \vert }_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(x)\phi (x)\,dx\\&=\phi (b)f(b)-\phi (a)f(a)-\int _{a}^{b}f'(x)\phi (x)\,dx\\&=\int _{a}^{b}f'(x)\phi (x)\,dx\end{aligned}}$
где последнее равенство потому, что $\phi (a)=\phi (b)=0.$
^ Дополнительные сведения о таком классе функций см. В разделе о локально интегрируемых функциях .

Ссылки [ править ]

^ a b Trèves 2006 , стр. 222-223.
^ См., Например, Grubb 2009 , стр. 14.
^ a b Trèves 2006 , стр. 85-89.
^ a b Trèves 2006 , стр. 142-149.
^ Trèves 2006 , стр. 356-358.
^ a b c d e f g h Рудин 1991 , стр. 149-181.
^ a b c d Trèves 2006 , стр. 131-134.
^ a b c d Trèves 2006 , стр. 247-252.
^ Trèves 2006 , стр. 126-134.
^ a b c Trèves 2006 , стр. 136-148.
^ a b c d e Trèves 2006 , стр. 245-247.
Перейти ↑ Rudin 1991 , pp. 149-155.
^ Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 446-447.
^ Б с д е е г Trèves 2006 , стр. 423.
^ См., Например, Grubb 2009 , стр. 14.
^ См., Например, Schaefer & Wolff 1999 , стр. 173.
^ a b c d e Габриелян, Саак "Топологические свойства строгих LF-пространств и сильные двойники строгих LF-пространств Монтеля" (2017)
^ a b Габриелян, С.С. Какол Дж., · Лейдерман, А. "Сильное свойство Питкеева для топологических групп и топологических векторных пространств"
^ Trèves 2006 , стр. 195-201.
^ Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 435.
^ Trèves 2006 , стр. 526-534.
^ Trèves 2006 , стр. 357.
^ "Топологическое векторное пространство" . Энциклопедия математики . Энциклопедия математики . Проверено 6 сентября 2020 года . Это пространство Montel, следовательно, паракомпактное и такое нормальное.
^ a b T. Shirai, Sur les Topologies des Espaces de L. Schwartz, Proc. Япония Acad. 35 (1959), 31-36.
↑ Согласно Гельфанду и Шилову, 1966–1968 , т. 1, § 1.2.
^ Trèves 2006 , стр. 351-359.
^ Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 441-457.
^ a b Trèves 2006 , стр. 150-160.
^ a b c d Trèves 2006 , стр. 300-304.
^ Б с д е е г Trèves 2006 , стр. 253-255.
^ а б в г д Трев 2006 , стр. 255-257.
^ Trèves 2006 , стр. 264-266.
Перейти ↑ Rudin 1991 , p. 165.
^ Б с д е е г ч Trèves 2006 , стр. 258-264.
Перейти ↑ Rudin 1991 , pp. 169-170.
^ Стрихарца 1994 , §2.3; Трев 2006 .
Перейти ↑ Rudin 1991 , p. 180.
^ Trèves 2006 , стр. 261.
Перейти ↑ Lyons, T. (1998). «Дифференциальные уравнения, управляемые грубыми сигналами» . Revista Matemática Iberoamericana : 215–310. DOI : 10,4171 / RMI / 240 .
^ Хайрер, Martin (2014). «Теория регулярных структур». Inventiones Mathematicae . 198 (2): 269–504. arXiv : 1303,5113 . Bibcode : 2014InMat.198..269H . DOI : 10.1007 / s00222-014-0505-4 .
^ См., Например, Hörmander 1983 , теорема 6.1.1.
^ См. Hörmander 1983 , теорема 6.1.2.
^ a b c Trèves 2006 , стр. 278-283.
^ Б с д е е г ч я J Trèves 2006 , стр. 284-297.
^ См., Например, Рудин 1991 , §6.29.
^ a b Trèves 2006 , Глава 27.
^ Hörmander 1983 , §IV.2 доказывает единственность такого расширения.
^ См., Например, Гельфанд и Шилов, 1966–1968 , т. 1, стр. 103–104, и Бенедетто, 1997 , определение 2.5.8.
^ Trèves 2006 , стр. 294.
^ Folland, GB (1989). Гармонический анализ в фазовом пространстве . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета.
^ Хорват, Джон (1966). Топологические векторные пространства и распределения . Ридинг, Массачусетс: издательство Addison-Wesley Publishing Company.
Перейти ↑ Barros-Neto, José (1973). Введение в теорию распределений . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Деккер.
^ Петерсен, Бент Э. (1983). Введение в преобразование Фурье и псевдодифференциальные операторы . Бостон, Массачусетс: Pitman Publishing.
Перейти ↑ Woodward, PM (1953). Теория вероятностей и информации с приложениями к радарам . Оксфорд, Великобритания: Pergamon Press.
^ Trèves 2006 , стр. 318-319.
↑ Friedlander, FG; Джоши, MS (1998). Введение в теорию распределений . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета.
^ Шварц 1951 .
^ a b c d Trèves 2006 , стр. 416-419.
^ a b Trèves 2006 , стр. 531.
^ Trèves 2006 , стр. 509-510.
^ a b Trèves 2006 , стр. 240-252.
^ Trèves 2006 , стр. 218.
Перейти ↑ Rudin 1991 , pp. 177-181.
^ a b Trèves 2006 , стр. 92-94.
^ Trèves 2006 , стр. 160.

