Вариационное исчисление

Исчисление вариаций является полем математического анализа , который использует вариацию, которые являются небольшими изменениями в функциях и функционалах , чтобы найти максимумы и минимумы функционалов: отображения из множества функций на действительные числа . ^[a] Функционалы часто выражаются как определенные интегралы, включающие функции и их производные . Функции, которые максимизируют или минимизируют функционалы, могут быть найдены с помощью уравнения Эйлера – Лагранжа вариационного исчисления.

Простой пример такой задачи - найти кривую наименьшей длины, соединяющую две точки. Если ограничений нет, решением будет прямая линия между точками. Однако, если кривая ограничена лежать на поверхности в пространстве, то решение менее очевидное, и, возможно, может существовать множество решений. Такие решения известны как геодезические . Связанная с этим проблема связана с принципом Ферма : свет следует по пути кратчайшей оптической длины, соединяющему две точки, где оптическая длина зависит от материала среды. Одно из соответствующих понятий в механике - принцип наименьшего / стационарного действия .

Многие важные проблемы связаны с функциями нескольких переменных. Решения краевых задач для уравнения Лапласа удовлетворяют принципу Дирихле . Проблема Плато требует найти поверхность минимальной площади, которая охватывает заданный контур в пространстве: решение часто можно найти, окунув раму в раствор мыльной пены. Хотя такие эксперименты относительно легко выполнить, их математическая интерпретация далеко не проста: может быть более одной локально минимизирующей поверхности, и они могут иметь нетривиальную топологию .

История [ править ]

Можно сказать, что вариационное исчисление началось с задачи Ньютона о минимальном сопротивлении в 1687 году, за которой следует проблема кривой брахистохроны, поставленная Иоганном Бернулли (1696). ^[2] Это сразу же привлекло внимание Якоба Бернулли и маркиза де л'Опиталь , но Леонард Эйлер впервые разработал эту тему, начиная с 1733 года. Лагранж находился под влиянием работ Эйлера, которые внесли значительный вклад в теорию. После того, как Эйлер увидел работу 19-летнего Лагранжа 1755 года, Эйлер отказался от своего частично геометрического подхода в пользу чисто аналитического подхода Лагранжа и переименовал предмет в вариационное исчисление.в лекции 1756 г. « Elementa Calculi Variationum» . ^{[3] [4] [1]}

Лежандр (1786) изложил метод, не вполне удовлетворительный, для различения максимумов и минимумов. Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц также вначале обратили внимание на эту тему. ^[5] В этом различении Винченцо Бруначчи (1810), Карл Фридрих Гаусс (1829), Симеон Пуассон (1831), Михаил Остроградский (1834) и Карл Якоби (1837) были среди авторов. Важной общей работой является работа Сарруса (1842), которая была сокращена и улучшена Коши (1844). Другие ценные трактаты и воспоминания были написаны Штраухом.(1849), Джеллетт (1850), Отто Гессе (1857), Альфред Клебш (1858) и Карл (1885), но, пожалуй, самая важная работа века - это работа Вейерштрасса . Его знаменитый теоретический курс является эпохальным, и можно утверждать, что он был первым, кто положил его на прочную и неоспоримую основу. Двадцатые и двадцать третий Гильберт опубликован в 1900 году призвали к дальнейшему развитию. ^[5]

В 20-м веке значительный вклад внесли Давид Гильберт , Эмми Нётер , Леонида Тонелли , Анри Лебег и Жак Адамар . ^[5] Марстон Морс применил вариационное исчисление в том, что сейчас называется теорией Морса . ^[6] Лев Понтрягин , Ральф Рокафеллар и Ф. Х. Кларк разработали новые математические инструменты для вариационного исчисления в теории оптимального управления . ^[6] динамическое программирование на Ричард Беллмана является альтернативой вариационного исчисления.^{[7] [8] [9] [b]}

Extrema [ править ]

Вариационное исчисление касается максимумов или минимумов (в совокупности называемых экстремумами ) функционалов. Функционал отображает функции в скаляры , поэтому функционалы были описаны как «функции функций». Функционалы имеют экстремумы относительно элементов y данного функционального пространства, определенного в данной области . Говорят, что функционал J [ y ] имеет экстремум на функции f,  если ΔJ = J [ y ] - J [ f ] имеет тот же знакдля всех y в сколь угодно малой окрестности f . ^[c] Функция f называется экстремальной функцией или экстремальной. ^[d] Экстремум J [ f ] называется локальным максимумом, если ΔJ ≤ 0 всюду в сколь угодно малой окрестности f , и локальным минимумом, если ΔJ ≥ 0 там. Для функционального пространства непрерывных функций экстремумы соответствующих функционалов называются слабыми экстремумами или сильными экстремумами., в зависимости от того, все ли первые производные непрерывных функций соответственно непрерывны или нет. ^[11]

И сильные, и слабые экстремумы функционалов относятся к пространству непрерывных функций, но сильные экстремумы имеют дополнительное требование, чтобы первые производные функций в пространстве были непрерывными. Таким образом, сильный экстремум также является слабым экстремумом, но обратное утверждение может не выполняться. Найти сильные экстремумы сложнее, чем найти слабые. ^[12] Примером необходимого условия , которое используется для нахождения слабых экстремумов, является уравнение Эйлера – Лагранжа . ^{[13] [e]}

