Положительный элемент

Эта статья может потребовать очистки, чтобы соответствовать стандартам качества Википедии . Конкретная проблема: эта страница посвящена операторам положительного гильбертова пространства. Обсуждение положительных операторов в упорядоченных банаховых пространствах, вероятно, здесь неуместно. Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, если можете. ( Октябрь 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике , особенно функциональный анализ , в самосопряженном (или эрмитово ) элемент из C * -алгебра называется плюсовой , если его спектр состоит из неотрицательных действительных чисел. Кроме того, элемент из С * -алгебра положительна , если и только если существует какая - то в таких , что . Положительный элемент самосопряжен и, следовательно, нормален .${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ Displaystyle \ sigma (А)}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle A = B ^ {*} B}$

Если - линейный ограниченный оператор в комплексном гильбертовом пространстве , то это понятие совпадает с условием, которое неотрицательно для каждого вектора из . Обратите внимание, что это реально для каждого in тогда и только тогда, когда является самосопряженным. Следовательно, положительный оператор в гильбертовом пространстве всегда самосопряженный (а самосопряженный всюду определенный оператор в гильбертовом пространстве всегда ограничен в силу теоремы Хеллингера-Теплица ).${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle H}$${\displaystyle \langle Tx,x\rangle }$${\displaystyle x}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \langle Tx,x\rangle }$${\displaystyle x}$${\displaystyle H}$${\displaystyle T}$

Множество положительных элементов C * -алгебры образует выпуклый конус .

Положительные и положительно определенные операторы [ править ]

Ограниченный линейный оператор на внутреннем пространстве произведения называется положительным (или положительно полуопределенным ), если для некоторого ограниченного оператора на , и называется положительно определенным, если он также неособен . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle V}$${\displaystyle P=S^{*}S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle V}$${\displaystyle S}$

(I) Следующие условия положительной полуопределенности ограниченного оператора на эквивалентны:${\displaystyle P}$${\displaystyle V}$

• ${\displaystyle P=S^{*}S}$для некоторого ограниченного оператора на ,${\displaystyle S}$${\displaystyle V}$
• ${\displaystyle P=T^{2}}$для некоторого самосопряженного оператора на ,${\displaystyle T}$${\displaystyle V}$
• ${\displaystyle \langle Pu,u\rangle \geq 0,\forall u\in V}$.

(II) Следующие условия положительной определенности ограниченного оператора на эквивалентны:${\displaystyle P}$${\displaystyle V}$

• ${\displaystyle P=S^{*}S}$для некоторого неособого ограниченного оператора на ,${\displaystyle S}$${\displaystyle V}$
• ${\displaystyle P=T^{2}}$для некоторого неособого самосопряженного оператора на ,${\displaystyle T}$${\displaystyle V}$
• ${\displaystyle \langle Pu,u\rangle >0,\forall u\neq 0}$в .${\displaystyle V}$

(III) Комплексная матрица представляет собой положительный (полу) определенный оператор тогда и только тогда, когда является эрмитовым (или самосопряженным) и , и являются (строго) положительными действительными числами. ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle a}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \det(A)=ad-bc}$

Этот раздел может отклоняться от темы статьи . Пожалуйста, помогите улучшить этот раздел или обсудите эту проблему на странице обсуждения . ( Октябрь 2013 г. )

Примеры [ править ]

• Следующая матрица не является положительно определенной, поскольку . Однако, неотрицательны так , и не отрицательно.${\displaystyle A}$${\displaystyle \det(A)=0}$${\displaystyle A}$${\displaystyle a=1}$${\displaystyle d=1}$${\displaystyle \det(A)=0}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}}.}$

Частичное упорядочивание с использованием положительности [ править ]

Определив

${\displaystyle A\geq B\iff A-B{\text{ is positive}}}$

для самосопряженных элементов в C * -алгебре получается частичный порядок на множестве самосопряженных элементов в . Обратите внимание, что согласно этому определению, мы имеем тогда и только тогда, когда положительно, что удобно.${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle A\geq 0}$${\displaystyle A}$

Этот частичный порядок аналогичен естественному порядку действительных чисел, но лишь до некоторой степени. Например, он учитывает умножение на положительные действительные числа и сложение самосопряженных элементов, но не обязательно для положительных элементов с и .${\displaystyle AB\geq CD}$${\displaystyle A,B,C,D\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle A\geq C}$${\displaystyle B\geq D}$

Ссылки [ править ]

• Конвей, Джон (1990), курс функционального анализа , Springer Verlag , ISBN 0-387-97245-5