Интегральное уравнение Фредгольма

В математике , то интегральное уравнение Фредгольма является интегральным уравнением , решение которого приводит к теории Фредгольма , изучение Фредгольма KERNELS и операторам Фредгольма . Интегральное уравнение изучал Ивар Фредгольм . Полезный метод решения таких уравнений, метод разложения Адомиана , принадлежит Джорджу Адомяну .

Уравнение первого рода [ править ]

Уравнение Фредгольма - это интегральное уравнение, в котором член, содержащий функцию ядра (определенную ниже), имеет константы в качестве пределов интегрирования. Близко связанной формой является интегральное уравнение Вольтерра, которое имеет переменные интегральные пределы.

Неоднородное уравнение Фредгольма первого рода записывается как

g(t)=\int _{a}^{b}K(t,s)f(s)\,\mathrm {d} s~,

и проблема состоит в том , чтобы найти функцию , учитывая непрерывную функцию ядра и функцию . $K$ $g$ $f$

Важным случаем этих типов уравнений является случай, когда ядро является функцией только разности своих аргументов, а именно , а пределы интегрирования равны ± ∞, тогда правую часть уравнения можно переписать в виде свертки функций и, следовательно, формально решение дается формулой $K(t,s)=K(t{-}s)$ $K$ $f$

f(s)={\mathcal {F}}_{\omega }^{-1}\left[{{\mathcal {F}}_{t}[g(t)](\omega ) \over {\mathcal {F}}_{t}[K(t)](\omega )}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }{{\mathcal {F}}_{t}[g(t)](\omega ) \over {\mathcal {F}}_{t}[K(t)](\omega )}e^{2\pi i\omega s}\mathrm {d} \omega

где и - прямое и обратное преобразование Фурье соответственно. Этот случай обычно не включается в интегральные уравнения Фредгольма, название, которое обычно зарезервировано для случаев, когда интегральный оператор определяет компактный оператор (операторы свертки на некомпактных группах некомпактны, поскольку, как правило, спектр оператора свертки с содержит диапазон значений , который обычно является несчетным множеством, тогда как компактные операторы имеют дискретные счетные спектры). ${\mathcal {F}}_{t}$ ${\mathcal {F}}_{\omega }^{-1}$ $K$ ${\mathcal {F}}{K}$

Уравнение второго рода [ править ]

Неоднородное уравнение Фредгольма второго рода имеет вид

$\varphi (t)=f(t)+\lambda \int _{a}^{b}K(t,s)\varphi (s)\,\mathrm {d} s.$

Учитывая ядро $K (t, s)$ и функцию $f (t)$ , проблема обычно состоит в том, чтобы найти функцию $φ (t)$ .

Стандартный подход к решению этой проблемы - использовать итерацию, составляющую формализм резольвенты ; записанное в виде ряда, решение известно как ряд Лиувилля – Неймана .

Общая теория [ править ]

Общая теория, лежащая в основе уравнений Фредгольма, известна как теория Фредгольма . Один из основных результатов состоит в том, что ядро $K$ дает компактный оператор . Компактность можно показать, ссылаясь на равностепенную непрерывность . Как оператор, у него есть спектральная теория, которую можно понять в терминах дискретного спектра собственных значений , стремящихся к 0.

Приложения [ править ]

Уравнения Фредгольма естественным образом возникают в теории обработки сигналов , например, как знаменитая проблема спектральной концентрации, популяризированная Дэвидом Слепяном . Используемые операторы такие же, как и в линейных фильтрах . Они также часто возникают при линейном прямом моделировании и обратных задачах . В физике решение таких интегральных уравнений позволяет связать экспериментальные спектры с различными лежащими в основе распределениями, например массовым распределением полимеров в полимерном расплаве ^[1] или распределением времен релаксации в системе. ^[2] Кроме того, интегральные уравнения Фредгольма также возникают в механике жидкости.задачи, связанные с гидродинамическими взаимодействиями вблизи упругих границ раздела конечных размеров.^[3] ^[4]