Уравнение Эйлера – Лагранжа [ править ]

Нахождение экстремумов функционалов аналогично поиску максимумов и минимумов функций. Максимумы и минимумы функции можно найти, найдя точки, в которых ее производная равна нулю (т.е. равна нулю). Экстремумы функционалов могут быть получены путем нахождения функций, у которых функциональная производная равна нулю. Это приводит к решению связанного уравнения Эйлера – Лагранжа . ^[f]

Рассмотрим функционал

${\displaystyle J[y]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}L(x,y(x),y'(x))\,dx\,.}$

куда

x ₁ , x ₂ - константы ,

y ( x ) дважды непрерывно дифференцируем,

y ′ ( x ) = dy / dx   ,

L ( x , y ( x ), y ′ ( x )) дважды непрерывно дифференцируемо по своим аргументам x ,   y ,   y ′ .

Если функционал J [ y ] достигает локального минимума в точке f , а η ( x ) - произвольная функция, которая имеет хотя бы одну производную и обращается в нуль на концах x ₁ и x ₂ , то для любого числа ε, близкого к 0,

${\displaystyle J[f]\leq J[f+\varepsilon \eta ]\,.}$

Термин εη называется вариацией функции F и обозначается через & Dgr ; f . ^{[1] [г]}

Подставляя   п + εη для у   в функциональной J [ г ], результатом является функцией е ,

${\displaystyle \Phi (\varepsilon )=J[f+\varepsilon \eta ]\,.}$

Поскольку функционал J [ y ] имеет минимум при y = f , функция Φ ( ε ) имеет минимум при ε = 0 и, следовательно, ^[h]

${\displaystyle \Phi '(0)\equiv \left.{\frac {d\Phi }{d\varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left.{\frac {dL}{d\varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}dx=0\,.}$

Взяв полную производную от L [ x , y , y ′], где y = f + ε η и y ′ = f ′ + ε η ′ рассматриваются как функции от ε, а не от x , получаем

${\displaystyle {\frac {dL}{d\varepsilon }}={\frac {\partial L}{\partial y}}{\frac {dy}{d\varepsilon }}+{\frac {\partial L}{\partial y'}}{\frac {dy'}{d\varepsilon }}}$

и поскольку   dy / dε = η  и  dy ′ / dε = η ' ,

${\displaystyle {\frac {dL}{d\varepsilon }}={\frac {\partial L}{\partial y}}\eta +{\frac {\partial L}{\partial y'}}\eta '.}$

Следовательно,

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left.{\frac {dL}{d\varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}dx&=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left({\frac {\partial L}{\partial f}}\eta +{\frac {\partial L}{\partial f'}}\eta '\right)\,dx\\&=\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\frac {\partial L}{\partial f}}\eta \,dx+\left.{\frac {\partial L}{\partial f'}}\eta \right|_{x_{1}}^{x_{2}}-\int _{x_{1}}^{x_{2}}\eta {\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}\,dx\\&=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left({\frac {\partial L}{\partial f}}\eta -\eta {\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}\right)\,dx\\\end{aligned}}}$

где L [ x , y , y ′] → L [ x , f , f ′], когда ε = 0, и мы использовали интегрирование по частям для второго члена. Второй член во второй строке равен нулю, поскольку η = 0 в точках x ₁ и x ₂ по определению. Кроме того, как упоминалось ранее, левая часть уравнения равна нулю, так что

${\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}\eta (x)\left({\frac {\partial L}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}\right)\,dx=0\,.}$

Согласно основной лемме вариационного исчисления , часть подынтегрального выражения в скобках равна нулю, т.е.

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}=0}$

которое называется уравнением Эйлера – Лагранжа . Левая часть этого уравнения называется функциональной производной от J [ f ] и обозначается δJ / δf ( x ).

В общем, это дает обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, которое может быть решено для получения экстремальной функции f ( x ). Уравнение Эйлера – Лагранжа является необходимым , но не достаточным условием экстремума J [ f ] . Достаточное условие минимума дано в разделе Варианты и достаточное условие минимума .

Пример [ править ]

Чтобы проиллюстрировать этот процесс, рассмотрим задачу поиска экстремальной функции y = f ( x ), которая является кратчайшей кривой, соединяющей две точки ( x ₁ , y ₁ ) и ( x ₂ , y ₂ ). Длина дуги кривой определяется выражением

${\displaystyle A[y]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {1+[y'(x)]^{2}}}\,dx\,,}$

с

${\displaystyle y\,'(x)={\frac {dy}{dx}}\,,\ \ y_{1}=f(x_{1})\,,\ \ y_{2}=f(x_{2})\,.}$

^[я]

Уравнение Эйлера – Лагранжа теперь будет использоваться для нахождения экстремальной функции f ( x ), которая минимизирует функционал A [ y ].

