Дифференциал функции

В исчислении , то дифференциальное представляет собой основную часть этого изменения в функции у  =  ф ( х ) относительно изменений в независимой переменной. Дифференциал dy определяется как

${\ displaystyle dy = f '(x) \, dx,}$

где это производная от F по отношению к й и ому является дополнительным реальным переменным (так что ду является функцией х и дм ). Обозначения таковы, что уравнение${\ displaystyle f '(x)}$

${\ displaystyle dy = {\ frac {dy} {dx}} \, dx}$

где производная представлена ​​в обозначениях Лейбница dy / dx , и это согласуется с рассмотрением производной как частного дифференциалов. Еще один пишет

${\ displaystyle df (x) = f '(x) \, dx.}$

Точное значение переменных dy и dx зависит от контекста приложения и требуемого уровня математической строгости. Область этих переменных может иметь особое геометрическое значение, если дифференциал рассматривается как особая форма дифференциала , или аналитическое значение, если дифференциал рассматривается как линейное приближение к приращению функции. Традиционно переменные dx и dy считаются очень малыми ( бесконечно малыми ), и такая интерпретация делается строго в нестандартном анализе .

История и использование [ править ]

Дифференциал был впервые введен через интуитивное или эвристическое определение Готфридом Вильгельмом Лейбницем , который думал о дифференциале  dy как о бесконечно малом (или бесконечно малом ) изменении значения  y функции, соответствующем бесконечно малому изменению  dx в аргументе функции  х . По этой причине мгновенная скорость изменения y по отношению к x , которая является значением производной функции, обозначается дробью

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}}}$

в так называемых обозначениях Лейбница для производных. Фактор dy / dx не бесконечно мал; скорее это реальное число .

Использование бесконечно малых величин в этой форме широко критиковалось, например, в известной брошюре епископа Беркли «Аналитик ». Огюстен-Луи Коши ( 1823 ) определил дифференциал, не обращаясь к атомизму бесконечно малых Лейбница. ^{[1] [2]} Вместо этого Коши, вслед за Даламбером , перевернул логический порядок Лейбница и его последователей: сама производная стала фундаментальным объектом, определенным как предел разностных коэффициентов, а дифференциалы затем были определены в терминах Это. То есть можно было определить дифференциал dy выражением

${\ displaystyle dy = f '(x) \, dx}$

в котором dy и dx - просто новые переменные, принимающие конечные действительные значения ^{[3], а} не фиксированные бесконечно малые величины, как это было для Лейбница. ^[4]

Согласно Бойеру (1959 , с. 12), подход Коши был значительным логическим улучшением по сравнению с бесконечно малым подходом Лейбница, потому что вместо обращения к метафизическому понятию бесконечно малых величин dy и dx теперь можно было манипулировать точно так же, как и любые другие реальные количества значимым образом. Общий концептуальный подход Коши к дифференциалам остается стандартным для современных аналитических подходов ^[5], хотя последнее слово о строгости, полностью современном понятии предела, в конечном итоге принадлежит Карлу Вейерштрассу . ^[6]

В физических методах лечения, например, применяемых в теории термодинамики , все еще преобладает точка зрения бесконечно малых. Курант и Джон (Courant & John, 1999 , стр. 184) согласовывают физическое использование бесконечно малых дифференциалов с их математической невозможностью следующим образом. Дифференциалы представляют собой конечные ненулевые значения, которые меньше степени точности, необходимой для конкретной цели, для которой они предназначены. Таким образом, «физические бесконечно малые» не должны обращаться к соответствующей математической бесконечно малой величине, чтобы иметь точный смысл.

После развития математического анализа и дифференциальной геометрии в двадцатом веке стало ясно, что понятие дифференциала функции может быть расширено множеством способов. В реальном анализе более желательно иметь дело непосредственно с дифференциалом как с главной частью приращения функции. Это непосредственно приводит к представлению о том, что дифференциал функции в точке является линейным функционалом от приращения Δ x . Такой подход позволяет разрабатывать дифференциал (как линейное отображение) для множества более сложных пространств, что в конечном итоге приводит к появлению таких понятий, как производная Фреше или Гато . Точно так же вВ дифференциальной геометрии дифференциал функции в точке является линейной функцией касательного вектора («бесконечно малое смещение»), что демонстрирует его как своего рода одну форму: внешнюю производную функции. В нестандартном исчислении дифференциалы рассматриваются как бесконечно малые, которые сами по себе могут быть поставлены на строгую основу (см. Дифференциал (бесконечно малый) ).

