Кусочно-линейная функция

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален.
Найти источники: «Кусочно-линейная функция» - новости · газеты · книги · ученый · JSTOR ( март 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

В математике и статистике , А кусочно - линейное , PL или сегментированный функция является вещественной функцией вещественного переменным, чей график состоит из отрезков прямых. ^[1]

Определение [ править ]

Кусочно - линейная функции является функцией , определенной на (возможно , неограниченный) интервал из действительных чисел , такие , что существует совокупность интервалов , на каждом из которых функция является аффинной функцией . Если область определения функции компактна , должен существовать конечный набор таких интервалов; если область не является компактной, может потребоваться либо конечная, либо локальная конечность в вещественных числах.

Примеры [ править ]

Непрерывная кусочно-линейная функция

Функция, определяемая

{\ displaystyle f (x) = {\ begin {cases} -x-3 & {\ text {if}} x \ leq -3 \\ x + 3 & {\ text {if}} - 3 <x <0 \\ -2x + 3 & {\ text {if}} 0 \ leq x <3 \\ 0.5x-4.5 & {\ text {if}} x \ geq 3 \ end {case}}}

кусочно-линейный из четырех частей. График этой функции показан справа. Поскольку график линейной функции представляет собой линию , график кусочно-линейной функции состоит из отрезков прямой и лучей . Значения x (в приведенном выше примере –3, 0 и 3), где изменяется наклон, обычно называют точками останова, точками изменения, пороговыми значениями или узлами. Как и во многих приложениях, эта функция также является непрерывной. График непрерывной кусочно-линейной функции на компактном отрезке представляет собой ломаную цепь .

Другие примеры кусочно-линейных функций включают функцию абсолютного значения, функцию пилообразной формы и функцию пола .

Подгонка к кривой [ править ]

Функция (синий) и кусочно-линейное приближение к ней (красный)

Приближение к известной кривой может быть найдено путем выборки кривой и линейной интерполяции между точками. Опубликован алгоритм вычисления наиболее значимых точек с учетом заданной устойчивости к ошибкам. ^[2]

Подгонка под данные [ править ]

Если разделы, а затем и точки останова, уже известны, линейная регрессия может выполняться независимо для этих разделов. Однако в этом случае не сохраняется преемственность, а также отсутствует уникальная эталонная модель, лежащая в основе наблюдаемых данных. Получен устойчивый алгоритм для этого случая. ^[3]

Если разделы не известны, остаточная сумма квадратов может использоваться для выбора оптимальных точек разделения. ^[4] Однако эффективность вычислений и совместная оценка всех параметров модели ( в том числе точек останова) могут быть получены с помощью итерационной процедуры ^[5] В настоящее время реализованы в пакете segmented^[6] для языка R .

Вариант обучения дерева решений, называемый деревьями моделей, изучает кусочно-линейные функции. ^[7]

Обозначение [ править ]

Кусочно-линейная функция в двух измерениях (вверху) и выпуклые многогранники, на которых она линейна (внизу)

Понятие кусочно-линейной функции имеет смысл в нескольких различных контекстах. Кусочно-линейные функции могут быть определены в n -мерном евклидовом пространстве или, в более общем смысле, в любом векторном пространстве или аффинном пространстве , а также на кусочно-линейных многообразиях , симплициальных комплексах и т. Д. В каждом случае функция может быть вещественной или принимать значения из векторного пространства, аффинного пространства, кусочно-линейного многообразия или симплициального комплекса. (В этих контекстах термин «линейный» относится не только к линейным преобразованиям , но и к более общим аффинным линейным функциям.)

В размерах больше единицы обычно требуется, чтобы область каждой части была многоугольником или многогранником . Это гарантирует, что график функции будет состоять из многоугольных или многогранных частей.

Важные подклассы кусочно-линейных функций включают непрерывные кусочно-линейные функции и выпуклые кусочно-линейные функции. Вообще говоря, для любой n -мерной непрерывной кусочно-линейной функции существует ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$

{\ displaystyle \ Pi \ in {\ mathcal {P}} ({\ mathcal {P}} (\ mathbb {R} ^ {n + 1}))}

такой, что

{\ displaystyle f ({\ vec {x}}) = \ min _ {\ Sigma \ in \ Pi} \ max _ {({\ vec {a}}, b) \ in \ Sigma} {\ vec {a }} \ cdot {\ vec {x}} + b.}

Если выпуклый и непрерывный, то существует ${\ displaystyle f}$

{\ Displaystyle \ Sigma \ in {\ mathcal {P}} (\ mathbb {R} ^ {n + 1})}

такой, что

{\ displaystyle f ({\ vec {x}}) = \ max _ {({\ vec {a}}, b) \ in \ Sigma} {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {x}} + b.}

Сплайны обобщают кусочно-линейные функции на многочлены более высокого порядка, которые, в свою очередь, содержатся в категории кусочно-дифференцируемых функций, PDIFF .

