Интегральное уравнение

В математике , интегральные уравнения являются уравнениями , в которых неизвестная функция появляется под интегралом знака.

Между дифференциальными и интегральными уравнениями существует тесная связь , и некоторые проблемы могут быть сформулированы так или иначе. См., Например, функцию Грина , теорию Фредгольма и уравнения Максвелла .

Обзор [ править ]

Самый основной тип интегрального уравнения называется уравнением Фредгольма первого типа ,

{\ Displaystyle е (х) = \ int _ {a} ^ {b} К (х, т) \, \ varphi (t) \, dt.}

Обозначения соответствуют Арфкену . Здесь $φ$ - неизвестная функция, $f$ - известная функция, а $K$ - еще одна известная функция двух переменных, часто называемая функцией ядра . Обратите внимание, что пределы интегрирования постоянны: это то, что характеризует уравнение Фредгольма.

Если неизвестная функция встречается как внутри, так и вне интеграла, уравнение известно как уравнение Фредгольма второго типа ,

{\ displaystyle \ varphi (x) = е (x) + \ lambda \ int _ {a} ^ {b} K (x, t) \, \ varphi (t) \, dt.}

Параметр $λ$ - неизвестный множитель, который играет ту же роль, что и собственное значение в линейной алгебре .

Если один предел интегрирования является переменной, уравнение называется уравнением Вольтерра . Следующие уравнения называются уравнениями Вольтерра первого и второго типов соответственно:

{\ Displaystyle е (х) = \ int _ {а} ^ {х} К (х, т) \, \ varphi (т) \, дт}

{\ displaystyle \ varphi (x) = е (x) + \ lambda \ int _ {a} ^ {x} K (x, t) \, \ varphi (t) \, dt.}

Во всем вышесказанном, если известная функция $f$ тождественно равна нулю, уравнение называется однородным интегральным уравнением . Если $f не$ равно нулю, оно называется неоднородным интегральным уравнением .

Численное решение [ править ]

Стоит отметить, что интегральные уравнения часто не имеют аналитического решения и должны решаться численно. Примером этого является вычисление интегрального уравнения электрического поля (EFIE) или интегрального уравнения магнитного поля (MFIE) над объектом произвольной формы в задаче электромагнитного рассеяния.

Один из методов численного решения требует дискретизации переменных и замены интеграла квадратурным правилом.

{\ displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {n} w_ {j} K \ left (s_ {i}, t_ {j} \ right) u (t_ {j}) = f (s_ {i}) , \ qquad i = 0,1, \ cdots, n.}

Тогда у нас есть система с $n$ уравнениями и $n$ переменными. Решая его, мы получаем значение $n$ переменных

{\ displaystyle u (t_ {0}), u (t_ {1}), \ cdots, u (t_ {n}).}

Классификация [ править ]

Интегральные уравнения классифицируются по трем разным дихотомиям, составляющим восемь различных видов:

Пределы интеграции

оба фиксированы: уравнение Фредгольма
одна переменная: уравнение Вольтерра

Размещение неизвестной функции

только внутри интеграла: первого рода
как внутреннее, так и внешнее интегральное: второй вид

Природа известной функции $f$

тождественно ноль: однородный
не тождественно ноль: неоднородный

Интегральные уравнения важны во многих приложениях. Проблемы, в которых встречаются интегральные уравнения, включают перенос излучения и колебания струны, мембраны или оси. Задачи о колебаниях также могут быть решены как дифференциальные уравнения .

Оба уравнения Фредгольма и Вольтерра являются линейными интегральными уравнениями из-за линейного поведения $φ (x)$ под интегралом. Нелинейное интегральное уравнение Вольтерра имеет общий вид:

\varphi (x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{x}K(x,t)\,F(x,t,\varphi (t))\,dt,

где $F$ - известная функция.

Интегральные уравнения Винера – Хопфа [ править ]

y(t)=\lambda x(t)+\int _{0}^{\infty }k(t-s)x(s)ds,\qquad 0\leq t<\infty .

Первоначально такие уравнения изучались в связи с задачами переноса излучения, а в последнее время они были связаны с решением граничных интегральных уравнений для плоских задач, в которых граница является только кусочно-гладкой.

