Многоцелевая оптимизация

Многокритериальная оптимизация (также известная как многокритериальное программирование , векторная оптимизация , многокритериальная оптимизация , многокритериальная оптимизация или оптимизация по Парето ) - это область принятия решений по нескольким критериям, которая связана с проблемами математической оптимизации, включающими более одной целевой функции , оптимизируемой одновременно. . Многоцелевая оптимизация применялась во многих областях науки, включая инженерию, экономику и логистику, где необходимо принимать оптимальные решения при наличии компромиссов.между двумя или более конфликтующими целями. Сведение к минимуму затрат при максимальном комфорте при покупке автомобиля и максимизация производительности при минимизации расхода топлива и выбросов загрязняющих веществ транспортного средства являются примерами многоцелевых задач оптимизации, включающих две и три цели, соответственно. В практических задачах может быть более трех целей.

Для нетривиальной задачи оптимизации с несколькими целями не существует единого решения, которое одновременно оптимизирует каждую цель. В этом случае говорят, что целевые функции конфликтуют, и существует (возможно, бесконечное) число оптимальных по Парето решений. Решение называется недоминируемым , оптимальным по Парето, эффективным по Парето или неполным, если ни одна из целевых функций не может быть улучшена по значению без ухудшения некоторых других целевых значений. Без дополнительных субъективныхинформации о предпочтениях, все оптимальные по Парето решения считаются одинаково хорошими. Исследователи изучают многокритериальные задачи оптимизации с разных точек зрения, поэтому при их постановке и решении существуют разные философии решения и цели. Целью может быть поиск репрезентативного набора оптимальных по Парето решений и / или количественная оценка компромиссов при достижении различных целей и / или поиск единого решения, которое удовлетворяет субъективные предпочтения человека, принимающего решения (DM).

Введение [ править ]

Задача многокритериальной оптимизации - это задача оптимизации, которая включает несколько целевых функций. ^[1]^[2]^[3] С математической точки зрения задача многокритериальной оптимизации может быть сформулирована как

{\ displaystyle {\ begin {align} \ min & \ left (f_ {1} ({\ vec {x}}), f_ {2} ({\ vec {x}}), \ ldots, f_ {k}) ({\ vec {x}}) \ right) \\ {\ text {st}} & {\ vec {x}} \ в X, \ end {align}}}

где целое число - это количество целей, а набор - это возможный набор векторов решений, который обычно есть, но зависит от -мерной области приложения. Возможный набор обычно определяется некоторыми функциями ограничения. Кроме того, векторная целевая функция часто определяется как ${\ Displaystyle к \ geq 2}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle X \ substeq \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle n}$

{\vec {f}}:X\to \mathbb {R} ^{k},\ {\vec {f}}({\vec {x}})=(f_{1}({\vec {x}}),\ldots ,f_{k}({\vec {x}}))^{\intercal }

. Если некоторая целевая функция должна быть максимизирована, это равносильно минимизации ее отрицательного значения. Изображение обозначается

X

Y\subseteq \mathbb {R} ^{k}

Пример границы Парето (красный), множество оптимальных по Парето решений (тех, над которыми не доминируют другие допустимые решения). Пунктирные точки представляют возможные варианты, меньшие значения предпочтительнее, чем большие. Точка C не на границе Парето , поскольку она доминирует как точки А и точкой Б . Точки A и B не находятся под строгим преобладанием каких-либо других и, следовательно, лежат на границе.

Элемент называется возможным решением или возможным решением . Вектор допустимого решения называется целевым вектором или результатом . При многокритериальной оптимизации обычно не существует приемлемого решения, которое минимизировало бы все целевые функции одновременно. Поэтому внимание уделяется оптимальным по Парето решениям; то есть решения, которые нельзя улучшить ни по одной из целей без ухудшения хотя бы одной из других целей. С математической точки зрения, допустимое решение считается доминирующим (по Парето) над другим решением , если ${\vec {x}}^{*}\in X$ ${\vec {z}}^{*}:={\vec {f}}({\vec {x}}^{*})\in \mathbb {R} ^{k}$ ${\vec {x}}^{*}$ ${\vec {x}}_{1}\in X$ ${\vec {x}}_{2}\in X$

$f_{i}({\vec {x}}_{1})\leq f_{i}({\vec {x}}_{2})$ , для всех индексов и $i\in \left\{{1,2,\dots ,k}\right\}$
$f_{j}({\vec {x}}_{1})<f_{j}({\vec {x}}_{2})$ , по крайней мере, для одного индекса . $j\in \left\{{1,2,\dots ,k}\right\}$

Решение (и соответствующий результат ) называется оптимальным по Парето, если не существует другого решения, которое доминирует над ним. Набор оптимальных по Парето исходов часто называют фронтом Парето, границей Парето или границей Парето. ${\vec {x}}^{*}\in X$ ${\vec {f}}({\vec {x}}^{*})$

Фронт Парето многоцелевой задачи оптимизации ограничен так называемым целевым вектором надира и идеальным целевым вектором , если они конечны. Целевой вектор надира определяется как ${\vec {z}}^{nad}$ ${\vec {z}}^{ideal}$

{\vec {z}}^{nad}\ni {\vec {z}}_{i}^{nad}={\underset {x\in X}{\sup }}\{f_{i}(x)\}{\text{ for all }}i=1,\ldots ,k,

а идеальный целевой вектор как

{\vec {z}}^{ideal}\ni {\vec {z}}_{i}^{ideal}={\underset {x\in X}{\inf }}\{f_{i}(x)\}{\text{ for all }}i=1,\ldots ,k.

Другими словами, компоненты надира и идеального целевого вектора определяют верхнюю и нижнюю границы значений целевой функции оптимальных по Парето решений, соответственно. На практике целевой вектор надира может быть только аппроксимирован, поскольку, как правило, все оптимальное по Парето множество неизвестно. Кроме того, утопический объективный вектор с ${\vec {z}}^{utopian}$

{\vec {z}}_{i}^{utopian}={\vec {z}}_{i}^{ideal}-\epsilon {\text{ for all }}i=1,\ldots ,k,

где - малая константа, часто определяется по числовым причинам. $\epsilon >0$

Примеры приложений [ править ]

Экономика [ править ]

В экономике многие проблемы связаны с множеством целей наряду с ограничениями на то, какие комбинации этих целей достижимы. Например, потребительский спрос на различные товары определяется процессом максимизации полезности, получаемой от этих товаров, с учетом ограничения, основанного на том, какой доход можно потратить на эти товары, и от цен на эти товары. Это ограничение позволяет покупать больше одного товара только за счет меньшего потребления другого товара; следовательно, различные цели (предпочтительно большее потребление каждого товара) противоречат друг другу. Распространенный метод анализа такой проблемы - использование графика кривых безразличия., представляющие предпочтения, и бюджетные ограничения, представляющие компромиссы, с которыми сталкивается потребитель.

Другой пример связан с границей производственных возможностей , которая определяет, какие комбинации различных типов товаров могут быть произведены обществом с определенным количеством различных ресурсов. Граница определяет компромиссы, с которыми сталкивается общество: если общество полностью использует свои ресурсы, больше одного товара может быть произведено только за счет производства меньшего количества другого товара. Тогда общество должно использовать какой-то процесс, чтобы выбрать одну из возможностей на границе.

Разработка макроэкономической политики - это контекст, требующий многоцелевой оптимизации. Обычно центральный банк должен выбрать такую позицию денежно-кредитной политики, которая уравновешивает конкурирующие цели - низкая инфляция , низкая безработица , низкий торговый дефицит и т. Д. Для этого центральный банк использует модель экономики, которая количественно описывает различные причинно-следственные связи. в экономике; это имитируетмодель неоднократно при различных возможных положениях денежно-кредитной политики, чтобы получить меню возможных прогнозируемых результатов для различных переменных, представляющих интерес. Затем, в принципе, он может использовать агрегированную целевую функцию для оценки альтернативных наборов прогнозируемых результатов, хотя на практике центральные банки используют неколичественный процесс, основанный на суждениях, для ранжирования альтернатив и выбора политики.

Финансы [ править ]

В финансах распространенной проблемой является выбор портфеля, когда есть две противоречащие друг другу цели: желание иметь как можно более высокую ожидаемую стоимость доходности портфеля и желание иметь риск , часто измеряемый стандартным отклонением доходности портфеля. , быть как можно ниже. Эта проблема часто представлена графиком, на котором эффективная граница показывает наилучшие доступные комбинации риска и ожидаемой доходности, а кривые безразличия показывают предпочтения инвестора в отношении различных комбинаций риска и ожидаемой доходности. Задача оптимизации функции математического ожидания (первый момент) и стандартное отклонение (квадратный корень из второго центрального момента) доходности портфеля называется моделью решения с двумя моментами .

Оптимальный контроль [ править ]

В инженерии и экономике многие проблемы связаны с множеством целей, которые нельзя описать как «больше-тем-лучше» или «меньше-лучше»; вместо этого существует идеальное целевое значение для каждой цели, и мы хотим максимально приблизиться к желаемому значению каждой цели. Например, энергетические системы обычно имеют компромисс между производительностью и стоимостью ^[4]^[5], или кто-то может захотеть отрегулировать расход топлива и ориентацию ракеты так, чтобы она прибыла как в указанное место, так и в указанное время; или кто-то может захотеть провести операции на открытом рынке, чтобы уровень инфляции и уровень безработицы были как можно ближе к желаемым значениям.

Часто такие проблемы подчиняются ограничениям линейного равенства, которые препятствуют одновременному идеальному достижению всех целей, особенно когда количество контролируемых переменных меньше количества целей и когда наличие случайных потрясений порождает неопределенность. Обычно используется многокритериальная квадратичная целевая функция , при этом стоимость, связанная с целью, возрастает квадратично с увеличением расстояния между объективом и его идеальным значением. Поскольку эти проблемы обычно включают корректировку контролируемых переменных в различные моменты времени и / или оценку целей в различные моменты времени, используются методы межвременной оптимизации . ^[6]

Оптимальный дизайн [ править ]

Дизайн продукта и процесса можно значительно улучшить с помощью современных методов моделирования, симуляции и оптимизации. ^{[ необходима цитата ]}Ключевой вопрос в оптимальном дизайне - это мера того, что в дизайне хорошего или желательного. Перед поиском оптимального дизайна важно определить характеристики, которые больше всего влияют на общую ценность дизайна. Хороший дизайн обычно включает в себя несколько критериев / целей, таких как капитальные затраты / инвестиции, эксплуатационные расходы, прибыль, качество и / или восстановление продукта, эффективность, безопасность процесса, время работы и т. Д. Поэтому в практических приложениях производительность процесса и Дизайн продукта часто измеряется с учетом нескольких целей. Эти цели обычно противоречат друг другу, т.е. достижение оптимального значения для одной цели требует некоторого компромисса по одной или нескольким другим целям.

