Экшен (физика)

В физике , действие является атрибутом динамики одного физической системы , из которой уравнение движения системы может быть получено с помощью принципа стационарного действия . Действие - это математический функционал, который принимает траекторию , также называемую путем или историей , системы в качестве аргумента и имеет действительное число в качестве результата. Как правило, действие принимает разные значения для разных путей. ^[1] Действие имеет размеры от энергии ⋅ времени илиимпульс ⋅ длина , а его единица СИ - джоуль- секунда. Действие представляет интерес только тогда, когда сохраняется полная энергия системы. ^[2]

Введение [ править ]

Принцип Гамильтона гласит, что дифференциальные уравнения движения для любой физической системы можно переформулировать как эквивалентное интегральное уравнение . Таким образом, есть два различных подхода к формулированию динамических моделей.

Это применимо не только к классической механике отдельной частицы, но и к классическим полям, таким как электромагнитное и гравитационное поля . Принцип Гамильтона также был распространен на квантовую механику и квантовую теорию поля - в частности, в формулировке квантовой механики с использованием интеграла по путям используется концепция, - где физическая система случайным образом следует по одному из возможных путей с фазой амплитуды вероятности для каждого путь определяется действием для пути. ^[3]

Решение дифференциального уравнения [ править ]

Эмпирические законы часто выражаются в виде дифференциальных уравнений , которые описывают, как физические величины, такие как положение и импульс, непрерывно меняются со временем , пространством или их обобщением. Учитывая начальные и граничные условия для ситуации, «решением» этих эмпирических уравнений является одна или несколько функций, которые описывают поведение системы и называются уравнениями движения .

Минимизация интеграла действия [ править ]

Действие - это часть альтернативного подхода к нахождению таких уравнений движения. Классическая механика постулирует, что путь, по которому фактически следует физическая система, - это путь, для которого действие минимизировано или, в более общем смысле, является стационарным . Другими словами, действие удовлетворяет вариационному принципу: принципу стационарного действия (см. Также ниже). Действие определяется интегралом , и классические уравнения движения системы могут быть получены путем минимизации значения этого интеграла.

Этот простой принцип обеспечивает глубокое понимание физики и является важным понятием в современной теоретической физике .

История [ править ]

Во время разработки концепции действие было определено несколькими устаревшими способами. ^[4]

• Готфрид Лейбниц , Иоганн Бернулли и Пьер Луи Мопертюи определили действие света как интеграл его скорости или обратную скорость по длине его пути.
• Леонард Эйлер (и, возможно, Лейбниц) определил действие материальной частицы как интеграл скорости частицы на ее пути в пространстве.
• Пьер Луи Мопертюи ввел несколько специальных и противоречивых определений действия в рамках одной статьи , определяя действие как потенциальную энергию, как виртуальную кинетическую энергию и как гибрид, обеспечивающий сохранение импульса при столкновениях. ^[5]

Математическое определение [ править ]

Выражаясь математическим языком с использованием вариационного исчисления , эволюция физической системы (то есть то, как система фактически переходит из одного состояния в другое) соответствует стационарной точке (обычно минимальной) действия.

В физике широко используются несколько различных определений «действия». ^{[4] [6]} Действие обычно представляет собой интеграл по времени. Однако, когда действие относится к полям , его также можно интегрировать по пространственным переменным. В некоторых случаях действие интегрируется по пути, по которому идет физическая система.

Действие обычно представляется в виде интеграла по времени, взятого на пути системы между начальным временем и конечным временем развития системы: ^[4]

${\ displaystyle {\ mathcal {S}} = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} L \, dt,}$

где подынтегральное выражение L называется лагранжианом . Чтобы интеграл действия был четко определен, траектория должна быть ограничена во времени и пространстве.

Действие имеет размеры от [энергии] ⋅ [время] , и его единица СИ является джоуль -Вторы, который идентичен единице углового момента .

Действие в классической физике [ править ]

В классической физике термин «действие» имеет несколько значений.

