Слабая производная

Эта статья включает в себя список ссылок , связанных материалов или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Май 2014 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике , А слабая производная является обобщением концепции производной из функции ( сильной производной ) для функций не предполагается дифференцируемой , но только интегрируема , т.е. лежат в L ^р пространства . Смотрите дистрибутивы для более общего определения.${\displaystyle L^{1}([a,b])}$

Определение [ править ]

Позвольте быть функцией в пространстве Лебега . Мы говорим, что in - слабая производная от if${\displaystyle u}$ ${\displaystyle L^{1}([a,b])}$${\displaystyle v}$${\displaystyle L^{1}([a,b])}$${\displaystyle u}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}u(t)\varphi '(t)\,dt=-\int _{a}^{b}v(t)\varphi (t)\,dt}$

для всех бесконечно дифференцируемых функций с . Это определение мотивировано интеграционной техникой интеграции по частям .${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi (a)=\varphi (b)=0}$

Обобщая до размеров, если и в пространстве от локально интегрируемых функций на некоторое открытом множество , и если это многоиндексный , мы говорим , что это -слабое производный , если${\displaystyle n}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle L_{\text{loc}}^{1}(U)}$ ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle v}$${\displaystyle \alpha ^{\text{th}}}$${\displaystyle u}$

${\displaystyle \int _{U}uD^{\alpha }\varphi =(-1)^{|\alpha |}\int _{U}v\varphi ,}$

для всех , то есть для всех бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем в . Здесь определяется как${\displaystyle \varphi \in C_{c}^{\infty }(U)}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle U}$${\displaystyle D^{\alpha }\varphi }$

${\displaystyle \qquad D^{\alpha }\varphi ={\frac {\partial ^{|\alpha |}\varphi }{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}.}$

Если имеет слабую производную, ее часто пишут, поскольку слабые производные уникальны (по крайней мере, до набора меры нуль , см. Ниже).${\displaystyle u}$${\displaystyle D^{\alpha }u}$

Примеры [ править ]

• Абсолютное значение функции U  : [-1, 1] → [0, 1], U ( т ) = | t |, которая не дифференцируема при t  = 0, имеет слабую производную v, известную как знаковая функция, определяемая формулой

${\displaystyle v\colon [-1,1]\to [-1,1];\quad t\mapsto v(t)={\begin{cases}1,&{\text{if }}t>0;\\0,&{\text{if }}t=0;\\-1,&{\text{if }}t<0.\end{cases}}}$

Это не единственная слабая производная для u : любая w, которая почти всюду равна v , также является слабой производной для u . Как правило, это не проблема, так как в теории L ^р пространств и пространств Соболева , функции, равные почти всюду определены.

• Характеристическая функция рациональных чисел нигде не дифференцируемая но имеет слабую производную. Поскольку мера Лебега рациональных чисел равна нулю,${\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }}$

${\displaystyle \int 1_{\mathbb {Q} }(t)\varphi (t)\,dt=0.}$

Таким образом, это слабая производная от . Обратите внимание, что это действительно согласуется с нашей интуицией, поскольку при рассмотрении в качестве члена пространства Lp отождествляется с нулевой функцией.${\displaystyle v(t)=0}$${\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }}$${\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }}$

• Функция Кантора c не имеет слабой производной, хотя почти всюду дифференцируема. Это связано с тем, что любая слабая производная от c должна быть почти всюду равна классической производной от c , которая почти всюду равна нулю. Но нулевая функция не является слабой производной от c , как можно увидеть, сравнив с соответствующей тестовой функцией . Теоретически c не имеет слабой производной, потому что ее производная по распределению , а именно распределение Кантора , является сингулярной мерой и, следовательно, не может быть представлена ​​функцией.${\displaystyle \varphi }$

Свойства [ править ]

Если две функции являются слабыми производными одной и той же функции, они равны, за исключением множества с нулевой мерой Лебега , т. Е. Они равны почти всюду . Если мы рассматриваем классы эквивалентности функций такие, что две функции эквивалентны, если они равны почти всюду, то слабая производная единственна.

Кроме того, если u дифференцируема в обычном смысле, то ее слабая производная идентична (в смысле, указанном выше) ее обычной (сильной) производной. Таким образом, слабая производная является обобщением сильной. Кроме того, классические правила для производных сумм и произведений функций также верны для слабой производной.

Расширения [ править ]

Это понятие приводит к определению слабых решений в пространствах Соболева , которые полезны для задач дифференциальных уравнений и функционального анализа .

См. Также [ править ]

• Субпроизводная
• Лемма Вейля (уравнение Лапласа)

Ссылки [ править ]

• Gilbarg, D .; Трудингер, Н. (2001). Эллиптические уравнения в частных производных второго порядка . Берлин: Springer. п. 149 . ISBN 3-540-41160-7.
• Эванс, Лоуренс К. (1998). Уравнения с частными производными . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. п. 242 . ISBN 0-8218-0772-2.
• Knabner, Питер; Ангерманн, Лутц (2003). Численные методы решения эллиптических и параболических уравнений в частных производных . Нью-Йорк: Спрингер. п. 53 . ISBN 0-387-95449-X.