В математике , то альтернатива Фредгольма , названная в честь Ивара Фредгольма , является одной из теорем Фредгольма и является результатом в теории Фредгольма . Его можно выразить несколькими способами, как теорему линейной алгебры , теорему об интегральных уравнениях или как теорему о фредгольмовых операторах . Часть результатов гласит , что ненулевое комплексное число в спектре от более компактного оператора является собственным значением.
Линейная алгебра
Если V - n -мерное векторное пространство иявляется линейным преобразованием , то выполняется в точности одно из следующего:
- Для каждого вектора v в V существует вектор u в V, так что. Другими словами: T сюръективен (а значит, и биективен, поскольку V конечномерно).
Более простая формулировка в терминах матриц следующая. Для матрицы A размера m × n и вектора-столбца b размером m × 1 должно выполняться ровно одно из следующего:
- Либо: A x = b имеет решение x
- Или: A T y = 0 имеет решение y с y T b ≠ 0.
Другими словами, A x = b имеет решениетогда и только тогда, когда для любого y st A T y = 0, y T b = 0.
Интегральные уравнения
Позволять - интегральное ядро , и рассмотрим однородное уравнение , интегральное уравнение Фредгольма ,
и неоднородное уравнение
Альтернативой Фредгольма является утверждение, что для любого ненулевого фиксированного комплексного числа , либо первое уравнение имеет нетривиальное решение, либо второе уравнение имеет решение для всех .
Достаточным условием истинности этого утверждения является то, что быть квадратично интегрируемым на прямоугольнике(где a и / или b могут быть минус или плюс бесконечность). Интегральный оператор, определяемый таким K , называется интегральным оператором Гильберта – Шмидта .
Функциональный анализ
Результаты об операторе Фредгольма обобщают эти результаты на векторные пространства бесконечной размерности, банаховы пространства .
Интегральное уравнение можно переформулировать в операторных обозначениях следующим образом. Напишите (несколько неформально)
значить
с участием дельта - функция Дирака , рассматриваемая как распределение , или обобщенной функция , в двух переменных. Тогда по свертке , Т индуцирует линейный оператор , действующий в банаховом пространстве V функций, который мы также называем T , так что
дан кем-то
с участием дано
На этом языке альтернатива Фредгольма для интегральных уравнений рассматривается как аналогичная альтернативе Фредгольма для конечномерной линейной алгебры.
Оператор К задается сверткой с L 2 ядра, как описано выше, известен как интегрального оператора Гильберта-Шмидта . Такие операторы всегда компактны . В более общем смысле альтернатива Фредгольма верна, когда K - любой компактный оператор. Альтернативу Фредгольма можно переформулировать в следующем виде: ненулевоелибо является собственным значением из K , или лежит в области от резольвенты
Эллиптические уравнения в частных производных
Альтернатива Фредгольма может применяться для решения линейных эллиптических краевых задач . Основной результат: если уравнение и соответствующие банаховы пространства установлены правильно, то либо
- (1) Однородное уравнение имеет нетривиальное решение, или
- (2) Неоднородное уравнение может быть решено однозначно для каждого выбора данных.
Аргумент следующий. Типичный простой для понимания эллиптический оператор L - это лапласиан плюс некоторые члены более низкого порядка. В сочетании с подходящими граничными условиями и выраженным в подходящем банаховом пространстве X (которое кодирует как граничные условия, так и желаемую регулярность решения), L становится неограниченным оператором из X в себя, и каждый пытается решить
где f ∈ X - некоторая функция, служащая данными, для которой мы хотим найти решение. Альтернатива Фредгольма вместе с теорией эллиптических уравнений позволит нам организовать решения этого уравнения.
Конкретным примером может служить эллиптическая краевая задача типа
дополнен граничным условием
где Ω ⊆ R n - ограниченное открытое множество с гладкой границей, а h ( x ) - функция фиксированных коэффициентов (потенциал в случае оператора Шредингера). Функция f ∈ X - это переменные данные, для которых мы хотим решить уравнение. Здесь можно было бы взять X как пространство L 2 (Ω) всех квадратично интегрируемых функций на Ω, и тогда dom ( L ) - это пространство Соболева W 2,2 (Ω) ∩ W1,2
0(Ω), который составляет множество всех суммируемых с квадратом функций на Ω, у которых существуют слабые первая и вторая производные, которые интегрируются с квадратом и которые удовлетворяют нулевому граничному условию на ∂Ω.
Если Х выбран правильно ( так как он имеет в этом примере), то при ц 0 >> 0 оператор L + μ 0 является положительным , а затем с использованием эллиптических оценок , можно доказать , что L + М 0 : РОМ ( L ) → X - биекция, и ее обратный - компактный, всюду определенный оператор K из X в X с образом, равным dom ( L ). Мы фиксируем один такой μ 0 , но его значение не имеет значения, поскольку это всего лишь инструмент.
Затем мы можем преобразовать альтернативу Фредгольма, сформулированную выше для компактных операторов, в утверждение о разрешимости краевой задачи (*) - (**). Альтернатива Фредгольма, как указано выше, утверждает:
- Для каждого λ ∈ R либо λ является собственным значением K , либо оператор K - λ биективен от X к самому себе.
Давайте исследуем две альтернативы по мере их реализации для краевой задачи. Предположим, что λ ≠ 0. Тогда либо
(А) λ является собственным значением K ⇔ существует решение ч ∈ дом ( L ) из ( L + μ 0 ) ч = λ -1 ч ⇔ - μ 0 + λ -1 является собственным значением L .
(B) Оператор K - λ : X → X является биекцией ⇔ ( K - λ ) ( L + μ 0 ) = Id - λ ( L + μ 0 ): dom ( L ) → X является биекцией ⇔ L + μ 0 - λ −1 : dom ( L ) → X - биекция.
Замена - μ 0 + λ −1 на λ и рассмотрение случая λ = - μ 0 по отдельности дает следующую альтернативу Фредгольма для эллиптической краевой задачи:
- Для каждого λ ∈ R либо однородное уравнение ( L - λ ) u = 0 имеет нетривиальное решение, либо неоднородное уравнение ( L - λ ) u = f имеет единственное решение u ∈ dom ( L ) для каждого заданного элемента f ∈ X .
Последняя функция u решает введенную выше краевую задачу (*) - (**). Это дихотомия, заявленная в пунктах (1) - (2) выше. По спектральной теореме для компактных операторов также получаем, что множество λ, разрешимость которого не выполняется, является дискретным подмножеством R (собственными значениями L ). Связанные с собственными значениями собственные функции можно рассматривать как «резонансы», которые блокируют разрешимость уравнения.
Смотрите также
Рекомендации
- Фредхольм, EI (1903). "Sur une classe d'equations fonctionnelles" . Acta Math . 27 : 365–390. DOI : 10.1007 / bf02421317 .
- А.Г. Рамм, " Простое доказательство альтернативы Фредгольма и характеризация операторов Фредгольма ", American Mathematical Monthly , 108 (2001) с. 855.
- Хведелидзе, Б.В. (2001) [1994], "Теоремы Фредгольма для интегральных уравнений" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Вайсштейн, Эрик В. «Альтернатива Фредгольма» . MathWorld .