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}=0}$

с

${\displaystyle L={\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,.}$

Поскольку f не появляется явно в L , первый член в уравнении Эйлера – Лагранжа обращается в нуль для всех f ( x ) и, таким образом,

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}=0\,.}$

Подставив L и взяв производную,

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ {\frac {f'(x)}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}}\ =0\,.}$

Таким образом

${\displaystyle {\frac {f'(x)}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}}=c\,,}$

для некоторой постоянной c . потом

${\displaystyle {\frac {[f'(x)]^{2}}{1+[f'(x)]^{2}}}=c^{2}\,,}$

куда

${\displaystyle 0\leq c^{2}<1.}$

Решив, получаем

${\displaystyle [f'(x)]^{2}={\frac {c^{2}}{1-c^{2}}}\,}$

откуда следует, что

${\displaystyle f'(x)=m}$

является константой, поэтому кратчайшая кривая, соединяющая две точки ( x ₁ , y ₁ ) и ( x ₂ , y ₂ ), равна

${\displaystyle f(x)=mx+b\qquad {\text{with}}\ \ m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\quad {\text{and}}\quad b={\frac {x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}}$

Таким образом, мы нашли экстремальную функцию f ( x ), которая минимизирует функционал A [ y ] так, что A [ f ] является минимальным. Уравнение прямой линии y = f ( x ) . Другими словами, кратчайшее расстояние между двумя точками - прямая линия. ^[j]

Личность Бельтрами [ править ]

В физических задачах это может означать , что подынтегральная функция является функцией и, но не появляется отдельно. В этом случае уравнение Эйлера – Лагранжа можно упростить до тождества Бельтрами ^[16]${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x}}=0}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f'(x)}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle L-f'{\frac {\partial L}{\partial f'}}=C\,,}$

где - константа. Левая сторона представляет собой преобразование Лежандра по отношению к .${\displaystyle C}$${\displaystyle L}$${\displaystyle f'(x)}$

Интуиция, стоящая за этим результатом, заключается в том, что если переменная x на самом деле является временем, то утверждение подразумевает, что лагранжиан не зависит от времени. По теореме Нётер существует соответствующая сохраняющаяся величина. В данном случае эта величина является гамильтонианом, преобразованием Лежандра лагранжиана, которое (часто) совпадает с энергией системы. Это (минус) константа в личности Бельтрами.${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x}}=0}$

Уравнение Эйлера – Пуассона [ править ]

Если зависит от высших производных от , то есть если${\displaystyle S}$${\displaystyle y(x)}$

${\displaystyle S=\int \limits _{a}^{b}f(x,y(x),y'(x),...,y^{n}(x))dx,}$

то должно удовлетворять уравнению Эйлера – Пуассона ,${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}-{\frac {d}{dx}}\left({\frac {\partial f}{\partial y'}}\right)+...+(-1)^{n}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left[{\frac {\partial f}{\partial y^{(n)}}}\right]=0.}$^[17]

Теорема Дюбуа-Реймона [ править ]

До сих пор обсуждение предполагало, что экстремальные функции обладают двумя непрерывными производными, хотя для существования интеграла J требуются только первые производные от пробных функций. Условие обращения в нуль первой вариации на экстремали можно рассматривать как слабую форму уравнения Эйлера – Лагранжа. Теорема Дюбуа-Реймона утверждает, что из этой слабой формы следует сильная. Если L имеет непрерывные первая и вторая производные по всем своим аргументам и если

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}L}{\partial f'^{2}}}\neq 0,}$

тогда имеет две непрерывные производные и удовлетворяет уравнению Эйлера – Лагранжа.${\displaystyle f}$

Феномен Лаврентьева [ править ]

Гильберт был первым, кто дал хорошие условия для того, чтобы уравнения Эйлера – Лагранжа давали стационарное решение. В пределах выпуклой области и положительного трижды дифференцируемого лагранжиана решения состоят из счетного набора сечений, которые либо проходят вдоль границы, либо удовлетворяют уравнениям Эйлера – Лагранжа внутри.

Однако Лаврентьев в 1926 году показал, что есть обстоятельства, при которых нет оптимального решения, но к нему можно подойти сколь угодно близко, увеличивая количество разделов. Феномен Лаврентьева определяет разницу в нижней грани задачи минимизации для разных классов допустимых функций. Например, следующая проблема, представленная Маниа в 1934 году: ^[18]

${\displaystyle L[x]=\int _{0}^{1}(x^{3}-t)^{2}x'^{6},\,}$

${\displaystyle {A}=\{x\in W^{1,1}(0,1):x(0)=0,\ x(1)=1\}.}$

Понятно, что минимизирует функционал, но мы находим, что любая функция дает значение, ограниченное от нижней грани!${\displaystyle x(t)=t^{\frac {1}{3}}}$${\displaystyle x\in W^{1,\infty }}$

Примеры (в одномерном) традиционно проявляются через и , но Болл и Мизель ^[19] разработали первый функционал, который отображал Феномен Лаврентьева поперек и для. Есть несколько результатов, которые дают критерии, при которых это явление не возникает - например, «стандартный рост », лагранжиан без зависимости от второй переменной или аппроксимирующая последовательность, удовлетворяющая условию Чезари (D) - но результаты часто бывают частными и применимы к небольшому классу функционалов. ${\displaystyle W^{1,1}}$${\displaystyle W^{1,\infty }}$${\displaystyle W^{1,p}}$${\displaystyle W^{1,q}}$${\displaystyle 1\leq p<q<\infty .}$

С Феноменом Лаврентьева связано свойство отталкивания: любой функционал, отображающий Феномен Лаврентьева, будет проявлять свойство слабого отталкивания. ^[20]

