Функции пола и потолка

Функции пола и потолка

Функция потолка

В математике и информатике , то функция пола является функция , которая принимает в качестве входных действительное число , и дает в качестве вывода наибольшее целое число меньше или равно , обозначенная или . Точно так же функция потолка отображается на наименьшее целое число, большее или равное , обозначаемое или . ^[1]${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ operatorname {floor} (x)}$${\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ operatorname {ceil} (x)}$${\displaystyle \lceil x\rceil }$

Например, и , пока .${\displaystyle \operatorname {floor} (2.4)=\lfloor 2.4\rfloor =2}$${\displaystyle \operatorname {ceil} (2.4)=\lceil 2.4\rceil =3}$${\displaystyle \lfloor 2\rfloor =\lceil 2\rceil =2}$

Неотъемлемая часть или целая часть от х , часто обозначается это , если х является неотрицательной, а в противном случае. Проще говоря, это целое число, имеющее наибольшее абсолютное значение, меньшее или равное абсолютному значению x .${\displaystyle [x],}$${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$${\displaystyle \lceil x\rceil }$

Обозначение [ править ]

Неотъемлемая часть или целая часть числа ( партии Специального entière в оригинале) была впервые определена в 1798 годом Лежандра в своем доказательстве формулы Лежандра .

Карл Фридрих Гаусс ввел обозначение квадратных скобок в своем третьем доказательстве квадратичной взаимности (1808). ^[2] Это оставалось стандартом ^[3] в математике до тех пор, пока Кеннет Э. Айверсон не представил в своей книге «Язык программирования» 1962 года названия «пол» и «потолок» и соответствующие обозначения и . ^{[4] [5]} Оба обозначения теперь используются в математике, ^[6] хотя обозначения Айверсона будут использоваться в этой статье.${\displaystyle [x]}$${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$${\displaystyle \lceil x\rceil }$

В некоторых источниках для пола используются полужирные или двойные скобки , а для потолка - перевернутые скобки или] x [. ^{[7] [8]} Иногда используется для обозначения функции округления до нуля. ^{[ необходима цитата ]}${\displaystyle [\![x]\!]}$${\displaystyle ]\!]x[\![}$${\displaystyle [x]}$

Дробная часть является функцией пилообразной , обозначается для реального х и определяется формулой ^[9]${\displaystyle \{x\}}$

${\displaystyle \{x\}=x-\lfloor x\rfloor .}$

Для всех х ,

${\displaystyle 0\leq \{x\}<1.}$

Примеры [ править ]

Икс	Этаж ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$	Потолок ${\displaystyle \lceil x\rceil }$	Дробная часть ${\displaystyle \{x\}}$
2	2	2	0
2,4	2	3	0,4
2,9	2	3	0,9
−2,7	−3	−2	0,3
−2	−2	−2	0

Верстка [ править ]

Функции пола и потолка обычно набираются с помощью левой и правой квадратных скобок, где отсутствуют верхние (для функции пола) или нижние (для функции потолка) горизонтальные полосы ( для пола и потолка). Эти символы представлены в Юникоде: ${\displaystyle \lfloor \,\rfloor }$${\displaystyle \lceil \,\rceil }$

• U + 2308 ⌈ ЛЕВЫЙ ПОТОЛОК (HTML ⌈  · ⌈, ⌈ )
• U + 2309 ⌉ ПОТОЛОК ПРАВЫЙ (HTML ⌉  · ⌉, ⌉ )
• U + 230A ⌊ ЛЕВЫЙ ЭТАЖ (HTML ⌊  · ⌊, ⌊ )
• U + 230B ⌋ ПРАВЫЙ ЭТАЖ (HTML ⌋  · ⌋, ⌋ )

В системе набора текста LaTeX эти символы могут быть указаны с помощью команд \ lfloor, \ rfloor, \ lceil и \ rceil в математическом режиме.

