Тестовые функции для оптимизации

В прикладной математике тестовые функции , известные как искусственные ландшафты , полезны для оценки характеристик алгоритмов оптимизации, таких как:

Скорость сходимости.
Точность.
Надежность.
Общая производительность.

Здесь представлены некоторые тестовые функции с целью дать представление о различных ситуациях, с которыми приходится сталкиваться алгоритмам оптимизации при решении подобных проблем. В первой части представлены некоторые целевые функции для случаев одноцелевой оптимизации. Во второй части приведены тестовые функции с соответствующими фронтами Парето для многоцелевых задач оптимизации (MOP).

Искусственные ландшафты, представленные здесь для решения задач одноцелевой оптимизации, взяты из Bäck, ^[1] Haupt et al. ^[2] и из программного обеспечения Rody Oldenhuis. ^[3] Учитывая количество задач (всего 55), здесь представлены лишь некоторые из них.

Тестовые функции, используемые для оценки алгоритмов MOP, были взяты из Deb, ^[4] Binh et al. ^[5] и Бинь. ^[6] Вы можете загрузить программное обеспечение, разработанное Дебом ^[7], которое реализует процедуру NSGA-II с помощью GA, или программу, размещенную в Интернете ^[8], которая реализует процедуру NSGA-II с ES.

Приведены просто общий вид уравнения, график целевой функции, границы переменных объекта и координаты глобальных минимумов.

Тестовые функции для одноцелевой оптимизации [ править ]