Действие (функциональное) [ править ]

Чаще всего этот термин используется для функционала, который принимает функцию времени и (для полей ) пространства в качестве входных данных и возвращает скаляр . ^{[7] [8]} В классической механике входная функция - это эволюция q ( t ) системы между двумя временами t ₁ и t ₂ , где q представляет собой обобщенные координаты . Действие определяется как интеграл от лагранжиана L для эволюции между входным два раза:${\ Displaystyle {\ mathcal {S}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} [\ mathbf {q} (т)]}$

${\ displaystyle {\ mathcal {S}} [\ mathbf {q} (t)] = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} L [\ mathbf {q} (t), {\ точка {\ mathbf {q}}} (t), t] \, dt,}$

где конечные точки эволюции фиксированы и определены как и . В соответствии с принципом Гамильтона , истинная эволюция д _{истинно} ( т ) представляет собой эволюцию , для которых действие является стационарным (минимум, максимум, или точка перевала ). Этот принцип приводит к уравнениям движения в лагранжевой механике .${\displaystyle \mathbf {q} _{1}=\mathbf {q} (t_{1})}$${\displaystyle \mathbf {q} _{2}=\mathbf {q} (t_{2})}$${\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {q} (t)]}$

Сокращенное действие (функциональное) [ править ]

Обычно обозначается как , это тоже функционал . Здесь входная функция - это путь, по которому проходит физическая система без учета ее параметризации по времени. Например, траектория планетарной орбиты представляет собой эллипс, а путь частицы в однородном гравитационном поле - параболу; в обоих случаях путь не зависит от того, как быстро частица проходит путь. Сокращенное действие определяется как интеграл обобщенных импульсов вдоль пути в обобщенных координатах :${\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}=\int \mathbf {p} \cdot d\mathbf {q} =\int p_{i}\,dq_{i}.}$

Согласно принципу Мопертюи , истинный путь - это путь, для которого сокращенное действие является стационарным .${\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}}$

Основная функция Гамильтона [ править ]

Основная функция Гамильтона определяется уравнениями Гамильтона – Якоби (HJE), другой альтернативной формулировкой классической механики . Эта функция S связана с функционалом , фиксируя начальное время t ₁ и начальную конечную точку q ₁ и позволяя изменяться верхним пределам t ₂ и второй конечной точке q ₂ ; эти переменные являются аргументами о функции S . Другими словами, функция действия S является неопределенным интегралом лагранжиана по времени.${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

Характеристическая функция Гамильтона [ править ]

Когда полная энергия E сохраняется, уравнение Гамильтона – Якоби может быть решено с аддитивным разделением переменных :

${\displaystyle S(q_{1},\dots ,q_{N},t)=W(q_{1},\dots ,q_{N})-E\cdot t,}$

где не зависящая от времени функция W ( q ₁ , q ₂ ,… q _N ) называется характеристической функцией Гамильтона . Физический смысл этой функции можно понять, взяв ее полную производную по времени

${\displaystyle {\frac {dW}{dt}}={\frac {\partial W}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}=p_{i}{\dot {q}}_{i}.}$

Это может быть интегрировано, чтобы дать

${\displaystyle W(q_{1},\dots ,q_{N})=\int p_{i}{\dot {q}}_{i}\,dt=\int p_{i}\,dq_{i},}$

это просто сокращенное действие .

Другие решения уравнений Гамильтона – Якоби [ править ]

Уравнения Гамильтона – Якоби часто решаются методом аддитивной отделимости; в некоторых случаях отдельные члены решения, например S _k ( q _k ), также называют «действием». ^[4]

Действие обобщенной координаты [ править ]

Это единственная переменная J _k в координатах действие-угол , определяемая интегрированием единственного обобщенного импульса вокруг замкнутого пути в фазовом пространстве , соответствующего вращательному или колебательному движению:

${\displaystyle J_{k}=\oint p_{k}\,dq_{k}}$

Переменная J _k называется «действием» обобщенной координаты q _k ; соответствующая каноническая переменная, сопряженная с J _k, является его "углом" w _k , по причинам, более подробно описанным в координатах действие-угол . Интегрирование осуществляется только по одной переменной q _k и, следовательно, в отличие от интегрированного скалярного произведения в сокращенном интеграле действий выше. J _к переменной равно изменению S _к ( д _K ) в виде д _кменяется по замкнутому пути. Для некоторых представляющих интерес физических систем J _k либо постоянна, либо изменяется очень медленно; следовательно, переменная J _k часто используется при расчетах возмущений и при определении адиабатических инвариантов .

Действие для гамильтонова потока [ править ]

См. Тавтологическую единичную форму .

Уравнения Эйлера – Лагранжа [ править ]

В лагранжевой механике требование, чтобы интеграл действия был стационарным при малых возмущениях, эквивалентен набору дифференциальных уравнений (называемых уравнениями Эйлера – Лагранжа), которые могут быть получены с использованием вариационного исчисления .

Принцип действия [ править ]

Классические поля [ править ]

Принцип действия может быть расширен для получения уравнений движения для полей, таких как электромагнитное поле или гравитационное поле .

