Функциональная производная

В вариационном исчислении , области математического анализа , функциональная производная (или вариационная производная ) ^[1] связывает изменение функционала с изменением функции, от которой зависит этот функционал.

В вариационном исчислении функционалы обычно выражаются через интеграл от функций, их аргументов и их производных . В интеграле L от функционала, если функция f изменяется путем добавления к ней другой функции δf, которая является произвольно малой, и полученное подынтегральное выражение разлагается по степеням δf , коэффициент при δf в члене первого порядка называется функционалом производная.

Например, рассмотрим функционал

${\ displaystyle J [f] = \ int _ {a} ^ {b} L (\, x, f (x), f \, '(x) \,) \, dx \,}$

где f ′ ( x ) ≡ df / dx . Если изменить f , добавив к нему функцию δf , и получившееся подынтегральное выражение L ( x, f + δf, f '+ δf ′) разложить по степеням δf , то изменение значения J до первого порядка по δf может быть выражено следующим образом: ^{[1] [Примечание 1]}

${\ displaystyle \ delta J = \ int _ {a} ^ {b} \ left ({\ frac {\ partial L} {\ partial f}} \ delta f (x) + {\ frac {\ partial L} { \ partial f '}} {\ frac {d} {dx}} \ delta f (x) \ right) \, dx \, = \ int _ {a} ^ {b} \ left ({\ frac {\ partial L} {\ partial f}} - {\ frac {d} {dx}} {\ frac {\ partial L} {\ partial f '}} \ right) \ delta f (x) \, dx \, + \ , {\ frac {\ partial L} {\ partial f '}} (b) \ delta f (b) \, - \, {\ frac {\ partial L} {\ partial f'}} (a) \ delta f (а) \,}$

где вариация в производной, δf ′ была переписана как производная от вариации ( δf ) ′ , и использовалось интегрирование по частям .

Определение [ править ]

В этом разделе определяется функциональная производная. Затем функциональный дифференциал определяется в терминах функциональной производной.

Функциональная производная [ править ]

Для многообразия M, представляющего ( непрерывные / гладкие ) функции ρ (с некоторыми граничными условиями и т. Д.), И функционал F, определенный как

${\displaystyle F\colon M\rightarrow \mathbb {R} \quad {\mbox{or}}\quad F\colon M\rightarrow \mathbb {C} \,,}$

функциональное производное от F [ ρ ], обозначаемый ; F / δρ , определяется через ^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {\delta F}{\delta \rho }}(x)\phi (x)\;dx&=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {F[\rho +\varepsilon \phi ]-F[\rho ]}{\varepsilon }}\\&=\left[{\frac {d}{d\varepsilon }}F[\rho +\varepsilon \phi ]\right]_{\varepsilon =0},\end{aligned}}}$

где - произвольная функция. Величина называется вариацией ρ . ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \varepsilon \phi }$

Другими словами,

${\displaystyle \phi \mapsto \left[{\frac {d}{d\varepsilon }}F[\rho +\varepsilon \phi ]\right]_{\varepsilon =0}}$

является линейным функционалом, поэтому можно применить теорему Рисса – Маркова – Какутани о представлении, чтобы представить этот функционал как интегрирование по некоторой мере . Тогда δF / δρ определяется как производная Радона – Никодима этой меры.

Функцию δF / δρ можно представить как градиент F в точке ρ и

${\displaystyle \int {\frac {\delta F}{\delta \rho }}(x)\phi (x)\;dx}$

как производную по направлению в точке ρ в направлении ϕ . Затем, аналогично векторному исчислению, внутренний продукт с градиентом дает производную по направлению.

Функциональный дифференциал [ править ]

Дифференциал (или вариант, или первый вариант) функционала равен ^{[3] [Примечание 2]}${\displaystyle F\left[\rho \right]}$

${\displaystyle \delta F[\rho ;\phi ]=\int {\frac {\delta F}{\delta \rho }}(x)\ \phi (x)\ dx\ .}$

Эвристически это изменение в , так что мы `` формально '' имеем , и тогда это похоже по форме на полный дифференциал функции ,${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \phi =\delta \rho }$${\displaystyle F(\rho _{1},\rho _{2},\dots ,\rho _{n})}$

${\displaystyle dF=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial F}{\partial \rho _{i}}}\ d\rho _{i}\ ,}$