Имя	Формула	Глобальный минимум	Искать домен
Функция Растригина	${\ displaystyle f (\ mathbf {x}) = An + \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left [x_ {i} ^ {2} -A \ cos (2 \ pi x_ {i}) \ Правильно]}$ ${\ displaystyle {\ text {где:}} A = 10}$	${\ Displaystyle F (0, \ точки, 0) = 0}$	${\ displaystyle -5.12 \ leq x_ {i} \ leq 5.12}$
Функция Экли	${\ displaystyle f (x, y) = - 20 \ exp \ left [-0,2 {\ sqrt {0,5 \ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right)}} \ right]}$ ${\ Displaystyle - \ ехр \ влево [0,5 \ влево (\ соз 2 \ пи х + \ соз 2 \ пи у \ вправо) \ вправо] + е + 20}$	${\ displaystyle f (0,0) = 0}$	${\ displaystyle -5 \ leq x, y \ leq 5}$
Сфера функция	${\ displaystyle f ({\ boldsymbol {x}}) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {2}}$	${\ displaystyle f (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = f (0, \ dots, 0) = 0}$	${\ displaystyle - \ infty \ leq x_ {i} \ leq \ infty}$ , ${\ Displaystyle 1 \ Leq я \ Leq п}$
Функция Розенброка	$f({\boldsymbol {x}})=\sum _{i=1}^{n-1}\left[100\left(x_{i+1}-x_{i}^{2}\right)^{2}+\left(1-x_{i}\right)^{2}\right]$	${\text{Min}}={\begin{cases}n=2&\rightarrow \quad f(1,1)=0,\\n=3&\rightarrow \quad f(1,1,1)=0,\\n>3&\rightarrow \quad f(\underbrace {1,\dots ,1} _{n{\text{ times}}})=0\\\end{cases}}$	$-\infty \leq x_{i}\leq \infty$ , $1\leq i\leq n$
Функция Била	$f(x,y)=\left(1.5-x+xy\right)^{2}+\left(2.25-x+xy^{2}\right)^{2}$ $+\left(2.625-x+xy^{3}\right)^{2}$	$f(3,0.5)=0$	$-4.5\leq x,y\leq 4.5$
Функция Гольдштейна – Прайса	$f(x,y)=\left[1+\left(x+y+1\right)^{2}\left(19-14x+3x^{2}-14y+6xy+3y^{2}\right)\right]$ $\left[30+\left(2x-3y\right)^{2}\left(18-32x+12x^{2}+48y-36xy+27y^{2}\right)\right]$	$f(0,-1)=3$	$-2\leq x,y\leq 2$
Функция будки	$f(x,y)=\left(x+2y-7\right)^{2}+\left(2x+y-5\right)^{2}$	$f(1,3)=0$	$-10\leq x,y\leq 10$
Функция Букина N.6	$f(x,y)=100{\sqrt {\left\|y-0.01x^{2}\right\|}}+0.01\left\|x+10\right\|.\quad$	$f(-10,1)=0$	$-15\leq x\leq -5$ , $-3\leq y\leq 3$
Функция Матьяса	$f(x,y)=0.26\left(x^{2}+y^{2}\right)-0.48xy$	$f(0,0)=0$	$-10\leq x,y\leq 10$
Функция Леви N.13	$f(x,y)=\sin ^{2}3\pi x+\left(x-1\right)^{2}\left(1+\sin ^{2}3\pi y\right)$ $+\left(y-1\right)^{2}\left(1+\sin ^{2}2\pi y\right)$	$f(1,1)=0$	$-10\leq x,y\leq 10$