Функции нескольких переменных [ править ]

Например, если φ ( x , y ) обозначает смещение мембраны над областью D в плоскости x , y , то ее потенциальная энергия пропорциональна площади ее поверхности:

${\displaystyle U[\varphi ]=\iint _{D}{\sqrt {1+\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi }}\,dx\,dy.\,}$

Проблема Плато состоит в нахождении функции, которая минимизирует площадь поверхности, принимая заданные значения на границе D ; решения называются минимальными поверхностями . Уравнение Эйлера – Лагранжа для этой задачи нелинейно:

${\displaystyle \varphi _{xx}(1+\varphi _{y}^{2})+\varphi _{yy}(1+\varphi _{x}^{2})-2\varphi _{x}\varphi _{y}\varphi _{xy}=0.\,}$

См. Подробности в Courant (1950).

Принцип Дирихле [ править ]

Часто достаточно рассматривать только небольшие смещения мембраны, разность энергии которых от отсутствия смещения аппроксимируется выражением

${\displaystyle V[\varphi ]={\frac {1}{2}}\iint _{D}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \,dx\,dy.\,}$

Функционала V должно быть сведено к минимуму среди всех пробных функций ф, предположим , заданные значения на границе D . Если u - минимизирующая функция, а v - произвольная гладкая функция, которая обращается в нуль на границе D , то первая вариация должна исчезнуть:${\displaystyle V[u+\varepsilon v]}$

${\displaystyle {\frac {d}{d\varepsilon }}V[u+\varepsilon v]|_{\varepsilon =0}=\iint _{D}\nabla u\cdot \nabla v\,dx\,dy=0.\,}$

При условии, что u имеет две производные, мы можем применить теорему о расходимости, чтобы получить

${\displaystyle \iint _{D}\nabla \cdot (v\nabla u)\,dx\,dy=\iint _{D}\nabla u\cdot \nabla v+v\nabla \cdot \nabla u\,dx\,dy=\int _{C}v{\frac {\partial u}{\partial n}}\,ds,}$

где С является границей D , ев является длина дуги вдоль C и является нормальной производной функции и на С . Так как v обращается в нуль на C и первая вариация равна нулю, результатом будет${\displaystyle \partial u/\partial n}$

${\displaystyle \iint _{D}v\nabla \cdot \nabla u\,dx\,dy=0\,}$

для всех гладких функций V, равных нулю на границе D . Доказательство для случая одномерных интегралов может быть адаптировано к этому случаю, чтобы показать, что

${\displaystyle \nabla \cdot \nabla u=0\,}$в D .

Сложность этого рассуждения состоит в предположении, что минимизирующая функция u должна иметь две производные. Риман утверждал, что существование гладкой минимизирующей функции было обеспечено связью с физической проблемой: мембраны действительно принимают конфигурации с минимальной потенциальной энергией. Риман назвал эту идею принципом Дирихле в честь своего учителя Петера Густава Лежена Дирихле . Однако Вейерштрасс привел пример вариационной задачи без решения: минимизировать

${\displaystyle W[\varphi ]=\int _{-1}^{1}(x\varphi ')^{2}\,dx\,}$

среди всех функций φ, которые удовлетворяют, и могут быть сделаны сколь угодно малыми путем выбора кусочно-линейных функций, которые совершают переход между -1 и 1 в малой окрестности начала координат. Однако нет функции, которая делает . ^[k] В конце концов было показано, что принцип Дирихле верен, но требует сложного применения теории регулярности для эллиптических уравнений в частных производных ; см. Jost and Li – Jost (1998).${\displaystyle \varphi (-1)=-1}$${\displaystyle \varphi (1)=1.}$${\displaystyle W}$${\displaystyle W=0}$

Обобщение на другие краевые задачи [ править ]

Более общее выражение для потенциальной энергии мембраны:

${\displaystyle V[\varphi ]=\iint _{D}\left[{\frac {1}{2}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi +f(x,y)\varphi \right]\,dx\,dy\,+\int _{C}\left[{\frac {1}{2}}\sigma (s)\varphi ^{2}+g(s)\varphi \right]\,ds.}$

Это соответствует внешней плотности силы в D , внешнюю силу на границе С , и упругими силами с модулем , действующим на С . Функция, минимизирующая потенциальную энергию без ограничения ее граничных значений, будет обозначена u . При условии, что f и g непрерывны, теория регулярности подразумевает, что минимизирующая функция u будет иметь две производные. При выборе первого варианта не требуется налагать граничные условия на приращение v . Первый вариант дается формулой${\displaystyle f(x,y)}$${\displaystyle g(s)}$${\displaystyle \sigma (s)}$${\displaystyle V[u+\varepsilon v]}$

${\displaystyle \iint _{D}\left[\nabla u\cdot \nabla v+fv\right]\,dx\,dy+\int _{C}\left[\sigma uv+gv\right]\,ds=0.\,}$

Если мы применим теорему о расходимости, результат будет

${\displaystyle \iint _{D}\left[-v\nabla \cdot \nabla u+vf\right]\,dx\,dy+\int _{C}v\left[{\frac {\partial u}{\partial n}}+\sigma u+g\right]\,ds=0.\,}$

Если сначала положить v  = 0 на C , граничный интеграл обращается в нуль, и мы, как и раньше, заключаем, что

${\displaystyle -\nabla \cdot \nabla u+f=0\,}$

в D . Тогда, если мы позволим v принимать произвольные граничные значения, это означает, что u должен удовлетворять граничному условию

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial n}}+\sigma u+g=0,\,}$

на C . Это граничное условие является следствием минимизирующего свойства u : оно не накладывается заранее. Такие условия называются естественными граничными условиями .