где - независимые переменные. Сравнивая последние два уравнения, функциональная производная играет роль, аналогичную роли частной производной , где переменная интегрирования подобна непрерывной версии индекса суммирования . ^[4]${\displaystyle \rho _{1},\rho _{2},\dots ,\rho _{n}}$${\displaystyle \delta F/\delta \rho (x)}$${\displaystyle \partial F/\partial \rho _{i}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle i}$

Свойства [ править ]

Как и производная функции, функциональная производная удовлетворяет следующим свойствам, где F [ ρ ] и G [ ρ ] - функционалы: ^{[Примечание 3]}

• Линейность: ^[5]

${\displaystyle {\frac {\delta (\lambda F+\mu G)[\rho ]}{\delta \rho (x)}}=\lambda {\frac {\delta F[\rho ]}{\delta \rho (x)}}+\mu {\frac {\delta G[\rho ]}{\delta \rho (x)}},}$

где λ , μ - постоянные.

• Правило продукта: ^[6]

${\displaystyle {\frac {\delta (FG)[\rho ]}{\delta \rho (x)}}={\frac {\delta F[\rho ]}{\delta \rho (x)}}G[\rho ]+F[\rho ]{\frac {\delta G[\rho ]}{\delta \rho (x)}}\,,}$

• Правила цепочки:

Если F - функционал, а G - другой функционал, то ^[7]

${\displaystyle \displaystyle {\frac {\delta F[G[\rho ]]}{\delta \rho (y)}}=\int dx{\frac {\delta F[G]}{\delta G(x)}}_{G=G[\rho ]}\cdot {\frac {\delta G[\rho ](x)}{\delta \rho (y)}}\ .}$

Если G - обычная дифференцируемая функция (локальный функционал) g , то это сводится к ^[8]

${\displaystyle \displaystyle {\frac {\delta F[g(\rho )]}{\delta \rho (y)}}={\frac {\delta F[g(\rho )]}{\delta g[\rho (y)]}}\ {\frac {dg(\rho )}{d\rho (y)}}\ .}$

Определение функциональных производных [ править ]

Формула для определения функциональных производных для общего класса функционалов может быть записана как интеграл функции и ее производных. Это обобщение уравнения Эйлера – Лагранжа : действительно, функциональная производная была введена в физику при выводе уравнения Лагранжа второго рода из принципа наименьшего действия в лагранжевой механике (XVIII век). Первые три приведенных ниже примера взяты из теории функционала плотности (20 век), четвертый - из статистической механики (19 век).

Формула [ править ]

Учитывая функционал

${\displaystyle F[\rho ]=\int f({\boldsymbol {r}},\rho ({\boldsymbol {r}}),\nabla \rho ({\boldsymbol {r}}))\,d{\boldsymbol {r}},}$

и функция ϕ ( r ), которая обращается в нуль на границе области интегрирования, из предыдущего раздела Определение ,

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {\delta F}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}\,\phi ({\boldsymbol {r}})\,d{\boldsymbol {r}}&=\left[{\frac {d}{d\varepsilon }}\int f({\boldsymbol {r}},\rho +\varepsilon \phi ,\nabla \rho +\varepsilon \nabla \phi )\,d{\boldsymbol {r}}\right]_{\varepsilon =0}\\&=\int \left({\frac {\partial f}{\partial \rho }}\,\phi +{\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\cdot \nabla \phi \right)d{\boldsymbol {r}}\\&=\int \left[{\frac {\partial f}{\partial \rho }}\,\phi +\nabla \cdot \left({\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\,\phi \right)-\left(\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\right)\phi \right]d{\boldsymbol {r}}\\&=\int \left[{\frac {\partial f}{\partial \rho }}\,\phi -\left(\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\right)\phi \right]d{\boldsymbol {r}}\\&=\int \left({\frac {\partial f}{\partial \rho }}-\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\right)\phi ({\boldsymbol {r}})\ d{\boldsymbol {r}}\,.\end{aligned}}}$

Вторая линия получена с использованием полной производной , где ∂f / ∂∇ ρ - производная скаляра по вектору . ^{[Примечание 4]}

Третья линия была получена с помощью правила произведения для расхождения . Четвертая линия получена с помощью теоремы о расходимости и условия ϕ = 0 на границе области интегрирования. Поскольку ϕ также является произвольной функцией, применяя основную лемму вариационного исчисления к последней строке, функциональная производная равна

${\displaystyle {\frac {\delta F}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}={\frac {\partial f}{\partial \rho }}-\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}}$

где ρ = ρ ( r ) и f = f ( r , ρ , ∇ ρ ). Эта формула предназначена для случая функциональной формы, заданной F [ ρ ] в начале этого раздела. Для других функциональных форм определение функциональной производной можно использовать в качестве отправной точки для ее определения. (См. Пример функционала кулоновской потенциальной энергии .)