Функция Химмельблау	$f(x,y)=(x^{2}+y-11)^{2}+(x+y^{2}-7)^{2}.\quad$	${\text{Min}}={\begin{cases}f\left(3.0,2.0\right)&=0.0\\f\left(-2.805118,3.131312\right)&=0.0\\f\left(-3.779310,-3.283186\right)&=0.0\\f\left(3.584428,-1.848126\right)&=0.0\\\end{cases}}$	$-5\leq x,y\leq 5$
Функция трехгорбого верблюда	$f(x,y)=2x^{2}-1.05x^{4}+{\frac {x^{6}}{6}}+xy+y^{2}$	$f(0,0)=0$	$-5\leq x,y\leq 5$
Функция EASOM	$f(x,y)=-\cos \left(x\right)\cos \left(y\right)\exp \left(-\left(\left(x-\pi \right)^{2}+\left(y-\pi \right)^{2}\right)\right)$	$f(\pi ,\pi )=-1$	$-100\leq x,y\leq 100$
Функция кросс-лотка	$f(x,y)=-0.0001\left[\left\|\sin x\sin y\exp \left(\left\|100-{\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{\pi }}\right\|\right)\right\|+1\right]^{0.1}$	${\text{Min}}={\begin{cases}f\left(1.34941,-1.34941\right)&=-2.06261\\f\left(1.34941,1.34941\right)&=-2.06261\\f\left(-1.34941,1.34941\right)&=-2.06261\\f\left(-1.34941,-1.34941\right)&=-2.06261\\\end{cases}}$	$-10\leq x,y\leq 10$
Функция Eggholder ^[9]	$f(x,y)=-\left(y+47\right)\sin {\sqrt {\left\|{\frac {x}{2}}+\left(y+47\right)\right\|}}-x\sin {\sqrt {\left\|x-\left(y+47\right)\right\|}}$	$f(512,404.2319)=-959.6407$	$-512\leq x,y\leq 512$
Табличная функция Гёльдера	$f(x,y)=-\left\|\sin x\cos y\exp \left(\left\|1-{\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{\pi }}\right\|\right)\right\|$	${\text{Min}}={\begin{cases}f\left(8.05502,9.66459\right)&=-19.2085\\f\left(-8.05502,9.66459\right)&=-19.2085\\f\left(8.05502,-9.66459\right)&=-19.2085\\f\left(-8.05502,-9.66459\right)&=-19.2085\end{cases}}$	$-10\leq x,y\leq 10$
Функция Маккормика	$f(x,y)=\sin \left(x+y\right)+\left(x-y\right)^{2}-1.5x+2.5y+1$	$f(-0.54719,-1.54719)=-1.9133$	$-1.5\leq x\leq 4$ , $-3\leq y\leq 4$
Функция Шаффера N. 2	$f(x,y)=0.5+{\frac {\sin ^{2}\left(x^{2}-y^{2}\right)-0.5}{\left[1+0.001\left(x^{2}+y^{2}\right)\right]^{2}}}$	$f(0,0)=0$	$-100\leq x,y\leq 100$
Функция Шаффера N. 4	$f(x,y)=0.5+{\frac {\cos ^{2}\left[\sin \left(\left\|x^{2}-y^{2}\right\|\right)\right]-0.5}{\left[1+0.001\left(x^{2}+y^{2}\right)\right]^{2}}}$	${\text{Min}}={\begin{cases}f\left(0,1.25313\right)&=0.292579\\f\left(0,-1.25313\right)&=0.292579\end{cases}}$	$-100\leq x,y\leq 100$
Функция Стыблинского – Танга	$f({\boldsymbol {x}})={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{4}-16x_{i}^{2}+5x_{i}}{2}}$	$-39.16617n<f(\underbrace {-2.903534,\ldots ,-2.903534} _{n{\text{ times}}})<-39.16616n$	$-5\leq x_{i}\leq 5$ , .. $1\leq i\leq n$