Например, при проектировании бумажной фабрики можно стремиться уменьшить объем капитала, вложенного в бумажную фабрику, и одновременно повысить качество бумаги. Если конструкция бумажной фабрики определяется большими объемами хранения, а качество бумаги определяется параметрами качества, тогда проблема оптимального проектирования бумажной фабрики может включать такие цели, как: i) минимизация ожидаемого отклонения этих параметров качества от их номинальные значения, ii) минимизация ожидаемого времени перерывов и iii) минимизация инвестиционных затрат на объемы хранения. Здесь максимальный объем башен - это переменные конструкции. Этот пример оптимальной конструкции бумажной фабрики является упрощением модели, использованной в ^[7].Многоцелевая оптимизация дизайна также была реализована в инженерных системах в таких обстоятельствах, как оптимизация компоновки шкафа управления, ^[8] оптимизация формы аэродинамического профиля с использованием научных рабочих процессов, ^[9] проектирование полупроводников с нано- КМОП , ^[10] проектирование системы на кристалле , дизайн оросительных систем на солнечных батареях, ^[11] оптимизация систем песчаных форм, ^[12]^[13] конструкция двигателя, ^[14]^[15] оптимальное размещение датчиков ^[16] и оптимальная конструкция контроллера. ^[17]^[18]

Оптимизация процесса [ править ]

Многоцелевая оптимизация все чаще используется в химическом машиностроении и производстве . В 2009 году Фиандака и Фрага использовали многоцелевой генетический алгоритм (MOGA) для оптимизации процесса адсорбции при переменном давлении (процесс циклического разделения). Проблема проектирования заключалась в двойном максимальном извлечении азота и его чистоте. Результаты обеспечили хорошее приближение границы Парето с приемлемым компромиссом между целями. ^[19]

В 2010 году Сендин и др. решила многоцелевую задачу по термической обработке пищевых продуктов. Они рассмотрели два тематических исследования (двухцелевые и трехцелевые задачи) с нелинейными динамическими моделями и использовали гибридный подход, состоящий из взвешенного подхода Чебычева и подхода нормального пересечения границ. Новый гибридный подход позволил создать оптимальный по Парето набор для термической обработки пищевых продуктов. ^[20]

В 2013 году Ganesan et al. провели многоцелевую оптимизацию комбинированного риформинга диоксида углерода и частичного окисления метана. Целевыми функциями были конверсия метана, селективность по монооксиду углерода и отношение водорода к монооксиду углерода. Ganesan использовал метод нормального пересечения границ (NBI) в сочетании с двумя методами на основе роя (алгоритм гравитационного поиска (GSA) и оптимизация роя частиц (PSO)) для решения этой проблемы. ^[21] Приложения, включающие химическую экстракцию ^[22] и процессы производства биоэтанола ^[23] , ставят аналогичные многоцелевые проблемы.

В 2013 году Абакаров и др. Предложили альтернативный метод решения многоцелевых задач оптимизации, возникающих в пищевой инженерии. ^[24] Подход агрегирующих функций, адаптивный алгоритм случайного поиска и подход штрафных функций использовались для вычисления начального набора недоминируемых или оптимальных по Парето решений. Процесс аналитической иерархии и табличный метод использовались одновременно для выбора лучшей альтернативы среди вычисляемого подмножества недоминируемых растворов для процессов осмотической дегидратации. ^[25]

В 2018 году Пирс и др. сформулировал распределение задач между людьми и роботами как многоцелевую задачу оптимизации, учитывая время производства и эргономическое воздействие на человека как две цели, рассматриваемые в формулировке. Их подход использовал смешанную целочисленную линейную программу для решения задачи оптимизации взвешенной суммы двух целей для расчета набора оптимальных по Парето решений. Применение подхода к нескольким производственным задачам показало улучшения по крайней мере в одной цели в большинстве задач и в обеих задачах в некоторых процессах. ^[26]

Управление радиоресурсами [ править ]

Целью управления радиоресурсами является обеспечение скорости передачи данных, запрашиваемой пользователями сотовой сети. ^[27] Основными ресурсами являются временные интервалы, частотные блоки и мощности передачи. У каждого пользователя есть своя целевая функция, которая, например, может представлять некоторую комбинацию скорости передачи данных, задержки и энергоэффективности. Эти цели противоречат друг другу, поскольку частотные ресурсы очень скудны, поэтому существует потребность в жестком многократном использовании пространственной частоты, которое вызывает огромные межпользовательские помехи, если не контролируется должным образом. Многопользовательские методы MIMO в настоящее время используются для уменьшения помех за счет адаптивного предварительного кодирования.. Оператор сети хотел бы обеспечить как широкое покрытие, так и высокие скорости передачи данных, поэтому оператор хотел бы найти оптимальное по Парето решение, которое уравновешивает общую пропускную способность сети и справедливость для пользователей соответствующим субъективным образом.

Управление радиоресурсами часто решается скаляризацией; то есть выбор функции сетевой полезности, которая пытается сбалансировать пропускную способность и справедливость для пользователей. Выбор функции полезности имеет большое влияние на вычислительную сложность получающейся задачи оптимизации с одной целью. ^[27] Например, общая полезность взвешенной суммарной ставки дает NP-трудную задачу со сложностью, которая экспоненциально масштабируется с количеством пользователей, в то время как взвешенная полезность максимальной и минимальной справедливости приводит к квазивыпуклой задаче оптимизации только с полиномиальное масштабирование с количеством пользователей. ^[28]

Электроэнергетические системы [ править ]

Реконфигурация путем обмена функциональными связями между элементами системы представляет собой одну из наиболее важных мер, которые могут улучшить эксплуатационные характеристики системы распределения. Проблема оптимизации посредством реконфигурации системы распределения электроэнергии, с точки зрения ее определения, является исторически единственной объективной проблемой с ограничениями. С 1975 года, когда Мерлин и Бэк ^[29]представила идею реконфигурации системы распределения для снижения активных потерь мощности, до сих пор многие исследователи предлагали различные методы и алгоритмы для решения проблемы реконфигурации как единой объективной проблемы. Некоторые авторы предложили подходы, основанные на оптимальности по Парето (включая в качестве целей потери активной мощности и показатели надежности). Для этой цели использовались различные методы, основанные на искусственном интеллекте: микрогенетический, ^[30] обмен ветвями, ^[31] оптимизация роя частиц ^[32] и генетический алгоритм недоминируемой сортировки. ^[33]

Инспекция инфраструктуры [ править ]

Автономная проверка инфраструктуры может снизить затраты, риски и воздействие на окружающую среду, а также обеспечить лучшее периодическое обслуживание проверяемых активов. Как правило, планирование таких миссий рассматривалось как задача оптимизации с единственной целью, цель которой - минимизировать энергию или время, затрачиваемые на осмотр всей целевой конструкции. ^[34] Для сложных реальных структур, однако, охват 100% контрольной цели неосуществим, и создание плана проверки можно лучше рассматривать как многокритериальную задачу оптимизации, в которой одна цель - как максимизировать охват проверок, так и минимизировать время. и затраты. Недавнее исследование показало, что планирование многокритериальной инспекции действительно может превзойти традиционные методы на сложных конструкциях ^[35].

Решение [ править ]

Поскольку обычно существует несколько оптимальных по Парето решений для многоцелевых задач оптимизации, то, что значит решать такую проблему, не так просто, как для обычной задачи оптимизации с одной целью. Поэтому разные исследователи по-разному определяют термин «решение многокритериальной задачи оптимизации». В этом разделе кратко описаны некоторые из них и контексты, в которых они используются. Многие методы преобразуют исходную задачу с несколькими целями в задачу оптимизации с одной целью . Это называется скаляризованной проблемой. Если оптимальность по Парето полученных одноцелевых решений может быть гарантирована, скаляризация будет охарактеризована как сделанная аккуратно.

Решение многокритериальной задачи оптимизации иногда понимается как аппроксимация или вычисление всех или репрезентативного набора оптимальных по Парето решений. ^[36]^[37]

Когда делается акцент на принятии решения , цель решения многокритериальной задачи оптимизации относится к поддержке лица, принимающего решения, в поиске наиболее предпочтительного оптимального по Парето решения в соответствии с его / ее субъективными предпочтениями. ^[1]^[38] В основе лежит предположение о том, что необходимо найти одно решение проблемы, которое будет реализовано на практике. Здесь важную роль играет человек, принимающий решения . Ожидается, что DM будет экспертом в проблемной области.

Наиболее предпочтительные результаты можно получить, используя разные философии. Методы многокритериальной оптимизации можно разделить на четыре класса. ^[2] В так называемых методах без предпочтений не ожидается доступного DM, но нейтральное компромиссное решение идентифицируется без информации о предпочтениях. ^[1] Другие классы - это так называемые априорные, апостериорные и интерактивные методы, и все они по-разному задействуют информацию о предпочтениях от DM.

В априорных методах информация о предпочтениях сначала запрашивается у DM, а затем находится решение, наилучшим образом удовлетворяющее этим предпочтениям. В апостериорных методах сначала находится представительный набор оптимальных по Парето решений, а затем DM должен выбрать одно из них. В интерактивных методах лицу, принимающему решение, разрешается итеративно искать наиболее предпочтительное решение. На каждой итерации интерактивного метода DM показывает оптимальное по Парето решение (я) и описывает, как это решение (я) можно улучшить. Информация, предоставленная лицом, принимающим решение, затем учитывается при генерации нового оптимального по Парето решения (решений) для DM для изучения в следующей итерации. Таким образом, DM узнает об осуществимости своих желаний и может сосредоточиться на решениях, которые ему интересны.DM может остановить поиск, когда он / она захочет. Дополнительная информация и примеры различных методов в четырех классах приведены в следующих разделах.

Скаляризация [ править ]

Масштабирование задачи многокритериальной оптимизации является априорным методом, что означает формулировку задачи оптимизации с одной целью, при которой оптимальные решения задачи оптимизации с одной целью являются оптимальными по Парето решениями задачи оптимизации с несколькими целями. ^[2] Кроме того, часто требуется, чтобы любое оптимальное по Парето решение могло быть достигнуто с некоторыми параметрами скаляризации. ^[2] При различных параметрах скаляризации получаются различные оптимальные по Парето решения. Таким образом, общая формулировка скаляризации многокритериальной оптимизации такова:

{\begin{array}{ll}\min &g(f_{1}(x),\ldots ,f_{k}(x),\theta )\\{\text{s.t }}x\in X_{\theta },\end{array}}

где - векторный параметр, набор - это набор, зависящий от параметра, и является функцией. $\theta$ $X_{\theta }\subseteq X$ $\theta$ $g:\mathbb {R} ^{k+1}\rightarrow \mathbb {R}$

Очень известные примеры - так называемые

линейная скаляризация

\min _{x\in X}\sum _{i=1}^{k}w_{i}f_{i}(x),

где веса целей - параметры скаляризации, а

w_{i}>0

$\epsilon$ -Метод ограничения (см., например, ^[1] )

{\begin{array}{ll}\min &f_{j}(x)\\{\text{s.t. }}&x\in X\\&f_{i}(x)\leq \epsilon _{i}{\text{ for }}i\in \{1,\ldots ,k\}\setminus \{j\},\end{array}}

где верхние границы - это параметры, указанные выше, и цель, которую необходимо минимизировать.

\epsilon _{j}

f_{j}

Несколько более сложные примеры:

достижение скаляризационных задач Вежбицкого . ^[39] Один из примеров задач масштабирования достижений можно сформулировать как

{\begin{array}{ll}\min &\max _{i=1,\ldots ,k}\left[{\frac {f_{i}(x)-{\bar {z}}_{i}}{z_{i}^{\text{nad}}-z_{i}^{\text{utopian}}}}\right]+\rho \sum _{i=1}^{k}{\frac {f_{i}(x)}{z_{i}^{nad}-z_{i}^{\text{utopian}}}}\\{\text{subject to }}&x\in S,\end{array}}

где член называется членом увеличения, представляет собой небольшую константу, а и являются надирным и утопическим векторами, соответственно. В вышеупомянутой задаче параметр является так называемой контрольной точкой, которая представляет значения целевой функции, предпочитаемые лицом, принимающим решения.