Библиография [ править ]

Баррос-Нето, Хосе (1973). Введение в теорию распределений . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Деккер.
Бенедетто, Дж. Дж. (1997), Гармонический анализ и приложения , CRC Press.
Фолланд, Великобритания (1989). Гармонический анализ в фазовом пространстве . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета.
Friedlander, FG; Джоши, MS (1998). Введение в теорию распределений . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета..
Гординг, Л. (1997), Некоторые аспекты анализа и их история , Американское математическое общество..
Гельфанд И.М .; Шилов Г.Е. (1966–1968), Обобщенные функции , 1–5 , Academic Press..
Грабб, Г. (2009), Распределения и операторы , Springer.
Хёрмандер, Л. (1983), Анализ линейных дифференциальных операторов в частных производных I , Grundl. Математика. Wissenschaft., 256 , Springer, doi : 10.1007 / 978-3-642-96750-4 , ISBN 3-540-12104-8, Руководство по ремонту 0717035.
Хорват, Джон (1966). Топологические векторные пространства и распределения . Ряд Аддисона-Уэсли по математике. 1 . Ридинг, Массачусетс: издательство Addison-Wesley Publishing Company. ISBN 978-0201029857.
Колмогоров Андрей ; Фомин, Сергей В. (1957). Элементы теории функций и функционального анализа . Дуврские книги по математике. Нью-Йорк: Dover Books. ISBN 978-1-61427-304-2. OCLC 912495626 .
Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
Петерсен, Бент Э. (1983). Введение в преобразование Фурье и псевдодифференциальные операторы . Бостон, Массачусетс: Pitman Publishing..
Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 .
Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
Шварц, Лоран (1954), "Sur l'impossibilité de la multiplications des distributions", CR Acad. Sci. Париж , 239 : 847–848.
Шварц, Лоран (1951), Теория распределений , 1–2 , Герман.
Соболев, С.Л. (1936), "Новый метод решения проблем Коши для нормальных гиперболических уравнений" , Матем. Сборник , 1 : 39–72..
Штейн, Элиас ; Вайс, Гвидо (1971), Введение в анализ Фурье на евклидовых пространствах , Princeton University Press, ISBN 0-691-08078-X.
Стрихарц, Р. (1994), Руководство по теории распределения и преобразованиям Фурье , CRC Press, ISBN 0-8493-8273-4.
Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .
Вудворд, PM (1953). Теория вероятностей и информации с приложениями к радарам . Оксфорд, Великобритания: Pergamon Press.

Дальнейшее чтение [ править ]

MJ Lighthill (1959). Введение в анализ Фурье и обобщенные функции . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-09128-4 (требует очень небольшого знания анализа; определяет распределения как пределы последовательностей функций под интегралами)
В.С. Владимиров (2002). Методы теории обобщенных функций . Тейлор и Фрэнсис. ISBN 0-415-27356-0
Владимиров, В.С. (2001) [1994], "Обобщенная функция" , Энциклопедия математики , EMS Press.
Владимиров, В.С. (2001) [1994], "Обобщенные функции, пространство" , Энциклопедия математики , EMS Press.
Владимиров, В.С. (2001) [1994], "Обобщенная функция, производная от a" , Энциклопедия математики , EMS Press.
Владимиров, В.С. (2001) [1994], "Обобщенные функции, произведение" , Энциклопедия математики , EMS Press.
Обергуггенбергер, Майкл (2001) [1994], "Обобщенные функциональные алгебры" , Энциклопедия математики , EMS Press.