Определение [ править ]

В современных трактовках дифференциального исчисления дифференциал определяется следующим образом. ^[7] Дифференциал функции f ( x ) одной действительной переменной x - это функция df двух независимых действительных переменных x и Δ x, заданная формулой

${\ displaystyle df (x, \ Delta x) {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} f '(x) \, \ Delta x.}$

Один или оба аргумента могут быть подавлены, т. Е. Можно увидеть df ( x ) или просто df . Если y  =  f ( x ), дифференциал также можно записать как dy . Поскольку dx ( x , Δ x ) = Δ x, принято писать dx  = Δ x , так что выполняется равенство

${\ displaystyle df (x) = f '(x) \, dx}$

Это понятие дифференциала широко применимо, когда ищется линейное приближение к функции, в котором значение приращения Δ x достаточно мало. Точнее, если f - дифференцируемая функция в точке x , то разность значений y

${\ Displaystyle \ Delta y {\ stackrel {\ rm {def}} {=}} f (x + \ Delta x) -f (x)}$

удовлетворяет

${\ Displaystyle \ Delta y = f '(x) \, \ Delta x + \ varepsilon = df (x) + \ varepsilon \,}$

где ошибка ε в приближении удовлетворяет условию ε / Δ x  → 0 при Δ x  → 0. Другими словами, имеется приближенное тождество

${\ displaystyle \ Delta y \ приблизительно dy}$

в котором ошибка может быть сделана сколь угодно малой по отношению к Δ x , ограничивая Δ x достаточно малым; то есть,

${\ displaystyle {\ frac {\ Delta y-dy} {\ Delta x}} \ to 0}$

при Δ x  → 0. По этой причине дифференциал функции известен как главная (линейная) часть приращения функции: дифференциал является линейной функцией приращения Δ x , и хотя ошибка ε может быть нелинейный, он быстро стремится к нулю, когда Δ x стремится к нулю.

Дифференциалы нескольких переменных [ править ]

Оператор \ Функция	${\ displaystyle f (x)}$	${\ Displaystyle е (х, у, и (х, у), v (х, у))}$
Дифференциальный	1: ${\ displaystyle df \, {\ overset {\ underset {\ mathrm {def}} {}} {=}} \, f '_ {x} \, dx}$	2: ${\displaystyle d_{x}f\,{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\,f'_{x}\,dx}$ 3: d f = d e f f x ′ d x + f y ′ d y + f u ′ d u + f v ′ d v {\displaystyle df\,{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\,f'_{x}dx+f'_{y}dy+f'_{u}du+f'_{v}dv}
Частная производная	${\displaystyle f'_{x}\,{\overset {\underset {\mathrm {(1)} }{}}{=}}\,{\frac {df}{dx}}}$	${\displaystyle f'_{x}\,{\overset {\underset {\mathrm {(2)} }{}}{=}}\,{\frac {d_{x}f}{dx}}={\frac {\partial f}{\partial x}}}$
Полная производная	${\displaystyle {\frac {df}{dx}}\,{\overset {\underset {\mathrm {(1)} }{}}{=}}\,f'_{x}}$	${\displaystyle {\frac {df}{dx}}\,{\overset {\underset {\mathrm {(3)} }{}}{=}}\,f'_{x}+f'_{u}{\frac {du}{dx}}+f'_{v}{\frac {dv}{dx}};(f'_{y}{\frac {dy}{dx}}=0)}$

Следуя Гурсу (1904 , I, §15), для функций более чем одной независимой переменной

${\displaystyle y=f(x_{1},\dots ,x_{n}),}$

частный дифференциал от у по отношению к какой - либо одной из переменных  х ₁ является основной частью изменения у в результате изменения  дх ₁ в этой одной переменной. Таким образом, частный дифференциал

${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}dx_{1}}$

с участием частных производным от у по отношению к  й ₁ . Сумма частных дифференциалов по всем независимым переменным и есть полный дифференциал

${\displaystyle dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}dx_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}dx_{n},}$

что является основной частью изменения y в результате изменений независимых переменных  x _i .