Тестовые функции для оптимизации с ограничениями [ править ]

Имя	Формула	Глобальный минимум	Искать домен
Функция Розенброка, ограниченная кубикой и линией ^[10]	$f(x,y)=(1-x)^{2}+100(y-x^{2})^{2}$ , подвергается: $(x-1)^{3}-y+1\leq 0{\text{ and }}x+y-2\leq 0$	$f(1.0,1.0)=0$	$-1.5\leq x\leq 1.5$ , $-0.5\leq y\leq 2.5$
Функция Розенброка, привязанная к диску ^[11]	$f(x,y)=(1-x)^{2}+100(y-x^{2})^{2}$ , подвергается: $x^{2}+y^{2}\leq 2$	$f(1.0,1.0)=0$	$-1.5\leq x\leq 1.5$ , $-1.5\leq y\leq 1.5$
Функция Берда Мишры - с ограничениями ^[12]^[13]	$f(x,y)=\sin(y)e^{\left[(1-\cos x)^{2}\right]}+\cos(x)e^{\left[(1-\sin y)^{2}\right]}+(x-y)^{2}$ , подвергается: $(x+5)^{2}+(y+5)^{2}<25$	$f(-3.1302468,-1.5821422)=-106.7645367$	$-10\leq x\leq 0$ , $-6.5\leq y\leq 0$
Функция Таунсенда (модифицированная) ^[14]	$f(x,y)=-[\cos((x-0.1)y)]^{2}-x\sin(3x+y)$ , подвергается: где: $t$ $= Atan2 (x, y)$ $x^{2}+y^{2}<\left[2\cos t-{\frac {1}{2}}\cos 2t-{\frac {1}{4}}\cos 3t-{\frac {1}{8}}\cos 4t\right]^{2}+[2\sin t]^{2}$	$f(2.0052938,1.1944509)=-2.0239884$	$-2.25\leq x\leq 2.5$ , $-2.5\leq y\leq 1.75$
Функция Симионеску ^[15]	$f(x,y)=0.1xy$ , подвергается: $x^{2}+y^{2}\leq \left[r_{T}+r_{S}\cos \left(n\arctan {\frac {x}{y}}\right)\right]^{2}$ ${\text{where: }}r_{T}=1,r_{S}=0.2{\text{ and }}n=8$	$f(\pm 0.84852813,\mp 0.84852813)=-0.072$	$-1.25\leq x,y\leq 1.25$

Тестовые функции для многокритериальной оптимизации [ править ]