[1] оказывается также линейным и непрерывным, если пространству пробных функций задана некоторая топология, называемая канонической ЛФ топологией . $D_{f}$

[2] Пространство Шварца состоит из гладких быстро убывающих тестовых функций, где «быстро убывающий» означает, что функция убывает быстрее, чем любой полином увеличивается, когда точки в ее области перемещаются от начала координат.

[3] За исключением тривиальной (т. Е. Тождественно $0$ ) карты, которая, конечно, всегда аналитическая.

[6] Обратите внимание, что если $i$ является целым числом, значит, что $i \neq \infty$ . Иногда это выражается как $0 \leq i < k + 1$ . Поскольку $\infty + 1 = \infty$ , неравенство « $0 \leq i < k + 1$ » означает: $0 \leq i <\infty,$ если $k = \infty$ , а если $k \neq \infty,$ то это означает $0 \leq i \leq k$ .

[7] Образ компакта $K$ при непрерывном $ℝ$ -значная карту (напримердля $х$ $\in$ $U$ ) самосебе является компактным , итаким образомограничена, подмножество $ℝ$ . Если $K$ $\neq \emptyset$ , то это означаетчто каждая из функцийопределенных выше $ℝ$ не -значная (т.е. ни один из supremums выше когдалибо равняться $\infty$ ). $x\mapsto \left|\partial ^{p}f(x)\right|$

[14] Если мы возьмем $𝕂$ будет множество всех компактных подмножеств $U$ , то мы можем использовать универсальное свойство прямых ограничений заключитьчто включениеявляется непрерывным и дажечто они являются топологическим вложением для любого компактного подмножества $K$ $\subseteq$ $U$ . Однако если взять $we$ как множество замыканий некоторой счетной возрастающей последовательности относительно компактных открытых подмножеств $U,$ обладающих всеми свойствами, упомянутыми ранее в этой статье, то мы немедленно выводим, чтоэто хаусдорфово локально выпуклое строгое LF-пространство (и даже строгое LB-пространство, когда $k$ $\operatorname {In} _{K}^{U}:C^{k}(K)\to C_{c}^{k}(U)$ $C_{c}^{k}(U)$ $\neq \infty$ ). Все эти факты также могут быть доказаны напрямую, без использования прямых систем (хотя и с дополнительной работой).

[18] Для любой TVS $X$ ( метризуемой или иной) понятие полноты полностью зависит от некоторой так называемой «канонической однородности », которая определяется с использованием только операции вычитания (см. Статью Полное топологическое векторное пространство для более подробной информации). Таким образом, понятие полной TVS не требует наличия какой-либо метрики . Однако, если TVS $X$ метризуем и если $d$ - любая трансляционно-инвариантная метрика на $X$ , определяющая ее топологию, то $X$ является полным как TVS (т.е. оно является полным равномерным пространством при его канонической однородности) тогда и только тогда, когда $(X, d)$ является полным метрическим пространством . Таким образом, если TVS $X$ имеет топологию, которая может быть определена такой метрикой $d,$ то $d$ может использоваться для вывода полноты $X,$ но наличие такой метрики не является необходимым для определения полноты, и можно даже вывести что метризуемая TVS является полной без учета метрики (например, поскольку декартово произведениеиз любого набора полных TVS снова является полным TVS, мы можем сразу сделать вывод, что TVS, которое оказывается метризуемым, является полным TVS; Обратите внимание, что не было необходимости рассматривать какие-либо метрики ). $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} },$ $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$