Предыдущие рассуждения не действует , если тождественно обращается в нуль на С . В таком случае мы могли бы разрешить пробную функцию , где c - константа. Для такой пробной функции${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \varphi \equiv c}$

${\displaystyle V[c]=c\left[\iint _{D}f\,dx\,dy+\int _{C}g\,ds\right].}$

При соответствующем выборе c , V может принимать любое значение, если величина в скобках не обращается в нуль. Следовательно, вариационная задача бессмысленна, если

${\displaystyle \iint _{D}f\,dx\,dy+\int _{C}g\,ds=0.\,}$

Это условие означает, что чистые внешние силы, действующие на систему, находятся в равновесии. Если эти силы находятся в равновесии, то вариационная задача имеет решение, но оно не единственное, поскольку может быть добавлена ​​произвольная константа. Дальнейшие подробности и примеры можно найти у Куранта и Гильберта (1953).

Проблемы с собственными значениями [ править ]

Как одномерные, так и многомерные задачи на собственные значения могут быть сформулированы как вариационные задачи.

Задачи Штурма – Лиувилля [ править ]

Проблема собственных значений Штурма – Лиувилля включает общую квадратичную форму

${\displaystyle Q[\varphi ]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left[p(x)\varphi '(x)^{2}+q(x)\varphi (x)^{2}\right]\,dx,\,}$

где ограничивается функциями, удовлетворяющими граничным условиям${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \varphi (x_{1})=0,\quad \varphi (x_{2})=0.\,}$

Пусть R - нормализационный интеграл

${\displaystyle R[\varphi ]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}r(x)\varphi (x)^{2}\,dx.\,}$

Функции и должны быть всюду положительны и отделены от нуля. Основная вариационная задача состоит в том, чтобы минимизировать отношение Q / R среди всех φ, удовлетворяющих условиям конечной точки. Ниже показано, что уравнение Эйлера – Лагранжа для минимизации u имеет вид${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle r(x)}$

${\displaystyle -(pu')'+qu-\lambda ru=0,\,}$

где λ - фактор

${\displaystyle \lambda ={\frac {Q[u]}{R[u]}}.\,}$

Можно показать (см. Гельфанд и Фомин, 1963), что минимизирующая u имеет две производные и удовлетворяет уравнению Эйлера – Лагранжа. Соответствующий λ обозначим через ; это наименьшее собственное значение для этого уравнения и граничных условий. Обозначим ассоциированную минимизирующую функцию . Эта вариационная характеристика собственных значений приводит к методу Рэлея – Ритца : выбирают аппроксимирующую u как линейную комбинацию базисных функций (например, тригонометрических функций) и выполняют конечномерную минимизацию среди таких линейных комбинаций. Этот метод часто бывает на удивление точным.${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle u_{1}(x)}$

Следующее наименьшее собственное значение и собственная функция могут быть получены путем минимизации Q при дополнительном ограничении

${\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}r(x)u_{1}(x)\varphi (x)\,dx=0.\,}$

Эту процедуру можно расширить, чтобы получить полную последовательность собственных значений и собственных функций для задачи.

Вариационная задача также применима к более общим граничным условиям. Вместо того, чтобы требовать, чтобы φ обращалось в нуль в конечных точках, мы не можем налагать никаких условий на конечные точки и установить

${\displaystyle Q[\varphi ]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left[p(x)\varphi '(x)^{2}+q(x)\varphi (x)^{2}\right]\,dx+a_{1}\varphi (x_{1})^{2}+a_{2}\varphi (x_{2})^{2},\,}$

где и произвольны. Если мы установим первую вариацию для отношения ,${\displaystyle a_{1}}$${\displaystyle a_{2}}$${\displaystyle \varphi =u+\varepsilon v}$${\displaystyle Q/R}$

${\displaystyle V_{1}={\frac {2}{R[u]}}\left(\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left[p(x)u'(x)v'(x)+q(x)u(x)v(x)-\lambda u(x)v(x)\right]\,dx+a_{1}u(x_{1})v(x_{1})+a_{2}u(x_{2})v(x_{2})\right),\,}$

где λ, как и ранее, определяется соотношением . После интеграции по частям,${\displaystyle Q[u]/R[u]}$

${\displaystyle {\frac {R[u]}{2}}V_{1}=\int _{x_{1}}^{x_{2}}v(x)\left[-(pu')'+qu-\lambda ru\right]\,dx+v(x_{1})[-p(x_{1})u'(x_{1})+a_{1}u(x_{1})]+v(x_{2})[p(x_{2})u'(x_{2})+a_{2}u(x_{2})].\,}$

Если мы сначала потребуем, чтобы v равнялось нулю на концах, первая вариация исчезнет для всех таких v, только если

${\displaystyle -(pu')'+qu-\lambda ru=0\quad {\hbox{for}}\quad x_{1}<x<x_{2}.\,}$

Если u удовлетворяет этому условию, то первая вариация обращается в нуль для произвольного v, только если

${\displaystyle -p(x_{1})u'(x_{1})+a_{1}u(x_{1})=0,\quad {\hbox{and}}\quad p(x_{2})u'(x_{2})+a_{2}u(x_{2})=0.\,}$

Эти последние условия являются естественными граничными условиями для этой задачи, поскольку они не налагаются на пробные функции для минимизации, а являются следствием минимизации.