Определение и свойства [ править ]

Учитывая действительные числа x и y , целые числа k , m , n и набор целых чисел , пол и потолок могут быть определены уравнениями${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \lfloor x\rfloor =\max\{m\in \mathbb {Z} \mid m\leq x\},}$

${\displaystyle \lceil x\rceil =\min\{n\in \mathbb {Z} \mid n\geq x\}.}$

Поскольку в полуоткрытом интервале длины один находится ровно одно целое число , для любого действительного числа x существуют уникальные целые числа m и n, удовлетворяющие уравнению

${\displaystyle x-1<m\leq x\leq n<x+1.}$

где  и  может также использоваться как определение пола и потолка.${\displaystyle \lfloor x\rfloor =m}$${\displaystyle \lceil x\rceil =n}$

Эквивалентности [ править ]

Эти формулы можно использовать для упрощения выражений, связанных с полом и потолком. ^[10]

${\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x\rfloor =m&\;\;{\mbox{ if and only if }}&m&\leq x<m+1,\\\lceil x\rceil =n&\;\;{\mbox{ if and only if }}&n-1&<x\leq n,\\\lfloor x\rfloor =m&\;\;{\mbox{ if and only if }}&x-1&<m\leq x,\\\lceil x\rceil =n&\;\;{\mbox{ if and only if }}&x&\leq n<x+1.\end{aligned}}}$

На языке теории порядка нижняя функция - это остаточное отображение , то есть часть связности Галуа : это верхнее сопряжение функции, которая вкладывает целые числа в действительные числа.

${\displaystyle {\begin{aligned}x<n&\;\;{\mbox{ if and only if }}&\lfloor x\rfloor &<n,\\n<x&\;\;{\mbox{ if and only if }}&n&<\lceil x\rceil ,\\x\leq n&\;\;{\mbox{ if and only if }}&\lceil x\rceil &\leq n,\\n\leq x&\;\;{\mbox{ if and only if }}&n&\leq \lfloor x\rfloor .\end{aligned}}}$

Эти формулы показывают, как добавление целых чисел к аргументам влияет на функции:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x+n\rfloor &=\lfloor x\rfloor +n,\\\lceil x+n\rceil &=\lceil x\rceil +n,\\\{x+n\}&=\{x\}.\end{aligned}}}$

Вышеупомянутое никогда не бывает верным, если n не является целым числом; однако для любых x и y выполняются следующие неравенства:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor &\leq \lfloor x+y\rfloor \leq \lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor +1,\\\lceil x\rceil +\lceil y\rceil -1&\leq \lceil x+y\rceil \leq \lceil x\rceil +\lceil y\rceil .\end{aligned}}}$

Отношения между функциями [ править ]

Из определений ясно, что

${\displaystyle \lfloor x\rfloor \leq \lceil x\rceil ,}$   с равенством тогда и только тогда, когда x является целым числом, т. е.

${\displaystyle \lceil x\rceil -\lfloor x\rfloor ={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\mbox{ if }}x\not \in \mathbb {Z} \end{cases}}}$

Фактически, для целых n функции пола и потолка идентичны :

${\displaystyle \lfloor n\rfloor =\lceil n\rceil =n.}$

Отрицание аргумента меняет пол и потолок и меняет знак:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x\rfloor +\lceil -x\rceil &=0\\-\lfloor x\rfloor &=\lceil -x\rceil \\-\lceil x\rceil &=\lfloor -x\rfloor \end{aligned}}}$

и:

${\displaystyle \lfloor x\rfloor +\lfloor -x\rfloor ={\begin{cases}0&{\text{if }}x\in \mathbb {Z} \\-1&{\text{if }}x\not \in \mathbb {Z} ,\end{cases}}}$

${\displaystyle \lceil x\rceil +\lceil -x\rceil ={\begin{cases}0&{\text{if }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\text{if }}x\not \in \mathbb {Z} .\end{cases}}}$

Отрицание аргумента дополняет дробную часть:

${\displaystyle \{x\}+\{-x\}={\begin{cases}0&{\text{if }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\text{if }}x\not \in \mathbb {Z} .\end{cases}}}$

Функции пола, потолка и дробной части идемпотентны :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\Big \lfloor }\lfloor x\rfloor {\Big \rfloor }&=\lfloor x\rfloor ,\\{\Big \lceil }\lceil x\rceil {\Big \rceil }&=\lceil x\rceil ,\\{\Big \{}\{x\}{\Big \}}&=\{x\}.\end{aligned}}}$

Результатом вложенных функций пола или потолка является самая внутренняя функция:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\Big \lfloor }\lceil x\rceil {\Big \rfloor }&=\lceil x\rceil ,\\{\Big \lceil }\lfloor x\rfloor {\Big \rceil }&=\lfloor x\rfloor \end{aligned}}}$

из-за свойства идентичности для целых чисел.

