Парето эффективность

Эффективность по Парето или оптимальность по Парето, как это упоминалось ранее, - это концепция эффективности обмена, в соответствии с которой индивидуальный критерий или критерий предпочтения не может быть улучшен без ухудшения хотя бы одного индивидуального критерия или критерия предпочтения. Для сохранения эффективности по Парето необходимо, чтобы производственная эффективность и обменная эффективность сохранялись; для данного набора товаров нельзя перераспределить их так, чтобы полезность одного индивида увеличивалась без уменьшения полезности другого индивида. [1] Концепция названа в честь Вильфредо Парето (1848–1923), итальянского инженера-строителя и экономиста, который использовал эту концепцию в своих исследованиях экономической эффективности и распределения доходов.

Следующие три концепции тесно связаны:

В исходной ситуации улучшение по Парето - это новая ситуация, когда некоторые агенты выиграют, а агенты не проиграют. [2]

Ситуация называется Парето-доминантной, если существует возможное улучшение по Парето.

Ситуация называется оптимальной по Парето или эффективной по Парето, если никакие изменения не могут привести к большей полезности для одного агента без потери другого агента или если нет возможности для дальнейшего улучшения по Парето. Граница Парето - это набор всех решений, не доминирующих по Парето, для заданного пространства поиска в многоцелевой функции оптимизации, обычно показываемой графически. Он также известен как фронт Парето или набор Парето. [3]

Первоначально Парето использовал слово «оптимальный» для этой концепции, но поскольку он описывает ситуацию, когда ограниченное число людей будет жить лучше при ограниченных ресурсах, и не принимает во внимание равенство или социальное благополучие, он находится в эффект определение и лучше охваченный термином «эффективность». ^[1]

Обзор [ править ]

Распределение является эффективным по Парето, если нет альтернативного распределения, которое приводит к повышению благосостояния хотя бы одного участника без снижения благосостояния любого другого участника. Если существует перенос, который удовлетворяет этому условию, новое перераспределение является улучшением по Парето. Когда улучшения по Парето невозможны, распределение является эффективным по Парето. ^[2]

Формальное представление концепции в экономике следующее: Рассмотрим экономику с агентами и товарами. Тогда распределение , где для всех i , является оптимальным по Парето, если нет другого допустимого распределения, где для функции полезности для каждого агента , для всех с для некоторых . ^[3] Здесь, в этой простой экономике, «осуществимость» относится к распределению, при котором общая сумма каждого выделенного товара не превышает общую сумму товара в экономике. В более сложной экономике с производством распределение будет состоять из обоих векторов потребления.${\ displaystyle n}$${\ displaystyle k}$${\displaystyle \{x_{1},...,x_{n}\}}$${\displaystyle x_{i}\in \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle \{x_{1}',...,x_{n}'\}}$${\displaystyle u_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle u_{i}(x_{i}')\geq u_{i}(x_{i})}$${\displaystyle i\in \{1,...,n\}}$${\displaystyle u_{i}(x_{i}')>u_{i}(x_{i})}$${\displaystyle i}$ и производственные векторы, а осуществимость потребует, чтобы общее количество каждого потребляемого товара не превышало первоначального запаса плюс произведенное количество.

Согласно предположениям первой теоремы о благосостоянии, конкурентный рынок приводит к результату, эффективному по Парето. Этот результат был впервые математически продемонстрирован экономистами Кеннетом Эрроу и Жераром Дебре . ^[4] Однако результат верен только при предположениях теоремы: рынки существуют для всех возможных товаров, нет внешних эффектов; рынки совершенно конкурентны; и участники рынка обладают прекрасной информацией.

