Самосопряженный оператор

В математике , А самосопряженный оператор на конечномерном комплексном векторном пространстве V с внутренним произведением ( что эквивалентно, эрмитов оператор в конечномерном случае) представляет собой линейное отображение (от V к себе) , что является его собственным сопряженный : для всех векторов v и w. Если V конечномерно с заданной ортонормированному , это эквивалентно условию , что матрица из А является эрмитовой матрицей , т.е. равна его сопряженное транспонирование A${\ Displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$ ${\ Displaystyle \ langle Av, w \ rangle = \ langle v, Aw \ rangle}$ ^∗ . По конечномерном спектральной теорема , V имеет ортогональный базис таким образом, что матрица А по отношению к этой основе является диагональной матрицей с элементами в действительных числах . В этой статье мы рассматриваем обобщения этого понятия на операторы в гильбертовых пространствах произвольной размерности.

Самосопряженные операторы используются в функциональном анализе и квантовой механике . В квантовой механике их важность заключается в формулировке квантовой механики Дирака – фон Неймана , в которой физические наблюдаемые, такие как положение, импульс , угловой момент и спин , представлены самосопряженными операторами в гильбертовом пространстве. Особое значение имеет оператор Гамильтона, определяемый формулой${\ displaystyle {\ hat {H}}}$

${\ displaystyle {\ hat {H}} \ psi = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2} \ psi + V \ psi,}$

которая , как наблюдаемые соответствует полной энергии частицы массы т в реальном потенциальном поле V . Дифференциальные операторы - важный класс неограниченных операторов .

Структура самосопряженных операторов в бесконечномерных гильбертовых пространствах существенно напоминает конечномерный случай. Иными словами, операторы являются самосопряженными тогда и только тогда, когда они унитарно эквивалентны операторам действительного умножения. С соответствующими модификациями этот результат можно распространить на, возможно, неограниченные операторы в бесконечномерных пространствах. Поскольку всюду определенный самосопряженный оператор обязательно ограничен, нужно более внимательно относиться к проблеме области определения в неограниченном случае. Это объясняется ниже более подробно.

Ограниченные самосопряженные операторы [ править ]

Предположим, что это ограниченный линейный оператор из гильбертова пространства H в себя. Тогда существует единственный ограниченный оператор , называемый сопряженным к нему, такой, что (в обозначениях бра-кета )${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A ^ {*}}$${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle \ langle Ax | y \ rangle = \ left \ langle x | A ^ {*} y \ right \ rangle}$

для всех в H . ^[1] Мы говорим, что A является самосопряженным (физики используют термин «эрмитово»), если . Эквивалентно ограниченный оператор A самосопряжен, если ${\ displaystyle x, y}$${\ displaystyle A ^ {*} = A}$

${\displaystyle \langle Ax|y\rangle =\langle x|Ay\rangle }$

для всех и в Н .${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

Любой ограниченный линейный оператор T  : H → H в гильбертовом пространстве H можно записать в виде, где A  : H → H и B  : H → H - ограниченные самосопряженные операторы. ^[2]${\displaystyle T=A+iB}$

Свойства ограниченных самосопряженных операторов [ править ]

Пусть H - гильбертово пространство и пусть A  : H → H - ограниченный самосопряженный линейный оператор, определенный на . ${\displaystyle \operatorname {D} \left(A\right)=H}$

• ${\displaystyle \left\langle h,Ah\right\rangle }$реально для всех . ^[3]${\displaystyle h\in H}$
• ${\displaystyle \left\|A\right\|=\sup \left\{|\langle h,Ah\rangle |:\|h\|=1\right\}}$. ^[3]
• Если образ A , обозначенный буквой , плотен в H, то он обратим.${\displaystyle \operatorname {Im} A}$${\displaystyle A:H\to \operatorname {Im} A}$
• Собственные значения матрицы A действительны, а собственные векторы, принадлежащие разным собственным значениям, ортогональны. ^[3]
• Если - собственное значение оператора A, то ; в частности, . ^[3]${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle |\lambda |\leq \|A\|}$${\displaystyle |\lambda |\leq \sup \left\{|\langle h,Ah\rangle |:\|h\|\leq 1\right\}}$
  • В общем, может не существовать какое-либо собственное значение, такое что , но если дополнительно A компактно, то обязательно существует собственное значение , равное либо или , ^[4] такое, что , ^[3]${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle |\lambda |=\sup \left\{|\langle h,Ah\rangle |:\|h\|\leq 1\right\}}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \|A\|}$${\displaystyle -\|A\|}$${\displaystyle |\lambda |=\sup \left\{|\langle h,Ah\rangle |:\|h\|\leq 1\right\}}$
• Если последовательность ограниченных самосопряженных линейных операторов сходится, то предел самосопряженный. ^[2]
• Существует число , равное либо или , и последовательность такая, что и для всех i . ^[4]${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \|A\|}$${\displaystyle -\|A\|}$${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\subseteq H}$${\displaystyle \lim _{i\to \infty }Ax_{i}-\lambda x_{i}=0}$${\displaystyle \|x_{i}\|=1}$

Симметричные операторы [ править ]

Тонкости неограниченного случая [ править ]

Во многих приложениях мы вынуждены рассматривать неограниченные операторы; примеры включают позиционные, импульсные и гамильтоновы операторы в квантовой механике, а также многие дифференциальные операторы. В неограниченном случае необходимо решить ряд тонких технических проблем. В частности, существует принципиальное различие между операторами, которые просто «симметричны» (определены в этом разделе), и операторами, которые являются «самосопряженными» (определены в следующем разделе). В случае дифференциальных операторов, определенных в ограниченных областях, эти технические вопросы связаны с правильным выбором граничных условий.