Приведенное выше уравнение для функциональной производной можно обобщить на случай, который включает более высокие размерности и производные более высокого порядка. Функционал будет,

${\displaystyle F[\rho ({\boldsymbol {r}})]=\int f({\boldsymbol {r}},\rho ({\boldsymbol {r}}),\nabla \rho ({\boldsymbol {r}}),\nabla ^{(2)}\rho ({\boldsymbol {r}}),\dots ,\nabla ^{(N)}\rho ({\boldsymbol {r}}))\,d{\boldsymbol {r}},}$

где вектор r ∈ ℝ ⁿ , а ∇ ^{( i )} - тензор, n ⁱ компонентов которого являются операторами частных производных порядка i ,

${\displaystyle \left[\nabla ^{(i)}\right]_{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{i}}={\frac {\partial ^{\,i}}{\partial r_{\alpha _{1}}\partial r_{\alpha _{2}}\cdots \partial r_{\alpha _{i}}}}\qquad \qquad {\text{where}}\quad \alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{i}=1,2,\cdots ,n\ .}$^{[Примечание 5]}

Аналогичное применение определения функциональной производной дает

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta F[\rho ]}{\delta \rho }}&{}={\frac {\partial f}{\partial \rho }}-\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial (\nabla \rho )}}+\nabla ^{(2)}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(2)}\rho \right)}}+\dots +(-1)^{N}\nabla ^{(N)}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(N)}\rho \right)}}\\&{}={\frac {\partial f}{\partial \rho }}+\sum _{i=1}^{N}(-1)^{i}\nabla ^{(i)}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(i)}\rho \right)}}\ .\end{aligned}}}$

В последних двух уравнениях n ⁱ компонентов тензора являются частными производными от f по частным производным от ρ ,${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(i)}\rho \right)}}}$

${\displaystyle \left[{\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(i)}\rho \right)}}\right]_{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{i}}={\frac {\partial f}{\partial \rho _{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{i}}}}\qquad \qquad {\text{where}}\quad \rho _{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{i}}\equiv {\frac {\partial ^{\,i}\rho }{\partial r_{\alpha _{1}}\,\partial r_{\alpha _{2}}\cdots \partial r_{\alpha _{i}}}}\ ,}$

а тензорное скалярное произведение есть,

${\displaystyle \nabla ^{(i)}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(i)}\rho \right)}}=\sum _{\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{i}=1}^{n}\ {\frac {\partial ^{\,i}}{\partial r_{\alpha _{1}}\,\partial r_{\alpha _{2}}\cdots \partial r_{\alpha _{i}}}}\ {\frac {\partial f}{\partial \rho _{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{i}}}}\ .}$ ^{[Примечание 6]}

Примеры [ править ]

Функционал кинетической энергии Томаса – Ферми [ править ]

Модель Томаса – Ферми 1927 года использовала функционал кинетической энергии для невзаимодействующего однородного электронного газа в первой попытке теории функционала плотности электронной структуры:

${\displaystyle T_{\mathrm {TF} }[\rho ]=C_{\mathrm {F} }\int \rho ^{5/3}(\mathbf {r} )\,d\mathbf {r} \,.}$

Поскольку подынтегральное выражение T _TF [ ρ ] не включает производных от ρ ( r ) , функциональная производная от T _TF [ ρ ] равна, ^[9]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta T_{\mathrm {TF} }}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}&=C_{\mathrm {F} }{\frac {\partial \rho ^{5/3}(\mathbf {r} )}{\partial \rho (\mathbf {r} )}}\\&={\frac {5}{3}}C_{\mathrm {F} }\rho ^{2/3}(\mathbf {r} )\,.\end{aligned}}}$

Функционал кулоновской потенциальной энергии [ править ]

Для электронно-ядерного потенциала Томас и Ферми использовали функционал кулоновской потенциальной энергии