^{[ требуется дальнейшее объяснение ]}

Имя	Функции	Ограничения	Искать домен
Функция Бина и Корна : ^[5]	${\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)=4x^{2}+4y^{2}\\f_{2}\left(x,y\right)=\left(x-5\right)^{2}+\left(y-5\right)^{2}\\\end{cases}}$	${\text{s.t.}}={\begin{cases}g_{1}\left(x,y\right)=\left(x-5\right)^{2}+y^{2}\leq 25\\g_{2}\left(x,y\right)=\left(x-8\right)^{2}+\left(y+3\right)^{2}\geq 7.7\\\end{cases}}$	$0\leq x\leq 5$ , $0\leq y\leq 3$
Функции Чанконга и Хаймса : ^[16]	${\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)=2+\left(x-2\right)^{2}+\left(y-1\right)^{2}\\f_{2}\left(x,y\right)=9x-\left(y-1\right)^{2}\\\end{cases}}$	${\text{s.t.}}={\begin{cases}g_{1}\left(x,y\right)=x^{2}+y^{2}\leq 225\\g_{2}\left(x,y\right)=x-3y+10\leq 0\\\end{cases}}$	$-20\leq x,y\leq 20$
Функция Фонсека – Флеминга : ^[17]	${\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)=1-\exp \left[-\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\frac {1}{\sqrt {n}}}\right)^{2}\right]\\f_{2}\left({\boldsymbol {x}}\right)=1-\exp \left[-\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}+{\frac {1}{\sqrt {n}}}\right)^{2}\right]\\\end{cases}}$		$-4\leq x_{i}\leq 4$ , $1\leq i\leq n$
Функция проверки 4: ^[6]	${\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)=x^{2}-y\\f_{2}\left(x,y\right)=-0.5x-y-1\\\end{cases}}$	${\text{s.t.}}={\begin{cases}g_{1}\left(x,y\right)=6.5-{\frac {x}{6}}-y\geq 0\\g_{2}\left(x,y\right)=7.5-0.5x-y\geq 0\\g_{3}\left(x,y\right)=30-5x-y\geq 0\\\end{cases}}$	$-7\leq x,y\leq 4$
Функция Курсаве : ^[18]	${\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)=\sum _{i=1}^{2}\left[-10\exp \left(-0.2{\sqrt {x_{i}^{2}+x_{i+1}^{2}}}\right)\right]\\&\\f_{2}\left({\boldsymbol {x}}\right)=\sum _{i=1}^{3}\left[\left\|x_{i}\right\|^{0.8}+5\sin \left(x_{i}^{3}\right)\right]\\\end{cases}}$		$-5\leq x_{i}\leq 5$ , . $1\leq i\leq 3$
Функция Шаффера № 1: ^[19]	${\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x\right)=x^{2}\\f_{2}\left(x\right)=\left(x-2\right)^{2}\\\end{cases}}$		$-A\leq x\leq A$ . Значения от до были успешно использованы. Более высокие значения увеличивают сложность задачи. $A$ $10$ $10^{5}$ $A$
Функция Шаффера № 2:	${\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x\right)={\begin{cases}-x,&{\text{if }}x\leq 1\\x-2,&{\text{if }}1<x\leq 3\\4-x,&{\text{if }}3<x\leq 4\\x-4,&{\text{if }}x>4\\\end{cases}}\\f_{2}\left(x\right)=\left(x-5\right)^{2}\\\end{cases}}$		$-5\leq x\leq 10$ .
Две целевые функции Полони:	${\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)=\left[1+\left(A_{1}-B_{1}\left(x,y\right)\right)^{2}+\left(A_{2}-B_{2}\left(x,y\right)\right)^{2}\right]\\f_{2}\left(x,y\right)=\left(x+3\right)^{2}+\left(y+1\right)^{2}\\\end{cases}}$ ${\text{where}}={\begin{cases}A_{1}=0.5\sin \left(1\right)-2\cos \left(1\right)+\sin \left(2\right)-1.5\cos \left(2\right)\\A_{2}=1.5\sin \left(1\right)-\cos \left(1\right)+2\sin \left(2\right)-0.5\cos \left(2\right)\\B_{1}\left(x,y\right)=0.5\sin \left(x\right)-2\cos \left(x\right)+\sin \left(y\right)-1.5\cos \left(y\right)\\B_{2}\left(x,y\right)=1.5\sin \left(x\right)-\cos \left(x\right)+2\sin \left(y\right)-0.5\cos \left(y\right)\end{cases}}$		$-\pi \leq x,y\leq \pi$
Функция Цицлера – Деба – Тиле № 1: ^[20]	${\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)=x_{1}\\f_{2}\left({\boldsymbol {x}}\right)=g\left({\boldsymbol {x}}\right)h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)\\g\left({\boldsymbol {x}}\right)=1+{\frac {9}{29}}\sum _{i=2}^{30}x_{i}\\h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)=1-{\sqrt {\frac {f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\left({\boldsymbol {x}}\right)}}}\\\end{cases}}$		$0\leq x_{i}\leq 1$ , . $1\leq i\leq 30$
Функция Цицлера – Деба – Тиле № 2: ^[20]	${\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)=x_{1}\\f_{2}\left({\boldsymbol {x}}\right)=g\left({\boldsymbol {x}}\right)h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)\\g\left({\boldsymbol {x}}\right)=1+{\frac {9}{29}}\sum _{i=2}^{30}x_{i}\\h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)=1-\left({\frac {f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\left({\boldsymbol {x}}\right)}}\right)^{2}\\\end{cases}}$		$0\leq x_{i}\leq 1$ , . $1\leq i\leq 30$