Определение симметричного оператора [ править ]

Рассмотрим теперь неограниченный оператор А в гильбертовом пространстве H . Это означает, что A является линейным отображением подпространства H - обозначенной "области" A - в сам H. Как правило , мы предполагаем , что плотное подпространство Н . Такой оператор называется симметричным , если в скобках обозначения ,${\displaystyle \operatorname {Dom} (A)}$${\displaystyle \operatorname {Dom} (A)}$

${\displaystyle \langle Ax|y\rangle =\langle x|Ay\rangle }$

для всех элементов х и у в области А .

Если A симметрична и , то A обязательно ограничена. ^[5] То есть неограниченный симметрический оператор не может быть определен на всем гильбертовом пространстве. Поскольку операторы, рассматриваемые в квантовой механике, неограниченны, их невозможно определить как симметричные операторы во всем гильбертовом пространстве.${\displaystyle \mathrm {Dom} (A)=H}$

В физической литературе термин « эрмитовский» используется вместо термина «симметричный». В физической литературе обычно игнорируется различие между операторами, которые являются просто симметричными, и операторами, которые фактически являются самосопряженными (как определено в следующем разделе).

Хотя понятие симметричного оператора легко понять, это не «правильное» понятие в общем неограниченном случае. В частности, спектральная теорема применима только к самосопряженным операторам (определенным в следующем разделе), а не к большинству операторов, которые являются просто симметричными. В частности, хотя собственные значения симметричного оператора обязательно действительны, симметричный оператор не обязательно должен иметь какие-либо собственные векторы, не говоря уже об их ортонормированном базисе.

В более общем смысле, частично определенный линейный оператор A из топологического векторного пространства E в его непрерывное двойственное пространство E ^∗ называется симметричным, если

${\displaystyle \langle Ax|y\rangle =\langle x|Ay\rangle }$

для всех элементов х и у в области А . Это использование довольно стандартно в литературе по функциональному анализу.

Простой пример [ править ]

Как отмечалось выше, спектральная теорема применима только к самосопряженным операторам, а не к симметрическим операторам вообще. Тем не менее, здесь мы можем привести простой пример симметричного оператора, который имеет ортонормированный базис из собственных векторов. (Этот оператор на самом деле «существенно самосопряжен.») Оператор Ниже можно увидеть , чтобы иметь компактный обратный, а это означает , что соответствующее дифференциальное уравнение М = г решается с помощью некоторого интеграла, следовательно , компактный, оператор G . Компактный симметричный оператор G , то имеет счетное семейство собственных векторов , которые являются полными в L ² . То же самое можно сказать и о.

Рассмотрим комплексное гильбертово пространство L ² [0,1] и дифференциальный оператор

${\displaystyle A=-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}}$

с состоящей из всех комплекснозначных бесконечно дифференцируемых функций f на [0, 1], удовлетворяющих граничным условиям ${\displaystyle \mathrm {Dom} (A)}$

${\displaystyle f(0)=f(1)=0.}$

Тогда интегрирование по частям внутреннего продукта показывает, что A симметрична. Читателю предлагается дважды выполнить интегрирование по частям и убедиться, что заданные граничные условия гарантируют, что граничные члены при интегрировании по частям равны нулю.${\displaystyle \operatorname {Dom} (A)}$

Собственные функции A - это синусоиды.

${\displaystyle f_{n}(x)=\sin(n\pi x)\qquad n=1,2,\ldots }$

с действительными собственными значениями n ² π ² ; хорошо известная ортогональность синусоидальных функций следует как следствие свойства симметрии.

Ниже мы рассмотрим обобщения этого оператора.

Свойства симметричных операторов [ править ]

Пусть H - гильбертово пространство и пусть A - H -значный линейный оператор, определенный на . ${\displaystyle \operatorname {D} \left(A\right)\subseteq H}$

• Если A симметрично, то реально для всех .${\displaystyle \left\langle h,Ah\right\rangle }$${\displaystyle h\in \operatorname {D} (A)}$

Самосопряженные операторы [ править ]

Определение самосопряженного оператора [ править ]

Вкратце, плотно определенный линейный оператор A в гильбертовом пространстве является самосопряженным, если он равен своему сопряженному. Иными словами, A является самосопряженным, если (1) область определения A совпадает с областью определения сопряженного, и (2) оператор A согласован со своим сопряженным в этой общей области.

Теперь уточним приведенное выше определение. Для плотно определенного линейного оператора A на H его сопряженный A ^∗ определяется следующим образом:

• Область определения A ^∗ состоит из векторов x из H таких, что

  ${\displaystyle y\mapsto \langle x|Ay\rangle }$

(которое является плотно определенным линейным отображением) является непрерывным линейным функционалом. По непрерывности и плотности области А , оно продолжается до единственного непрерывного линейного функционала на всех Н .