\rho \sum _{i=1}^{k}{\frac {f_{i}(x)}{z_{i}^{nad}-z_{i}^{\text{utopian}}}}

\rho >0

z^{\text{nad}}

z^{\text{utopian}}

{\bar {z}}

Многоцелевое программирование Сена ^[40]

{\begin{array}{ll}\max &{\frac {\sum _{j=1}^{r}Z_{j}}{W_{j}}}-{\frac {\sum _{j=r+1}^{s}Z_{j}}{W_{r+1}}}\\{\text{s.t. }}&AX=b\\&X\geq 0,\end{array}}

где индивидуальна Оптима (Absolute) для целей максимизации и минимизации в .

W_{j}

r

r+1

s

Например, оптимизация портфеля часто проводится с помощью анализа среднего отклонения . В этом контексте эффективный набор представляет собой подмножество портфелей, параметризованных средней доходностью портфеля в задаче выбора акций портфеля, чтобы минимизировать дисперсию доходности портфеля при заданном значении ; см. теорему о разделении паевых инвестиционных фондов . В качестве альтернативы, эффективный набор может быть определен путем выбора долей портфеля, чтобы максимизировать функцию ; набор эффективных портфелей состоит из решений, поскольку b изменяется от нуля до бесконечности. $\mu _{P}$ $\sigma _{P}$ $\mu _{P}$ $\mu _{P}-b\sigma _{P}$

Методы без предпочтений [ править ]

Когда лицо, принимающее решения, не формулирует явно какую-либо информацию о предпочтениях, метод многоцелевой оптимизации можно классифицировать как метод без предпочтений. ^[2] Хорошо известным примером является метод глобального критерия ^[41], в котором скаляризованная задача вида

{\begin{aligned}\min &\|f(x)-z^{ideal}\|\\{\text{s.t. }}&x\in X\end{aligned}}

решено. В приведенной выше задаче может быть любая норма , включая стандартные варианты , и . ^[1] Метод глобального критерия чувствителен к масштабированию целевых функций, поэтому рекомендуется нормализовать цели в единую безразмерную шкалу. ^[1]^[38] $\|\cdot \|$ L p {\displaystyle L_{p}} $L_{1}$ $L_{2}$ $L_{\infty }$

Априорные методы [ править ]

Априорные методы требуют, чтобы перед процессом решения была выражена достаточная информация о предпочтениях. ^[2] Хорошо известные примеры априорных методов включают метод функции полезности , лексикографический метод и целевое программирование .

В методе функции полезности предполагается, что функция полезности лица, принимающего решение, доступна. Отображение является функцией полезности , если для всех , если он считает , что если принимающее решение предпочитает , чтобы , и если принимающее решение неразличимо и . Функция полезности определяет порядок векторов решений (напомним, что векторы можно упорядочивать разными способами). После получения достаточно решить $u\colon Y\rightarrow \mathbb {R}$ $\mathbf {y} ^{1},\mathbf {y} ^{2}\in Y$ $u(\mathbf {y} ^{1})>u(\mathbf {y} ^{2})$ $\mathbf {y} ^{1}$ $\mathbf {y} ^{2}$ $u(\mathbf {y} ^{1})=u(\mathbf {y} ^{2})$ $\mathbf {y} ^{1}$ $\mathbf {y} ^{2}$ $u$

\max \;u(\mathbf {f} (\mathbf {x} )){\text{ subject to }}\mathbf {x} \in X,

но на практике очень сложно построить функцию полезности, которая бы точно представляла предпочтения лица, принимающего решения ^[1], особенно потому, что фронт Парето неизвестен до начала оптимизации.

Лексикографический метод предполагает , что цели могут быть ранжированы в порядке убывания важности. Мы можем предположить, не теряя общности, что целевые функции расположены в порядке важности, так что они являются наиболее важными и наименее важными для лица, принимающего решения. Лексикографический метод заключается в решении последовательности одноцелевых оптимизационных задач вида $f_{1}$ $f_{k}$

{\begin{aligned}\min &f_{l}(\mathbf {x} )\\{\text{s.t. }}&f_{j}(\mathbf {x} )\leq \mathbf {y} _{j}^{*},\;j=1,\dotsc ,l-1,\\&\mathbf {x} \in X,\end{aligned}}

где - оптимальное значение указанной выше задачи при . Таким образом, и каждая новая проблема формы в приведенной выше задаче в последовательности добавляет одно новое ограничение, как идет от до . Обратите внимание, что здесь не указывается цель или целевое значение для какой-либо задачи, что отличает его от метода лексикографического программирования целей . $\mathbf {y} _{j}^{*}$ $l=j$ $\mathbf {y} _{1}^{*}:=\min\{f_{1}(\mathbf {x} )\mid \mathbf {x} \in X\}$ $l$ $1$ $k$

Апостериорные методы [ править ]

Апостериорные методы направлены на получение всех оптимальных по Парето решений или репрезентативного подмножества оптимальных по Парето решений. Большинство апостериорных методов попадают в один из следующих двух классов: апостериорные методы, основанные на математическом программировании , где алгоритм повторяется, и каждый запуск алгоритма дает одно оптимальное решение по Парето, и эволюционные алгоритмы, где один запуск алгоритма дает множество оптимальных по Парето решений.

Хорошо известными примерами апостериорных методов, основанных на математическом программировании, являются Нормальное пересечение границы (NBI), ^[42] Модифицированное нормальное пересечение границы (NBIm) ^[43] Нормальное ограничение (NC), ^[44]^[45] Последовательная оптимизация по Парето ( SPO) ^[46] и Directed Search Domain (DSD) ^[47], которые решают задачу многокритериальной оптимизации путем построения нескольких скаляризаций. Решение каждой скаляризации дает оптимальное по Парето решение, локально или глобально. Скаляризации методов NBI, NBIm, NC и DSD построены с целью получения равномерно распределенных точек Парето, которые дают хорошее равномерно распределенное приближение реального набора точек Парето.

Эволюционные алгоритмы - популярные подходы к генерации оптимальных по Парето решений многокритериальной задачи оптимизации. В настоящее время в большинстве эволюционных алгоритмов многоцелевой оптимизации (EMO) применяются схемы ранжирования на основе Парето. Эволюционные алгоритмы, такие как Генетический алгоритм сортировки без доминирования-II (NSGA-II) ^[48] и Эволюционный алгоритм силы Парето 2 (SPEA-2) ^[49] , стали стандартными подходами, хотя некоторые схемы основаны на оптимизации роя частиц и моделировании. отжиг ^[50]значительны. Основное преимущество эволюционных алгоритмов, когда они применяются для решения задач многокритериальной оптимизации, заключается в том, что они обычно генерируют наборы решений, позволяющие вычислить приближение всего фронта Парето. Основным недостатком эволюционных алгоритмов является их более низкая скорость, и оптимальность решений по Парето не может быть гарантирована. Известно лишь, что ни одно из сгенерированных решений не доминирует над другими.

Другая парадигма многоцелевой оптимизации, основанная на новизне с использованием эволюционных алгоритмов, была недавно улучшена. ^[51] Эта парадигма ищет новые решения в объективном пространстве (т. Е. Поиск новизны ^[52] в объективном пространстве) в дополнение к поиску недоминируемых решений. Поиск новинок подобен ступеням, ведущим поиск в ранее неизведанные места. Это особенно полезно для преодоления предвзятости и плато, а также для управления поиском в многоцелевых задачах оптимизации.

Ниже перечислены общеизвестные апостериорные методы:

метод ε-ограничений ^[53]^[54]
Многоцелевое разделение и граница ^[55]^[56]^[57]
Нормальное пересечение границы (NBI) ^[42]
Модифицированное пересечение нормальной границы (NBIm) ^[43] Нормальное ограничение (NC), ^[44]^[45]
Последовательная оптимизация по Парето (SPO) ^[46]
Домен направленного поиска (DSD) ^[47]
NSGA-II ^[48]
PGEN (создание поверхностей Парето для выпуклых многоцелевых примеров) ^[58]
IOSO (косвенная оптимизация на основе самоорганизации)
SMS-EMOA (эволюционный многоцелевой алгоритм выбора S-метрики) ^[59]
Эволюция, управляемая приближением (первый алгоритм, который напрямую реализует и оптимизирует формальную концепцию приближения из теоретической информатики) ^[60]
Реактивная поисковая оптимизация (с использованием машинного обучения для адаптации стратегий и целей) ^[61]^[62], реализованная в LIONsolver
Алгоритм Бенсона для многоцелевых линейных программ и для многоцелевых выпуклых программ
Многоцелевая оптимизация роя частиц
Алгоритм субпопуляции на основе новизны ^[51]

Интерактивные методы [ править ]

В интерактивных методах оптимизации многоцелевых задач процесс решения является итеративным, и лицо, принимающее решение, постоянно взаимодействует с методом при поиске наиболее предпочтительного решения (см., Например, Miettinen 1999, ^[1] Miettinen 2008 ^[63] ). Другими словами, лицо , принимающее решения, должно выражать предпочтения на каждой итерации, чтобы получить оптимальные по Парето решения , которые представляют интерес для лица, принимающего решения, и узнать, какие решения достижимы.

Следующие шаги обычно присутствуют в интерактивных методах оптимизации: ^[63]

инициализировать (например, вычислить идеальные и приближенные целевые векторы надира и показать их лицу, принимающему решение)
генерировать оптимальную по Парето отправную точку (используя, например, какой-либо метод без предпочтений или решение, данное лицом, принимающим решение)
запросить информацию о предпочтениях у лица, принимающего решение (например, уровни стремления или количество новых решений, которые будут созданы)
сгенерировать новое оптимальное решение (решения) по Парето в соответствии с предпочтениями и показать его / их и, возможно, некоторую другую информацию о проблеме лицу, принимающему решение
если было сгенерировано несколько решений, попросите лицо, принимающее решения, выбрать лучшее решение на данный момент
остановитесь (если лицо, принимающее решение, желает; в противном случае перейдите к шагу 3).

Вышеупомянутые уровни стремления относятся к желаемым значениям целевой функции, образующим ориентир. Вместо математической конвергенции, которая часто используется в качестве критерия остановки в методах математической оптимизации , в интерактивных методах часто делается упор на психологическую конвергенцию. Вообще говоря, метод прекращается, когда лицо, принимающее решение, уверено, что он / она нашел наиболее предпочтительное доступное решение .

Типы информации о предпочтениях [ править ]

Существуют разные интерактивные методы, использующие разные типы информации о предпочтениях. Три из этих типов можно выделить на основе

информация о компромиссе,
ориентиры и
классификация целевых функций. ^[63]

С другой стороны, включен четвертый тип генерации небольшой выборки решений: ^[64]^[65] Примером интерактивного метода, использующего информацию о компромиссе, является метод Зионца-Валлениуса ^[66], где показано лицо , принимающее решение. несколько объективных компромиссов на каждой итерации, и ожидается, что он скажет, нравится ли ему, не нравится или безразличен к каждому компромиссу. В методах, основанных на контрольных точках (см., Например, ^[67]^[68]), лицо, принимающее решение, должно на каждой итерации указывать контрольную точку, состоящую из желаемых значений для каждой цели, а затем вычисляется соответствующее оптимальное решение (решения) по Парето и показывается ему / ей для анализа. В интерактивных методах, основанных на классификации, предполагается, что лицо, принимающее решение, дает предпочтения в форме классификации целей в текущем оптимальном по Парето решении по различным классам, указывая, как следует изменить значения целей, чтобы получить более предпочтительное решение. Затем данная классификационная информация учитывается при вычислении нового (более предпочтительного) оптимального по Парето решения (решений). В методе удовлетворительного компромисса (STOM) ^[69]Используются три класса: цели, значения которых 1) должны быть улучшены, 2) могут быть ослаблены и 3) приемлемы как таковые. В методе NIMBUS ^[70]^[71] также используются два дополнительных класса: цели, значения которых 4) должны быть улучшены до заданной границы и 5) могут быть ослаблены до заданной границы.