Точнее, в контексте многомерного исчисления, следуя Куранту (1937b) , если f - дифференцируемая функция, то по определению дифференцируемости приращение

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta y&{}{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}f(x_{1}+\Delta x_{1},\dots ,x_{n}+\Delta x_{n})-f(x_{1},\dots ,x_{n})\\&{}={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\Delta x_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\Delta x_{n}+\varepsilon _{1}\Delta x_{1}+\cdots +\varepsilon _{n}\Delta x_{n}\end{aligned}}}$

где члены ошибки ε _i стремятся к нулю, когда приращения Δ x _i вместе стремятся к нулю. Полный дифференциал тогда строго определяется как 

${\displaystyle dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\Delta x_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\Delta x_{n}.}$

Поскольку с этим определением

${\displaystyle dx_{i}(\Delta x_{1},\dots ,\Delta x_{n})=\Delta x_{i},}$

надо

${\displaystyle dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\,dx_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\,dx_{n}.}$

Как и в случае одной переменной, выполняется приближенное тождество

${\displaystyle dy\approx \Delta y}$

в котором общая ошибка может быть сделана сколь угодно малой по сравнению с , сосредоточив внимание на достаточно малых приращениях.${\displaystyle {\sqrt {\Delta x_{1}^{2}+\cdots +\Delta x_{n}^{2}}}}$

Применение полного дифференциала к оценке ошибки [ править ]

При измерении полная разность используется для оценки ошибки Δ f функции f на основе ошибок Δ x , Δ y , ... параметров x , y ,…. Предполагая, что интервал достаточно короткий, чтобы изменение было приблизительно линейным:

Δ f ( x ) = f ' ( x ) × Δ x

и что все переменные независимы, то для всех переменных

${\displaystyle \Delta f=f_{x}\Delta x+f_{y}\Delta y+\cdots }$

Это связано с тем, что производная f _x по конкретному параметру x дает чувствительность функции f к изменению x , в частности ошибку Δ x . Поскольку предполагается, что они независимы, анализ описывает наихудший сценарий. Используются абсолютные значения ошибок компонентов, поскольку после несложного вычисления производная может иметь отрицательный знак. Из этого принципа выводятся правила ошибок суммирования, умножения и т. Д., Например:

Пусть f ( a , b ) = a × b ;

Δ f = f _a Δ a + f _b Δ b ; оценка производных

Δ f = b Δ a + a Δ b ; деление на f , которое есть a × b

Δ f / f = Δ a / a + Δ b / b

Другими словами, при умножении общая относительная ошибка является суммой относительных ошибок параметров.

Чтобы проиллюстрировать, как это зависит от рассматриваемой функции, рассмотрим случай, когда функция имеет вид f ( a , b ) = a ln b . Затем можно вычислить, что оценка ошибки равна

Δ f / f = Δ a / a + Δ b / ( b ln b )

с дополнительным фактором ln b , которого нет в случае простого продукта. Этот дополнительный фактор имеет тенденцию уменьшать ошибку, поскольку ln b не так велик, как голое  b .

Дифференциалы высшего порядка [ править ]

Дифференциалы высшего порядка функции y  =  f ( x ) одной переменной x могут быть определены с помощью: ^[8]

${\displaystyle d^{2}y=d(dy)=d(f'(x)dx)=(df'(x))dx=f''(x)\,(dx)^{2},}$

и в целом

${\displaystyle d^{n}y=f^{(n)}(x)\,(dx)^{n}.}$

Неформально это мотивирует обозначение Лейбница для производных более высокого порядка

${\displaystyle f^{(n)}(x)={\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}.}$

Когда самой независимой переменной x разрешено зависеть от других переменных, тогда выражение становится более сложным, поскольку оно должно включать также дифференциалы более высокого порядка в самом x . Так, например,

${\displaystyle {\begin{aligned}d^{2}y&=f''(x)\,(dx)^{2}+f'(x)d^{2}x\\d^{3}y&=f'''(x)\,(dx)^{3}+3f''(x)dx\,d^{2}x+f'(x)d^{3}x\end{aligned}}}$

и так далее.