• По теореме Рисса о представлении линейных функционалов, если x находится в области определения A ^∗ , существует единственный вектор z в H такой, что

  ${\displaystyle \langle x|Ay\rangle =\langle z|y\rangle \qquad \forall y\in \operatorname {Dom} A}$

Этот вектор z определяется как A ^∗ x . Можно показать, что зависимость z от x линейна.

Обратите внимание, что именно плотность области определения оператора, наряду с частью уникальности представления Рисса, обеспечивает правильное определение сопряженного оператора.

Результат типа Хеллингера-Теплица гласит, что оператор, имеющий всюду определенное ограниченное сопряжение, ограничен.

Условие самосопряженности линейного оператора в гильбертовом пространстве сильнее, чем симметрии . Хотя это различие носит технический характер, оно очень важно; спектральная теорема применима только к самосопряженным операторам, а не к просто симметричным операторам. Подробное обсуждение различия см. В главе 9 Hall (2013).

Для любого плотно определенного оператора A в гильбертовом пространстве можно определить его сопряженный оператор A ^∗ . Для симметричного оператора A область определения оператора A ^∗ содержит область определения оператора A , а ограничение оператора A ^∗ на область определения A совпадает с оператором A , т . Е. A ⊆ A ^∗ , другими словами A ^* является продолжением A . Для самосопряженного оператора A область определения A ^∗то же самое, что и область определения A , и A = A ^∗ . См. Также Расширения симметрических операторов и неограниченный оператор .

Существенная самосопряженность [ править ]

Симметричный оператор A всегда замыкаем; то есть замыкание графика A является графиком оператора. Симметричный оператор называется существенно самосопряженным , если замыкание А самосопряжено. Эквивалентно, A по существу самосопряженный, если он имеет уникальное самосопряженное расширение. С практической точки зрения наличие по существу самосопряженного оператора почти так же хорошо, как наличие самосопряженного оператора, поскольку нам просто нужно выполнить замыкание, чтобы получить самосопряженный оператор.

Геометрическая интерпретация [ править ]

Существует полезный геометрический способ рассмотрения сопряженного оператора A на H следующим образом: мы рассматриваем граф G ( A ) оператора A, определенный формулой

${\displaystyle \operatorname {G} (A)=\{(\xi ,A\xi ):\xi \in \operatorname {Dom} A\}\subseteq H\oplus H.}$

Теорема . Пусть J - симплектическое отображение

${\displaystyle {\begin{cases}H\oplus H\to H\oplus H\\\operatorname {J} :(\xi ,\eta )\mapsto (-\eta ,\xi )\end{cases}}}$

Тогда график A ^∗ является ортогональным дополнением к JG ( A ):

${\displaystyle \operatorname {G} (A^{*})=(\operatorname {J} \operatorname {G} (A))^{\perp }=\{(x,y)\in H\oplus H:\langle (x,y)|(-A\xi ,\xi )\rangle =0\;\;\forall \xi \in \operatorname {Dom} A\}}$

Плотно определенный оператор A является симметричным тогда и только тогда, когда A ⊆ A ^∗ , где обозначение подмножества A ⊆ A ^∗ означает G ( A ) ⊆ G ( A ^∗ ) . Оператор является самосопряженным тогда и только тогда , когда A = A ^* ; то есть тогда и только тогда, когда G ( A ) = G ( A ^∗ ) .

Пример [ править ]

Рассмотрим комплексное гильбертово пространство L ² ( R ) и оператор, умножающий заданную функцию на x :

${\displaystyle Af(x)=xf(x)}$

Домен А является пространством всех L ² функций , для которых также интегрируемых с квадратом. Тогда A самосопряжен. ^[6] С другой стороны, A не имеет собственных функций. (Точнее, A не имеет нормализуемых собственных векторов, то есть собственных векторов, которые фактически находятся в гильбертовом пространстве, на котором определено A. )${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle xf(x)}$

Как мы увидим позже, самосопряженные операторы обладают очень важными спектральными свойствами; на самом деле они являются операторами умножения на общих пространствах с мерой.

Различие между симметричными и самосопряженными операторами [ править ]

Как обсуждалось выше, хотя различие между симметричным оператором и самосопряженным (или по существу самосопряженным) оператором является тонким, оно важно, поскольку самосопряженность является гипотезой спектральной теоремы. Здесь мы обсуждаем некоторые конкретные примеры различия; см. ниже раздел о расширениях симметрических операторов для общей теории.

Граничные условия [ править ]

В случае, когда гильбертово пространство является пространством функций в ограниченной области, эти различия связаны с известной проблемой в квантовой физике: нельзя определить оператор - такой как импульс или оператор гамильтониана - в ограниченной области без указания граничные условия . С математической точки зрения выбор граничных условий означает выбор подходящей области для оператора. Рассмотрим, например, гильбертово пространство (пространство интегрируемых с квадратом функций на отрезке [0,1]). Определим на этом пространстве оператор «импульса» A по обычной формуле, положив постоянную Планка равной 1:${\displaystyle L^{2}([0,1])}$

${\displaystyle Af=-i{\frac {df}{dx}}.}$

Теперь мы должны указать область для A , что составляет выбор граничных условий. Если мы выберем

${\displaystyle \operatorname {Dom} (A)=\left\{{\text{smooth functions}}\right\},}$

тогда A несимметрична (поскольку граничные члены при интегрировании по частям не обращаются в нуль).