${\displaystyle V[\rho ]=\int {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}})}{|{\boldsymbol {r}}|}}\ d{\boldsymbol {r}}.}$

Применяя определение функциональной производной,

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {\delta V}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}\ \phi ({\boldsymbol {r}})\ d{\boldsymbol {r}}&{}=\left[{\frac {d}{d\varepsilon }}\int {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}})+\varepsilon \phi ({\boldsymbol {r}})}{|{\boldsymbol {r}}|}}\ d{\boldsymbol {r}}\right]_{\varepsilon =0}\\&{}=\int {\frac {1}{|{\boldsymbol {r}}|}}\,\phi ({\boldsymbol {r}})\ d{\boldsymbol {r}}\,.\end{aligned}}}$

Так,

${\displaystyle {\frac {\delta V}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}={\frac {1}{|{\boldsymbol {r}}|}}\ .}$

Для классической части электрон-электронного взаимодействия Томас и Ферми использовали функционал кулоновской потенциальной энергии

${\displaystyle J[\rho ]={\frac {1}{2}}\iint {\frac {\rho (\mathbf {r} )\rho (\mathbf {r} ')}{\vert \mathbf {r} -\mathbf {r} '\vert }}\,d\mathbf {r} d\mathbf {r} '\,.}$

Из определения функциональной производной ,

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {\delta J}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}\phi ({\boldsymbol {r}})d{\boldsymbol {r}}&{}=\left[{\frac {d\ }{d\epsilon }}\,J[\rho +\epsilon \phi ]\right]_{\epsilon =0}\\&{}=\left[{\frac {d\ }{d\epsilon }}\,\left({\frac {1}{2}}\iint {\frac {[\rho ({\boldsymbol {r}})+\epsilon \phi ({\boldsymbol {r}})]\,[\rho ({\boldsymbol {r}}')+\epsilon \phi ({\boldsymbol {r}}')]}{\vert {\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'\vert }}\,d{\boldsymbol {r}}d{\boldsymbol {r}}'\right)\right]_{\epsilon =0}\\&{}={\frac {1}{2}}\iint {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}}')\phi ({\boldsymbol {r}})}{\vert {\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'\vert }}\,d{\boldsymbol {r}}d{\boldsymbol {r}}'+{\frac {1}{2}}\iint {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}})\phi ({\boldsymbol {r}}')}{\vert {\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'\vert }}\,d{\boldsymbol {r}}d{\boldsymbol {r}}'\\\end{aligned}}}$

Первый и второй члены в правой части последнего уравнения равны, так как r и r ' во втором члене можно поменять местами без изменения значения интеграла. Следовательно,

${\displaystyle \int {\frac {\delta J}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}\phi ({\boldsymbol {r}})d{\boldsymbol {r}}=\int \left(\int {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}}')}{\vert {\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'\vert }}d{\boldsymbol {r}}'\right)\phi ({\boldsymbol {r}})d{\boldsymbol {r}}}$

а функциональная производная функционала электрон-электронной кулоновской потенциальной энергии J [ ρ ] равна, ^[10]

${\displaystyle {\frac {\delta J}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}=\int {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}}')}{\vert {\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'\vert }}d{\boldsymbol {r}}'\,.}$

Вторая функциональная производная равна

${\displaystyle {\frac {\delta ^{2}J[\rho ]}{\delta \rho (\mathbf {r} ')\delta \rho (\mathbf {r} )}}={\frac {\partial }{\partial \rho (\mathbf {r} ')}}\left({\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{\vert \mathbf {r} -\mathbf {r} '\vert }}\right)={\frac {1}{\vert \mathbf {r} -\mathbf {r} '\vert }}.}$

Функционал кинетической энергии Вайцзеккера [ править ]

В 1935 году фон Вайцзеккер предложил добавить градиентную поправку к функционалу кинетической энергии Томаса-Ферми, чтобы он лучше подходил для молекулярного электронного облака:

${\displaystyle T_{\mathrm {W} }[\rho ]={\frac {1}{8}}\int {\frac {\nabla \rho (\mathbf {r} )\cdot \nabla \rho (\mathbf {r} )}{\rho (\mathbf {r} )}}d\mathbf {r} =\int t_{\mathrm {W} }\ d\mathbf {r} \,,}$

куда

${\displaystyle t_{\mathrm {W} }\equiv {\frac {1}{8}}{\frac {\nabla \rho \cdot \nabla \rho }{\rho }}\qquad {\text{and}}\ \ \rho =\rho ({\boldsymbol {r}})\ .}$