В отсутствие точной информации или полных рынков результаты, как правило, будут неэффективными по Парето согласно теореме Гринвальда-Стиглица. ^[5]

Вторая теорема о благосостоянии по сути противоположна первой теореме о благосостоянии. В нем говорится, что при аналогичных идеальных допущениях любой оптимум Парето может быть получен с помощью некоторого конкурентного равновесия или системы свободного рынка, хотя также может потребоваться единовременная передача богатства. ^[6]

Варианты [ править ]

Слабая эффективность по Парето[ редактировать ]

Слабая эффективность по Парето - это ситуация, которую нельзя строго улучшить для каждого человека. ^[7] . Возможное распределение является эффективным, если невозможно улучшить положение кого-либо, не сделав положение кого-то еще хуже. ^[8]

Формально сильное улучшение по Парето определяется как ситуация, в которой все агенты явно выигрывают. Другими словами, выделение является сильно эффективным по Парето, если и только если оно не определяется возможным распределением по Парето. ^[9] В отличие от простого «улучшения по Парето», которое требует, чтобы один агент был строго в лучшем положении, а другие агенты были по крайней мере так же хороши. Ситуация является слабой по Парето, если в ней нет сильных парето-улучшений.

Любое сильное улучшение по Парето также является слабым улучшением по Парето. Противоположное неверно; Например, рассмотрим задачу распределения ресурсов с двумя ресурсами, которые Алиса оценивает как 10, 0, а Джордж - как 5, 5. Рассмотрим распределение, отдающее все ресурсы Алисе, где профиль полезности равен (10,0):

• Это слабый PO, поскольку никакое другое распределение не является строго лучшим для обоих агентов (нет сильных улучшений по Парето).
• Но это не сильный PO, поскольку распределение, при котором Джордж получает второй ресурс, строго лучше для Джорджа и слабо лучше для Алисы (это слабое улучшение по Парето) - его профиль полезности равен (10,5).

Рынок не требует локального нетерпения, чтобы достичь слабого Парето-оптимума. ^[10]

Ограниченная эффективность Парето [ редактировать ]

При определении эффективности по Парето возникают некоторые проблемы в достижении набора возможных распределений, отчасти из-за того, что информация на внутреннем рынке может быть дорогостоящей, а рынки могут быть неполными. ^[11] . Когда рынок неполный, хорошо известно, что конкурентное равновесие, как правило, не приводит к распределению, эффективному по Парето. Чтобы справиться с этим, Питер Даймонд и Джеймс Миррлис теоретизировали эффективность Ограниченного Парето ; Ограничение условий, эффективных по Парето, достижимым набором размещений на рынке. ^[12]

Ограниченная эффективность по Парето - это ослабление парето-оптимальности с учетом того факта, что потенциальный планировщик (например, правительство) не сможет улучшить децентрализованный рыночный результат, даже если этот результат неэффективен. Это произойдет, если оно ограничено теми же информационными или институциональными ограничениями, что и отдельные агенты. ^{[13] : 104}

Примером может служить ситуация, когда люди имеют личную информацию (например, рынок труда, где собственная производительность работника известна работнику, но не потенциальному работодателю, или рынок подержанных автомобилей, где известно качество автомобиля). продавец, но не покупатель), что приводит к моральному риску или неблагоприятному выбору и неоптимальному результату. В таком случае планировщик, желающий улучшить ситуацию, вряд ли будет иметь доступ к какой-либо информации, которой нет у участников рынка. Следовательно, планировщик не может реализовать правила распределения, основанные на идиосинкразических характеристиках людей; например, «если человек относится к типу A, он платит цену p1, но если человек типа B, он платит цену p2» (см. цены Lindahl). По сути, разрешены только анонимные правила (типа «Каждый платит цену p») или правила, основанные на наблюдаемом поведении; «если кто-то выберет x по цене px, он получит субсидию в размере десяти долларов, и ничего иначе». Если не существует разрешенного правила, которое может успешно улучшить рыночный результат, то этот результат считается «эффективным с ограничением по Парето».