Если мы выберем

${\displaystyle \operatorname {Dom} (A)=\left\{{\text{smooth functions}}\,f|f(0)=f(1)=0\right\},}$

тогда, используя интегрирование по частям, легко проверить, что A симметрична. Этот оператор по существу не является самосопряженным, ^[7], однако, в основном потому, что мы задали слишком много граничных условий на области определения A , что делает область сопряженной области слишком большой. (Этот пример также обсуждается в разделе «Примеры» ниже.)

В частности, при указанном выборе домена для А , область закрытия из A является${\displaystyle A^{\mathrm {cl} }}$

${\displaystyle \operatorname {Dom} \left(A^{\mathrm {cl} }\right)=\left\{{\text{functions }}f{\text{ with two derivatives in }}L^{2}|f(0)=f(1)=0\right\},}$

тогда как область определения сопряженного к A равна${\displaystyle A^{*}}$

${\displaystyle \operatorname {Dom} \left(A^{*}\right)=\left\{{\text{functions }}f{\text{ with two derivatives in }}L^{2}\right\}.}$

Другими словами, область замыкания имеет те же граничные условия, что и область самой A , только менее строгое предположение о гладкости. Между тем, поскольку на A «слишком много» граничных условий , для . Если мы вычисляем для использования интегрирования по частям, то, поскольку обращается в нуль на обоих концах интервала, не требуется никаких граничных условий для сокращения граничных членов при интегрировании по частям. Таким образом, любая достаточно гладкая функция находится в области определения , с . ^[8]${\displaystyle A^{*}}$${\displaystyle \langle g,Af\rangle }$${\displaystyle f\in \operatorname {Dom} (A)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g}$${\displaystyle A^{*}}$${\displaystyle A^{*}g=-i\,dg/dx}$

Поскольку область замыкания и область сопряженного не совпадают, A по существу не является самосопряженным. В конце концов, общий результат говорит о том , что область сопряженного такой же , как в области сопряженного А . Таким образом, в этом случае область сопряженного элемента больше, чем область самого себя, показывая, что он не является самосопряженным, что по определению означает, что A по существу не является самосопряженным.${\displaystyle A^{\mathrm {cl} }}$${\displaystyle A^{\mathrm {cl} }}$${\displaystyle A^{\mathrm {cl} }}$${\displaystyle A^{\mathrm {cl} }}$

Проблема в предыдущем примере, что мы ввели слишком много граничных условий на области А . Лучшим выбором домена было бы использование периодических граничных условий:

${\displaystyle \operatorname {Dom} (A)=\{{\text{smooth functions}}\,f|f(0)=f(1)\}.}$

С этой областью A по существу самосопряжен. ^[9]

В этом случае мы можем понять последствия проблем области для спектральной теоремы. Если мы используем первый выбор области (без граничных условий), все функции для являются собственными векторами с собственными значениями , и поэтому спектр представляет собой всю комплексную плоскость. Если мы используем второй выбор области (с граничными условиями Дирихле), A вообще не имеет собственных векторов. Если мы используем третий выбор области (с периодическими граничными условиями), мы можем найти ортонормированный базис собственных векторов для A , функций . Таким образом, в этом случае поиск области, в которой A является самосопряженным, является компромиссом: область должна быть достаточно маленькой, чтобы A была симметричной, но достаточно большой, чтобы${\displaystyle f_{\beta }(x)=e^{\beta x}}$${\displaystyle \beta \in \mathbb {C} }$${\displaystyle -i\beta }$${\displaystyle f_{n}(x):=e^{2\pi inx}}$${\displaystyle D(A^{*})=D(A)}$.

Операторы Шредингера с сингулярными потенциалами [ править ]

Более тонкий пример различия между симметричными и (по существу) самосопряженными операторами исходит из операторов Шредингера в квантовой механике. Если потенциальная энергия сингулярна - особенно если потенциал неограничен снизу, - ассоциированный оператор Шредингера может не быть по существу самосопряженным. Например, в одном измерении оператор

${\displaystyle {\hat {H}}:={\frac {P^{2}}{2m}}-X^{4}}$

не является по существу самосопряженным на пространстве гладких быстро убывающих функций. ^[10] В этом случае нарушение существенной самосопряженности отражает патологию лежащей в основе классической системы: классическая частица с потенциалом убегает в бесконечность за конечное время. Этот оператор не имеет единственного самосопряженного, но он допускает самосопряженные расширения, полученные путем задания «граничных условий на бесконечности». (Поскольку это вещественный оператор, он коммутирует с комплексным сопряжением. Таким образом, индексы дефекта автоматически равны, что является условием наличия самосопряженного расширения. См. Обсуждение расширений симметрических операторов ниже.)${\displaystyle -x^{4}}$${\displaystyle {\hat {H}}}$

В этом случае, если мы сначала определим на пространстве гладких, быстро убывающих функций, сопряженный будет «тот же» оператор (т. Е. Заданный той же формулой), но в максимально возможной области, а именно${\displaystyle {\hat {H}}}$

${\displaystyle \operatorname {Dom} \left({\hat {H}}^{*}\right)=\left\{{\text{twice differentiable functions }}f\in L^{2}(\mathbb {R} )\left|\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}-x^{4}f(x)\right)\in L^{2}(\mathbb {R} )\right.\right\}.}$