[19] Одна из причиниспользования канонической LF-топологии состоит в том, что именно с этой топологиейи ее непрерывное двойственное пространство становятся ядерными пространствами, которые обладают множеством хороших свойств и которые можно рассматривать как обобщение конечномерных пространств (для сравнения, нормированные пространства - еще одно обобщение конечномерных пространств, обладающих множеством «хороших» свойств). Более подробно, есть два класса топологических векторных пространств (TVS), которые особенно похожи на конечномерные евклидовы пространства : банаховы пространства (особенно гильбертовы пространства ) и ядерные пространства Монтеля. $C_{c}^{\infty }(U)$ $C_{c}^{\infty }(U)$ . Пространства Монтеля - это класс TVS, в котором каждое замкнутое и ограниченное подмножество компактно (это обобщает теорему Гейне – Бореля ), что является свойством, которым не может обладать никакое бесконечномерное банахово пространство; то есть никакая бесконечномерная TVS не может быть одновременно банаховым пространством и пространством Монтеля. Кроме того, никакая бесконечномерная TVS не может быть одновременно банаховым и ядерным пространством. Все конечномерные евклидовы пространства являются ядерными гильбертовыми пространствами Монтеля, но как только один входит в бесконечномерное пространство, эти два класса разделяются. Ядерные пространства, в частности, обладают многими "хорошими" свойствами конечномерных ТВП (например, теорема о ядре Шварца), которых нет в бесконечномерных банаховых пространствах (подробнее см. свойства, достаточные условия и характеристики, приведенные в статье « Ядерное пространство» ). В этом смысле ядерные пространства являются «альтернативным обобщением» конечномерных пространств. Кроме того, как правило, на практике большинство «естественных» TVS обычно являются либо банаховыми пространствами, либо ядерными пространствами. Как правило, большинство TVS, связанных с гладкостью (т. Е. Бесконечной дифференцируемостью, такой как и ), в конечном итоге являются ядерными TVS, в то время как TVS связаны с конечной непрерывной дифференцируемостью (например, с $K$ compact и $k$ $\neq \infty$ $C_{c}^{\infty }(U)$ $C^{\infty }(U)$ $C^{k}(K)$ ) часто оказываются неядерными пространствами, такими как пространства Банаха.

[23] Даже при том, что топологияне является метризуемой, линейный функционал нанепрерывен тогда и только тогда, когда он секвенциально непрерывен. $C_{c}^{\infty }(U)$ $C_{c}^{\infty }(U)$

[Def_null_sequence-24] Б последовательность нуль - последовательность , которая сходится к происхождению.

[Def_of_Mackey_convergent-25] Последовательность $x • = (x i) \infty я = 1$ называется сходящейся по Макки к $0$ в $X,$ случае, если существует расходящаяся последовательность $r • = (r i) \infty я = 1 \to \infty$ положительного действительного числа такое, что $(r i x i) \infty я = 1$ ограниченное множество в $X.$

[26] Еслиэто также направлено при обычном сравнении функций, то мы можем взять конечный набор, состоящий из одного элемента. ${\mathcal {P}}$

[28] В функциональном анализе сильная двойственная топология часто является «стандартной» топологией или топологией «по умолчанию», размещенной на непрерывном двойственном пространстве,где, если $X$ - нормированное пространство, то эта сильная двойственная топология такая же, как обычная индуцированная нормой топология на $X',$ $X'.$

[30] Технически топология должна быть более грубой, чем сильная двойственная топология, и одновременно более тонкой, чем слабая * топология .

[41] Напомним, что линейное отображение ограничено тогда и только тогда, когда оно отображает нулевые последовательности в ограниченные последовательности.

[51] Этот подход работает и для нелинейных отображений, если предполагается, что они равномерно непрерывны .

[54] Например, пустьи принимаютза обычную производную для функций одной действительной переменной и предполагают, что носительсодержится в конечном интервале,тогда, поскольку $U=\mathbb {R}$ $P$ $\phi$ $(a,b),$ $\operatorname {supp} (\phi )\subseteq (a,b)$
${\begin{aligned}\int _{\mathbb {R} }\phi '(x)f(x)\,dx&=\int _{a}^{b}\phi '(x)f(x)\,dx\\&=\phi (x)f(x){\big \vert }_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(x)\phi (x)\,dx\\&=\phi (b)f(b)-\phi (a)f(a)-\int _{a}^{b}f'(x)\phi (x)\,dx\\&=\int _{a}^{b}f'(x)\phi (x)\,dx\end{aligned}}$
где последнее равенство потому, что $\phi (a)=\phi (b)=0.$

[80] Дополнительные сведения о таком классе функций см. В разделе о локально интегрируемых функциях .

[FOOTNOTETrèves2006222-223-4] Trèves 2006 , стр. 222-223.

[5] См., Например, Grubb 2009 , стр. 14.

[FOOTNOTETrèves200685-89-8] Trèves 2006 , стр. 85-89.

[FOOTNOTETrèves2006142-149-9] Trèves 2006 , стр. 142-149.

[FOOTNOTETrèves2006356-358-10] Trèves 2006 , стр. 356-358.

[FOOTNOTERudin1991149-181-11] Рудин 1991 , стр. 149-181.

[FOOTNOTETrèves2006131-134-12] Trèves 2006 , стр. 131-134.

[FOOTNOTETrèves2006247-252-13] Trèves 2006 , стр. 247-252.