Гибридные методы [ править ]

Существуют разные гибридные методы, но здесь мы рассматриваем гибридизацию MCDM ( многокритериального принятия решений ) и EMO (эволюционной многоцелевой оптимизации). Гибридный алгоритм в контексте многокритериальной оптимизации - это комбинация алгоритмов / подходов из этих двух областей (см., Например, ^[63] ). Гибридные алгоритмы EMO и MCDM в основном используются для преодоления недостатков за счет использования сильных сторон. В литературе было предложено несколько типов гибридных алгоритмов, например, включение подходов MCDM в алгоритмы EMO в качестве оператора локального поиска и для направления DM к наиболее предпочтительному решению (ям) и т. Д. Оператор локального поиска в основном используется для повышения скорости сходимости алгоритмов EMO.

Корни гибридной многоцелевой оптимизации можно проследить до первого семинара в Дагштуле, организованного в ноябре 2004 г. (см. Здесь ). Здесь некоторые из лучших умов ^{[ необходима ссылка ]} в EMO (профессор Кальянмой Деб, профессор Юрген Бранке и т. Д.) И MCDM (профессор Кайса Миеттинен, профессор Ральф Э. Штойер и т. Д.) Осознали потенциал объединения идей и подходов MCDM и EMO. поля для подготовки их гибридов. Впоследствии было организовано еще много семинаров в Дагштуле, чтобы способствовать сотрудничеству. В последнее время гибридная многоцелевая оптимизация стала важной темой на нескольких международных конференциях в области EMO и MCDM (см., Например, ^[72]^[73] ).

Визуализация фронта Парето [ править ]

Визуализация фронта Парето - один из методов апостериорного предпочтения многоцелевой оптимизации. Апостериорные методы предпочтения представляют собой важный класс многоцелевых методов оптимизации. ^[1]Обычно методы апостериорного предпочтения включают четыре шага: (1) компьютер аппроксимирует фронт Парето, то есть оптимальное по Парето множество в целевом пространстве; (2) лицо, принимающее решение, изучает приближение фронта Парето; (3) лицо, принимающее решение, определяет предпочтительную точку на фронте Парето; (4) компьютер выдает оптимальное по Парето решение, результат которого совпадает с целевой точкой, определенной лицом, принимающим решение. С точки зрения лица, принимающего решения, второй этап техники апостериорного предпочтения является наиболее сложным. Есть два основных подхода к информированию лиц, принимающих решения. Во-первых, ряд точек фронта Парето может быть представлен в виде списка (интересное обсуждение и ссылки даны в ^[74] ) или с использованием тепловых карт. ^[75]

Визуализация в двухцелевых задачах: кривая компромисса [ править ]

В случае двузначных задач информирование лица, принимающего решения о фронте Парето, обычно осуществляется путем его визуализации: фронт Парето, часто называемый в этом случае кривой компромисса, можно нарисовать на плоскости цели. Кривая компромисса дает полную информацию об объективных значениях и об объективных компромиссах, которые показывают, как улучшение одной цели связано с ухудшением второй при движении по кривой компромисса. Лицо, принимающее решение, принимает эту информацию во внимание при указании предпочтительной точки оптимальной цели по Парето. Идея аппроксимации и визуализации фронта Парето была предложена для линейных двуцелевых задач принятия решений С.Гассом и Т. Саати. ^[76] Эта идея была развита и применена в решении экологических проблем Дж. Л. Кохоном. ^[77]Обзор методов аппроксимации фронта Парето для различных задач решения с небольшим количеством целей (в основном, двумя) представлен в ^[78].

Визуализация в многоцелевых задачах оптимизации высокого порядка [ править ]

Есть две общие идеи о том, как визуализировать фронт Парето в многоцелевых задачах принятия решений высокого порядка (задачи с более чем двумя целями). Один из них, применимый в случае относительно небольшого количества объективных точек, представляющих фронт Парето, основан на использовании методов визуализации, разработанных в статистике (различные диаграммы и т. Д. - см. Соответствующий подраздел ниже). Вторая идея предлагает отображение двуцелевых сечений (срезов) фронта Парето. Он был введен WS Meisel в 1973 г. ^[79]кто утверждал, что такие срезы информируют лиц, принимающих решения, об объективных компромиссах. Рисунки, которые отображают серию двуцелевых срезов фронта Парето для трехцелевых задач, известны как карты решений. Они дают ясную картину компромиссов между тремя критериями. Недостатки такого подхода связаны с двумя следующими фактами. Во-первых, вычислительные процедуры для построения двуцелевых срезов фронта Парето нестабильны, поскольку фронт Парето обычно нестабилен. Во-вторых, это применимо только в случае трех целей. В 1980-х годах идея WS Meisel реализована в ином виде - в виде техники Interactive Decision Maps (IDM). ^[80] Совсем недавно Н. Веснер ^[81] предложили использовать комбинацию диаграммы Венна и множественных диаграмм рассеяния целевого пространства для исследования границы Парето и выбора оптимальных решений.

См. Также [ править ]

Многокритериальный анализ решений
- Принятие решения по множеству критериев
Многоцелевое линейное программирование
Многопрофильная оптимизация дизайна
Парето эффективность
Программирование целей
Параллельное программирование
Векторная оптимизация
Интерактивные карты решений
Вспомогательная функция
ПО для принятия решений

Ссылки [ править ]