Коэффициенты [ править ]

Если m и n целые числа и n 0,

${\displaystyle 0\leq \left\{{\frac {m}{n}}\right\}\leq 1-{\frac {1}{|n|}}.}$

Если n - целое положительное число ^[11]

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {x+m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {\lfloor x\rfloor +m}{n}}\right\rfloor ,}$

${\displaystyle \left\lceil {\frac {x+m}{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {\lceil x\rceil +m}{n}}\right\rceil .}$

Если m положительно ^[12]

${\displaystyle n=\left\lceil {\frac {n}{m}}\right\rceil +\left\lceil {\frac {n-1}{m}}\right\rceil +\dots +\left\lceil {\frac {n-m+1}{m}}\right\rceil ,}$

${\displaystyle n=\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor .}$

При m = 2 это означает

${\displaystyle n=\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor +\left\lceil {\frac {n}{2}}\right\rceil .}$

В более общем смысле, ^[13] для положительного m (см . Тождество Эрмита )

${\displaystyle \lceil mx\rceil =\left\lceil x\right\rceil +\left\lceil x-{\frac {1}{m}}\right\rceil +\dots +\left\lceil x-{\frac {m-1}{m}}\right\rceil ,}$

${\displaystyle \lfloor mx\rfloor =\left\lfloor x\right\rfloor +\left\lfloor x+{\frac {1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor x+{\frac {m-1}{m}}\right\rfloor .}$

Следующее может быть использовано для преобразования полов в потолки и наоборот ( m положительное) ^[14]

${\displaystyle \left\lceil {\frac {n}{m}}\right\rceil =\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor +1,}$

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor =\left\lceil {\frac {n-m+1}{m}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {n+1}{m}}\right\rceil -1,}$

Для всех m и n строго положительных целых чисел: ^{[15] [ нужен лучший источник ]}

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\left\lfloor {\frac {km}{n}}\right\rfloor ={\frac {(m-1)(n-1)+\gcd(m,n)-1}{2}},}$

которая при положительных и взаимно простых m и n сводится к

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\left\lfloor {\frac {km}{n}}\right\rfloor ={\frac {1}{2}}(m-1)(n-1).}$

Поскольку правая часть общего случая симметрична по m и n , отсюда следует, что

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {m}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2m}{n}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(n-1)m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2n}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(m-1)n}{m}}\right\rfloor .}$

В более общем случае, если m и n положительны,

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {m+x}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2m+x}{n}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(n-1)m+x}{n}}\right\rfloor \\=&\left\lfloor {\frac {x}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+x}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2n+x}{m}}\right\rfloor +\cdots +\left\lfloor {\frac {(m-1)n+x}{m}}\right\rfloor .\end{aligned}}}$

Иногда это называют законом взаимности . ^[16]

Вложенные подразделения [ править ]

Для положительного целого числа n и произвольных действительных чисел m , x : ^[17]

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {\lfloor x/m\rfloor }{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {x}{mn}}\right\rfloor }$

${\displaystyle \left\lceil {\frac {\lceil x/m\rceil }{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {x}{mn}}\right\rceil .}$

Продолжение и расширения серий [ править ]

Ни одна из функций , описанных в этой статье , не являются непрерывными , но все они кусочно - линейными : функции , и имеют разрывы в целых числах.${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$${\displaystyle \lceil x\rceil }$${\displaystyle \{x\}}$

${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$  является полунепрерывно сверху и     и   ниже полунепрерывными.${\displaystyle \lceil x\rceil }$${\displaystyle \{x\}}$

Поскольку ни одна из функций, обсуждаемых в этой статье, не является непрерывной, ни одна из них не имеет разложения в степенной ряд . Поскольку пол и потолок не периодичны, они не имеют равномерно сходящихся разложений в ряд Фурье . Функция дробной части имеет разложение в ряд Фурье ^[18]

${\displaystyle \{x\}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}}$

для x не целое число.

