Векторная оптимизация

Векторная оптимизация - это подобласть математической оптимизации, в которой задачи оптимизации с векторными целевыми функциями оптимизируются с учетом заданного частичного упорядочения и с учетом определенных ограничений. Многоцелевой оптимизации задача является частным случаем задачи векторной оптимизации: Цель пространство является конечномерным евклидовым пространством частично упорядочено покомпонентной «меньше или равно» упорядоченности.

Постановка проблемы [ править ]

Математически задача векторной оптимизации может быть записана как:

${\ displaystyle C \ operatorname {-} \ min _ {x \ in S} f (x)}$

где для частично упорядоченного векторного пространства . Частичное упорядочение индуцируется конусом . является произвольным множеством и называется допустимым множеством.${\ displaystyle f: от X \ до Z}$ ${\ displaystyle Z}$${\ Displaystyle C \ substeq Z}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle S \ substeq X}$

Концепции решения [ править ]

Существуют разные понятия минимальности, среди них:

• ${\ displaystyle {\ bar {x}} \ in S}$является слабоэффективной точкой (слабый минимизатор), если для каждого есть .${\ displaystyle x \ in S}$${\ displaystyle f (x) -f ({\ bar {x}}) \ not \ in - \ operatorname {int} C}$
• ${\ displaystyle {\ bar {x}} \ in S}$является эффективной точкой (минимизант) , если для каждого из них имеет .${\ displaystyle x \ in S}$${\ displaystyle f (x) -f ({\ bar {x}}) \ not \ in -C \ backslash \ {0 \}}$
• ${\ displaystyle {\ bar {x}} \ in S}$является правильно эффективной точкой (собственным минимизатором), если является слабо эффективной точкой относительно замкнутого заостренного выпуклого конуса, где .${\ displaystyle {\ bar {x}}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {C}}}$${\ Displaystyle C \ обратная косая черта \ {0 \} \ substeq \ operatorname {int} {\ tilde {C}}}$

Каждый правильный минимизатор - это минимизатор. И каждый минимайзер - это слабый минимайзер. ^[1]

Современные концепции решения не только состоят из понятий минимальности, но также учитывают достижение инфимума . ^[2]

Способы решения [ править ]

• Алгоритм Бенсона для задач линейной векторной оптимизации. ^[2]

Отношение к многоцелевой оптимизации [ править ]

Любую многокритериальную задачу оптимизации можно записать как

${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+} ^ {d} \ operatorname {-} \ min _ {x \ in M} f (x)}$

где и является неотрицательным ортант из . Таким образом, минимизатором этой задачи векторной оптимизации являются точки, эффективные по Парето .${\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {R} ^ {d}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {+} ^ {d}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$

Ссылки [ править ]