^ a b c d e f g h i Кайса Миеттинен (1999). Нелинейная многокритериальная оптимизация . Springer. ISBN 978-0-7923-8278-2. Проверено 29 мая 2012 года .
^ Б с д е е Ching-Lai Hwang; Абу Сайед Мад Масуд (1979). Принятие решений с множеством целей, методы и приложения: современный обзор . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-09111-2. Проверено 29 мая 2012 года .
^ Гасанзаде, Hamidreza; Рухани, Моджтаба (2010). «Многоцелевой алгоритм гравитационного поиска». В области вычислительного интеллекта, коммуникационных систем и сетей (CICSyN) : 7–12.
^ Ширази, Али; Наджафи, Бехзад; Аминьявари, Мехди; Ринальди, Фабио; Тейлор, Роберт А. (01.05.2014). «Тепло-экономико-экологический анализ и многоцелевая оптимизация системы хранения ледяной тепловой энергии для охлаждения входящего воздуха газотурбинного цикла». Энергия . 69 : 212–226. DOI : 10.1016 / j.energy.2014.02.071 .
^ Наджафи, Бехзад; Ширази, Али; Аминьявари, Мехди; Ринальди, Фабио; Тейлор, Роберт А. (03.02.2014). «Эксергетический, экономический и экологический анализ и многоцелевая оптимизация гибридного цикла ТОТЭ-газовая турбина в сочетании с системой опреснения MSF». Опреснение . 334 (1): 46–59. DOI : 10.1016 / j.desal.2013.11.039 .
^ Rafiei, SMR; Amirahmadi, A .; Грива, Г. (2009). «Подавление хаоса и оптимальный динамический отклик для повышающего преобразователя с использованием многоцелевого подхода оптимизации SPEA». 2009 35-я ежегодная конференция IEEE Industrial Electronics . С. 3315–3322. DOI : 10.1109 / IECON.2009.5415056 . ISBN 978-1-4244-4648-3. S2CID 2539380 .
^ Роппонен, А .; Ritala, R .; Пистикопулос, EN (2011). «Вопросы оптимизации системы управления браком в бумажном производстве». Компьютеры и химическая инженерия . 35 (11): 2510. DOI : 10.1016 / j.compchemeng.2010.12.012 .
^ Пллана, Сабри; Мемети, Суэйб; Колодзей, Иоанна (2019). «Настройка имитационного отжига по Парето для многоцелевой оптимизации компоновки шкафа управления». arXiv : 1906.04825 [ cs.OH ].
^ Нгуен, Хоанг Ань; ван Иперен, Зейн; Рагхунатх, Шрикант; Абрамсон, Дэвид; Кипурос, Тимолеон; Сомасекхаран, Сандип (2017). «Многоцелевая оптимизация в научном рабочем процессе» . Процедуры информатики . 108 : 1443–1452. DOI : 10.1016 / j.procs.2017.05.213 . hdl : 1826/12173 .
^ Ganesan, T .; Elamvazuthi, I .; Васант, П. (01.07.2015). «Оптимизация многокритериальной конструкции генератора с управляемым напряжением нано-CMOS с использованием теоретико-дифференциальной эволюции». Прикладные программные вычисления . 32 : 293–299. DOI : 10.1016 / j.asoc.2015.03.016 .
^ Ganesan, T .; Elamvazuthi, I .; Шаари, Ку Зилати Ку; Васант, П. (01.01.2013). Зелинка, Иван; Чен, Гуаньжун; Rössler, Otto E .; Снасел, Вацлав; Авраам, Аджит (ред.). Гиперобъемное аналитическое программирование для оптимизации ирригационных систем на солнечной энергии . Достижения в интеллектуальных системах и вычислениях. Издательство Springer International. С. 147–154. DOI : 10.1007 / 978-3-319-00542-3_15 . ISBN 978-3-319-00541-6.
^ Ganesan, T .; Elamvazuthi, I .; Шаари, Ку Зилати Ку; Васант, П. (01.01.2013). Гаврилова, Марина Л .; Тан, Си Джей Кеннет; Авраам, Аджит (ред.). Многокритериальная оптимизация системы песчаных форм с использованием хаотической дифференциальной эволюции . Конспект лекций по информатике. Springer Berlin Heidelberg. С. 145–163. DOI : 10.1007 / 978-3-642-45318-2_6 . ISBN 978-3-642-45317-5.
^ Суреха, Б .; Kaushik, Lalith K .; Пандуй, Абхишек К .; Vundavilli, Pandu R .; Параппагудар, Махеш Б. (07.05.2011). «Многоцелевая оптимизация системы зеленых песчаных форм с использованием эволюционных алгоритмов». Международный журнал передовых производственных технологий . 58 (1–4): 9–17. DOI : 10.1007 / s00170-011-3365-8 . ISSN 0268-3768 . S2CID 110315544 .
^ «Многоцелевая оптимизация в конструкции двигателя с использованием генетических алгоритмов для повышения производительности двигателя | ESTECO» . www.esteco.com . Проверено 1 декабря 2015 .
^ Courteille, E .; Мортье, Ф .; Leotoing, L .; Рагно, Э. (16 мая 2005 г.). «Оптимизация конструкции системы крепления двигателя для нескольких целей» . Серия технических статей SAE (PDF) . 1 . Варрендейл, Пенсильвания. DOI : 10.4271 / 2005-01-2412 .
^ Доминго-Перес, Франциско; Лазаро-Галилея, Хосе Луис; Визер, Андреас; Мартин-Горостиза, Эрнесто; Салидо-Монзу, Давид; Ллана, Альваро де ла (апрель 2016 г.). «Определение положения датчика для позиционирования с разницей в дальности с использованием эволюционной многоцелевой оптимизации». Экспертные системы с приложениями . 47 : 95–105. DOI : 10.1016 / j.eswa.2015.11.008 .
^ Бемпорад, Альберто; Муньос де ла Пенья, Давид (1 декабря 2009 г.). «Прогностический контроль многокритериальной модели». Automatica . 45 (12): 2823–2830. DOI : 10.1016 / j.automatica.2009.09.032 .
^ Панда, Сидхартха (2009-06-01). «Многоцелевой эволюционный алгоритм построения контроллера на основе SSSC». Исследование электроэнергетических систем . 79 (6): 937–944. DOI : 10.1016 / j.epsr.2008.12.004 .
^ Фиандака, Джованна; Fraga, Eric S .; Брандани, Стефано (2009). «Многоцелевой генетический алгоритм для проектирования адсорбции при колебаниях давления» . Инженерная оптимизация . 41 (9): 833–854. DOI : 10.1080 / 03052150903074189 . S2CID 120201436 . Проверено 1 декабря 2015 .
^ Сендин, Хосе Оскар Х .; Алонсо, Антонио А .; Банга, Хулио Р. (01.06.2010). «Эффективная и надежная многоцелевая оптимизация обработки пищевых продуктов: новый подход к термической стерилизации». Журнал пищевой инженерии . 98 (3): 317–324. DOI : 10.1016 / j.jfoodeng.2010.01.007 . hdl : 10261/48082 .
^ Ganesan, T .; Elamvazuthi, I .; Ку Шаари, Ку Зилати; Васант, П. (2013-03-01). «Ройовой интеллект и алгоритм гравитационного поиска для многокритериальной оптимизации добычи синтез-газа». Прикладная энергия . 103 : 368–374. DOI : 10.1016 / j.apenergy.2012.09.059 .
^ Ганесан, Тимофей; Эламвазути, Иррайван; Васант, Пандиан; Шаари, Ку Зилати Ку (2015-03-23). Нгуен, Нгок Тхань; Травинский, Богдан; Косала, Раймонд (ред.). Многоцелевая оптимизация процесса экстракции биоактивных соединений с помощью эволюционных стратегий . Конспект лекций по информатике. Издательство Springer International. С. 13–21. DOI : 10.1007 / 978-3-319-15705-4_2 . ISBN 978-3-319-15704-7.
^ Мехди, Хосров-Pour (2014-06-30). Современные достижения в развитии информационных технологий в динамических средах . IGI Global. ISBN 9781466662537.
↑ Абакаров. А., Сушков. Ю., Маскерони. RH (2012). «Многокритериальная оптимизация и подход к принятию решений для улучшения процессов пищевой инженерии» (PDF) . Международный журнал пищевых исследований . 2 : 1–21. DOI : 10.7455 / ijfs / 2.1.2013.a1 . CS1 maint: multiple names: authors list (link)
Перейти ↑ Abakarov, A, Sushkov, Y, Almonacid, S, and Simpson, R. (2009). «Подход к многокритериальной оптимизации: термическая обработка пищевых продуктов». Журнал пищевой науки . 74 (9): E471 – E487. DOI : 10.1111 / j.1750-3841.2009.01348.x . hdl : 10533/134983 . PMID 20492109 . CS1 maint: multiple names: authors list (link)
^ Пирс, Маргарет; Мутлу, Бильге; Шах, Джули; Радвин, Роберт (2018). «Оптимизация рабочего времени и эргономики при интеграции совместных роботов в производственные процессы» . IEEE Transactions по автоматизации науки и техники . 15 (4): 1772–1784. DOI : 10.1109 / tase.2018.2789820 . ISSN 1545-5955 . S2CID 52927442 .
^ a b Э. Бьёрнсон и Э. Йорсвик, Оптимальное распределение ресурсов в скоординированных многоячеечных системах , Основы и тенденции в теории связи и информации, т. 9, вып. 2-3, с. 113-381, 2013.
^ Z.-Q. Луо и С. Чжан, Управление динамическим спектром: сложность и двойственность , IEEE Journal of Selected Topics in Signal Processing, vol. 2, вып. 1. С. 57–73, 2008.
^ Мерлин, А .; Бэк, Х. Поиск конфигурации связующего дерева с минимальными потерями в городской системе распределения электроэнергии. В Трудах Пятой компьютерной конференции по системам электропитания (PSCC) 1975 г., Кембридж, Великобритания, 1–5 сентября 1975 г .; С. 1–18.
^ Mendoza, JE; Лопес, Мэн; Коэльо, Калифорния; Лопес, Е.А. Алгоритм микрогенетической многокритериальной реконфигурации с учетом потерь мощности и показателей надежности распределительной сети среднего напряжения . IET Gener. Трансм. Дистриб. 2009, 3, 825–840.
^ Бернардон, DP; Гарсия, VJ; Феррейра, ASQ; Canha, LN Многокритериальная реконфигурация распределительной сети с учетом анализа субпередач . IEEE Trans. Power Deliv. 2010, 25, 2684–2691.
^ Amanulla, B .; Chakrabarti, S .; Сингх, С. Н. Реконфигурация систем распределения электроэнергии с учетом надежности и потери мощности . IEEE Trans. Power Deliv. 2012, 27, 918–926.
^ Tomoiagă, B .; Chindriş, M .; Sumper, A .; Sudria-Andreu, A .; Виллафила-Роблес, Р. Парето Оптимальная реконфигурация систем распределения энергии с использованием генетического алгоритма, основанного на NSGA-II. Энергия 2013, 6, 1439-1455.
^ Galceran, Энрик; Каррерас, Марк (2013). «Обзор планирования пути покрытия робототехники». Робототехника и автономные системы . 61 (12): 1258–1276. CiteSeerX 10.1.1.716.2556 . DOI : 10.1016 / j.robot.2013.09.004 . ISSN 0921-8890 .
^ Эллефсен, КО; Лепиксон, ГА; Альбиз, JC (2019). «Многобъективное планирование пути покрытия: обеспечение автоматизированного контроля сложных реальных структур» . Прикладные программные вычисления . 61 : 264–282. arXiv : 1901.07272 . Bibcode : 2019arXiv190107272O . DOI : 10.1016 / j.asoc.2017.07.051 . hdl : 10852/58883 . ISSN 1568-4946 . S2CID 6183350 .
^ Matthias Эрготт (1 июня 2005). Многокритериальная оптимизация . Birkhäuser. ISBN 978-3-540-21398-7. Проверено 29 мая 2012 года .
^ Карлос А. Коэльо Коэльо; Гэри Б. Ламонт; Дэвид А. Ван Велдхейсен (2007). Эволюционные алгоритмы решения многоцелевых задач . Springer. ISBN 978-0-387-36797-2. Проверено 1 ноября 2012 года .
^ a b Юрген Бранке; Калянмой Деб; Кайса Миеттинен; Роман Словинский (21 ноября 2008 г.). Многокритериальная оптимизация: интерактивный и эволюционный подходы . Springer. ISBN 978-3-540-88907-6. Проверено 1 ноября 2012 года .
^ Вержбицкий, AP (1982). «Математическая основа для принятия удовлетворительных решений» . Математическое моделирование . 3 (5): 391–405. DOI : 10.1016 / 0270-0255 (82) 90038-0 .
^ Сен, Чандра, (1983) Новый подход к многоцелевому планированию сельского развития, Индийский экономический журнал, Том 30, (4), 91-96.
↑ Зеленый, М. (1973), «Компромиссное программирование», в Cochrane, JL; Зеленый, М. (ред.), Принятие решений по множеству критериев , Университет Южной Каролины, Колумбия, стр. 262–301.
^ a b Das, I .; Деннис, Дж. Э. (1998). "Нормально-граничное пересечение: новый метод построения поверхности Парето в нелинейных задачах многокритериальной оптимизации". SIAM Journal по оптимизации . 8 (3): 631. DOI : 10,1137 / S1052623496307510 . hdl : 1911/101880 .
^ a b С. Мотта, Ренато; Афонсу, Сильвана МБ; Лира, Пауло RM (8 января 2012 г.). «Модифицированный метод NBI и NC для решения N-многокритериальных задач оптимизации». Структурная и междисциплинарная оптимизация . 46 (2): 239–259. DOI : 10.1007 / s00158-011-0729-5 . S2CID 121122414 .
^ а б Мессак, А .; Исмаил-Яхая, А .; Маттсон, Калифорния (2003). «Нормализованный нормальный метод ограничения для построения границы Парето». Структурная и междисциплинарная оптимизация . 25 (2): 86–98. DOI : 10.1007 / s00158-002-0276-1 . S2CID 58945431 .
^ a b Messac, A .; Маттсон, Калифорния (2004). «Метод нормальных ограничений с гарантией равномерного представления полной границы Парето». Журнал AIAA . 42 (10): 2101–2111. Bibcode : 2004AIAAJ..42.2101M . DOI : 10.2514 / 1.8977 .
^ a b Мюллер-Грицнедер, Даниэль; Грэб, Гельмут; Шлихтманн, Ульф (2009). «Последовательный подход к вычислению ограниченного фронта Парето практических задач многокритериальной оптимизации». SIAM Journal по оптимизации . 20 (2): 915–934. DOI : 10.1137 / 080729013 .
^ а б Эрфани, Тохид; Утюжников, Сергей В. (2011). «Область направленного поиска: метод равномерного создания границ Парето в многоцелевой оптимизации» (PDF) . Журнал инженерной оптимизации . 43 (5): 1–18. DOI : 10.1080 / 0305215X.2010.497185 . S2CID 33631133 . Проверено 17 октября 2011 года .
^ а б Деб, К .; Pratap, A .; Agarwal, S .; Меяриван, Т. (2002). «Быстрый и элитарный многокритериальный генетический алгоритм: NSGA-II». IEEE Transactions по эволюционным вычислениям . 6 (2): 182. CiteSeerX 10.1.1.17.7771 . DOI : 10.1109 / 4235.996017 .
^ Zitzler Е., Laumanns, М., Тиль, Л .: SPEA2: Повышение производительности прочности Парета эволюционный алгоритм, технический отчет 103, вычислительная техника и сети связи Lab (ТИК), Швейцарский федеральный технологический институт (ETH) Цюрих (2001) [1]
^ Suman, B .; Кумар, П. (2006). «Обзор моделированного отжига как инструмента для одно- и многокритериальной оптимизации». Журнал Общества оперативных исследований . 57 (10): 1143–1160. DOI : 10,1057 / palgrave.jors.2602068 . S2CID 18916703 .
^ a b Данило Васконселлос Варгас, Джуничи Мурата, Хиротака Такано, Александр Клаудио Ботаццо Дельбем (2015), « Общая структура субпопуляции и улавливание конфликта внутри популяций », Эволюционные вычисления 23 (1), 1-36.
↑ Леман, Джоэл и Кеннет О. Стэнли. «Отказ от целей: эволюция только в поисках новизны». Эволюционные вычисления 19.2 (2011): 189-223.
^ Мавротас, Джордж (2009). «Эффективная реализация метода ε-ограничений в задачах многоцелевого математического программирования». Прикладная математика и вычисления . 213 (2): 455–465. DOI : 10.1016 / j.amc.2009.03.037 . ISSN 0096-3003 .
^ Карвалью, Яго А .; Рибейро, Марко А. (2020). «Точный подход к проблеме дерева калибровки с ограниченными ошибками с минимальной стоимостью». Анналы исследований операций . 287 (1): 109–126. DOI : 10.1007 / s10479-019-03443-4 . ISSN 0254-5330 . S2CID 209959109 .
^ Mavrotas, G .; Диакулаки, Д. (2005). «Многокритериальная ветвь и граница: алгоритм максимизации вектора для смешанного 0-1 многоцелевого линейного программирования». Прикладная математика и вычисления . 171 (1): 53–71. DOI : 10.1016 / j.amc.2005.01.038 . ISSN 0096-3003 .
^ Винсент, Томас; Зипп, Флориан; Рузика, Стефан; Пшибыльски, Энтони; Gandibleux, Ксавье (2013). «Многоцелевой ветвь и границы для смешанного линейного программирования 0-1: исправления и улучшения для биобъективного случая». Компьютеры и исследования операций . 40 (1): 498–509. DOI : 10.1016 / j.cor.2012.08.003 . ISSN 0305-0548 .
^ Przybylski, Энтони; Гандибле, Ксавье (2017). «Многоцелевое отделение и граница». Европейский журнал операционных исследований . 260 (3): 856–872. DOI : 10.1016 / j.ejor.2017.01.032 . ISSN 0377-2217 .
^ Ремесло, D .; Halabi, T .; Shih, H .; Бортфельд, Т. (2006). «Аппроксимация выпуклых поверхностей Парето в многокритериальном планировании лучевой терапии». Медицинская физика . 33 (9): 3399–3407. Bibcode : 2006MedPh..33.3399C . DOI : 10.1118 / 1.2335486 . PMID 17022236 .
^ Beume, N .; Naujoks, B .; Эммерих, М. (2007). «SMS-EMOA: многокритериальный отбор на основе доминирующего гиперобъема». Европейский журнал операционных исследований . 181 (3): 1653. DOI : 10.1016 / j.ejor.2006.08.008 .
^ Брингманн, Карл; Фридрих, Тобиас; Нойман, Франк; Вагнер, Маркус (2011). «Эволюционная многоцелевая оптимизация с ориентированием на приближение». IJCAI . DOI : 10.5591 / 978-1-57735-516-8 / IJCAI11-204 .
^ Баттити, Роберто; Мауро Брунато; Франко Маскиа (2008). Реактивный поиск и интеллектуальная оптимизация . Springer Verlag . ISBN 978-0-387-09623-0.
^ Баттити, Роберто; Мауро Брунато (2011). Реактивная бизнес-аналитика. От данных к моделям и к пониманию . Тренто, Италия: Reactive Search Srl. ISBN 978-88-905795-0-9.
^ a b c d Miettinen, K .; Руис, Ф .; Вежбицкий, А.П. (2008). «Введение в многокритериальную оптимизацию: интерактивные подходы». Многокритериальная оптимизация . Конспект лекций по информатике. 5252 . п. 27. CiteSeerX 10.1.1.475.465 . DOI : 10.1007 / 978-3-540-88908-3_2 . ISBN 978-3-540-88907-6.
^ Luque, M .; Руис, Ф .; Миеттинен, К. (2008). «Глобальная формулировка интерактивной многокритериальной оптимизации» . ИЛИ Спектр . 33 : 27–48. DOI : 10.1007 / s00291-008-0154-3 . S2CID 15050545 .
^ Руис, Ф .; Luque, M .; Миеттинен, К. (2011). «Повышение вычислительной эффективности в глобальной постановке (GLIDE) для интерактивной многокритериальной оптимизации» . Анналы исследований операций . 197 : 47–70. DOI : 10.1007 / s10479-010-0831-х . S2CID 14947919 .
^ Zionts, S .; Валлениус Дж. (1976). "Интерактивный метод программирования для решения проблемы множественных критериев". Наука управления . 22 (6): 652. DOI : 10,1287 / mnsc.22.6.652 .
^ Вержбицкий, AP (1986). «О полноте и конструктивности параметрических характеристик задач векторной оптимизации». ИЛИ Спектрум . 8 (2): 73–78. DOI : 10.1007 / BF01719738 . S2CID 121771992 .
^ Анджей П. Вежбицкий; Марек Маковски; Яап Вессельс (31 мая 2000 г.). Методология поддержки принятия решений на основе моделей с помощью экологических приложений . Springer. ISBN 978-0-7923-6327-9. Проверено 17 сентября 2012 года .
^ Накаяма, H .; Sawaragi, Y. (1984), "Удовлетворительный метод компромисса для многоцелевого программирования", в Grauer, M .; Вежбицки, AP (ред.), Interactive Decision Analysis , Springer-Verlag Berlin, Heidelberg, стр. 113–122.
^ Miettinen, K .; Мякеля, ММ (1995). «Интерактивный пакетный метод недифференцируемой многокритериальной оптимизации: Nimbus§». Оптимизация . 34 (3): 231. DOI : 10,1080 / 02331939508844109 .
^ Miettinen, K .; Мякеля, ММ (2006). «Синхронный подход в интерактивной многокритериальной оптимизации». Европейский журнал операционных исследований . 170 (3): 909. DOI : 10.1016 / j.ejor.2004.07.052 .
^ Sindhya, K .; Ruiz, AB; Миеттинен, К. (2011). «Интерактивный эволюционный алгоритм на основе предпочтений для многоцелевой оптимизации: PIE». Эволюционная многокритериальная оптимизация . Конспект лекций по информатике. 6576 . п. 212. DOI : 10.1007 / 978-3-642-19893-9_15 . ISBN 978-3-642-19892-2.
^ Sindhya, K .; Deb, K .; Миеттинен, К. (2008). «Эволюционный многоцелевой подход к оптимизации на основе локального поиска для быстрой и точной конвергенции». Параллельно Решение проблемы с природой - PPSN X . Конспект лекций по информатике. 5199 . п. 815. DOI : 10.1007 / 978-3-540-87700-4_81 . ISBN 978-3-540-87699-1.
^ Бенсон, Гарольд П .; Сайин, Серпил (1997). «К поиску глобальных представлений эффективного множества в многоцелевом математическом программировании» (PDF) . Логистика военно-морских исследований . 44 (1): 47–67. DOI : 10.1002 / (SICI) 1520-6750 (199702) 44: 1 <47 :: AID-NAV3> 3.0.CO; 2-M . ЛВП : 11693/25666 . ISSN 0894-069X .
^ Прайк, Энди; Саназ Мостагим; Алиреза Наземи (2007). Визуализация тепловой карты многоцелевых алгоритмов, основанных на популяциях . Эволюционная многокритериальная оптимизация . Конспект лекций по информатике. 4403 . С. 361–375. DOI : 10.1007 / 978-3-540-70928-2_29 . ISBN 978-3-540-70927-5.
↑ Гасс, Саул; Саати, Томас (1955). «Вычислительный алгоритм для параметрической целевой функции». Ежеквартально по логистике военно-морских исследований . 2 (1–2): 39–45. DOI : 10.1002 / nav.3800020106 . ISSN 0028-1441 .
↑ Джаред Л. Кохон (13 января 2004 г.). Многокритериальное программирование и планирование . Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-43263-2. Проверено 29 мая 2012 года .
^ Рузика, S .; Вецек, ММ (2005). «Аппроксимационные методы в многокритериальном программировании». Журнал теории оптимизации и приложений . 126 (3): 473–501. DOI : 10.1007 / s10957-005-5494-4 . ISSN 0022-3239 . S2CID 122221156 .
^ Meisel, WL (1973), JL Cochrane; М. Зеленый (ред.), «Компромиссное решение при принятии решений по множеству критериев», Multiple Criteria Decision Making : 461–476
↑ А.В. Лотов; В.А. Бушенков; Каменев Г.К. (29 февраля 2004 г.). Интерактивные карты решений: приближение и визуализация границы Парето . Springer. ISBN 978-1-4020-7631-2. Проверено 29 мая 2012 года .
^ Веснер, Н. (2017), «Многоцелевая оптимизация с помощью визуализации», Economics Bulletin , 37 (2): 1226–1233