В точках разрыва ряд Фурье сходится к значению, которое является средним его пределов слева и справа, в отличие от функций пола, потолка и дробной части: для фиксированного y и кратного x y данный ряд Фурье сходится к y / 2, а не к x  mod  y  = 0. В точках непрерывности ряд сходится к истинному значению.

Используя формулу floor (x) = x - {x}, получаем

${\displaystyle \lfloor x\rfloor =x-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}}$

для x не целое число.

Приложения [ править ]

Оператор модификации [ править ]

Для целого х и положительного целого числа у , в операции по модулю , обозначенном х мод у , дает значение остатка , когда х делится на у . Это определение может быть расширено до вещественных x и y , y 0, по формуле

${\displaystyle x{\bmod {y}}=x-y\left\lfloor {\frac {x}{y}}\right\rfloor .}$

Тогда из определения функции пола следует, что эта расширенная операция удовлетворяет многим естественным свойствам. Примечательно, что x mod y всегда находится между 0 и y , т. Е.

если y положительно,

${\displaystyle 0\leq x{\bmod {y}}<y,}$

и если y отрицательно,

${\displaystyle 0\geq x{\bmod {y}}>y.}$

Квадратичная взаимность [ править ]

Третье доказательство квадратичной взаимности Гаусса , модифицированное Эйзенштейном, состоит из двух основных шагов. ^{[19] [20]}

Пусть p и q - различные положительные нечетные простые числа, и пусть

${\displaystyle m={\frac {p-1}{2}},}$ ${\displaystyle n={\frac {q-1}{2}}.}$

Во-первых, лемма Гаусса используется, чтобы показать, что символы Лежандра задаются формулами

${\displaystyle \left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {q}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2q}{p}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {mq}{p}}\right\rfloor }}$

и

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p}{q}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2p}{q}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {np}{q}}\right\rfloor }.}$

Второй шаг - использовать геометрический аргумент, чтобы показать, что

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {q}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2q}{p}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {mq}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {p}{q}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2p}{q}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {np}{q}}\right\rfloor =mn.}$

Объединение этих формул дает квадратичную взаимность в виде

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{mn}=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}.}$

Существуют формулы, в которых используется floor для выражения квадратичного характера малых чисел по модулю нечетных простых чисел p : ^[21]

${\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p+1}{4}}\right\rfloor },}$

${\displaystyle \left({\frac {3}{p}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p+1}{6}}\right\rfloor }.}$

Округление [ править ]

Для произвольного действительного числа , округление до ближайшего целого числа с галстуком преломлением к положительной бесконечности задаются ; округление в сторону отрицательной бесконечности дается как .${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle {\text{rpi}}(x)=\left\lfloor x+{\tfrac {1}{2}}\right\rfloor =\left\lceil {\tfrac {\lfloor 2x\rfloor }{2}}\right\rceil }$${\displaystyle {\text{rni}}(x)=\left\lceil x-{\tfrac {1}{2}}\right\rceil =\left\lfloor {\tfrac {\lceil 2x\rceil }{2}}\right\rfloor }$

Если разрыв связи отличается от 0, тогда функция округления равна , и округление в сторону четности может быть выражено более громоздким , как это было вышеупомянутое выражение для округления в сторону положительной бесконечности за вычетом индикатора целостности для .${\displaystyle {\text{ri}}(x)=\operatorname {sgn}(x)\left\lfloor |x|+{\tfrac {1}{2}}\right\rfloor }$${\displaystyle \lfloor x\rceil =\left\lfloor x+{\tfrac {1}{2}}\right\rfloor +\left\lceil {\tfrac {2x-1}{4}}\right\rceil -\left\lfloor {\tfrac {2x-1}{4}}\right\rfloor -1}$${\displaystyle {\text{rpi}}(x)}$ ${\displaystyle {\tfrac {2x-1}{4}}}$