Функция Цитцлера – Деба – Тиле № 3: ^[20]	${\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)=x_{1}\\f_{2}\left({\boldsymbol {x}}\right)=g\left({\boldsymbol {x}}\right)h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)\\g\left({\boldsymbol {x}}\right)=1+{\frac {9}{29}}\sum _{i=2}^{30}x_{i}\\h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)=1-{\sqrt {\frac {f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\left({\boldsymbol {x}}\right)}}}-\left({\frac {f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\left({\boldsymbol {x}}\right)}}\right)\sin \left(10\pi f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)\end{cases}}$		$0\leq x_{i}\leq 1$ , . $1\leq i\leq 30$
Функция Цицлера – Деба – Тиле № 4: ^[20]	${\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)=x_{1}\\f_{2}\left({\boldsymbol {x}}\right)=g\left({\boldsymbol {x}}\right)h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)\\g\left({\boldsymbol {x}}\right)=91+\sum _{i=2}^{10}\left(x_{i}^{2}-10\cos \left(4\pi x_{i}\right)\right)\\h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)=1-{\sqrt {\frac {f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\left({\boldsymbol {x}}\right)}}}\end{cases}}$		$0\leq x_{1}\leq 1$ , , $-5\leq x_{i}\leq 5$ $2\leq i\leq 10$
Функция Цицлера – Деба – Тиле № 6: ^[20]	${\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)=1-\exp \left(-4x_{1}\right)\sin ^{6}\left(6\pi x_{1}\right)\\f_{2}\left({\boldsymbol {x}}\right)=g\left({\boldsymbol {x}}\right)h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)\\g\left({\boldsymbol {x}}\right)=1+9\left[{\frac {\sum _{i=2}^{10}x_{i}}{9}}\right]^{0.25}\\h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)=1-\left({\frac {f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\left({\boldsymbol {x}}\right)}}\right)^{2}\\\end{cases}}$		$0\leq x_{i}\leq 1$ , . $1\leq i\leq 10$
Функция Осычки и Кунду: ^[21]	${\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)=-25\left(x_{1}-2\right)^{2}-\left(x_{2}-2\right)^{2}-\left(x_{3}-1\right)^{2}-\left(x_{4}-4\right)^{2}-\left(x_{5}-1\right)^{2}\\f_{2}\left({\boldsymbol {x}}\right)=\sum _{i=1}^{6}x_{i}^{2}\\\end{cases}}$	${\text{s.t.}}={\begin{cases}g_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)=x_{1}+x_{2}-2\geq 0\\g_{2}\left({\boldsymbol {x}}\right)=6-x_{1}-x_{2}\geq 0\\g_{3}\left({\boldsymbol {x}}\right)=2-x_{2}+x_{1}\geq 0\\g_{4}\left({\boldsymbol {x}}\right)=2-x_{1}+3x_{2}\geq 0\\g_{5}\left({\boldsymbol {x}}\right)=4-\left(x_{3}-3\right)^{2}-x_{4}\geq 0\\g_{6}\left({\boldsymbol {x}}\right)=\left(x_{5}-3\right)^{2}+x_{6}-4\geq 0\end{cases}}$	$0\leq x_{1},x_{2},x_{6}\leq 10$ , , . $1\leq x_{3},x_{5}\leq 5$ $0\leq x_{4}\leq 6$
Функция CTP1 (2 переменные): ^[4]^[22]	${\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)=x\\f_{2}\left(x,y\right)=\left(1+y\right)\exp \left(-{\frac {x}{1+y}}\right)\end{cases}}$	${\text{s.t.}}={\begin{cases}g_{1}\left(x,y\right)={\frac {f_{2}\left(x,y\right)}{0.858\exp \left(-0.541f_{1}\left(x,y\right)\right)}}\geq 1\\g_{2}\left(x,y\right)={\frac {f_{2}\left(x,y\right)}{0.728\exp \left(-0.295f_{1}\left(x,y\right)\right)}}\geq 1\end{cases}}$	$0\leq x,y\leq 1$ .
Проблема Constr-Ex: ^[4]	${\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)=x\\f_{2}\left(x,y\right)={\frac {1+y}{x}}\\\end{cases}}$	${\text{s.t.}}={\begin{cases}g_{1}\left(x,y\right)=y+9x\geq 6\\g_{2}\left(x,y\right)=-y+9x\geq 1\\\end{cases}}$	$0.1\leq x\leq 1$ , $0\leq y\leq 5$
Функция Viennet:	${\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)=0.5\left(x^{2}+y^{2}\right)+\sin \left(x^{2}+y^{2}\right)\\f_{2}\left(x,y\right)={\frac {\left(3x-2y+4\right)^{2}}{8}}+{\frac {\left(x-y+1\right)^{2}}{27}}+15\\f_{3}\left(x,y\right)={\frac {1}{x^{2}+y^{2}+1}}-1.1\exp \left(-\left(x^{2}+y^{2}\right)\right)\\\end{cases}}$		$-3\leq x,y\leq 3$ .