Дробная эффективность Парето[ редактировать ]

Дробная эффективность по Парето - это усиление эффективности по Парето в контексте справедливого распределения статей . Распределение неделимых элементов является частично эффективным по Парето (fPE или fPO), если в нем не преобладает Парето даже при распределении, в котором некоторые элементы разделены между агентами. Это контрастирует со стандартной парето-эффективностью, которая учитывает только доминирование возможных (дискретных) распределений. ^{[14] [15]} . Для распределения неделимых благ верно, что фракционная эффективность Парето и свобода от зависти достигаются, когда максимизируют благосостояние Нэша по всем возможным распределениям благ ^[16] .

В качестве примера рассмотрим задачу распределения элементов с двумя элементами, которые Алиса оценивает в 3, 2, а Джордж - в 4, 1. Рассмотрим распределение, дающее первый элемент Алисе, а второй Джорджу, где профиль полезности равен (3 , 1):

• Он эффективен по Парето, поскольку любое другое дискретное распределение (без разделения элементов) ухудшает положение кого-то.
• Однако он не является частично-Парето-эффективным, поскольку в нем преобладает Парето за счет распределения, дающего Алисе 1/2 первого элемента и весь второй элемент, а другую половину первого элемента Джорджу - его служебный профиль (3.5, 2).

Эффективность по Парето ex-ante и ex-post [ править ]

Когда процесс принятия решения является случайным, например, при справедливом случайном распределении , существует разница между фактической и предварительной парето-эффективностью.: Если потребитель делает выбор, чтобы максимизировать ожидаемую полезность при ограничении бюджета, и достигнутое распределение таково, что ожидаемая полезность одного трейдера не может быть увеличена без уменьшения полезности другого трейдера, то это распределение является прогнозируемым по Парето. В отличие от этого, фактическое распределение по Парето - это когда никакое перераспределение реальных товаров не увеличит реализованную полезность одного трейдера без уменьшения реализованной полезности другого трейдера. В целом различие между эффективностью ex-ante и ex-post заключается в том, что эффективное распределение ex-ante - это распределение, которое прогнозируется, а эффективное распределение ex-post - это распределение, которое было реализовано с реальными товарами. ^[17]

Если какая-то лотерея L является предварительной PE, то она также является PE ex-post. Доказательство : Предположим , что один из экс-пост результата х из L Парето доминирует какой - либо другой исход у . Затем, путь перемещения некоторой вероятность массы от й к у , он достигает другую лотерея L» , который Авансовое Парето- доминирует л .

Обратное неверно: прогнозируемый ПЭ сильнее, чем прогнозируемый ПЭ. Например, предположим, что есть два объекта - машина и дом. Алиса оценивает машину в 2, а дом в 3; Джордж оценивает машину в 2, а дом в 9. Рассмотрим следующие две лотереи:

1. С вероятностью 1/2 отдать машину Алисе и дом Джорджу; в противном случае отдайте машину Джорджу, а дом - Алисе. Ожидаемая полезность составляет (2/2 + 3/2) = 2,5 для Алисы и (2/2 + 9/2) = 5,5 для Джорджа. Обе выплаты производятся ex-post PE, поскольку тот, кто получил машину, не может стать лучше, не причинив вреда тому, кто получил дом.
2. С вероятностью 1 отдать машину Алисе. Затем с вероятностью 1/3 отдайте дом Алисе, иначе - Джорджу. Ожидаемая полезность составляет (2 + 3/3) = 3 для Алисы и (9 * 2/3) = 6 для Джорджа. Опять же, оба распределения производятся ex-post PE.

В то время как обе лотереи являются ПЭ ex-post, лотерея 1 не является предварительным PE, поскольку в лотерее 2 преобладает Парето.

Приблизительная эффективность по Парето [ править ]

Результат называется ε-Парето- эффективным, если существует другой результат, который улучшает всех игроков по крайней мере на ε-фактор. При некотором ε > 0 результат называется ε- Парето-эффективным, если никакой другой результат не дает всем агентам по крайней мере такая же полезность, а у одного агента полезность как минимум на (1+ ε ) выше. Это отражает представление о том, что улучшения меньше (1+ ε ) незначительны и не должны рассматриваться как нарушение эффективности. в ε-Парето-эффективном исходе все игроки могут одновременно улучшить свой результат не менее чем в ε раз. При ε-Парето-эффективном исходе невозможно улучшить всех игроков одновременно более чем на ε ^[18].