Проблемы собственных значений в нескольких измерениях [ править ]

Задачи на собственные значения в высших измерениях определяются аналогично одномерному случаю. Например, для области D с границей B в трех измерениях мы можем определить

${\displaystyle Q[\varphi ]=\iiint _{D}p(X)\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi +q(X)\varphi ^{2}\,dx\,dy\,dz+\iint _{B}\sigma (S)\varphi ^{2}\,dS,\,}$

и

${\displaystyle R[\varphi ]=\iiint _{D}r(X)\varphi (X)^{2}\,dx\,dy\,dz.\,}$

Пусть у есть функция , которая сводит к минимуму фактора при каких условиях , заданных на границе B . Уравнение Эйлера – Лагранжа, которому удовлетворяет u, имеет вид${\displaystyle Q[\varphi ]/R[\varphi ],}$

${\displaystyle -\nabla \cdot (p(X)\nabla u)+q(x)u-\lambda r(x)u=0,\,}$

куда

${\displaystyle \lambda ={\frac {Q[u]}{R[u]}}.\,}$

Минимизирующий u также должен удовлетворять естественному граничному условию

${\displaystyle p(S){\frac {\partial u}{\partial n}}+\sigma (S)u=0,}$

на границе B . Этот результат зависит от теории регулярности эллиптических уравнений в частных производных; подробнее см. Jost and Li – Jost (1998). Многие расширения, включая результаты о полноте, асимптотические свойства собственных значений и результаты, касающиеся узлов собственных функций, содержатся в Куранте и Гильберте (1953).

Приложения [ править ]

Оптика [ править ]

Принцип Ферма гласит, что свет проходит по пути, который (локально) минимизирует оптическую длину между его конечными точками. Если координата x выбрана в качестве параметра вдоль пути и вдоль пути, то оптическая длина определяется как${\displaystyle y=f(x)}$

${\displaystyle A[f]=\int _{x=x_{0}}^{x_{1}}n(x,f(x)){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}dx,\,}$

где показатель преломления зависит от материала. Если мы попытаемся тогда первый вариант из А (производная А по отношению к е) является${\displaystyle n(x,y)}$${\displaystyle f(x)=f_{0}(x)+\varepsilon f_{1}(x)}$

${\displaystyle \delta A[f_{0},f_{1}]=\int _{x=x_{0}}^{x_{1}}\left[{\frac {n(x,f_{0})f_{0}'(x)f_{1}'(x)}{\sqrt {1+f_{0}'(x)^{2}}}}+n_{y}(x,f_{0})f_{1}{\sqrt {1+f_{0}'(x)^{2}}}\right]dx.}$

После интегрирования по частям первого члена в скобках получаем уравнение Эйлера – Лагранжа

${\displaystyle -{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {n(x,f_{0})f_{0}'}{\sqrt {1+f_{0}'^{2}}}}\right]+n_{y}(x,f_{0}){\sqrt {1+f_{0}'(x)^{2}}}=0.\,}$

Световые лучи могут быть определены интегрированием этого уравнения. Этот формализм используется в контексте лагранжевой оптики и гамильтоновой оптики .

Закон Снеллиуса [ править ]

Когда свет попадает в линзу или выходит из нее, наблюдается скачок показателя преломления. Позволять

${\displaystyle n(x,y)=n_{(-)}\quad {\hbox{if}}\quad x<0,\,}$

${\displaystyle n(x,y)=n_{(+)}\quad {\hbox{if}}\quad x>0,\,}$

где и - константы. Тогда уравнение Эйлера – Лагранжа выполняется, как и раньше, в области, где x <0 или x > 0, и фактически путь там является прямой линией, поскольку показатель преломления постоянен. В точке x = 0 f должно быть непрерывным, но f ' может быть прерывным. После интегрирования по частям в отдельных областях и с использованием уравнений Эйлера – Лагранжа первая вариация принимает вид${\displaystyle n_{(-)}}$${\displaystyle n_{(+)}}$

${\displaystyle \delta A[f_{0},f_{1}]=f_{1}(0)\left[n_{(-)}{\frac {f_{0}'(0^{-})}{\sqrt {1+f_{0}'(0^{-})^{2}}}}-n_{(+)}{\frac {f_{0}'(0^{+})}{\sqrt {1+f_{0}'(0^{+})^{2}}}}\right].\,}$

Коэффициент умножения - это синус угла падающего луча с осью x , а коэффициент умножения - это синус угла преломленного луча с осью x . Закон Снеллиуса для преломления требует, чтобы эти члены были равны. Как показывает этот расчет, закон Снеллиуса эквивалентен обращению в нуль первой вариации длины оптического пути.${\displaystyle n_{(-)}}$${\displaystyle n_{(+)}}$

Принцип Ферма в трех измерениях [ править ]