Усечение [ править ]

Усечение положительного числа дается усечение отрицательного числа дается . Очевидно, что усечение - это само по себе .${\displaystyle \lfloor x\rfloor .}$${\displaystyle \lceil x\rceil }$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 0}$

Усечение любого действительного числа может быть задано выражением:, где sgn - знаковая функция .${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)\lfloor |x|\rfloor }$

Количество цифр [ править ]

Количество цифр в базе b положительного целого числа k равно

${\displaystyle \lfloor \log _{b}{k}\rfloor +1=\lceil \log _{b}{(k+1)}\rceil .}$

Факторы факториалов [ править ]

Пусть n - натуральное число, а p - положительное простое число. Показатель наибольшей степени числа p , делящего n ! дается версией формулы Лежандра ^[22]

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{2}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{3}}}\right\rfloor +\dots ={\frac {n-\sum _{k}a_{k}}{p-1}}}$

где это способ записи n в базе p . Это конечная сумма, поскольку этажи равны нулю при p ^k > n .${\displaystyle n=\sum _{k}a_{k}p^{k}}$

Битти последовательность [ править ]

Последовательность Битти показывает, как каждое положительное иррациональное число приводит к разделению натуральных чисел на две последовательности с помощью функции пола. ^[23]

Константа Эйлера (γ) [ править ]

Существуют формулы для постоянной Эйлера γ = 0,57721 56649 ..., которые включают пол и потолок, например ^[24]

${\displaystyle \gamma =\int _{1}^{\infty }\left({1 \over \lfloor x\rfloor }-{1 \over x}\right)\,dx,}$

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\left(\left\lceil {\frac {n}{k}}\right\rceil -{\frac {n}{k}}\right),}$

и

${\displaystyle \gamma =\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\left\lfloor \log _{2}k\right\rfloor }{k}}={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{3}}+2\left({\tfrac {1}{4}}-{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{6}}-{\tfrac {1}{7}}\right)+3\left({\tfrac {1}{8}}-\cdots -{\tfrac {1}{15}}\right)+\dots }$

Дзета-функция Римана (ζ) [ править ]

Функция дробной части также появляется в интегральных представлениях дзета-функции Римана . Несложно доказать (с помощью интегрирования по частям) ^[25], что если - любая функция с непрерывной производной на отрезке [ a , b ],${\displaystyle \phi (x)}$

${\displaystyle \sum _{a<n\leq b}\phi (n)=\int _{a}^{b}\phi (x)\,dx+\int _{a}^{b}\left(\{x\}-{\tfrac {1}{2}}\right)\phi '(x)\,dx+\left(\{a\}-{\tfrac {1}{2}}\right)\phi (a)-\left(\{b\}-{\tfrac {1}{2}}\right)\phi (b).}$

Сдача в реальной части в ы больше 1 и позволяя и Ь целые числа, и позволяя б к бесконечности дает${\displaystyle \phi (n)={n}^{-s}}$

${\displaystyle \zeta (s)=s\int _{1}^{\infty }{\frac {{\frac {1}{2}}-\{x\}}{x^{s+1}}}\,dx+{\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}.}$

Эта формула действительна для всех s с действительной частью больше -1 (кроме s = 1, где есть полюс) и в сочетании с разложением Фурье для { x } может использоваться для расширения дзета-функции на всю комплексную плоскость. и доказать его функциональное уравнение. ^[26]

При s = σ + it в критической полосе 0 < σ <1,

${\displaystyle \zeta (s)=s\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\sigma \omega }(\lfloor e^{\omega }\rfloor -e^{\omega })e^{-it\omega }\,d\omega .}$

В 1947 году ван дер Поль использовал это представление для создания аналогового компьютера для поиска корней дзета-функции. ^[27]

Формулы для простых чисел [ править ]

Функция этажа фигурирует в нескольких формулах, характеризующих простые числа. Например, поскольку равно 1, если m делит n , и 0 в противном случае, следует, что положительное целое число n является простым тогда и только тогда, когда ^[28]${\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor }$

${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }\left(\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor \right)=2.}$