См. Также [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с тестовыми функциями (математическая оптимизация) .

Функция Экли
Функция Химмельблау
Функция Растригина
Функция Розенброка
Функция Шекеля

Ссылки [ править ]

^ Bäck, Thomas (1995). Эволюционные алгоритмы в теории и на практике: стратегии эволюции, эволюционное программирование, генетические алгоритмы . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. п. 328. ISBN 978-0-19-509971-3.
^ Хаупт, Рэнди Л. Хаупт, Сью Эллен (2004). Практические генетические алгоритмы с CD-Rom (2-е изд.). Нью-Йорк: Дж. Вили. ISBN 978-0-471-45565-3.
^ Oldenhuis, Роди. «Множество тестовых функций для глобальных оптимизаторов» . Математические работы . Проверено 1 ноября 2012 года .
^ a b c d e Deb, Kalyanmoy (2002) Многокритериальная оптимизация с использованием эволюционных алгоритмов (Repr. ed.). Чичестер [ua]: Уайли. ISBN 0-471-87339-X .
^ a b Бинь Т. и Корн У. (1997) MOBES: Стратегия многокритериальной эволюции для задач оптимизации с ограничениями . В: Труды Третьей Международной конференции по генетическим алгоритмам. Республика Чехия. стр. 176–182
^ a b c Бинь Т. (1999) Многокритериальный эволюционный алгоритм. Учебные кейсы. Технический отчет. Институт автоматики и связи. Барлебен, Германия
^ Деб К. (2011) Программное обеспечение для многоцелевого кода NSGA-II на C. Доступно по URL: https://www.iitk.ac.in/kangal/codes.shtml
^ Ортис, Гилберто А. "Многоцелевая оптимизация с использованием ES как эволюционного алгоритма" . Математические работы . Проверено 1 ноября 2012 года .
^ Vanaret C. (2015) Гибридизация интервальных методов и эволюционных алгоритмов для решения сложных задач оптимизации. Кандидатская диссертация. Национальная школа гражданской авиации. Национальный политехнический институт Тулузы, Франция.
^ Simionescu, PA; Бил, Д. (29 сентября - 2 октября 2002 г.). Новые концепции в графической визуализации целевых функций (PDF) . ASME 2002 Международные технические конференции по проектированию и Компьютеры и информация в инженерии. Монреаль, Канада. С. 891–897 . Проверено 7 января 2017 года .
^ «Решите ограниченную нелинейную задачу - MATLAB и Simulink» . www.mathworks.com . Проверено 29 августа 2017 .
^ "Проблема с птицами (с ограничениями) | Интеграция с Phoenix" . Архивировано 29 декабря 2016 года . Проверено 29 августа 2017 .CS1 maint: bot: original URL status unknown (link)
^ Мишра, Sudhanshu (2006). «Некоторые новые тестовые функции для глобальной оптимизации и производительности метода роя отталкивающих частиц» . Бумага MPRA .
^ Таунсенд, Алекс (январь 2014). «Ограниченная оптимизация в Chebfun» . chebfun.org . Проверено 29 августа 2017 .
^ Simionescu, PA (2014). Инструменты компьютерного построения графиков и моделирования для пользователей AutoCAD (1-е изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1-4822-5290-3.
^ Чанконг, Вира; Хаймс, Яков Ю. (1983). Принятие многокритериального решения. Теория и методология . ISBN 0-444-00710-5.
^ Fonseca, CM; Флеминг, П.Дж. (1995). «Обзор эволюционных алгоритмов многокритериальной оптимизации». Evol Comput . 3 (1): 1–16. CiteSeerX 10.1.1.50.7779 . DOI : 10,1162 / evco.1995.3.1.1 . S2CID 8530790 .
^ F. Kursawe, « Вариант эволюционных стратегий для векторной оптимизации », в PPSN I, Vol 496 Lect Notes in Comput Sc. Springer-Verlag, 1991, стр. 193–197.
^ Шаффер, Дж. Дэвид (1984). "Множественная объективная оптимизация с помощью генетических алгоритмов с векторной оценкой". В GJE Grefensette; Дж. Дж. Лоуренс Эрлбраум (ред.). Труды Первой Международной конференции по генетическим алгоритмам . OCLC 20004572 .
^ a b c d e Деб, Калян; Thiele, L .; Лауманнс, Марко; Цицлер, Эккарт (2002). «Масштабируемые тестовые задачи многокритериальной оптимизации». Материалы Конгресса IEEE 2002 г. по эволюционным вычислениям . 1 . С. 825–830. DOI : 10,1109 / CEC.2002.1007032 . ISBN 0-7803-7282-4. S2CID 61001583 .
^ Osyczka, A .; Кунду, С. (1 октября 1995 г.). «Новый метод решения обобщенных задач многокритериальной оптимизации с использованием простого генетического алгоритма». Структурная оптимизация . 10 (2): 94–99. DOI : 10.1007 / BF01743536 . ISSN 1615-1488 . S2CID 123433499 .
^ Хименес, Ф .; Гомес-Скармета, AF; Sanchez, G .; Деб, К. (май 2002 г.). «Эволюционный алгоритм многоцелевой оптимизации с ограничениями». Труды Конгресса по эволюционным вычислениям 2002 г. CEC'02 (Каталожный номер 02TH8600) . 2 : 1133–1138. DOI : 10,1109 / CEC.2002.1004402 . ISBN 0-7803-7282-4. S2CID 56563996 .

[1] Bäck, Thomas (1995). Эволюционные алгоритмы в теории и на практике: стратегии эволюции, эволюционное программирование, генетические алгоритмы . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. п. 328. ISBN 978-0-19-509971-3.

[2] Хаупт, Рэнди Л. Хаупт, Сью Эллен (2004). Практические генетические алгоритмы с CD-Rom (2-е изд.). Нью-Йорк: Дж. Вили. ISBN 978-0-471-45565-3.

[3] Oldenhuis, Роди. «Множество тестовых функций для глобальных оптимизаторов» . Математические работы . Проверено 1 ноября 2012 года .

[Deb:2002-4] Deb, Kalyanmoy (2002) Многокритериальная оптимизация с использованием эволюционных алгоритмов (Repr. ed.). Чичестер [ua]: Уайли. ISBN 0-471-87339-X .

[Binh97-5] Бинь Т. и Корн У. (1997) MOBES: Стратегия многокритериальной эволюции для задач оптимизации с ограничениями . В: Труды Третьей Международной конференции по генетическим алгоритмам. Республика Чехия. стр. 176–182

[Binh99-6] Бинь Т. (1999) Многокритериальный эволюционный алгоритм. Учебные кейсы. Технический отчет. Институт автоматики и связи. Барлебен, Германия

[Deb_nsga-7] Деб К. (2011) Программное обеспечение для многоцелевого кода NSGA-II на C. Доступно по URL: https://www.iitk.ac.in/kangal/codes.shtml

[8] Ортис, Гилберто А. "Многоцелевая оптимизация с использованием ES как эволюционного алгоритма" . Математические работы . Проверено 1 ноября 2012 года .