Тогда можно показать, что это несимметричный оператор, что, безусловно, означает, что он не является по существу самосопряженным. Действительно, имеет собственные векторы с чисто мнимыми собственными значениями ^{[11] [12],} что невозможно для симметричного оператора. Это странное происшествие возможно из-за отмены между двумя членами в : Существуют функции в домене, для которых ни и не входит отдельно , но их комбинация, встречающаяся в, входит . Это позволяет быть несимметричным, даже если оба и являются симметричными операторами. Такого рода отмены не произойдет, если мы заменим отталкивающий потенциал${\displaystyle {\hat {H}}^{*}}$${\displaystyle {\hat {H}}}$${\displaystyle {\hat {H}}^{*}}$${\displaystyle {\hat {H}}^{*}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\hat {H}}^{*}}$${\displaystyle d^{2}f/dx^{2}}$${\displaystyle x^{4}f(x)}$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle {\hat {H}}^{*}}$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle {\hat {H}}^{*}}$${\displaystyle d^{2}/dx^{2}}$${\displaystyle X^{4}}$${\displaystyle -x^{4}}$с ограничивающим потенциалом .${\displaystyle x^{4}}$

Условия, при которых операторы Шредингера являются самосопряженными или существенно самосопряженными, можно найти в различных учебниках, таких как книги Березина и Шубина, Холла, Рида и Саймона, перечисленные в ссылках.

Спектральная теорема [ править ]

В физической литературе спектральная теорема часто формулируется, говоря, что самосопряженный оператор имеет ортонормированный базис собственных векторов. Однако физикам хорошо известно явление «непрерывного спектра»; таким образом, когда они говорят об «ортонормированном базисе», они имеют в виду либо ортонормированный базис в классическом смысле, либо некоторый его непрерывный аналог. В случае оператора импульса , например, физики сказали бы, что собственные векторы - это функции , которые явно не находятся в гильбертовом пространстве . (Физики сказали бы, что собственные векторы «ненормализуемы».) Затем физики сказали бы, что эти «собственные векторы» ортонормированы в непрерывном смысле,где обычная дельта Кронекера заменена дельта-функцией Дирака${\displaystyle P=-i\,d/dx}$${\displaystyle f_{p}(x):=e^{ipx}}$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \delta _{i,j}}$${\displaystyle \delta \left(p-p'\right)}$.

Хотя эти утверждения могут показаться математикам сбивающими с толку, их можно сделать точными, используя преобразование Фурье, которое позволяет выразить общую функцию как «суперпозицию» (т.е. интеграл) функций , даже если эти функции не входят в . Преобразование Фурье «диагонализует» оператор импульса; то есть преобразует его в оператор умножения на , где - переменная преобразования Фурье.${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle e^{ipx}}$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

Спектральная теорема в целом может быть выражена аналогично возможности «диагонализации» оператора, показывая, что он унитарно эквивалентен оператору умножения. Другие версии спектральной теоремы аналогичным образом предназначены для улавливания идеи о том, что самосопряженный оператор может иметь «собственные векторы», которые на самом деле не находятся в рассматриваемом гильбертовом пространстве.

Формулировка спектральной теоремы [ править ]

Частично определенные операторы , Б на гильбертовых пространствах Н , K являются унитарно эквивалентны тогда и только тогда , когда существует унитарное преобразование U  : H → K такое , что

• U отображает dom A биективно на dom B ,
• ${\displaystyle BU\xi =UA\xi ,\qquad \forall \xi \in \operatorname {dom} A.}$

Оператор умножения определяется следующим образом : Пусть ( X , Σ, μ) является счетно - аддитивной мерой пространства и F вещественной измеримой функции на X . Оператор T вида

${\displaystyle [T\psi ](x)=f(x)\psi (x)}$

домен которого является пространством ф , для которого выше правой руки находится в L ² называется оператором умножения.

Один из вариантов спектральной теоремы можно сформулировать следующим образом.

Теорема. Любой оператор умножения является (плотно определенным) самосопряженным оператором. Любой самосопряженный оператор унитарно эквивалентен оператору умножения. ^[13]

Другие версии спектральной теоремы можно найти в указанной выше статье о спектральных теоремах.

Спектральная теорема для неограниченных самосопряженных операторов может быть доказана путем сведения к спектральной теореме для унитарных (следовательно, ограниченных) операторов. ^[14] Эта редукция использует преобразование Кэли для самосопряженных операторов, которое определено в следующем разделе. Мы могли бы заметить, что если T - это умножение на f, то спектр T - это просто существенный диапазон f.

Функциональное исчисление [ править ]

Одним из важных приложений спектральной теоремы является определение « функционального исчисления ». То есть, если это функция на действительной строке и является самосопряженным оператором, мы хотим определить оператор . Если имеет истинный ортонормированный базис из собственных векторов с собственными значениями , то является оператором с собственными векторами и собственными значениями . Цель функционального исчисления - распространить эту идею на случай непрерывного спектра.${\displaystyle h}$${\displaystyle T}$${\displaystyle h(T)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle e_{j}}$${\displaystyle \lambda _{j}}$${\displaystyle h(T)}$${\displaystyle e_{j}}$${\displaystyle h\left(\lambda _{j}\right)}$${\displaystyle T}$

Особое значение в квантовой физике является случай , в котором есть оператор Гамильтона и является экспоненциальной. В этом случае функциональное исчисление должно позволить нам определить оператор${\displaystyle T}$${\displaystyle {\hat {H}}}$${\displaystyle h(x):=e^{-itx/\hbar }}$

${\displaystyle U(t):=h\left({\hat {H}}\right)=e^{\frac {-it{\hat {H}}}{\hbar }},}$

который является оператором, определяющим эволюцию во времени в квантовой механике.