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Honerkamp, J .; Виз, Дж. (1990). "Тихоновский метод регуляризации некорректных задач". Механика сплошной среды и термодинамика . 2 (1): 17–30. Bibcode : 1990CMT ..... 2 ... 17H . DOI : 10.1007 / BF01170953 .
^ Шефер, H .; Стернин, Э .; Stannarius, R .; Arndt, M .; Кремер Ф. (18 марта 1996 г.). «Новый подход к анализу широкополосных диэлектрических спектров». Письма с физическим обзором . 76 (12): 2177–2180. Bibcode : 1996PhRvL..76.2177S . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.76.2177 . PMID 10060625 .
^ Дадди-Мусса-Идер, А .; Kaoui, B .; Левен, Х. (9 апреля 2019 г.). «Осесимметричное течение за счет стокслета вблизи упругой мембраны конечных размеров». Журнал Физического общества Японии . 88 (5): 054401. arXiv : 1901.04485 . DOI : 10,7566 / JPSJ.88.054401 .
^ Daddi-Мусса-Идэр, A. (25 ноября 2020). «Асимметричный стоксов поток, индуцированный поперечной точечной силой, действующей вблизи упругой мембраны конечных размеров». Журнал Физического общества Японии . 89 : 124401. arXiv : 2006.14375 . DOI : 10,7566 / JPSJ.89.124401 .

Интегральные уравнения в EqWorld: мир математических уравнений.
Полянин А.Д., Манжиров А.В., Справочник по интегральным уравнениям , CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4
Хведелидзе Б.В.; Литвинов, Г.Л. (2001) [1994], "Ядро Фредгольма" , Энциклопедия математики , EMS Press
Simons, FJ; Вечорек, Массачусетс; Дален, Ф.А. (2006). «Пространственно-спектральная концентрация на сфере». SIAM Обзор . 48 (3): 504–536. arXiv : math / 0408424 . Bibcode : 2006SIAMR..48..504S . DOI : 10.1137 / S0036144504445765 .
Слепян, Д. (1983). «Некоторые комментарии по анализу Фурье, неопределенности и моделированию». SIAM Обзор . 25 (3): 379–393. DOI : 10.1137 / 1025078 .
Нажмите, WH; Теукольский, С.А. Феттерлинг, Вашингтон; Фланнери, ВР (2007). «Раздел 19.1. Уравнения Фредгольма второго рода» . Числовые рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-88068-8.
Мэтьюз, Джон; Уокер, Роберт Л. (1970), Математические методы физики (2-е изд.), Нью-Йорк: Бенджамин WA, ISBN 0-8053-7002-1

[1] Honerkamp, J .; Виз, Дж. (1990). "Тихоновский метод регуляризации некорректных задач". Механика сплошной среды и термодинамика . 2 (1): 17–30. Bibcode : 1990CMT ..... 2 ... 17H . DOI : 10.1007 / BF01170953 .

[2] Шефер, H .; Стернин, Э .; Stannarius, R .; Arndt, M .; Кремер Ф. (18 марта 1996 г.). «Новый подход к анализу широкополосных диэлектрических спектров». Письма с физическим обзором . 76 (12): 2177–2180. Bibcode : 1996PhRvL..76.2177S . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.76.2177 . PMID 10060625 .

[3] Дадди-Мусса-Идер, А .; Kaoui, B .; Левен, Х. (9 апреля 2019 г.). «Осесимметричное течение за счет стокслета вблизи упругой мембраны конечных размеров». Журнал Физического общества Японии . 88 (5): 054401. arXiv : 1901.04485 . DOI : 10,7566 / JPSJ.88.054401 .

[4] Daddi-Мусса-Идэр, A. (25 ноября 2020). «Асимметричный стоксов поток, индуцированный поперечной точечной силой, действующей вблизи упругой мембраны конечных размеров». Журнал Физического общества Японии . 89 : 124401. arXiv : 2006.14375 . DOI : 10,7566 / JPSJ.89.124401 .

[1]