[FOOTNOTETrèves2006126-134-15] Trèves 2006 , стр. 126-134.

[FOOTNOTETrèves2006136-148-16] Trèves 2006 , стр. 136-148.

[FOOTNOTETrèves2006245-247-17] Trèves 2006 , стр. 245-247.

[FOOTNOTERudin1991149-155-20] Перейти ↑ Rudin 1991 , pp. 149-155.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011446-447-21] Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 446-447.

[FOOTNOTETrèves2006423-22] Б с д е е г Trèves 2006 , стр. 423.

[27] См., Например, Grubb 2009 , стр. 14.

[29] См., Например, Schaefer & Wolff 1999 , стр. 173.

[Gabriyelyan_2017-31] Габриелян, Саак "Топологические свойства строгих LF-пространств и сильные двойники строгих LF-пространств Монтеля" (2017)

[Gabriyelyan_Kakol_and·Leiderman-32] Габриелян, С.С. Какол Дж., · Лейдерман, А. "Сильное свойство Питкеева для топологических групп и топологических векторных пространств"

[FOOTNOTETrèves2006195-201-33] Trèves 2006 , стр. 195-201.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011435-34] Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 435.

[FOOTNOTETrèves2006526-534-35] Trèves 2006 , стр. 526-534.

[FOOTNOTETrèves2006357-36] Trèves 2006 , стр. 357.

[Encyc._Math_TVS-37] "Топологическое векторное пространство" . Энциклопедия математики . Энциклопедия математики . Проверено 6 сентября 2020 года . Это пространство Montel, следовательно, паракомпактное и такое нормальное.

[Shirai_1959-38] T. Shirai, Sur les Topologies des Espaces de L. Schwartz, Proc. Япония Acad. 35 (1959), 31-36.

[39] Согласно Гельфанду и Шилову, 1966–1968 , т. 1, § 1.2.

[FOOTNOTETrèves2006351-359-40] Trèves 2006 , стр. 351-359.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011441-457-42] Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 441-457.

[FOOTNOTETrèves2006150-160-43] Trèves 2006 , стр. 150-160.

[FOOTNOTETrèves2006300-304-44] Trèves 2006 , стр. 300-304.

[FOOTNOTETrèves2006253-255-45] Б с д е е г Trèves 2006 , стр. 253-255.

[FOOTNOTETrèves2006255-257-46] а б в г д Трев 2006 , стр. 255-257.

[FOOTNOTETrèves2006264-266-47] Trèves 2006 , стр. 264-266.

[FOOTNOTERudin1991165-48] Перейти ↑ Rudin 1991 , p. 165.

[FOOTNOTETrèves2006258-264-49] Б с д е е г ч Trèves 2006 , стр. 258-264.

[FOOTNOTERudin1991169-170-50] Перейти ↑ Rudin 1991 , pp. 169-170.

[52] Стрихарца 1994 , §2.3; Трев 2006 .

[FOOTNOTERudin1991180-53] Перейти ↑ Rudin 1991 , p. 180.

[FOOTNOTETrèves2006261-55] Trèves 2006 , стр. 261.

[56] Перейти ↑ Lyons, T. (1998). «Дифференциальные уравнения, управляемые грубыми сигналами» . Revista Matemática Iberoamericana : 215–310. DOI : 10,4171 / RMI / 240 .

[57] Хайрер, Martin (2014). «Теория регулярных структур». Inventiones Mathematicae . 198 (2): 269–504. arXiv : 1303,5113 . Bibcode : 2014InMat.198..269H . DOI : 10.1007 / s00222-014-0505-4 .

[58] См., Например, Hörmander 1983 , теорема 6.1.1.

[59] См. Hörmander 1983 , теорема 6.1.2.

[FOOTNOTETrèves2006278-283-60] Trèves 2006 , стр. 278-283.

[FOOTNOTETrèves2006284-297-61] Б с д е е г ч я J Trèves 2006 , стр. 284-297.

[62] См., Например, Рудин 1991 , §6.29.

[FOOTNOTETrèves2006Chapter_27-63] Trèves 2006 , Глава 27.

[64] Hörmander 1983 , §IV.2 доказывает единственность такого расширения.

[65] См., Например, Гельфанд и Шилов, 1966–1968 , т. 1, стр. 103–104, и Бенедетто, 1997 , определение 2.5.8.

[FOOTNOTETrèves2006294-66] Trèves 2006 , стр. 294.