Учитывая представление T как оператора умножения на - что гарантируется спектральной теоремой - легко охарактеризовать функциональное исчисление: если h - ограниченная вещественнозначная борелевская функция на R , то h ( T ) - оператор умножение на композицию .${\displaystyle f}$${\displaystyle h\circ f}$

Разрешение личности [ править ]

Принято вводить следующие обозначения

${\displaystyle \operatorname {E} _{T}(\lambda )=\mathbf {1} _{(-\infty ,\lambda ]}(T)}$

где - характеристическая функция интервала . Семейство проекционных операторов Е _Т (λ) называется разложением единицы для T . Более того, можно доказать следующее интегральное представление Стилтьеса для T :${\displaystyle \mathbf {1} _{(-\infty ,\lambda ]}}$${\displaystyle (-\infty ,\lambda ]}$

${\displaystyle T=\int _{-\infty }^{+\infty }\lambda d\operatorname {E} _{T}(\lambda ).}$

Приведенное выше определение операторного интеграла можно свести к определению скалярнозначного интеграла Стилтьеса с использованием слабой операторной топологии. Однако в более современных методах лечения этого представления обычно избегают, поскольку с большинством технических проблем можно справиться с помощью функционального исчисления.

Формулировки в физической литературе [ править ]

В физике, особенно в квантовой механике, спектральная теорема выражается способом, который объединяет спектральную теорему, как указано выше, и функциональное исчисление Бореля с использованием обозначений Дирака следующим образом:

Если H самосопряженный, а f - борелевская функция ,

${\displaystyle f(H)=\int dE\left|\Psi _{E}\rangle f(E)\langle \Psi _{E}\right|}$

с

${\displaystyle H\left|\Psi _{E}\right\rangle =E\left|\Psi _{E}\right\rangle }$

где интеграл пробегает весь спектр Н . Обозначения позволяет предположить , что Н диагонализуется собственными векторами Ψ _E . Такое обозначение чисто формальное . Видно сходство обозначений Дирака и предыдущего раздела. Разрешение тождества (иногда называемого проекционно-значными мерами) формально напоминает проекции ранга 1 . В нотации Дирака (проективные) измерения описываются с помощью собственных значений и собственных состояний , которые являются чисто формальными объектами. Как и следовало ожидать, это не переживает переход к разрешению идентичности. В последнем композиции, измерения описываются с использованием спектральной меры по${\displaystyle \left|\Psi _{E}\right\rangle \left\langle \Psi _{E}\right|}$${\displaystyle |\Psi \rangle }$, если система подготовлена до измерения. В качестве альтернативы, если кто-то хочет сохранить понятие собственных состояний и сделать его строгим, а не просто формальным, можно заменить пространство состояний подходящим оснащенным гильбертовым пространством .${\displaystyle |\Psi \rangle }$

Если f = 1 , теорема называется разрешением единицы:

${\displaystyle I=\int dE\left|\Psi _{E}\right\rangle \left\langle \Psi _{E}\right|}$

В случае суммы эрмитова H и косоэрмитова (см. Косоэрмитова матрица ) оператора , определяется биортогональный базисный набор${\displaystyle H_{\text{eff}}=H-i\Gamma }$${\displaystyle -i\Gamma }$

${\displaystyle H_{\text{eff}}^{*}\left|\Psi _{E}^{*}\right\rangle =E^{*}\left|\Psi _{E}^{*}\right\rangle }$

и запишем спектральную теорему как:

${\displaystyle f\left(H_{\text{eff}}\right)=\int dE\left|\Psi _{E}\right\rangle f(E)\left\langle \Psi _{E}^{*}\right|}$

(См. Контекст, в котором такие операторы появляются в теории рассеяния, в методе разбиения Фешбаха – Фано ).

Расширения симметричных операторов [ править ]

В нескольких контекстах возникает следующий вопрос: если оператор A в гильбертовом пространстве H симметричен, когда он имеет самосопряженные расширения? Оператор, имеющий единственное самосопряженное расширение, называется по существу самосопряженным ; эквивалентно, оператор является по существу самосопряженным, если его замыкание (оператор, график которого является замыканием графика A ) самосопряженный. В общем, симметричный оператор может иметь много самосопряженных расширений или вообще не иметь. Таким образом, нам нужна классификация его самосопряженных расширений.