[vanaret2015hybridation-9] Vanaret C. (2015) Гибридизация интервальных методов и эволюционных алгоритмов для решения сложных задач оптимизации. Кандидатская диссертация. Национальная школа гражданской авиации. Национальный политехнический институт Тулузы, Франция.

[10] Simionescu, PA; Бил, Д. (29 сентября - 2 октября 2002 г.). Новые концепции в графической визуализации целевых функций (PDF) . ASME 2002 Международные технические конференции по проектированию и Компьютеры и информация в инженерии. Монреаль, Канада. С. 891–897 . Проверено 7 января 2017 года .

[11] «Решите ограниченную нелинейную задачу - MATLAB и Simulink» . www.mathworks.com . Проверено 29 августа 2017 .

[12] "Проблема с птицами (с ограничениями) | Интеграция с Phoenix" . Архивировано 29 декабря 2016 года . Проверено 29 августа 2017 .CS1 maint: bot: original URL status unknown (link)

[13] Мишра, Sudhanshu (2006). «Некоторые новые тестовые функции для глобальной оптимизации и производительности метода роя отталкивающих частиц» . Бумага MPRA .

[14] Таунсенд, Алекс (январь 2014). «Ограниченная оптимизация в Chebfun» . chebfun.org . Проверено 29 августа 2017 .

[15] Simionescu, PA (2014). Инструменты компьютерного построения графиков и моделирования для пользователей AutoCAD (1-е изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1-4822-5290-3.

[16] Чанконг, Вира; Хаймс, Яков Ю. (1983). Принятие многокритериального решения. Теория и методология . ISBN 0-444-00710-5.

[FonzecaFleming:1995-17] Fonseca, CM; Флеминг, П.Дж. (1995). «Обзор эволюционных алгоритмов многокритериальной оптимизации». Evol Comput . 3 (1): 1–16. CiteSeerX 10.1.1.50.7779 . DOI : 10,1162 / evco.1995.3.1.1 . S2CID 8530790 .

[Kursawe:1991-18] F. Kursawe, « Вариант эволюционных стратегий для векторной оптимизации », в PPSN I, Vol 496 Lect Notes in Comput Sc. Springer-Verlag, 1991, стр. 193–197.

[Schaffer:1984-19] Шаффер, Дж. Дэвид (1984). "Множественная объективная оптимизация с помощью генетических алгоритмов с векторной оценкой". В GJE Grefensette; Дж. Дж. Лоуренс Эрлбраум (ред.). Труды Первой Международной конференции по генетическим алгоритмам . OCLC 20004572 .

[Debetal2002testpr-20] Деб, Калян; Thiele, L .; Лауманнс, Марко; Цицлер, Эккарт (2002). «Масштабируемые тестовые задачи многокритериальной оптимизации». Материалы Конгресса IEEE 2002 г. по эволюционным вычислениям . 1 . С. 825–830. DOI : 10,1109 / CEC.2002.1007032 . ISBN 0-7803-7282-4. S2CID 61001583 .

[OsyczkaKundu1995-21] Osyczka, A .; Кунду, С. (1 октября 1995 г.). «Новый метод решения обобщенных задач многокритериальной оптимизации с использованием простого генетического алгоритма». Структурная оптимизация . 10 (2): 94–99. DOI : 10.1007 / BF01743536 . ISSN 1615-1488 . S2CID 123433499 .

[Jimenezetal2002-22] Хименес, Ф .; Гомес-Скармета, AF; Sanchez, G .; Деб, К. (май 2002 г.). «Эволюционный алгоритм многоцелевой оптимизации с ограничениями». Труды Конгресса по эволюционным вычислениям 2002 г. CEC'02 (Каталожный номер 02TH8600) . 2 : 1133–1138. DOI : 10,1109 / CEC.2002.1004402 . ISBN 0-7803-7282-4. S2CID 56563996 .

[1]