Внешние ссылки [ править ]

Международное общество принятия решений по множественным критериям
Эволюционная многокритериальная оптимизация , демонстрационный проект Wolfram
Учебное пособие по многокритериальной оптимизации и генетическим алгоритмам , профессиональный партнер Scilab
Томоягэ, Богдан; Чиндриш, Мирча; Сампер, Андреас; Судрия-Андреу, Антони; Виллафила-Роблес, Роберто. 2013. «Оптимальная по Парето реконфигурация систем распределения электроэнергии с использованием генетического алгоритма на основе NSGA-II». Энергии 6, вып. 3: 1439-1455.
Список литературы по эволюционной многокритериальной оптимизации

[Miettinen1999-1] ^ a b c d e f g h i Кайса Миеттинен (1999). Нелинейная многокритериальная оптимизация . Springer. ISBN 978-0-7923-8278-2. Проверено 29 мая 2012 года .

[HwangMasud1979-2] Б с д е е Ching-Lai Hwang; Абу Сайед Мад Масуд (1979). Принятие решений с множеством целей, методы и приложения: современный обзор . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-09111-2. Проверено 29 мая 2012 года .

[hassanzadeh-3] Гасанзаде, Hamidreza; Рухани, Моджтаба (2010). «Многоцелевой алгоритм гравитационного поиска». В области вычислительного интеллекта, коммуникационных систем и сетей (CICSyN) : 7–12.

[4] Ширази, Али; Наджафи, Бехзад; Аминьявари, Мехди; Ринальди, Фабио; Тейлор, Роберт А. (01.05.2014). «Тепло-экономико-экологический анализ и многоцелевая оптимизация системы хранения ледяной тепловой энергии для охлаждения входящего воздуха газотурбинного цикла». Энергия . 69 : 212–226. DOI : 10.1016 / j.energy.2014.02.071 .

[5] Наджафи, Бехзад; Ширази, Али; Аминьявари, Мехди; Ринальди, Фабио; Тейлор, Роберт А. (03.02.2014). «Эксергетический, экономический и экологический анализ и многоцелевая оптимизация гибридного цикла ТОТЭ-газовая турбина в сочетании с системой опреснения MSF». Опреснение . 334 (1): 46–59. DOI : 10.1016 / j.desal.2013.11.039 .

[6] Rafiei, SMR; Amirahmadi, A .; Грива, Г. (2009). «Подавление хаоса и оптимальный динамический отклик для повышающего преобразователя с использованием многоцелевого подхода оптимизации SPEA». 2009 35-я ежегодная конференция IEEE Industrial Electronics . С. 3315–3322. DOI : 10.1109 / IECON.2009.5415056 . ISBN 978-1-4244-4648-3. S2CID 2539380 .

[RoRiPi11-7] Роппонен, А .; Ritala, R .; Пистикопулос, EN (2011). «Вопросы оптимизации системы управления браком в бумажном производстве». Компьютеры и химическая инженерия . 35 (11): 2510. DOI : 10.1016 / j.compchemeng.2010.12.012 .

[8] Пллана, Сабри; Мемети, Суэйб; Колодзей, Иоанна (2019). «Настройка имитационного отжига по Парето для многоцелевой оптимизации компоновки шкафа управления». arXiv : 1906.04825 [ cs.OH ].

[9] Нгуен, Хоанг Ань; ван Иперен, Зейн; Рагхунатх, Шрикант; Абрамсон, Дэвид; Кипурос, Тимолеон; Сомасекхаран, Сандип (2017). «Многоцелевая оптимизация в научном рабочем процессе» . Процедуры информатики . 108 : 1443–1452. DOI : 10.1016 / j.procs.2017.05.213 . hdl : 1826/12173 .