Приложения [ править ]

Реакция культуры на глубину водного горизонта ^[8]

Пример реакции сельскохозяйственных культур на засоление почвы ^[9]

В сельском хозяйстве кусочно- регрессионный анализ измеренных данных используется для определения диапазона, в котором факторы роста влияют на урожай, и диапазона, в котором культура нечувствительна к изменениям этих факторов.

Изображение слева показывает , что при неглубоких водоносных пластов на снижение урожайности, тогда как при более глубоком (> 7 дм) водоносных выход не изменяется. График построен с использованием метода наименьших квадратов, чтобы найти два сегмента с наилучшим соответствием .

График справа показывает , что урожайность переносит в засоленность почвы до ECe = 8 DS / м (ЕСЕ является электропроводностью экстракта насыщенного образца почвы), а за это значение производство урожая уменьшает. График построен методом частичной регрессии, чтобы найти самый длинный диапазон «отсутствия эффекта», т.е. когда линия является горизонтальной. Два сегмента не обязательно должны соединяться в одной точке. Только для второго сегмента используется метод наименьших квадратов.

См. Также [ править ]

Кусочно-постоянная функция
Линейная интерполяция
Сплайн-интерполяция
Тропическая геометрия
Многоугольная цепочка

Дальнейшее чтение [ править ]

Аппс, П., Лонг, Н., и Рис, Р. (2014). Оптимальное кусочно-линейное налогообложение прибыли . Журнал общественной экономической теории , 16 (4), 523–545.

Ссылки [ править ]

^ Стэнли, Уильям Д. (2004). Технический анализ и приложения с Matlab . Cengage Learning. п. 143. ISBN 978-1401864811.
^ Hamann, B .; Чен, JL (1994). «Выбор точки данных для аппроксимации кусочно-линейной кривой» (PDF) . Компьютерный геометрический дизайн . 11 (3): 289. DOI : 10,1016 / 0167-8396 (94) 90004-3 .
^ Головченко, Николай. «Аппроксимация методом наименьших квадратов непрерывной кусочно-линейной функции» . Дата обращения 6 декабря 2012 .
^ Вит, E. (1989). «Подгонка функций кусочно-линейной регрессии к биологическим ответам». Журнал прикладной физиологии . 67 (1): 390–396. DOI : 10.1152 / jappl.1989.67.1.390 . PMID 2759968 .
^ Muggeo, VMR (2003). «Оценка регрессионных моделей с неизвестными точками разрыва». Статистика в медицине . 22 (19): 3055–3071. DOI : 10.1002 / sim.1545 . PMID 12973787 .
^ Muggeo, VMR (2008). «Сегментированный: пакет R для соответствия моделям регрессии с ломаной линией» (PDF) . R News . 8 : 20–25.
^ Landwehr, N .; Холл, М .; Франк, Э. (2005). «Деревья логистических моделей» (PDF) . Машинное обучение . 59 (1–2): 161–205. DOI : 10.1007 / s10994-005-0466-3 . S2CID 6306536 .
^ Калькулятор кусочной регрессии .
^ Калькулятор частичной регрессии .

[1] Стэнли, Уильям Д. (2004). Технический анализ и приложения с Matlab . Cengage Learning. п. 143. ISBN 978-1401864811.

[2] Hamann, B .; Чен, JL (1994). «Выбор точки данных для аппроксимации кусочно-линейной кривой» (PDF) . Компьютерный геометрический дизайн . 11 (3): 289. DOI : 10,1016 / 0167-8396 (94) 90004-3 .

[Golovchenko-3] Головченко, Николай. «Аппроксимация методом наименьших квадратов непрерывной кусочно-линейной функции» . Дата обращения 6 декабря 2012 .

[4] Вит, E. (1989). «Подгонка функций кусочно-линейной регрессии к биологическим ответам». Журнал прикладной физиологии . 67 (1): 390–396. DOI : 10.1152 / jappl.1989.67.1.390 . PMID 2759968 .

[5] Muggeo, VMR (2003). «Оценка регрессионных моделей с неизвестными точками разрыва». Статистика в медицине . 22 (19): 3055–3071. DOI : 10.1002 / sim.1545 . PMID 12973787 .

[6] Muggeo, VMR (2008). «Сегментированный: пакет R для соответствия моделям регрессии с ломаной линией» (PDF) . R News . 8 : 20–25.

[7] Landwehr, N .; Холл, М .; Франк, Э. (2005). «Деревья логистических моделей» (PDF) . Машинное обучение . 59 (1–2): 161–205. DOI : 10.1007 / s10994-005-0466-3 . S2CID 6306536 .

[8] Калькулятор кусочной регрессии .

[9] Калькулятор частичной регрессии .

[1]