Первый основной критерий существенной самосопряженности следующий: ^[15]

Теорема : Если симметричный оператор на Н , то , по существу , самосопряженная тогда и только тогда , когда диапазон операторов и плотны в H .${\displaystyle A-i}$${\displaystyle A+i}$

Эквивалентно, A по существу самосопряжен тогда и только тогда, когда операторы и имеют тривиальные ядра. ^[16] Другими словами, A не может быть самосопряженным тогда и только тогда, когда имеет собственный вектор с собственным значением или .${\displaystyle A^{*}-i}$${\displaystyle A^{*}+i}$ ${\displaystyle A^{*}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle -i}$

Другой способ взглянуть на проблему - это преобразование Кэли самосопряженного оператора и индексы дефекта. (Часто бывает технически удобно иметь дело с замкнутыми операторами . В симметричном случае требование замкнутости не создает препятствий, поскольку известно, что все симметричные операторы замыкаемы .)

Теорема . Предположим, что A - симметричный оператор. Тогда существует единственный частично определенный линейный оператор

${\displaystyle \operatorname {W} (A):\operatorname {ran} (A+i)\to \operatorname {ran} (A-i)}$

такой, что

${\displaystyle \operatorname {W} (A)(Ax+ix)=Ax-ix,\qquad x\in \operatorname {dom} (A).}$

Здесь ran и dom обозначают изображение (другими словами, диапазон) и домен соответственно. W ( A ) изометрично на своей области определения. Кроме того, диапазон 1 - W ( ) является плотным в H .

И наоборот, для любого частично определенного оператора U, который изометричен в своей области определения (которая не обязательно является замкнутой) и такой, что 1 -  U плотно, существует (единственный) оператор S ( U )

${\displaystyle \operatorname {S} (U):\operatorname {ran} (1-U)\to \operatorname {ran} (1+U)}$

такой, что

${\displaystyle \operatorname {S} (U)(x-Ux)=i(x+Ux)\qquad x\in \operatorname {dom} (U).}$

Оператор S ( U ) плотно определен и симметричен.

Отображения W и S обратны друг другу. ^{[ требуется разъяснение ]}

Отображение W называется преобразованием Кэли . Он связывает частично определенную изометрию с любым симметричным плотно определенным оператором. Обратите внимание, что отображения W и S монотонны : это означает, что если B - симметричный оператор, расширяющий плотно определенный симметрический оператор A , то W ( B ) расширяет W ( A ), и аналогично для S.

Теорема . Необходимым и достаточным условием быть самосопряженная является то , что ее преобразование Кэли Вт ( ) унитарным.

Это сразу дает нам необходимое и достаточное условие для того, чтобы A имела самосопряженное расширение, а именно:

Теорема . Необходимое и достаточное условие A , чтобы иметь самосопряженное расширение является то , что W ( ) имеет унитарное расширение.

Частично определенный изометрический оператор V в гильбертовом пространстве H имеет единственное изометрическое расширение до замыкания по норме dom ( V ). Частично определенный изометрический оператор с замкнутой областью определения называется частичной изометрией .

При частичной изометрии V , то индексы дефекта из V определяется как размерности ортогональных дополнений домена и диапазона:

${\displaystyle {\begin{aligned}n_{+}(V)&=\operatorname {dim} \ \operatorname {dom} (V)^{\perp }\\n_{-}(V)&=\operatorname {dim} \ \operatorname {ran} (V)^{\perp }\end{aligned}}}$

Теорема . Частичная изометрия V имеет унитарное расширение тогда и только тогда, когда индексы дефекта идентичны. Более того, V имеет единственное унитарное расширение тогда и только тогда, когда оба индекса дефекта равны нулю.

Мы видим, что существует биекция между симметричными расширениями оператора и изометрическими расширениями его преобразования Кэли. Симметричное расширение самосопряжено тогда и только тогда, когда соответствующее изометрическое расширение унитарно.

Симметричный оператор имеет единственное самосопряженное расширение тогда и только тогда, когда оба его индекса дефекта равны нулю. Такой оператор называется по существу самосопряженным . Симметричные операторы, которые по существу не являются самосопряженными, могут иметь каноническое самосопряженное расширение. Так обстоит дело с неотрицательными симметричными операторами (или, в более общем смысле, с ограниченными снизу операторами). Эти операторы всегда имеют канонически определенное расширение Фридрихса, и для этих операторов мы можем определить каноническое функциональное исчисление. Многие операторы, встречающиеся в анализе, ограничены снизу (например, отрицательный оператор лапласа ), поэтому вопрос о существенной сопряженности для этих операторов менее критичен.

Самосопряженные расширения в квантовой механике [ править ]

В квантовой механике наблюдаемые соответствуют самосопряженным операторам. По теореме Стоуна об однопараметрических унитарных группах самосопряженные операторы являются в точности инфинитезимальными генераторами унитарных групп операторов временной эволюции . Однако многие физические проблемы формулируются как уравнение эволюции во времени, включающее дифференциальные операторы, для которых гамильтониан только симметричен. В таких случаях либо гамильтониан является по существу самосопряженным, и в этом случае физическая проблема имеет единственные решения, либо делается попытка найти самосопряженные расширения гамильтониана, соответствующие различным типам граничных условий или условий на бесконечности.