Решение степенного ряда для интегральных уравнений [ править ]

Во многих случаях, если ядро интегрального уравнения имеет вид $K (xt)$ и существует преобразование Меллина для $K (t)$ , мы можем найти решение интегрального уравнения

g(s)=s\int _{0}^{\infty }dtK(st)f(t)

в виде степенного ряда

f(t)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{M(n+1)}}t^{n}

куда

g(s)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}s^{-n},\qquad M(n+1)=\int _{0}^{\infty }dtK(t)t^{n}

являются $Z-$ преобразованием функции $g (s)$ , а $M (n + 1)$ - преобразованием Меллина ядра.

Интегральные уравнения как обобщение уравнений на собственные значения [ править ]

Некоторые однородные линейные интегральные уравнения можно рассматривать как непрерывный предел уравнений на собственные значения . Используя обозначение индекса , уравнение на собственные значения можно записать как

\sum _{j}M_{i,j}v_{j}=\lambda v_{i}

где $M = [M i, j]$ - матрица, $v$ - один из ее собственных векторов, а $λ$ - соответствующее собственное значение.

Переход к континуальному пределу, т. Е. Замена дискретных индексов $i$ и $j$ на непрерывные переменные $x$ и $y$ , дает

\int K(x,y)\varphi (y)\mathrm {d} y=\lambda \varphi (x),

где сумма по $j$ заменена интегралом по $y,$ а матрица $M$ и вектор $v$ заменены ядром $K (x, y)$ и собственной функцией $φ (y)$ . (Пределы интеграла фиксированы, аналогично пределам суммы по $j$ .) Это дает линейное однородное уравнение Фредгольма второго типа.

В общем, $K (x, y)$ может быть распределением , а не функцией в строгом смысле слова. Если распределение $K$ имеет опору только в точке $x = y$ , то интегральное уравнение сводится к дифференциальному уравнению на собственные функции .

В общем случае интегральные уравнения Вольтерра и Фредгольма могут возникать из одного дифференциального уравнения, в зависимости от того, какие условия применяются на границе области его решения.

Приложения [ править ]

Актуарная наука (теория разорения ^[1] )
Вычислительная электромагнетизм
- Метод граничных элементов
Обратные задачи
- Уравнение Марченко ( обратное преобразование рассеяния )
Ценообразование опционов при скачкообразном распространении ^[2]
Радиационный перенос
Вязкоупругость

См. Также [ править ]

Дифференциальное уравнение
Интегро-дифференциальное уравнение
Теория разорения
Интегральное уравнение Вольтерра

Ссылки [ править ]

^ «Лекционные заметки по теории риска» (PDF) . 2010 г.
^ Сакс, EW; Штраус, АК (01.11.2008). «Эффективное решение частного интегро-дифференциального уравнения в финансах». Прикладная вычислительная математика . 58 (11): 1687–1703. DOI : 10.1016 / j.apnum.2007.11.002 . ISSN 0168-9274 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Кендалл Э. Аткинсон . Численное решение интегральных уравнений второго рода . Кембриджские монографии по прикладной и вычислительной математике, 1997.
Джордж Арфкен и Ганс Вебер. Математические методы для физиков . Harcourt / Academic Press, 2000.
Гарри Bateman (1910) История и современное состояние теории интегральных уравнений , отчет о Британской ассоциации .
Андрей Д. Полянин и Александр В. Манжиров. Справочник интегральных уравнений . CRC Press, Бока-Ратон, 1998. ISBN 0-8493-2876-4 .
Е. Т. Уиттакер и Г. Н. Уотсон . Курс современного анализа Кембриджская математическая библиотека.
Краснов М., Киселев А., Макаренко Г. Задачи и упражнения по интегральным уравнениям. М .: Мир, 1971.
Нажмите, WH; Теукольский С.А.; Феттерлинг, штат Вашингтон; Фланнери, ВР (2007). «Глава 19. Интегральные уравнения и обратная теория» . Числовые рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-88068-8.

Внешние ссылки [ править ]

Интегральные уравнения: точные решения в EqWorld: мир математических уравнений.
Интегральные уравнения: указатель на EqWorld: мир математических уравнений.
"Интегральное уравнение" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Интегральные уравнения ( MIT OpenCourseWare )

[1] «Лекционные заметки по теории риска» (PDF) . 2010 г.

[2] Сакс, EW; Штраус, АК (01.11.2008). «Эффективное решение частного интегро-дифференциального уравнения в финансах». Прикладная вычислительная математика . 58 (11): 1687–1703. DOI : 10.1016 / j.apnum.2007.11.002 . ISSN 0168-9274 .