В математике , то функция знак или знаковая функция (от Signum , латинская для «знака») является нечетной математической функцией , которая извлекает знак из более действительного числа . В математических выражениях знаковая функция часто представлена как sgn .
Определение [ править ]
Знаковая функция действительного числа x определяется следующим образом:
Свойства [ править ]
Любое действительное число может быть выражено как произведение его абсолютного значения и его функции знака:
Отсюда следует, что всякий раз, когда x не равно 0, мы имеем
Аналогично, для любого вещественного числа х ,
Мы также можем констатировать, что:
Знаковая функция - это производная от функции абсолютного значения с точностью до (но не включая) неопределенности в нуле. Более формально, в теории интегрирования это слабая производная , а в теории выпуклых функций субдифференциал абсолютного значения в 0 - это интервал [-1, 1] , «заполняющий» знаковую функцию (субдифференциал абсолютного значения равен не однозначный в 0). Обратите внимание, что результирующая степень x равна 0, как и обычная производная x . Числа отменяются, и все, что у нас остается, - это знак x .
Сигнум-функция дифференцируема с производной 0 всюду, кроме точки 0. Она не дифференцируема в 0 в обычном смысле, но согласно обобщенному понятию дифференцирования в теории распределения производная сигнум-функции в два раза больше дельта-функции Дирака , что можно продемонстрировать с помощью идентичности
где H ( x ) - ступенчатая функция Хевисайда с использованием стандартной H (0) =1/2формализм. Используя это тождество, легко вывести производную по распределению:
Преобразование Фурье сигнум-функции [3]
- ,
где p. v. означает главное значение Коши .
Знак также можно записать в скобках Айверсона :
Знак также можно записать с помощью функций пола и абсолютного значения :
При k ≫ 1 гладкая аппроксимация знаковой функции имеет вид
Другое приближение
который становится более резким при ε → 0 ; обратите внимание, что это производная от √ x 2 + ε 2 . Это основано на том факте, что указанное выше в точности равно для всех ненулевых x, если ε = 0 , и имеет преимущество простого обобщения на многомерные аналоги знаковой функции (например, частные производные √ x 2 + y 2 ).
См. Ступенчатая функция Хевисайда - Аналитические приближения .
Комплексный сигнал [ править ]
Сигнальную функцию можно обобщить на комплексные числа как:
для любого комплексного числа z, кроме z = 0 . Сигнум данного комплексного числа г является точкой на единичной окружности в комплексной плоскости , которая является ближайшей к г . Тогда для г ≠ 0 ,
где arg - функция комплексного аргумента .
Из соображений симметрии и для сохранения правильного обобщения сигнум-функции на вещественные числа, также в комплексной области, обычно определяемой для z = 0 :
Другое обобщение функции знака для вещественных и сложных выражений - csgn , [4], которое определяется как:
где Re ( z ) - действительная часть z, а Im ( z ) - мнимая часть z .
Тогда (при z ≠ 0 ) имеем :
Обобщенная сигнум-функция [ править ]
При действительных значениях x можно определить обобщенную функцию - вариант сигнум-функции ε ( x ) такую, что ε ( x ) 2 = 1 всюду, в том числе в точке x = 0 , в отличие от sgn , для которой ( знак 0) 2 = 0 . Этот обобщенный знак позволяет построить алгебру обобщенных функций , но цена такого обобщения - потеря коммутативности . В частности, обобщенные сигнум-антикоммутируют с дельта-функцией Дирака [5]
кроме того, ε ( x ) нельзя вычислить при x = 0 ; и специальное имя ε необходимо, чтобы отличать ее от функции sgn . ( ε (0) не определено, но sign 0 = 0. )
См. Также [ править ]
- Абсолютная величина
- Функция Хевисайда
- Отрицательное число
- Прямоугольная функция
- Сигмовидная функция ( Hard sigmoid )
- Шаговая функция ( кусочно-постоянная функция )
- Трехстороннее сравнение
- Нулевой переход
Примечания [ править ]
- ^ Вайсштейн, Эрик В. "Знак" . MathWorld .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. "Ступенчатая функция Хевисайда" . MathWorld .
- ^ Берроуз, BL; Колвелл, ди-джей (1990). «Преобразование Фурье единичной ступенчатой функции». Международный журнал математического образования в науке и технологиях . 21 (4): 629-635. DOI : 10.1080 / 0020739900210418 .
- ^ Документация по Maple V. 21 мая 1998 г.
- ^ Yu.M.Shirokov (1979). «Алгебра одномерных обобщенных функций» . TMF . 39 (3): 471–477. DOI : 10.1007 / BF01017992 . Архивировано из оригинала на 2012-12-08.