Используя ранее выведенную формулу для функциональной производной,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta T_{\mathrm {W} }}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}&={\frac {\partial t_{\mathrm {W} }}{\partial \rho }}-\nabla \cdot {\frac {\partial t_{\mathrm {W} }}{\partial \nabla \rho }}\\&=-{\frac {1}{8}}{\frac {\nabla \rho \cdot \nabla \rho }{\rho ^{2}}}-\left({\frac {1}{4}}{\frac {\nabla ^{2}\rho }{\rho }}-{\frac {1}{4}}{\frac {\nabla \rho \cdot \nabla \rho }{\rho ^{2}}}\right)\qquad {\text{where}}\ \ \nabla ^{2}=\nabla \cdot \nabla \ ,\end{aligned}}}$

и результат ^[11]

${\displaystyle {\frac {\delta T_{\mathrm {W} }}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}=\ \ \,{\frac {1}{8}}{\frac {\nabla \rho \cdot \nabla \rho }{\rho ^{2}}}-{\frac {1}{4}}{\frac {\nabla ^{2}\rho }{\rho }}\ .}$

Энтропия [ править ]

Энтропии дискретной случайной величины является функционалом функции вероятности массовой .

${\displaystyle {\begin{aligned}H[p(x)]=-\sum _{x}p(x)\log p(x)\end{aligned}}}$

Таким образом,

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{x}{\frac {\delta H}{\delta p(x)}}\,\phi (x)&{}=\left[{\frac {d}{d\epsilon }}H[p(x)+\epsilon \phi (x)]\right]_{\epsilon =0}\\&{}=\left[-\,{\frac {d}{d\varepsilon }}\sum _{x}\,[p(x)+\varepsilon \phi (x)]\ \log[p(x)+\varepsilon \phi (x)]\right]_{\varepsilon =0}\\&{}=\displaystyle -\sum _{x}\,[1+\log p(x)]\ \phi (x)\,.\end{aligned}}}$

Таким образом,

${\displaystyle {\frac {\delta H}{\delta p(x)}}=-1-\log p(x).}$

Экспоненциальный [ править ]

Позволять

${\displaystyle F[\varphi (x)]=e^{\int \varphi (x)g(x)dx}.}$

Используя дельта-функцию в качестве тестовой функции,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta F[\varphi (x)]}{\delta \varphi (y)}}&{}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {F[\varphi (x)+\varepsilon \delta (x-y)]-F[\varphi (x)]}{\varepsilon }}\\&{}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {e^{\int (\varphi (x)+\varepsilon \delta (x-y))g(x)dx}-e^{\int \varphi (x)g(x)dx}}{\varepsilon }}\\&{}=e^{\int \varphi (x)g(x)dx}\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {e^{\varepsilon \int \delta (x-y)g(x)dx}-1}{\varepsilon }}\\&{}=e^{\int \varphi (x)g(x)dx}\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {e^{\varepsilon g(y)}-1}{\varepsilon }}\\&{}=e^{\int \varphi (x)g(x)dx}g(y).\end{aligned}}}$

Таким образом,

${\displaystyle {\frac {\delta F[\varphi (x)]}{\delta \varphi (y)}}=g(y)F[\varphi (x)].}$

Это особенно полезно при вычислении корреляционных функций из статистической суммы в квантовой теории поля .

Функциональная производная функции [ править ]

Функцию можно записать в виде интеграла как функционал. Например,

${\displaystyle \rho ({\boldsymbol {r}})=F[\rho ]=\int \rho ({\boldsymbol {r}}')\delta ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}')\,d{\boldsymbol {r}}'.}$

Поскольку подынтегральное выражение не зависит от производных ρ , функциональная производная ρ ( r ) равна

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}}')}}\equiv {\frac {\delta F}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}}')}}&={\frac {\partial \ \ }{\partial \rho ({\boldsymbol {r}}')}}\,[\rho ({\boldsymbol {r}}')\delta ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}')]\\&=\delta ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}').\end{aligned}}}$

Функциональная производная от повторяющейся функции [ править ]

Функциональная производная повторяющейся функции определяется выражением:${\displaystyle f(f(x))}$

${\displaystyle {\frac {\delta f(f(x))}{\delta f(y)}}=f'(f(x))\delta (x-y)+\delta (f(x)-y)}$