Уравнение Эйнштейна использует действие Эйнштейна – Гильберта, ограниченное вариационным принципом .

Траектория (путь в пространстве - времени ) тела в гравитационном поле можно найти , используя принцип действия. Для свободно падающего тела эта траектория является геодезической .

Законы сохранения [ править ]

Последствия симметрии в физической ситуации можно найти с помощью принципа действия вместе с уравнениями Эйлера – Лагранжа , которые выводятся из принципа действия. Примером может служить теорема Нётер , которая утверждает, что каждой непрерывной симметрии в физической ситуации соответствует закон сохранения (и наоборот). Эта глубокая связь требует принятия принципа действия. ^[3]

Квантовая механика и квантовая теория поля [ править ]

В квантовой механике система не следует единственному пути, действие которого является стационарным, но поведение системы зависит от всех разрешенных путей и значения их действия. Действие, соответствующее различным путям, используется для вычисления интеграла по путям , который дает амплитуды вероятностей различных исходов.

Хотя принцип действия эквивалентен в классической механике законам Ньютона , он лучше подходит для обобщений и играет важную роль в современной физике. Действительно, этот принцип - одно из величайших обобщений в физической науке. Это лучше всего понято в квантовой механике, в частности , Ричард Фейнман «s пути интегральной формулировке , где она возникает из деструктивной интерференции квантовых амплитуд.

Уравнения Максвелла также могут быть выведены как условия стационарного действия .

Одиночная релятивистская частица [ править ]

Когда релятивистские эффекты значительны, действие точечной частицы массы m, перемещающейся по мировой линии C, параметризованной собственным временем, равно${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle S=-mc^{2}\int _{C}\,d\tau .}$

Если вместо этого частица параметризуется координатным временем t частицы, а координатное время изменяется от t ₁ до t ₂ , тогда действие становится

${\displaystyle S=\int _{t1}^{t2}L\,dt,}$

где лагранжиан равен ^[9]

${\displaystyle L=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}.}$

Современные расширения [ править ]

Принцип действия можно обобщить и дальше. Например, действие не обязательно должно быть целым, поскольку возможны нелокальные действия . Конфигурационное пространство не обязательно должно быть даже функциональным , учитывая определенные особенности, такие как некоммутативная геометрия . Однако физическая основа этих математических расширений еще предстоит установить экспериментально. ^[7]

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Источники и дополнительная литература [ править ]

Аннотированную библиографию см. У Эдвина Ф. Тейлора, который перечисляет , среди прочего, следующие книги

• Кембриджский справочник по физическим формулам , Г. Воан, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2 . 
• Корнелиус Ланцош , Вариационные принципы механики (Dover Publications, Нью-Йорк, 1986). ISBN 0-486-65067-7 . Ссылки наиболее цитируемые всех тех , кто исследует эту область. 
• Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц , Механика, Курс теоретической физики (Баттерворта-Heinenann, 1976), 3 - е изд., Т. 1. ISBN 0-7506-2896-0 . Начинается с принципа наименьшего действия. 
• Томас А. Мур «Принцип наименьшего действия» в энциклопедии физики Macmillan (Simon & Schuster Macmillan, 1996), том 2, ISBN 0-02-897359-3 , OCLC 35269891 , страницы 840-842 .  
• Джеральд Джей Сассман и Джек Уиздом , Структура и интерпретация классической механики (MIT Press, 2001). Начинается с принципа наименьшего действия, использует современные математические обозначения и проверяет ясность и согласованность процедур, программируя их на компьютерном языке.
• Дэйр А. Уэллс, Lagrangian Dynamics, Обзорная серия Шаума (McGraw-Hill, 1967) ISBN 0-07-069258-0 , 350-страничный исчерпывающий "план" предмета. 
• Роберт Вайншток, Вариационное исчисление, с приложениями к физике и технике (Dover Publications, 1974). ISBN 0-486-63069-2 . Старое, но хорошее, с формализмом, тщательно определенным перед использованием в физике и технике. 
• Вольфганг Юрграу и Стэнли Мандельштам , Вариационные принципы в динамике и квантовой теории (Dover Publications, 1979). Хорошая трактовка, которая не избегает философских последствий теории и хвалит фейнмановскую трактовку квантовой механики, которая сводится к принципу наименьшего действия в пределе большой массы.
• Страница Эдвина Ф. Тейлора

Внешние ссылки [ править ]

• Принцип наименьшего действия интерактивное Интерактивное объяснение / веб-страница