Парето-эффективность и максимизация благосостояния [ править ]

Предположим, что каждому агенту i присвоен положительный вес a _i . Для каждого распределения х , определяет благополучие по й , как взвешенной сумме полезности всех агентов в й , а именно:

${\displaystyle W_{a}(x):=\sum _{i=1}^{n}a_{i}u_{i}(x)}$.

Пусть x _a будет распределением, которое максимизирует благосостояние по всем распределениям, то есть:

${\displaystyle x_{a}\in \arg \max _{x}W_{a}(x)}$.

Легко показать, что распределение x _a является парето-эффективным: поскольку все веса положительны, любое улучшение по Парето увеличит сумму, что противоречит определению x _a .

Японский экономист- неовальрасианец Такаши Негиши доказал ^[19], что при определенных предположениях верно и обратное: для любого эффективного по Парето распределения x существует положительный вектор a, такой что x максимизирует W _a . Более короткое доказательство предоставлено Хэлом Варианом . ^[20]

Использование в машиностроении [ править ]

Понятие эффективности по Парето использовалось в технике. ^{[21] : 111-148} Учитывая множество вариантов и способ оценки их, граница Парето или множество Парето или парето фронт есть множество вариантов , которые являются эффективными по Парето. Ограничивая внимание набором вариантов, которые эффективны по Парето, разработчик может пойти на компромиссы в рамках этого набора, а не рассматривать полный диапазон каждого параметра. ^{[22] : 63–65}

Граница Парето [ править ]

Для данной системы граница Парето или множество Парето - это набор параметризаций (распределений), которые все являются эффективными по Парето. Определение границ Парето особенно полезно в инженерии. Предлагая все потенциально оптимальные решения, разработчик может идти на компромисс в рамках этого ограниченного набора параметров, вместо того, чтобы учитывать полный диапазон параметров. ^{[23] : 399–412}

Границу Парето P ( Y ) можно более формально описать следующим образом. Рассмотрим систему с функцией , где X - это компактное множество допустимых решений в метрическом пространстве , а Y - допустимое множество критериальных векторов в , такое что .${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle Y=\{y\in \mathbb {R} ^{m}:\;y=f(x),x\in X\;\}}$

Мы предполагаем, что известны предпочтительные направления значений критериев. Точка предпочтительнее (строго доминирует) над другой точкой , записанной как . Граница Парето, таким образом, записывается как:${\displaystyle y^{\prime \prime }\in \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle y^{\prime }\in \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle y^{\prime \prime }\succ y^{\prime }}$

${\displaystyle P(Y)=\{y^{\prime }\in Y:\;\{y^{\prime \prime }\in Y:\;y^{\prime \prime }\succ y^{\prime },y^{\prime }\neq y^{\prime \prime }\;\}=\emptyset \}.}$

Предельная ставка замещения [ править ]

Важным аспектом границы Парето в экономике является то, что при распределении, эффективном по Парето, предельная норма замещения одинакова для всех потребителей. ^[24] Формальное утверждение может быть получено путем рассмотрения системы с m потребителями и n товарами, а также функцией полезности каждого потребителя как где - вектор товаров для всех i . Ограничение осуществимости для . Чтобы найти оптимальное по Парето распределение, мы максимизируем лагранжиан :${\displaystyle z_{i}=f^{i}(x^{i})}$${\displaystyle x^{i}=(x_{1}^{i},x_{2}^{i},\ldots ,x_{n}^{i})}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}x_{j}^{i}=b_{j}}$${\displaystyle j=1,\ldots ,n}$