[10] Ganesan, T .; Elamvazuthi, I .; Васант, П. (01.07.2015). «Оптимизация многокритериальной конструкции генератора с управляемым напряжением нано-CMOS с использованием теоретико-дифференциальной эволюции». Прикладные программные вычисления . 32 : 293–299. DOI : 10.1016 / j.asoc.2015.03.016 .

[11] Ganesan, T .; Elamvazuthi, I .; Шаари, Ку Зилати Ку; Васант, П. (01.01.2013). Зелинка, Иван; Чен, Гуаньжун; Rössler, Otto E .; Снасел, Вацлав; Авраам, Аджит (ред.). Гиперобъемное аналитическое программирование для оптимизации ирригационных систем на солнечной энергии . Достижения в интеллектуальных системах и вычислениях. Издательство Springer International. С. 147–154. DOI : 10.1007 / 978-3-319-00542-3_15 . ISBN 978-3-319-00541-6.

[12] Ganesan, T .; Elamvazuthi, I .; Шаари, Ку Зилати Ку; Васант, П. (01.01.2013). Гаврилова, Марина Л .; Тан, Си Джей Кеннет; Авраам, Аджит (ред.). Многокритериальная оптимизация системы песчаных форм с использованием хаотической дифференциальной эволюции . Конспект лекций по информатике. Springer Berlin Heidelberg. С. 145–163. DOI : 10.1007 / 978-3-642-45318-2_6 . ISBN 978-3-642-45317-5.

[13] Суреха, Б .; Kaushik, Lalith K .; Пандуй, Абхишек К .; Vundavilli, Pandu R .; Параппагудар, Махеш Б. (07.05.2011). «Многоцелевая оптимизация системы зеленых песчаных форм с использованием эволюционных алгоритмов». Международный журнал передовых производственных технологий . 58 (1–4): 9–17. DOI : 10.1007 / s00170-011-3365-8 . ISSN 0268-3768 . S2CID 110315544 .

[14] «Многоцелевая оптимизация в конструкции двигателя с использованием генетических алгоритмов для повышения производительности двигателя | ESTECO» . www.esteco.com . Проверено 1 декабря 2015 .

[15] Courteille, E .; Мортье, Ф .; Leotoing, L .; Рагно, Э. (16 мая 2005 г.). «Оптимизация конструкции системы крепления двигателя для нескольких целей» . Серия технических статей SAE (PDF) . 1 . Варрендейл, Пенсильвания. DOI : 10.4271 / 2005-01-2412 .

[16] Доминго-Перес, Франциско; Лазаро-Галилея, Хосе Луис; Визер, Андреас; Мартин-Горостиза, Эрнесто; Салидо-Монзу, Давид; Ллана, Альваро де ла (апрель 2016 г.). «Определение положения датчика для позиционирования с разницей в дальности с использованием эволюционной многоцелевой оптимизации». Экспертные системы с приложениями . 47 : 95–105. DOI : 10.1016 / j.eswa.2015.11.008 .

[17] Бемпорад, Альберто; Муньос де ла Пенья, Давид (1 декабря 2009 г.). «Прогностический контроль многокритериальной модели». Automatica . 45 (12): 2823–2830. DOI : 10.1016 / j.automatica.2009.09.032 .

[18] Панда, Сидхартха (2009-06-01). «Многоцелевой эволюционный алгоритм построения контроллера на основе SSSC». Исследование электроэнергетических систем . 79 (6): 937–944. DOI : 10.1016 / j.epsr.2008.12.004 .

[19] Фиандака, Джованна; Fraga, Eric S .; Брандани, Стефано (2009). «Многоцелевой генетический алгоритм для проектирования адсорбции при колебаниях давления» . Инженерная оптимизация . 41 (9): 833–854. DOI : 10.1080 / 03052150903074189 . S2CID 120201436 . Проверено 1 декабря 2015 .

[20] Сендин, Хосе Оскар Х .; Алонсо, Антонио А .; Банга, Хулио Р. (01.06.2010). «Эффективная и надежная многоцелевая оптимизация обработки пищевых продуктов: новый подход к термической стерилизации». Журнал пищевой инженерии . 98 (3): 317–324. DOI : 10.1016 / j.jfoodeng.2010.01.007 . hdl : 10261/48082 .

[21] Ganesan, T .; Elamvazuthi, I .; Ку Шаари, Ку Зилати; Васант, П. (2013-03-01). «Ройовой интеллект и алгоритм гравитационного поиска для многокритериальной оптимизации добычи синтез-газа». Прикладная энергия . 103 : 368–374. DOI : 10.1016 / j.apenergy.2012.09.059 .

[22] Ганесан, Тимофей; Эламвазути, Иррайван; Васант, Пандиан; Шаари, Ку Зилати Ку (2015-03-23). Нгуен, Нгок Тхань; Травинский, Богдан; Косала, Раймонд (ред.). Многоцелевая оптимизация процесса экстракции биоактивных соединений с помощью эволюционных стратегий . Конспект лекций по информатике. Издательство Springer International. С. 13–21. DOI : 10.1007 / 978-3-319-15705-4_2 . ISBN 978-3-319-15704-7.

[23] Мехди, Хосров-Pour (2014-06-30). Современные достижения в развитии информационных технологий в динамических средах . IGI Global. ISBN 9781466662537.

[24] Абакаров. А., Сушков. Ю., Маскерони. RH (2012). «Многокритериальная оптимизация и подход к принятию решений для улучшения процессов пищевой инженерии» (PDF) . Международный журнал пищевых исследований . 2 : 1–21. DOI : 10.7455 / ijfs / 2.1.2013.a1 . CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[25] Перейти ↑ Abakarov, A, Sushkov, Y, Almonacid, S, and Simpson, R. (2009). «Подход к многокритериальной оптимизации: термическая обработка пищевых продуктов». Журнал пищевой науки . 74 (9): E471 – E487. DOI : 10.1111 / j.1750-3841.2009.01348.x . hdl : 10533/134983 . PMID 20492109 . CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[26] Пирс, Маргарет; Мутлу, Бильге; Шах, Джули; Радвин, Роберт (2018). «Оптимизация рабочего времени и эргономики при интеграции совместных роботов в производственные процессы» . IEEE Transactions по автоматизации науки и техники . 15 (4): 1772–1784. DOI : 10.1109 / tase.2018.2789820 . ISSN 1545-5955 . S2CID 52927442 .

[fnt2013-27] Э. Бьёрнсон и Э. Йорсвик, Оптимальное распределение ресурсов в скоординированных многоячеечных системах , Основы и тенденции в теории связи и информации, т. 9, вып. 2-3, с. 113-381, 2013.

[luo2008-28] Z.-Q. Луо и С. Чжан, Управление динамическим спектром: сложность и двойственность , IEEE Journal of Selected Topics in Signal Processing, vol. 2, вып. 1. С. 57–73, 2008.

[29] Мерлин, А .; Бэк, Х. Поиск конфигурации связующего дерева с минимальными потерями в городской системе распределения электроэнергии. В Трудах Пятой компьютерной конференции по системам электропитания (PSCC) 1975 г., Кембридж, Великобритания, 1–5 сентября 1975 г .; С. 1–18.

[30] Mendoza, JE; Лопес, Мэн; Коэльо, Калифорния; Лопес, Е.А. Алгоритм микрогенетической многокритериальной реконфигурации с учетом потерь мощности и показателей надежности распределительной сети среднего напряжения . IET Gener. Трансм. Дистриб. 2009, 3, 825–840.

[31] Бернардон, DP; Гарсия, VJ; Феррейра, ASQ; Canha, LN Многокритериальная реконфигурация распределительной сети с учетом анализа субпередач . IEEE Trans. Power Deliv. 2010, 25, 2684–2691.

[32] Amanulla, B .; Chakrabarti, S .; Сингх, С. Н. Реконфигурация систем распределения электроэнергии с учетом надежности и потери мощности . IEEE Trans. Power Deliv. 2012, 27, 918–926.

[33] Tomoiagă, B .; Chindriş, M .; Sumper, A .; Sudria-Andreu, A .; Виллафила-Роблес, Р. Парето Оптимальная реконфигурация систем распределения энергии с использованием генетического алгоритма, основанного на NSGA-II. Энергия 2013, 6, 1439-1455.

[GalceranCarreras2013-34] Galceran, Энрик; Каррерас, Марк (2013). «Обзор планирования пути покрытия робототехники». Робототехника и автономные системы . 61 (12): 1258–1276. CiteSeerX 10.1.1.716.2556 . DOI : 10.1016 / j.robot.2013.09.004 . ISSN 0921-8890 .

[EllefsenLepikson2017-35] Эллефсен, КО; Лепиксон, ГА; Альбиз, JC (2019). «Многобъективное планирование пути покрытия: обеспечение автоматизированного контроля сложных реальных структур» . Прикладные программные вычисления . 61 : 264–282. arXiv : 1901.07272 . Bibcode : 2019arXiv190107272O . DOI : 10.1016 / j.asoc.2017.07.051 . hdl : 10852/58883 . ISSN 1568-4946 . S2CID 6183350 .

[Ehrgott2005-36] Matthias Эрготт (1 июня 2005). Многокритериальная оптимизация . Birkhäuser. ISBN 978-3-540-21398-7. Проверено 29 мая 2012 года .

[CoelloLamont2007-37] Карлос А. Коэльо Коэльо; Гэри Б. Ламонт; Дэвид А. Ван Велдхейсен (2007). Эволюционные алгоритмы решения многоцелевых задач . Springer. ISBN 978-0-387-36797-2. Проверено 1 ноября 2012 года .

[BrankeDeb2008-38] Юрген Бранке; Калянмой Деб; Кайса Миеттинен; Роман Словинский (21 ноября 2008 г.). Многокритериальная оптимизация: интерактивный и эволюционный подходы . Springer. ISBN 978-3-540-88907-6. Проверено 1 ноября 2012 года .

[Wierzbicki1982-39] Вержбицкий, AP (1982). «Математическая основа для принятия удовлетворительных решений» . Математическое моделирование . 3 (5): 391–405. DOI : 10.1016 / 0270-0255 (82) 90038-0 .

[40] Сен, Чандра, (1983) Новый подход к многоцелевому планированию сельского развития, Индийский экономический журнал, Том 30, (4), 91-96.

[Zeleny1973-41] Зеленый, М. (1973), «Компромиссное программирование», в Cochrane, JL; Зеленый, М. (ред.), Принятие решений по множеству критериев , Университет Южной Каролины, Колумбия, стр. 262–301.

[doi10.1137/S1052623496307510-42] Das, I .; Деннис, Дж. Э. (1998). "Нормально-граничное пересечение: новый метод построения поверхности Парето в нелинейных задачах многокритериальной оптимизации". SIAM Journal по оптимизации . 8 (3): 631. DOI : 10,1137 / S1052623496307510 . hdl : 1911/101880 .

[S._Motta-43] С. Мотта, Ренато; Афонсу, Сильвана МБ; Лира, Пауло RM (8 января 2012 г.). «Модифицированный метод NBI и NC для решения N-многокритериальных задач оптимизации». Структурная и междисциплинарная оптимизация . 46 (2): 239–259. DOI : 10.1007 / s00158-011-0729-5 . S2CID 121122414 .

[ReferenceA-44] а б Мессак, А .; Исмаил-Яхая, А .; Маттсон, Калифорния (2003). «Нормализованный нормальный метод ограничения для построения границы Парето». Структурная и междисциплинарная оптимизация . 25 (2): 86–98. DOI : 10.1007 / s00158-002-0276-1 . S2CID 58945431 .