Аналогичные соображения применимы к определению дифференциалов высшего порядка функций нескольких переменных. Например, если f является функцией двух переменных x и y , то

${\displaystyle d^{n}f=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {\partial ^{n}f}{\partial x^{k}\partial y^{n-k}}}(dx)^{k}(dy)^{n-k},}$

где - биномиальный коэффициент . Для большего числа переменных справедливо аналогичное выражение, но с соответствующим полиномиальным разложением, а не биномиальным разложением. ^[9]${\textstyle {\binom {n}{k}}}$

Дифференциалы более высокого порядка по нескольким переменным также становятся более сложными, когда независимые переменные сами могут зависеть от других переменных. Например, для функции f от x и y, которой разрешено зависеть от вспомогательных переменных, есть

${\displaystyle d^{2}f=\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(dx)^{2}+2{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}dx\,dy+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}(dy)^{2}\right)+{\frac {\partial f}{\partial x}}d^{2}x+{\frac {\partial f}{\partial y}}d^{2}y.}$

Из-за этой неточности обозначений использование дифференциалов более высокого порядка подверглось резкой критике Адамаром 1935 , который пришел к выводу:

Enfin, que signifie ou que représente l'égalité

${\displaystyle d^{2}z=r\,dx^{2}+2s\,dx\,dy+t\,dy^{2}\,?}$

A mon avis, rien du tout.

То есть: наконец, что означает или представляет равенство [...]? На мой взгляд, вообще ничего. Несмотря на этот скептицизм, дифференциалы более высокого порядка стали важным инструментом анализа. ^[10]

В этих контекстах дифференциал n- го порядка функции f, применяемый к приращению Δ x , определяется следующим образом:

${\displaystyle d^{n}f(x,\Delta x)=\left.{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}f(x+t\Delta x)\right|_{t=0}}$

или эквивалентное выражение, например

${\displaystyle \lim _{t\to 0}{\frac {\Delta _{t\Delta x}^{n}f}{t^{n}}}}$

где - n- я прямая разность с приращением t Δ x .${\displaystyle \Delta _{t\Delta x}^{n}f}$

Это определение также имеет смысл, если f является функцией нескольких переменных (для простоты взято здесь как векторный аргумент). Тогда n- й дифференциал, определенный таким образом, является однородной функцией степени n в приращении вектора Δ x . Кроме того, ряд Тейлора функции f в точке x задается формулой

${\displaystyle f(x+\Delta x)\sim f(x)+df(x,\Delta x)+{\frac {1}{2}}d^{2}f(x,\Delta x)+\cdots +{\frac {1}{n!}}d^{n}f(x,\Delta x)+\cdots }$

Производная Гато более высокого порядка обобщает эти соображения на бесконечномерные пространства.

Свойства [ править ]

Ряд свойств дифференциала прямо следует из соответствующих свойств производной, частной производной и полной производной. К ним относятся: ^[11]

• Линейность : для констант a и b и дифференцируемых функций f и g ,

${\displaystyle d(af+bg)=a\,df+b\,dg.}$

• Правило произведения : для двух дифференцируемых функций f и g ,

${\displaystyle d(fg)=f\,dg+g\,df.}$

Операция d с этими двумя свойствами известна в абстрактной алгебре как вывод . Они подразумевают правило власти

${\displaystyle d(f^{n})=nf^{n-1}df}$

Кроме того, соблюдаются различные формы цепного правила , с возрастающей степенью общности: ^[12]

• Если y  =  f ( u ) - дифференцируемая функция переменной u, а u  =  g ( x ) - дифференцируемая функция от x , то

${\displaystyle dy=f'(u)\,du=f'(g(x))g'(x)\,dx.}$

• Если y = f ( x ₁ , ..., x _n ) и все переменные  x ₁ , ...,  x _n зависят от другой переменной  t , то по цепному правилу для частных производных имеем

${\displaystyle {\begin{aligned}dy&={\frac {dy}{dt}}dt\\&={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}dx_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}dx_{n}\\&={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}{\frac {dx_{1}}{dt}}\,dt+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}{\frac {dx_{n}}{dt}}\,dt.\end{aligned}}}$

Эвристически правило цепочки для нескольких переменных можно понять, разделив обе части этого уравнения на бесконечно малую величину dt .