Можно также дать формулы для получения простых чисел. Например, пусть p _n будет n- ^м простым числом, и для любого целого числа r > 1 определите действительное число α суммой

${\displaystyle \alpha =\sum _{m=1}^{\infty }p_{m}r^{-m^{2}}.}$

Тогда ^[29]

${\displaystyle p_{n}=\left\lfloor r^{n^{2}}\alpha \right\rfloor -r^{2n-1}\left\lfloor r^{(n-1)^{2}}\alpha \right\rfloor .}$

Аналогичный результат состоит в том, что существует число θ = 1,3064 ... ( постоянная Миллса ) со свойством, что

${\displaystyle \left\lfloor \theta ^{3}\right\rfloor ,\left\lfloor \theta ^{9}\right\rfloor ,\left\lfloor \theta ^{27}\right\rfloor ,\dots }$

все простые. ^[30]

Также существует число ω = 1,9287800 ... со свойством, что

${\displaystyle \left\lfloor 2^{\omega }\right\rfloor ,\left\lfloor 2^{2^{\omega }}\right\rfloor ,\left\lfloor 2^{2^{2^{\omega }}}\right\rfloor ,\dots }$

все простые. ^[30]

Пусть π ( x ) будет количеством простых чисел, меньших или равных x . Из теоремы Вильсона легко следует, что ^[31]

${\displaystyle \pi (n)=\sum _{j=2}^{n}\left\lfloor {\frac {(j-1)!+1}{j}}-\left\lfloor {\frac {(j-1)!}{j}}\right\rfloor \right\rfloor .}$

Также, если n ≥ 2, ^[32]

${\displaystyle \pi (n)=\sum _{j=2}^{n}\left\lfloor {\frac {1}{\sum _{k=2}^{j}\left\lfloor \left\lfloor {\frac {j}{k}}\right\rfloor {\frac {k}{j}}\right\rfloor }}\right\rfloor .}$

Ни одна из формул в этом разделе не имеет практического применения. ^{[33] [34]}

Решенные проблемы [ править ]

Рамануджан представил эти задачи в Журнал Индийского математического общества . ^[35]

Если n - натуральное число, докажите, что

(я)     ${\displaystyle \left\lfloor {\tfrac {n}{3}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+2}{6}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+4}{6}}\right\rfloor =\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+3}{6}}\right\rfloor ,}$

(ii)     ${\displaystyle \left\lfloor {\tfrac {1}{2}}+{\sqrt {n+{\tfrac {1}{2}}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\tfrac {1}{2}}+{\sqrt {n+{\tfrac {1}{4}}}}\right\rfloor ,}$

(iii)     ${\displaystyle \left\lfloor {\sqrt {n}}+{\sqrt {n+1}}\right\rfloor =\left\lfloor {\sqrt {4n+2}}\right\rfloor .}$

Нерешенная проблема [ править ]

Изучение проблемы Варинга привело к нерешенной проблеме:

Существуют ли такие натуральные числа k ≥ 6, что ^[36]

${\displaystyle 3^{k}-2^{k}\left\lfloor \left({\tfrac {3}{2}}\right)^{k}\right\rfloor >2^{k}-\left\lfloor \left({\tfrac {3}{2}}\right)^{k}\right\rfloor -2}$ ?

Малер ^[37] доказал, что таких k может быть только конечное число ; никто не известен.

Компьютерные реализации [ править ]

В большинстве языков программирования простейший метод преобразования числа с плавающей запятой в целое - это не пол или потолок, а усечение . Причина этого историческая, так как первые машины использовали дополнение до единиц, а усечение было проще реализовать (пол проще в дополнении до двух ). FORTRAN был определен так, чтобы требовать такого поведения, и поэтому почти все процессоры реализуют преобразование таким образом. Некоторые считают это неудачным историческим дизайнерским решением, которое привело к ошибкам при обработке отрицательных смещений и графики на отрицательной стороне источника. ^{[ необходима цитата ]}