и

${\displaystyle {\frac {\delta f(f(f(x)))}{\delta f(y)}}=f'(f(f(x))(f'(f(x))\delta (x-y)+\delta (f(x)-y))+\delta (f(f(x))-y)}$

В целом:

${\displaystyle {\frac {\delta f^{N}(x)}{\delta f(y)}}=f'(f^{N-1}(x)){\frac {\delta f^{N-1}(x)}{\delta f(y)}}+\delta (f^{N-1}(x)-y)}$

Ввод N = 0 дает:

${\displaystyle {\frac {\delta f^{-1}(x)}{\delta f(y)}}=-{\frac {\delta (f^{-1}(x)-y)}{f'(f^{-1}(x))}}}$

Использование дельта-функции в качестве тестовой функции [ править ]

В физике обычно используется дельта-функция Дирака вместо общей тестовой функции для получения функциональной производной в точке (это точка всей функциональной производной, поскольку частная производная является компонентом градиента): ^[12]${\displaystyle \delta (x-y)}$${\displaystyle \phi (x)}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\frac {\delta F[\rho (x)]}{\delta \rho (y)}}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {F[\rho (x)+\varepsilon \delta (x-y)]-F[\rho (x)]}{\varepsilon }}.}$

Это работает в тех случаях, когда формально можно расширить как серию (или, по крайней мере, до первого порядка) в . Однако формула не является математически строгой, поскольку обычно даже не определяется.${\displaystyle F[\rho (x)+\varepsilon f(x)]}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle F[\rho (x)+\varepsilon \delta (x-y)]}$

Определение, данное в предыдущем разделе, основано на соотношении, которое справедливо для всех тестовых функций ϕ , поэтому можно подумать, что оно должно выполняться также, когда ϕ выбирается как конкретная функция, такая как дельта-функция . Однако последняя не является допустимой тестовой функцией (даже не правильной функцией).

В определении функциональная производная описывает, как функционал изменяется в результате небольшого изменения всей функции . Конкретная форма изменения не указывается, но она должна распространяться на весь интервал, на котором определен. Использование особой формы возмущения, задаваемого дельта-функцией, имеет смысл, который изменяется только в точке . За исключением этого пункта, нет никаких изменений .${\displaystyle F[\varphi (x)]}$${\displaystyle \varphi (x)}$${\displaystyle \varphi (x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \varphi (x)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \varphi (x)}$

Примечания [ править ]

Сноски [ править ]

Ссылки [ править ]

• Курант, Ричард ; Гильберт, Дэвид (1953). "Глава IV. Вариационное исчисление". Методы математической физики . Vol. I (Первое англ. Ред.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Interscience Publishers , Inc., стр. 164–274. ISBN 978-0471504474. Руководство по ремонту  0065391 . Zbl  0001.00501 ..
• Frigyik, Béla A .; Шривастава, Сантош; Гупта, Майя Р. (январь 2008 г.), Введение в функциональные производные (PDF) , Технический отчет UWEE, UWEETR-2008-0001, Сиэтл, Вашингтон: Департамент электротехники Вашингтонского университета, стр. 7, архивировано из оригинального (PDF) 17 февраля 2017 г. , извлечено 23 октября 2013 г..
• Гельфанд, ИМ ; Фомин, С.В. (2000) [1963], Вариационное исчисление , переведено и отредактировано Ричардом А. Сильверманом (пересмотренный английский редактор), Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0486414485, MR  0160139 , Zbl  0127.05402.
• Джакинта, Мариано ; Хильдебрандт, Стефан (1996), Вариационное исчисление 1. Лагранжиан формализм , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 310 (1-е изд.), Берлин: Springer-Verlag , ISBN 3-540-50625-X, Руководство по эксплуатации  1368401 , Zbl  0853.49001.
• Грейнер, Уолтер ; Рейнхардт, Иоахим (1996), «Раздел 2.3 - Функциональные производные» , квантование поля , с предисловием Д.А. Бромли, Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр.  36–38 , ISBN 3-540-59179-6, Руководство по ремонту  1383589 , Zbl  0844.00006.
• Парр, Р.Г.; Ян, В. (1989). «Приложение А, Функционал». Плотно-функциональная теория атомов и молекул . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. С. 246–254. ISBN 978-0195042795.

Внешние ссылки [ править ]

• «Функциональная производная» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]