В математике , А кусочно-определенная функция (также называемая функцию кусочно , а гибридную функцию , или определение, случаев ) является функцией определяется несколькими суб-функций, где каждая подфункция относится к другому интервалу в домене. [1] [2] [3] Кусочное определение на самом деле является способом выражения функции, а не характеристикой самой функции.
Отдельным, но связанным понятием является понятие свойства, сохраняющееся кусочно для функции, используемое, когда область может быть разделена на интервалы, на которых свойство сохраняется. В отличие от приведенного выше понятия, на самом деле это свойство самой функции. Кусочно-линейная функция (которая также бывает непрерывной) изображена в качестве примера.
Обозначения и интерпретация
Функции Кусочно могут быть определены с использованием общего функционального обозначения , [4] , где тело функции представляет собой массив функций и связанных с ними субдоменов. Эти поддомены вместе должны охватывать весь домен ; часто также требуется, чтобы они попарно не пересекались, т.е. образовывали разбиение области. [5] Для того, чтобы общую функцию можно было назвать «кусочной», подобласти обычно должны быть интервалами (некоторые могут быть вырожденными интервалами, то есть одиночными точками или неограниченными интервалами). Для ограниченных интервалов количество подобластей должно быть конечным, для неограниченных интервалов часто требуется только локальное конечное число. Например, рассмотрим кусочное определение функции абсолютного значения : [2]
Для всех значений меньше нуля, первая функция (), который отменяет знак входного значения, делая отрицательные числа положительными. Для всех значений больше или равно нулю, вторая функция (), который тривиально оценивает само входное значение.
Следующая таблица документирует функцию абсолютного значения при определенных значениях :
Икс | f ( x ) | Используемая функция |
---|---|---|
−3 | 3 | |
-0,1 | 0,1 | |
0 | 0 | |
1/2 | 1/2 | |
5 | 5 |
Здесь обратите внимание, что для оценки кусочной функции при заданном входном значении необходимо выбрать соответствующий субдомен, чтобы выбрать правильную функцию и получить правильное выходное значение.
Непрерывность и дифференцируемость кусочных функций.
Кусочная функция непрерывна на заданном интервале в своей области определения, если выполняются следующие условия:
- составляющие его функции непрерывны на соответствующих интервалах (подобластях),
- в каждой конечной точке субдоменов в этом интервале нет разрывов.
Изображенная функция, например, кусочно-непрерывна во всех своих подобластях, но не является непрерывной во всей области, так как она содержит скачкообразный разрыв в точке . Закрашенный кружок указывает на то, что значение правой функциональной части используется в этой позиции.
Чтобы кусочная функция была дифференцируемой на заданном интервале в ее области определения, в дополнение к условиям непрерывности, указанным выше, должны выполняться следующие условия:
- составляющие его функции дифференцируемы на соответствующих открытых интервалах,
- односторонние производные существуют на всех концах интервалов,
- в точках соприкосновения двух подынтервалов совпадают соответствующие односторонние производные двух соседних подынтервалов.
Приложения
В прикладном математическом анализе было обнаружено, что кусочные функции согласуются со многими моделями зрительной системы человека , где изображения воспринимаются на первом этапе как состоящие из гладких областей, разделенных краями. [6] В частности, shearlets использовались в качестве системы представления для обеспечения разреженных приближений этого класса моделей в 2D и 3D.
Общие примеры
- Кусочно-линейная функция , кусочная функция, составленная из отрезков прямой
- Шаговая функция , кусочная функция, составленная из постоянных функций
- Абсолютное значение [2]
- Треугольная функция
- Нарушенный степенной закон , кусочная функция, составленная из степенных законов
- Сплайн , кусочная функция, составленная из полиномиальных функций, обладающая высокой степенью гладкости в местах соединения частей полинома
- PDIFF
- и некоторые другие общие функции Bump . Они бесконечно дифференцируемы, но аналитичность сохраняется только кусочно.
- Непрерывные функции в вещественных числах не обязательно должны быть ограниченными или равномерно непрерывными, они всегда кусочно ограничены и кусочно равномерно непрерывны.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ «Кусочные функции» . www.mathsisfun.com . Проверено 24 августа 2020 .
- ^ а б в г Вайсштейн, Эрик В. «Кусочная функция» . mathworld.wolfram.com . Проверено 24 августа 2020 .
- ^ «Кусочные функции» . brilliant.org . Проверено 29 сентября 2020 .
- ^ «Сборник математических символов» . Математическое хранилище . 2020-03-01 . Проверено 24 августа 2020 .
- ^ Возможное более слабое требование состоит в том, чтобы все определения согласовывали пересекающиеся подобласти.
- ^ Кутыниок, Гитта ; Лабате, Деметрио (2012). «Введение в шорле» (PDF) . Shearlets . Биркхойзер : 1–38.