• Справедливы более общие аналогичные выражения, в которых промежуточные переменные x _i зависят от более чем одной переменной.

Общая формулировка [ править ]

Непротиворечивое понятие дифференциала может быть развито для функции f  : R ⁿ → R ^m между двумя евклидовыми пространствами . Пусть x , ∆ x  ∈  R ⁿ - пара евклидовых векторов . Приращение функции f равно

${\displaystyle \Delta f=f(\mathbf {x} +\Delta \mathbf {x} )-f(\mathbf {x} ).}$

Если существует матрица A размера m  ×  n такая, что

${\displaystyle \Delta f=A\Delta \mathbf {x} +\|\Delta \mathbf {x} \|{\boldsymbol {\varepsilon }}}$

в котором вектор ε  → 0 при ∆ x  → 0, то f по определению дифференцируема в точке x . Матрица A иногда называется матрицей Якоби , и линейное преобразование, которое связывает с приращением Δ x  ∈  R ⁿ вектор A Δ x  ∈  R ^m , в этом общем случае известно как дифференциал df ( x ) функции f в точке x . Это в точности производная Фреше, и такая же конструкция может работать для функции между любыми банаховыми пространствами .

Другая плодотворная точка зрения - определить дифференциал непосредственно как своего рода производную по направлению :

${\displaystyle df(\mathbf {x} ,\mathbf {h} )=\lim _{t\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +t\mathbf {h} )-f(\mathbf {x} )}{t}}=\left.{\frac {d}{dt}}f(\mathbf {x} +t\mathbf {h} )\right|_{t=0},}$

который уже используется для определения дифференциалов более высокого порядка (и наиболее близок к определению, данному Коши). Если t представляет время и положение по оси x , то h представляет собой скорость, а не смещение, как мы до сих пор его рассматривали. Это приводит к еще одному уточнению понятия дифференциала: он должен быть линейной функцией кинематической скорости. Набор всех скоростей, проходящих через данную точку пространства, известен как касательное пространство , и поэтому df дает линейную функцию на касательном пространстве: дифференциальную форму . При такой интерпретации дифференциал f известен как внешняя производная, и имеет широкое применение в дифференциальной геометрии, поскольку понятие скоростей и касательного пространства имеет смысл на любом дифференцируемом многообразии . Если, кроме того, выходное значение f также представляет положение (в евклидовом пространстве), то размерный анализ подтверждает, что выходное значение df должно быть скоростью. Если рассматривать дифференциал таким образом, то он известен как продвижение вперед, поскольку он «толкает» скорости из исходного пространства в скорости в целевом пространстве.

Другие подходы [ править ]

Хотя понятие наличия бесконечно малого приращения dx не совсем четко определено в современном математическом анализе , существует множество методов для определения бесконечно малого дифференциала, чтобы дифференциал функции мог обрабатываться таким образом, который не противоречит обозначениям Лейбница. . К ним относятся:

• Определение дифференциала как разновидности дифференциальной формы , а именно внешней производной функции. Затем бесконечно малые приращения отождествляются с векторами в касательном пространстве в точке. Этот подход популярен в дифференциальной геометрии и смежных областях, поскольку он легко обобщается на отображения между дифференцируемыми многообразиями .
• Дифференциалы как нильпотентные элементы коммутативных колец . Этот подход популярен в алгебраической геометрии . ^[13]
• Дифференциалы в гладких моделях теории множеств. Этот подход известен как синтетическая дифференциальная геометрия или гладкий инфинитезимальный анализ и тесно связан с алгебро-геометрическим подходом, за исключением того, что идеи теории топосов используются, чтобы скрыть механизмы, с помощью которых вводятся нильпотентные бесконечно малые. ^[14]
• Дифференциалы как бесконечно малые в гиперреальных системах счисления, которые являются расширениями действительных чисел, которые содержат обратимые бесконечно малые и бесконечно большие числа. Это подход нестандартного анализа, впервые примененный Абрахамом Робинсоном . ^[15]

Примеры и приложения [ править ]