${\displaystyle L_{i}((x_{j}^{k})_{k,j},(\lambda _{k})_{k},(\mu _{j})_{j})=f^{i}(x^{i})+\sum _{k=2}^{m}\lambda _{k}(z_{k}-f^{k}(x^{k}))+\sum _{j=1}^{n}\mu _{j}\left(b_{j}-\sum _{k=1}^{m}x_{j}^{k}\right)}$

где и - векторы множителей. Взяв частную производную лагранжиана по каждому благу для и и дает следующую систему условий первого порядка:${\displaystyle (\lambda _{k})_{k}}$${\displaystyle (\mu _{j})_{j}}$${\displaystyle x_{j}^{k}}$${\displaystyle j=1,\ldots ,n}$${\displaystyle k=1,\ldots ,m}$

${\displaystyle {\frac {\partial L_{i}}{\partial x_{j}^{i}}}=f_{x_{j}^{i}}^{1}-\mu _{j}=0{\text{ for }}j=1,\ldots ,n,}$

${\displaystyle {\frac {\partial L_{i}}{\partial x_{j}^{k}}}=-\lambda _{k}f_{x_{j}^{k}}^{i}-\mu _{j}=0{\text{ for }}k=2,\ldots ,m{\text{ and }}j=1,\ldots ,n,}$

где обозначает частную производную по . Теперь исправим любые и . Из приведенного выше условия первого порядка следует, что${\displaystyle f_{x_{j}^{i}}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{j}^{i}}$${\displaystyle k\neq i}$${\displaystyle j,s\in \{1,\ldots ,n\}}$

${\displaystyle {\frac {f_{x_{j}^{i}}^{i}}{f_{x_{s}^{i}}^{i}}}={\frac {\mu _{j}}{\mu _{s}}}={\frac {f_{x_{j}^{k}}^{k}}{f_{x_{s}^{k}}^{k}}}.}$

Таким образом, при оптимальном по Парето распределении предельная норма замещения должна быть одинаковой для всех потребителей. ^[25]

Вычисление [ править ]

Алгоритмы вычисления границы Парето конечного набора альтернатив изучаются в информатике и энергетике. ^[26] Они включают:

• «Задача максимального вектора» или запрос горизонта . ^{[27] [28] [29]}
• «Алгоритм скаляризации» или метод взвешенных сумм. ^{[30] [31]}
• «Метод -ограничений». ^{[32] [33]}${\displaystyle \epsilon }$

Использование в общественной политике [ править ]

Современная микроэкономическая теория во многом черпала вдохновение из эффективности Парето. Поскольку Парето показал, что равновесие, достигнутое за счет конкуренции, оптимизирует распределение ресурсов, это эффективно подтверждает идею Адама Смита о «невидимой руке». В частности, это послужило причиной дебатов о «рыночном социализме» в 1930-х годах. ^[34]

Использование в биологии [ править ]

Оптимизация Парето также изучалась в биологических процессах. ^{[35] : 87–102} Было показано, что у бактерий гены либо недороги в изготовлении (эффективность ресурсов), либо их легче читать (эффективная трансляция). Естественный отбор подталкивает высокоэкспрессируемые гены к границе Парето с точки зрения использования ресурсов и эффективности трансляции. ^{[36] : 166–169} Гены вблизи границы Парето также эволюционировали медленнее (что указывает на то, что они обеспечивают селективное преимущество). ^[37]

Распространенные заблуждения [ править ]

Было бы неправильно рассматривать эффективность Парето как эквивалент социальной оптимизации ^{[38] : 358–364,} поскольку последняя является нормативной концепцией, которая является предметом интерпретации, которая обычно учитывает последствия степени неравенства распределения. ^{[39] : 10–15} Примером может служить интерпретация одного школьного округа с низкими доходами от налога на имущество по сравнению с другим с гораздо более высокими доходами как признак того, что более равномерное распределение происходит с помощью государственного перераспределения. ^{[40] : 95–132}

Критика [ править ]

В этом разделе представлены критические замечания, от самых радикальных до более умеренных.