[ReferenceB-45] Messac, A .; Маттсон, Калифорния (2004). «Метод нормальных ограничений с гарантией равномерного представления полной границы Парето». Журнал AIAA . 42 (10): 2101–2111. Bibcode : 2004AIAAJ..42.2101M . DOI : 10.2514 / 1.8977 .

[ReferenceC-46] Мюллер-Грицнедер, Даниэль; Грэб, Гельмут; Шлихтманн, Ульф (2009). «Последовательный подход к вычислению ограниченного фронта Парето практических задач многокритериальной оптимизации». SIAM Journal по оптимизации . 20 (2): 915–934. DOI : 10.1137 / 080729013 .

[EU11-47] а б Эрфани, Тохид; Утюжников, Сергей В. (2011). «Область направленного поиска: метод равномерного создания границ Парето в многоцелевой оптимизации» (PDF) . Журнал инженерной оптимизации . 43 (5): 1–18. DOI : 10.1080 / 0305215X.2010.497185 . S2CID 33631133 . Проверено 17 октября 2011 года .

[doi10.1109/4235.996017-48] а б Деб, К .; Pratap, A .; Agarwal, S .; Меяриван, Т. (2002). «Быстрый и элитарный многокритериальный генетический алгоритм: NSGA-II». IEEE Transactions по эволюционным вычислениям . 6 (2): 182. CiteSeerX 10.1.1.17.7771 . DOI : 10.1109 / 4235.996017 .

[49] Zitzler Е., Laumanns, М., Тиль, Л .: SPEA2: Повышение производительности прочности Парета эволюционный алгоритм, технический отчет 103, вычислительная техника и сети связи Lab (ТИК), Швейцарский федеральный технологический институт (ETH) Цюрих (2001) [1]

[50] Suman, B .; Кумар, П. (2006). «Обзор моделированного отжига как инструмента для одно- и многокритериальной оптимизации». Журнал Общества оперативных исследований . 57 (10): 1143–1160. DOI : 10,1057 / palgrave.jors.2602068 . S2CID 18916703 .

[vargas2015-51] Данило Васконселлос Варгас, Джуничи Мурата, Хиротака Такано, Александр Клаудио Ботаццо Дельбем (2015), « Общая структура субпопуляции и улавливание конфликта внутри популяций », Эволюционные вычисления 23 (1), 1-36.

[52] Леман, Джоэл и Кеннет О. Стэнли. «Отказ от целей: эволюция только в поисках новизны». Эволюционные вычисления 19.2 (2011): 189-223.

[Mavrotas2009-53] Мавротас, Джордж (2009). «Эффективная реализация метода ε-ограничений в задачах многоцелевого математического программирования». Прикладная математика и вычисления . 213 (2): 455–465. DOI : 10.1016 / j.amc.2009.03.037 . ISSN 0096-3003 .

[CarvalhoRibeiro2020-54] Карвалью, Яго А .; Рибейро, Марко А. (2020). «Точный подход к проблеме дерева калибровки с ограниченными ошибками с минимальной стоимостью». Анналы исследований операций . 287 (1): 109–126. DOI : 10.1007 / s10479-019-03443-4 . ISSN 0254-5330 . S2CID 209959109 .

[MavrotasDiakoulaki2005-55] Mavrotas, G .; Диакулаки, Д. (2005). «Многокритериальная ветвь и граница: алгоритм максимизации вектора для смешанного 0-1 многоцелевого линейного программирования». Прикладная математика и вычисления . 171 (1): 53–71. DOI : 10.1016 / j.amc.2005.01.038 . ISSN 0096-3003 .

[VincentSeipp2013-56] Винсент, Томас; Зипп, Флориан; Рузика, Стефан; Пшибыльски, Энтони; Gandibleux, Ксавье (2013). «Многоцелевой ветвь и границы для смешанного линейного программирования 0-1: исправления и улучшения для биобъективного случая». Компьютеры и исследования операций . 40 (1): 498–509. DOI : 10.1016 / j.cor.2012.08.003 . ISSN 0305-0548 .

[PrzybylskiGandibleux2017-57] Przybylski, Энтони; Гандибле, Ксавье (2017). «Многоцелевое отделение и граница». Европейский журнал операционных исследований . 260 (3): 856–872. DOI : 10.1016 / j.ejor.2017.01.032 . ISSN 0377-2217 .

[58] Ремесло, D .; Halabi, T .; Shih, H .; Бортфельд, Т. (2006). «Аппроксимация выпуклых поверхностей Парето в многокритериальном планировании лучевой терапии». Медицинская физика . 33 (9): 3399–3407. Bibcode : 2006MedPh..33.3399C . DOI : 10.1118 / 1.2335486 . PMID 17022236 .

[SMS-EMOA-59] Beume, N .; Naujoks, B .; Эммерих, М. (2007). «SMS-EMOA: многокритериальный отбор на основе доминирующего гиперобъема». Европейский журнал операционных исследований . 181 (3): 1653. DOI : 10.1016 / j.ejor.2006.08.008 .

[AGE-60] Брингманн, Карл; Фридрих, Тобиас; Нойман, Франк; Вагнер, Маркус (2011). «Эволюционная многоцелевая оптимизация с ориентированием на приближение». IJCAI . DOI : 10.5591 / 978-1-57735-516-8 / IJCAI11-204 .

[61] Баттити, Роберто; Мауро Брунато; Франко Маскиа (2008). Реактивный поиск и интеллектуальная оптимизация . Springer Verlag . ISBN 978-0-387-09623-0.

[62] Баттити, Роберто; Мауро Брунато (2011). Реактивная бизнес-аналитика. От данных к моделям и к пониманию . Тренто, Италия: Reactive Search Srl. ISBN 978-88-905795-0-9.

[Miettinen2008-63] Miettinen, K .; Руис, Ф .; Вежбицкий, А.П. (2008). «Введение в многокритериальную оптимизацию: интерактивные подходы». Многокритериальная оптимизация . Конспект лекций по информатике. 5252 . п. 27. CiteSeerX 10.1.1.475.465 . DOI : 10.1007 / 978-3-540-88908-3_2 . ISBN 978-3-540-88907-6.

[Luque2011-64] Luque, M .; Руис, Ф .; Миеттинен, К. (2008). «Глобальная формулировка интерактивной многокритериальной оптимизации» . ИЛИ Спектр . 33 : 27–48. DOI : 10.1007 / s00291-008-0154-3 . S2CID 15050545 .

[Ruiz2012-65] Руис, Ф .; Luque, M .; Миеттинен, К. (2011). «Повышение вычислительной эффективности в глобальной постановке (GLIDE) для интерактивной многокритериальной оптимизации» . Анналы исследований операций . 197 : 47–70. DOI : 10.1007 / s10479-010-0831-х . S2CID 14947919 .

[Zionts1976-66] Zionts, S .; Валлениус Дж. (1976). "Интерактивный метод программирования для решения проблемы множественных критериев". Наука управления . 22 (6): 652. DOI : 10,1287 / mnsc.22.6.652 .

[Wierzbicki1986-67] Вержбицкий, AP (1986). «О полноте и конструктивности параметрических характеристик задач векторной оптимизации». ИЛИ Спектрум . 8 (2): 73–78. DOI : 10.1007 / BF01719738 . S2CID 121771992 .

[WierzbickiMakowski2000-68] Анджей П. Вежбицкий; Марек Маковски; Яап Вессельс (31 мая 2000 г.). Методология поддержки принятия решений на основе моделей с помощью экологических приложений . Springer. ISBN 978-0-7923-6327-9. Проверено 17 сентября 2012 года .

[Nakayama1984-69] Накаяма, H .; Sawaragi, Y. (1984), "Удовлетворительный метод компромисса для многоцелевого программирования", в Grauer, M .; Вежбицки, AP (ред.), Interactive Decision Analysis , Springer-Verlag Berlin, Heidelberg, стр. 113–122.

[Miettinen1995-70] Miettinen, K .; Мякеля, ММ (1995). «Интерактивный пакетный метод недифференцируемой многокритериальной оптимизации: Nimbus§». Оптимизация . 34 (3): 231. DOI : 10,1080 / 02331939508844109 .

[Miettinen2006-71] Miettinen, K .; Мякеля, ММ (2006). «Синхронный подход в интерактивной многокритериальной оптимизации». Европейский журнал операционных исследований . 170 (3): 909. DOI : 10.1016 / j.ejor.2004.07.052 .

[Sindhya2011-72] Sindhya, K .; Ruiz, AB; Миеттинен, К. (2011). «Интерактивный эволюционный алгоритм на основе предпочтений для многоцелевой оптимизации: PIE». Эволюционная многокритериальная оптимизация . Конспект лекций по информатике. 6576 . п. 212. DOI : 10.1007 / 978-3-642-19893-9_15 . ISBN 978-3-642-19892-2.

[Sindhya2008-73] Sindhya, K .; Deb, K .; Миеттинен, К. (2008). «Эволюционный многоцелевой подход к оптимизации на основе локального поиска для быстрой и точной конвергенции». Параллельно Решение проблемы с природой - PPSN X . Конспект лекций по информатике. 5199 . п. 815. DOI : 10.1007 / 978-3-540-87700-4_81 . ISBN 978-3-540-87699-1.

[BensonSayin1997-74] Бенсон, Гарольд П .; Сайин, Серпил (1997). «К поиску глобальных представлений эффективного множества в многоцелевом математическом программировании» (PDF) . Логистика военно-морских исследований . 44 (1): 47–67. DOI : 10.1002 / (SICI) 1520-6750 (199702) 44: 1 <47 :: AID-NAV3> 3.0.CO; 2-M . ЛВП : 11693/25666 . ISSN 0894-069X .

[Pryke,Mostaghim,Nazemi-75] Прайк, Энди; Саназ Мостагим; Алиреза Наземи (2007). Визуализация тепловой карты многоцелевых алгоритмов, основанных на популяциях . Эволюционная многокритериальная оптимизация . Конспект лекций по информатике. 4403 . С. 361–375. DOI : 10.1007 / 978-3-540-70928-2_29 . ISBN 978-3-540-70927-5.

[GassSaaty1955-76] Гасс, Саул; Саати, Томас (1955). «Вычислительный алгоритм для параметрической целевой функции». Ежеквартально по логистике военно-морских исследований . 2 (1–2): 39–45. DOI : 10.1002 / nav.3800020106 . ISSN 0028-1441 .

[Cohon2004-77] Джаред Л. Кохон (13 января 2004 г.). Многокритериальное программирование и планирование . Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-43263-2. Проверено 29 мая 2012 года .

[RuzikaWiecek2005-78] Рузика, S .; Вецек, ММ (2005). «Аппроксимационные методы в многокритериальном программировании». Журнал теории оптимизации и приложений . 126 (3): 473–501. DOI : 10.1007 / s10957-005-5494-4 . ISSN 0022-3239 . S2CID 122221156 .

[79] Meisel, WL (1973), JL Cochrane; М. Зеленый (ред.), «Компромиссное решение при принятии решений по множеству критериев», Multiple Criteria Decision Making : 461–476

[LotovBushenkov2004-80] А.В. Лотов; В.А. Бушенков; Каменев Г.К. (29 февраля 2004 г.). Интерактивные карты решений: приближение и визуализация границы Парето . Springer. ISBN 978-1-4020-7631-2. Проверено 29 мая 2012 года .

[81] Веснер, Н. (2017), «Многоцелевая оптимизация с помощью визуализации», Economics Bulletin , 37 (2): 1226–1233

[1]