[67] Folland, GB (1989). Гармонический анализ в фазовом пространстве . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета.

[68] Хорват, Джон (1966). Топологические векторные пространства и распределения . Ридинг, Массачусетс: издательство Addison-Wesley Publishing Company.

[69] Перейти ↑ Barros-Neto, José (1973). Введение в теорию распределений . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Деккер.

[70] Петерсен, Бент Э. (1983). Введение в преобразование Фурье и псевдодифференциальные операторы . Бостон, Массачусетс: Pitman Publishing.

[71] Перейти ↑ Woodward, PM (1953). Теория вероятностей и информации с приложениями к радарам . Оксфорд, Великобритания: Pergamon Press.

[FOOTNOTETrèves2006318-319-72] Trèves 2006 , стр. 318-319.

[73] Friedlander, FG; Джоши, MS (1998). Введение в теорию распределений . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета.

[FOOTNOTESchwartz1951-74] Шварц 1951 .

[FOOTNOTETrèves2006416-419-75] Trèves 2006 , стр. 416-419.

[FOOTNOTETrèves2006531-76] Trèves 2006 , стр. 531.

[FOOTNOTETrèves2006509-510-77] Trèves 2006 , стр. 509-510.

[FOOTNOTETrèves2006240-252-78] Trèves 2006 , стр. 240-252.

[FOOTNOTETrèves2006218-79] Trèves 2006 , стр. 218.

[FOOTNOTERudin1991177-181-81] Перейти ↑ Rudin 1991 , pp. 177-181.

[FOOTNOTETrèves200692-94-82] Trèves 2006 , стр. 92-94.

[FOOTNOTETrèves2006160-83] Trèves 2006 , стр. 160.

[примечание 1],

vтеГильбертовы пространства
Основные понятия	Примыкающий Внутренний продукт и L-полувнутренний продукт Гильбертово пространство и предильбертово пространство
Основные результаты	Неравенство Бесселя Неравенство Коши – Шварца. Представительство Рисса
Другие результаты	Личность Парсеваля Поляризационная идентичность ( закон параллелограмма )
Карты	Компактный оператор в гильбертовом пространстве Плотно очерченный Эрмитова форма Гильберта-Шмидта Обычный Самосопряженный Полуторалинейная форма Класс трассировки Унитарный
Примеры	C n ( K ) с K компактным & n <∞ Сегал – Баргманн Ф

Распределение (математика)

История [ править ]

Обозначение [ править ]

Определения тестовых функций и распределений [ править ]

Топология на C k (U) [ править ]

Топология на C k (K) [ править ]

Тривиальные расширения и независимость топологии C k ( K ) от U [ править ]

Топология на пространствах тестовых функций и распределений [ править ]

Каноническая LF топология [ править ]

Основные свойства [ править ]

Распределения [ править ]

Топология на пространстве распределений [ править ]

Топологические свойства [ править ]

Сходящиеся последовательности [ править ]

Локализация дистрибутивов [ править ]

Ограничения для открытого подмножества [ править ]

Склеивание и исчезающие распределения в наборе [ править ]

Поддержка раздачи [ править ]

Распределения с компактной поддержкой [ править ]

Глобальная структура раздач [ править ]

Разложение распределений в виде сумм производных непрерывных функций [ править ]

Операции с дистрибутивами [ править ]

Предварительные сведения: транспонирование линейного оператора [ править ]

Дифференциальные операторы [ править ]

Дифференциация распределений [ править ]

Дифференциальные операторы, действующие на гладкие функции [ править ]

Умножение распределений на гладкие функции [ править ]

Проблема умножения распределений [ править ]

Композиция с плавной функцией [ править ]

Свертка [ править ]

Свертка тестовой функции с распределением [ править ]

Свертка гладкой функции с распределением [ править ]

Свертка распределений [ править ]

Свертка против умножения [ править ]

Тензорное произведение распределений [ править ]

Теорема Шварца о ядре [ править ]

Пространства распределений [ править ]

Радоновые меры [ править ]

Локально интегрируемые функции как распределения [ править ]

Распределения с компактной поддержкой [ править ]

Распределения конечного порядка [ править ]

Умеренные распределения и преобразование Фурье [ редактировать ]

Использование голоморфных функций в качестве тестовых [ править ]

См. Также [ править ]

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

Топология на C ^k (U) [ править ]

Топология на C ^k (K) [ править ]

Тривиальные расширения и независимость топологии C ^k ( K ) от U [ править ]