Дифференциалы можно эффективно использовать в численном анализе для изучения распространения экспериментальных ошибок в расчетах и, таким образом, общей численной устойчивости задачи ( Courant 1937a ). Предположим, что переменная x представляет собой результат эксперимента, а y - результат численного вычисления, примененного к x . Вопрос в том, в какой степени ошибки в измерении x влияют на результат вычисления y . Если x известен в пределах Δ x от его истинного значения, то теорема Тейлора дает следующую оценку ошибки Δy при вычислении y :

${\displaystyle \Delta y=f'(x)\Delta x+{\frac {(\Delta x)^{2}}{2}}f''(\xi )}$

где ξ = x + θ Δ x для некоторого 0 < θ <1 . Если Δ x мало, то членом второго порядка можно пренебречь, так что Δ y для практических целей хорошо аппроксимируется выражением dy = f ' ( x ) Δ x .

Дифференциал часто бывает полезен, чтобы переписать дифференциальное уравнение

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=g(x)}$

в виде

${\displaystyle dy=g(x)\,dx,}$

в частности, когда нужно разделить переменные .

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Бойер, Карл Б. (1959), История исчисления и его концептуальное развитие , Нью-Йорк: Dover Publications , MR  0124178.
• Коши, Огюстен-Луи (1823 г.), Résumé des Leçons données à l'Ecole royale polytechnique sur les Applications du Calcul infinitésimal , заархивировано из оригинала 04.05.2009 , получено 19.08.2009.
• Курант, Ричард (1937a), Дифференциальное и интегральное исчисление. Vol. I , Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons (опубликовано в 1988 г.), ISBN 978-0-471-60842-4, Руководство по ремонту  1009558.
• Курант, Ричард (1937b), Дифференциальное и интегральное исчисление. Vol. II , Библиотека Wiley Classics, Нью-Йорк: John Wiley & Sons (опубликовано в 1988 г.), ISBN 978-0-471-60840-0, Руководство по ремонту  1009559.
• Курант, Ричард ; Джон, Фриц (1999), Введение в исчисление и анализ, том 1 , Классика математики, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 3-540-65058-Х, Руководство по ремонту  1746554
• Эйзенбуд, Дэвид ; Харрис, Джо (1998), Геометрия схем , Springer-Verlag, ISBN 0-387-98637-5.
• Фреше, Морис (1925), "La notion de différentielle dans l'analyse générale", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 3, 42 : 293–323, ISSN  0012-9593 , MR  1509268.
• Гурса, Эдуард (1904 г.), Курс математического анализа: Том 1: Производные и дифференциалы, определенные интегралы, разложение в ряды, приложения к геометрии , ER Hedrick, New York: Dover Publications (опубликовано в 1959 г.), MR  0106155.
• Адамар, Жак (1935), "La notion de différentiel dans l'enseignement", Mathematical Gazette , XIX (236): 341–342, JSTOR  3606323.
• Харди, Годфри Гарольд (1908), курс чистой математики , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-09227-2.
• Хилле, Эйнар ; Филлипс, Ральф С. (1974), Функциональный анализ и полугруппы , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , MR  0423094.
• Ито, Киёси (1993), Энциклопедический математический словарь (2-е изд.), MIT Press , ISBN 978-0-262-59020-4.
• Клайн, Моррис (1977), «Глава 13: Дифференциалы и закон среднего», Исчисление: интуитивный и физический подход , John Wiley and Sons.
• Клайн, Моррис (1972), Математическая мысль от древних до наших дней (3-е изд.), Oxford University Press (опубликовано в 1990 г.), ISBN 978-0-19-506136-9
• Кейслер, Х. Джером (1986), Элементарное исчисление: бесконечно малый подход (2-е изд.).
• Кок, Андерс (2006), Синтетическая дифференциальная геометрия (PDF) (2-е изд.), Cambridge University Press.
• Moerdijk, I .; Рейес, Г.Е. (1991), Модели для гладкого инфинитезимального анализа , Springer-Verlag.
• Робинсон, Абрахам (1996), нестандартный анализ , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-04490-3.
• Толстов, Г.П. (2001) [1994], «Дифференциал» , Математическая энциклопедия , EMS Press.

Внешние ссылки [ править ]

• Дифференциал функции в демонстрационном проекте Wolfram