Целесообразно использование векторной записи: пусть пусть т быть параметром, пусть будет параметрическое представление кривой С , и пусть будет ее касательный вектор. Оптическая длина кривой определяется выражением${\displaystyle X=(x_{1},x_{2},x_{3}),}$${\displaystyle X(t)}$${\displaystyle {\dot {X}}(t)}$

${\displaystyle A[C]=\int _{t=t_{0}}^{t_{1}}n(X){\sqrt {{\dot {X}}\cdot {\dot {X}}}}\,dt.\,}$

Заметим , что этот интеграл инвариантно по отношению к изменениям в параметрическом представлении C . Уравнения Эйлера – Лагранжа для минимизирующей кривой имеют симметричный вид

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}P={\sqrt {{\dot {X}}\cdot {\dot {X}}}}\,\nabla n,\,}$

куда

${\displaystyle P={\frac {n(X){\dot {X}}}{\sqrt {{\dot {X}}\cdot {\dot {X}}}}}.\,}$

Из определения следует, что P удовлетворяет

${\displaystyle P\cdot P=n(X)^{2}.\,}$

Следовательно, интеграл можно также записать как

${\displaystyle A[C]=\int _{t=t_{0}}^{t_{1}}P\cdot {\dot {X}}\,dt.\,}$

Эта форма предполагает, что если мы можем найти функцию ψ, градиент которой задается P , то интеграл A определяется разностью ψ на концах интервала интегрирования. Таким образом, проблема изучения кривых, делающих интеграл стационарным, может быть связана с изучением поверхностей уровня ψ. Чтобы найти такую ​​функцию, обратимся к волновому уравнению, которое определяет распространение света. Этот формализм используется в контексте лагранжевой оптики и гамильтоновой оптики .

Связь с волновым уравнением [ править ]

Волновое уравнение для неоднородной среды

${\displaystyle u_{tt}=c^{2}\nabla \cdot \nabla u,\,}$

где с есть скорость, которая обычно зависит от X . Волновые фронты для света являются характеристическими поверхностями для этого уравнения в частных производных: они удовлетворяют

${\displaystyle \varphi _{t}^{2}=c(X)^{2}\,\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi .\,}$

Мы можем искать решения в виде

${\displaystyle \varphi (t,X)=t-\psi (X).\,}$

В этом случае ψ удовлетворяет

${\displaystyle \nabla \psi \cdot \nabla \psi =n^{2},\,}$

где Согласно теории дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка , если то P удовлетворяет${\displaystyle n=1/c.}$${\displaystyle P=\nabla \psi ,}$

${\displaystyle {\frac {dP}{ds}}=n\,\nabla n,}$

вдоль системы кривых ( световых лучей ), которые задаются

${\displaystyle {\frac {dX}{ds}}=P.\,}$

Эти уравнения для решения дифференциального уравнения с частными производными первого порядка идентичны уравнениям Эйлера – Лагранжа, если мы сделаем идентификацию

${\displaystyle {\frac {ds}{dt}}={\frac {\sqrt {{\dot {X}}\cdot {\dot {X}}}}{n}}.\,}$

Мы заключаем, что функция ψ является значением минимизирующего интеграла A как функция верхней конечной точки. То есть, когда построено семейство минимизирующих кривых, значения оптической длины удовлетворяют характеристическому уравнению, соответствующему волновому уравнению. Следовательно, решение соответствующего уравнения в частных производных первого порядка эквивалентно нахождению семейств решений вариационной задачи. Это основное содержание теории Гамильтона – Якоби , которая применяется к более общим вариационным задачам.

Механика [ править ]

В классической механике действие S определяется как интеграл от лагранжиана L по времени . Лагранжиан - это разность энергий,

${\displaystyle L=T-U,\,}$

где T - кинетическая энергия механической системы, а U - ее потенциальная энергия . Принцип Гамильтона (или принцип действия) утверждает, что движение консервативной голономной (интегрируемые связи) механической системы таково, что интеграл действия

${\displaystyle S=\int _{t=t_{0}}^{t_{1}}L(x,{\dot {x}},t)\,dt}$

является стационарным относительно вариаций пути x ( t ). Уравнения Эйлера – Лагранжа для этой системы известны как уравнения Лагранжа:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}={\frac {\partial L}{\partial x}},\,}$

и они эквивалентны уравнениям движения Ньютона (для таких систем).

Сопряженные импульсы P определяются равенством

${\displaystyle p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}.\,}$

Например, если

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2},\,}$

тогда

${\displaystyle p=m{\dot {x}}.\,}$

Гамильтонова механика возникает, если сопряженные импульсы вводятся вместо преобразования Лежандра лагранжиана L в гамильтониан H, определяемый формулой${\displaystyle {\dot {x}}}$

${\displaystyle H(x,p,t)=p\,{\dot {x}}-L(x,{\dot {x}},t).\,}$

Гамильтониан полная энергия системы: Н = T + U . Аналогия с принципом Ферма предполагает , что решения уравнений Лагранжа (траектории частиц) могут быть описаны в терминах поверхностей уровня некоторой функции X . Эта функция является решением уравнения Гамильтона – Якоби :

${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}+H\left(x,{\frac {\partial \psi }{\partial x}},t\right)=0.\,}$

Другие приложения [ править ]

Дальнейшие применения вариационного исчисления включают следующее:

• Возникновение цепной формы
• Решение проблемы минимального сопротивления Ньютона
• Решение проблемы брахистохрона
• Решение изопериметрических задач
• Расчет геодезических
• Нахождение минимальных поверхностей и решение проблемы Плато
• Оптимальный контроль

Варианты и достаточное условие минимума [ править ]

Вариационное исчисление связано с вариациями функционалов, которые представляют собой небольшие изменения значения функционала из-за небольших изменений функции, являющейся его аргументом. Первый вариант ^[л] определяются как линейная часть изменения функционала, а вторая вариация ^[м] определяются как квадратичная часть. ^[22]

Например, если J [ y ] - это функционал с функцией y = y ( x ) в качестве аргумента, и есть небольшое изменение в его аргументе с y на y + h , где h = h ( x ) - функция в том же функциональном пространстве, что и y , то соответствующее изменение функционала будет

${\displaystyle \Delta J[h]=J[y+h]-J[y].}$  ^[n]

Функционал J [ y ] называется дифференцируемым, если

${\displaystyle \Delta J[h]=\varphi [h]+\varepsilon \|h\|,}$

где φ [ h ] - линейный функционал, ^[o] || h || - норма h , ^[p] и ε → 0 при || h || → 0 . Линейный функционал φ [ h ] является первой вариацией J [ y ] и обозначается, ^[26]

${\displaystyle \delta J[h]=\varphi [h].}$

Функционал J [ y ] называется дважды дифференцируемым, если

${\displaystyle \Delta J[h]=\varphi _{1}[h]+\varphi _{2}[h]+\varepsilon \|h\|^{2},}$

где φ ₁ [ h ] - линейный функционал (первая вариация), φ ₂ [ h ] - квадратичный функционал, ^[q] и ε → 0 при || h || → 0 . Квадратичный функционал φ ₂ [ h ] является второй вариацией J [ y ] и обозначается как, ^[28]

${\displaystyle \delta ^{2}J[h]=\varphi _{2}[h].}$

Вторая вариация δ ² J [ h ] называется сильно положительной, если

${\displaystyle \delta ^{2}J[h]\geq k\|h\|^{2},}$

для всех h и некоторой постоянной k > 0 . ^[29]

Используя приведенные выше определения, особенно определения первой вариации, второй вариации и строго положительного, можно сформулировать следующее достаточное условие минимума функционала.

См. Также [ править ]

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Бенесова Б., Крузик М .: "Слабая полунепрерывность снизу интегральных функционалов и приложений" . SIAM Review 59 (4) (2017), 703–766.
• Больца, О .: Лекции по вариационному исчислению . Chelsea Publishing Company, 1904 г., имеется в библиотеке цифровой математики. 2-е издание переиздано в 1961 году, в мягкой обложке в 2005 году, ISBN 978-1-4181-8201-4 . 
• Кассель, Кевин В.: Вариационные методы с приложениями в науке и технике , Cambridge University Press, 2013.
• Клегг, Дж. К.: Расчет вариаций , Interscience Publishers Inc., 1968.
• Курант Р .: Принцип Дирихле, конформное отображение и минимальные поверхности . Interscience, 1950.
• Дакорогна, Бернар : " Введение " Введение в вариационное исчисление , 3-е издание. 2014 г., World Scientific Publishing, ISBN 978-1-78326-551-0 . 
• Эльсголк, Л.Е .: Расчет вариаций , Pergamon Press Ltd., 1962.
• Форсайт, АР: Вариационное исчисление , Довер, 1960.
• Фокс, Чарльз: Введение в вариационное исчисление , Dover Publ., 1987.
• Джакинта, Мариано; Хильдебрандт, Стефан: исчисление вариаций I и II, Springer-Verlag, ISBN 978-3-662-03278-7 и ISBN 978-3-662-06201-2  
• Йост, Дж. И X. Ли-Йост: вариационное исчисление . Издательство Кембриджского университета, 1998.
• Лебедев, Л.П., Клауд, М.Дж .: Вариационное исчисление и функциональный анализ с оптимальным управлением и приложениями в механике , World Scientific, 2003, страницы 1–98.
• Логан, Дж. Дэвид: Прикладная математика , 3-е издание. Wiley-Interscience, 2006 г.
• Пайк, Ральф В. "Глава 8: Вариационное исчисление" . Оптимизация инженерных систем . Государственный университет Луизианы . Архивировано из оригинала на 2007-07-05.
• Рубичек, Т .: « Вариационное исчисление ». Глава 17 в: Математические инструменты для физиков . (Ред. М. Гринфельд) J. Wiley, Weinheim, 2014, ISBN 978-3-527-41188-7 , стр. 551–588. 
• Саган, Ганс: Введение в вариационное исчисление , Довер, 1992.
• Вайншток, Роберт: Вариационное исчисление с приложениями к физике и технике , Дувр, 1974 г. (перепечатка изд. 1952 г.).

Внешние ссылки [ править ]

• Вариационное исчисление . Энциклопедия математики .
• вариационное исчисление . PlanetMath .
• Вариационное исчисление . MathWorld .
• Вариационное исчисление . Примеры проблем.
• Математика - вариационное исчисление и интегральные уравнения . Лекции на YouTube .
• Избранные статьи по геодезическим полям. Часть I , Часть II .