Побитового сдвига вправо на целое число со стороны такой же , как . Деление на степень 2 часто записывается как сдвиг вправо, но не для оптимизации, как можно было бы предположить, а потому, что требуется минимум отрицательных результатов. Если предположить, что такие сдвиги являются «преждевременной оптимизацией», и замена их разделением может привести к поломке программного обеспечения. ^{[ необходима цитата ]}${\displaystyle x}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \left\lfloor {\frac {x}{2^{n}}}\right\rfloor }$

Многие языки программирования (включая C , C ++ , ^{[38] [39]} C # , ^{[40] [41]} Java , ^{[42] [43]} PHP , ^{[44] [45]} R , ^[46] и Python ^[47] ) предоставляют стандартные функции для пола и потолка, обычно называемые floorи ceil, или реже ceiling. ^[48] Язык, который APL использует ⌊xдля обозначения пола. Язык программирования J , продолжение APL, который предназначен для использования стандартных символов клавиатуры, используется <.для пола и>.для потолка. ^[49] АЛГОЛ использует entierдля пола.

Программное обеспечение для работы с электронными таблицами [ править ]

Большинство программ для работы с электронными таблицами поддерживают те или иные ceilingфункции. Хотя детали в разных программах различаются, большинство реализаций поддерживают второй параметр - кратное, до которого необходимо округлить данное число. Например, ceiling(2, 3)округление 2 до ближайшего кратного 3 дает 3. Однако определение того, что означает «округление», различается от программы к программе.

В Microsoft Excel использовалась почти полная противоположность стандартной нотации: INTдля пола, что FLOORозначает «округление к нулю» и « CEILINGокругление от нуля». ^[50] Это продолжилось до формата файла Office Open XML . Excel 2010 теперь следует стандартному определению. ^[51]

Формат файла OpenDocument , используемый OpenOffice.org , Libreoffice и другими, следует математическому определению потолка для своей ceilingфункции с дополнительным параметром для совместимости с Excel. Например, CEILING(-4.5)возвращает −4.

См. Также [ править ]

• Кронштейн (математика)
• Целочисленная функция
• Ступенчатая функция

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• JWS Cassels (1957), Введение в диофантово приближение , Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, 45 , Cambridge University Press
• Крэндалл, Ричард; Померанс, Карл (2001), Простые числа: вычислительная перспектива , Нью-Йорк: Springer , ISBN 0-387-94777-9
• Грэм, Рональд Л .; Knuth, Donald E .; Паташник, Орен (1994), Concrete Mathematics , Reading Ma .: Addison-Wesley, ISBN 0-201-55802-5
• Харди, GH; Райт, EM (1980), Введение в теорию чисел (пятое издание) , Oxford: Oxford University Press , ISBN 978-0-19-853171-5
• Николас Дж. Хайэм, Справочник по математическим наукам , SIAM. ISBN 0-89871-420-6 , стр. 25 
• ИСО / МЭК . ISO / IEC 9899 :: 1999 (E): Языки программирования - C (2-е изд.), 1999; Раздел 6.3.1.4, с. 43.
• Айверсон, Кеннет Э. (1962), язык программирования , Wiley
• Леммермейер, Франц (2000), Законы взаимности: от Эйлера до Эйзенштейна , Берлин: Springer , ISBN 3-540-66957-4
• Рамануджан, Шриниваса (2000), Сборник статей , Providence RI: AMS / Chelsea, ISBN 978-0-8218-2076-6
• Рибенбойм, Пауло (1996), Новая книга рекордов простых чисел , Нью-Йорк: Springer, ISBN 0-387-94457-5
• Майкл Салливан. Precalculus , 8-е издание, стр. 86
• Титчмарш, Эдвард Чарльз; Хит-Браун, Дэвид Родни («Роджер») (1986), Теория дзета-функции Римана (2-е изд.), Оксфорд: Oxford UP, ISBN 0-19-853369-1

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с функциями пола и потолка .

• «Этажная функция» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Штефан Порубски, «Целочисленные функции округления» , Интерактивный информационный портал по алгоритмической математике , Институт компьютерных наук Чешской академии наук, Прага, Чешская Республика, дата обращения 24 октября 2008 г.
• Вайсштейн, Эрик В. «Функция пола» . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. "Функция потолка" . MathWorld .