Некоторые комментаторы утверждают, что эффективность Парето потенциально может служить идеологическим инструментом. Поскольку это подразумевает, что капитализм саморегулируется, вполне вероятно, что встроенные структурные проблемы, такие как безработица, будут рассматриваться как отклоняющиеся от равновесия или нормы и, таким образом, игнорироваться или не учитываться. ^[34]

Эффективность по Парето не требует полностью справедливого распределения богатства, что является еще одним аспектом, вызывающим критику. ^{[41] : 222} Экономика, в которой немногие богатые владеют подавляющим большинством ресурсов.может быть эффективным по Парето. Простой пример - раздача пирога между тремя людьми. При наиболее справедливом распределении каждому человеку должна быть назначена треть. Однако назначение, скажем, полусекции каждому из двух индивидов и ни одной третьей также является оптимальным по Парето, несмотря на то, что это несправедливо, потому что ни один из получателей не может стать лучше без уменьшения доли кого-то другого; и есть много других примеров такого распространения. Примером неэффективного распределения пирога по Парето может быть распределение четверти пирога между каждым из трех с отбрасыванием остатка. ^{[42] : 18}

Либеральный парадокс , разработанные Амартия Sen показывает , что , когда у людей есть предпочтения относительно того, что делают другие люди, цель эффективности Парето может вступить в конфликт с целью индивидуальной свободы. ^{[43] : 92–94}

Наконец, предполагается, что эффективность по Парето в некоторой степени препятствует обсуждению других возможных критериев эффективности. Как утверждает ученый Локхуд, одна из возможных причин состоит в том, что любые другие критерии эффективности, установленные в неоклассической области, в конечном итоге сводятся к эффективности по Парето. ^[34]

См. Также [ править ]

• Допустимое решающее правило , аналог в теории принятия решений
• Теорема невозможности Эрроу
• Байесовская эффективность
• Основные теоремы экономики благосостояния
• Чистые издержки
• Экономическая эффективность
• Самое лучшее и лучшее использование
• Эффективность Калдора – Хикса
• Провал рынка , когда рыночный результат не является оптимальным по Парето
• Максимальный элемент , понятие в теории порядка
• Максимумы набора точек
• Многоцелевая оптимизация
• Парето-эффективное деление без зависти
• Социальный выбор и индивидуальные ценности для «(слабого) принципа Парето»
• ТОТРЕП
• Экономика благосостояния

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Фуденберг, Дрю ; Тироль, Жан (1991). Теория игр . Кембридж, Массачусетс: MIT Press . С.  18–23 . ISBN 9780262061414. Предварительный просмотр книги.
• Бендор, Джонатан; Мукхерджи, Дилип (апрель 2008 г.). «Коммунитарные против универсалистских норм». Ежеквартальный журнал политологии . 3 (1): 33–61. DOI : 10.1561 / 100.00007028 .
• Канбур, Рави (январь – июнь 2005 г.). «Месть Парето» (PDF) . Журнал социально-экономического развития . 7 (1): 1–11.
• Нг, Ю-Кванг (2004). Экономика благосостояния в сторону более полного анализа . Бейзингсток, Гэмпшир, Нью-Йорк: Пэлгрейв Макмиллан. ISBN 9780333971215.
• Рубинштейн, Ариэль ; Осборн, Мартин Дж. (1994), «Введение», у Рубинштейна, Ариэля ; Осборн, Мартин Дж. (Ред.), Курс теории игр , Кембридж, Массачусетс: MIT Press, стр. 6–7, ISBN 9780262650403 Предварительный просмотр книги.
• Матур, Виджай К. (весна 1991 г.). «Насколько хорошо мы знаем оптимальность по Парето?». Журнал экономического образования . 22 (2): 172–178. DOI : 10.2307 / 1182422 . JSTOR  1182422 .
• Ньюбери, Дэвид М.Г .; Стиглиц, Джозеф Э. (январь 1984 г.). «Низшая торговля по Парето». Обзор экономических исследований . 51 (1): 1–12. DOI : 10.2307 / 2297701 . JSTOR  2297701 .