Пример. Одномерный оператор Шредингера с потенциалом , первоначально определенный на гладких функциях с компактным носителем, является по существу самосопряженным (то есть имеет самосопряженное замыкание) для 0 < α ≤ 2, но не для α > 2 . См. Березин и Шубин, страницы 55 и 86 или Раздел 9.10 в Холле.${\displaystyle V(x)=-(1+|x|)^{\alpha }}$

Нарушение существенной самосопряженности для имеет аналог в классической динамике частицы с потенциалом : классическая частица убегает на бесконечность за конечное время. ^[17]${\displaystyle \alpha >2}$${\displaystyle V(x)}$

Пример. Самосопряженного оператора импульса p для частицы, движущейся по полупрямой, не существует. Тем не менее гамильтониан «свободной» частицы на полупрямой имеет несколько самосопряженных расширений, соответствующих различным типам граничных условий. Физически эти граничные условия связаны с отражениями частицы в начале координат (см. Рид и Саймон, том 2).${\displaystyle p^{2}}$

Формулы фон Неймана [ править ]

Предположим, что A симметрично плотно определено. Тогда любое симметрическое расширение A является ограничением A *. Действительно, если A ⊆ B и B симметрично, то B ⊆ A *, применяя определение dom ( A *).

Теорема. Предположим, что A - плотно определенный симметричный оператор. Позволять

${\displaystyle N_{\pm }=\operatorname {ran} (A\pm i)^{\perp },}$

Затем

${\displaystyle N_{\pm }=\operatorname {ker} (A^{*}\mp i),}$

и

${\displaystyle \operatorname {dom} \left(A^{*}\right)=\operatorname {dom} \left({\overline {A}}\right)\oplus N_{+}\oplus N_{-},}$

где разложение ортогонально относительно скалярного произведения графа dom ( A *):

${\displaystyle \langle \xi |\eta \rangle _{\text{graph}}=\langle \xi |\eta \rangle +\left\langle A^{*}\xi |A^{*}\eta \right\rangle }$.

Они упоминаются как формулы фон Неймана в справочнике Ахиезера и Глазмана.

Примеры [ править ]

Симметричный оператор, который не является самосопряженным [ править ]

Сначала рассмотрим гильбертово пространство и дифференциальный оператор${\displaystyle L^{2}[0,1]}$

${\displaystyle D:\phi \mapsto {\frac {1}{i}}\phi '}$

на пространстве непрерывно дифференцируемых комплекснозначных функций на [0,1], удовлетворяющих граничным условиям

${\displaystyle \phi (0)=\phi (1)=0.}$

Тогда D - симметричный оператор, что можно показать интегрированием по частям . Пространства N ₊ , N _- (определенные ниже) задаются соответственно распределительными решениями уравнения

${\displaystyle {\begin{aligned}-iu'&=iu\\-iu'&=-iu\end{aligned}}}$

которые находятся в L ² [0, 1]. Можно показать, что каждое из этих пространств решений одномерно, порождено функциями x → e ^−x и x → e ^x соответственно. Это показывает, что D по существу не является самосопряженным ^[18], но имеет самосопряженные расширения. Эти расширения Самосопряженных параметризованные пространств унитарных отображений Н ₊ → N _- , который в этом случае происходит с единичной окружностью Т .

В этом случае нарушение существенного самосопряженности связано с «неправильным» выбором граничных условий в определении области . Поскольку это оператор первого порядка, необходимо только одно граничное условие, чтобы гарантировать его симметричность. Если мы заменим указанные выше граничные условия единственным граничным условием${\displaystyle D}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D}$

${\displaystyle \phi (0)=\phi (1)}$,

тогда D по- прежнему был бы симметричным и фактически самосопряженным. Это изменение граничных условий дает один конкретное существенно самосопряженное расширение D . Другие существенно самосопряженные расширения возникают из-за наложения граничных условий формы .${\displaystyle \phi (1)=e^{i\theta }\phi (0)}$

Этот простой пример иллюстрирует общий факт о самосопряжённых расширениях симметричного дифференциальных операторов Р на открытом множестве M . Они определяются унитарными отображениями между пространствами собственных значений

${\displaystyle N_{\pm }=\left\{u\in L^{2}(M):P_{\operatorname {dist} }u=\pm iu\right\}}$

где P _{расстояние} является дистрибутивной расширение P .

Операторы с постоянными коэффициентами [ править ]

Далее мы приведем пример дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами . Позволять

${\displaystyle P\left({\vec {x}}\right)=\sum _{\alpha }c_{\alpha }x^{\alpha }}$

- многочлен на R ⁿ с действительными коэффициентами, где α пробегает (конечный) набор мультииндексов . Таким образом

${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})}$

и

${\displaystyle x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}.}$

Мы также используем обозначения

${\displaystyle D^{\alpha }={\frac {1}{i^{|\alpha |}}}\partial _{x_{1}}^{\alpha _{1}}\partial _{x_{2}}^{\alpha _{2}}\cdots \partial _{x_{n}}^{\alpha _{n}}.}$

Тогда оператор P (D), определенный на пространстве бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем на R ⁿ формулой

${\displaystyle P(\operatorname {D} )\phi =\sum _{\alpha }c_{\alpha }\operatorname {D} ^{\alpha }\phi }$

существенно самосопряжен на L ² ( R ⁿ ).

Теорема . Пусть P - полиномиальная функция на R ⁿ с действительными коэффициентами, F - преобразование Фурье, рассматриваемое как унитарное отображение L ² ( R ⁿ ) → L ² ( R ⁿ ). Тогда F * P (D) F является существенно самосопряженным и его единственное продолжение самосопряженная является оператором умножения на функцию P .

В более общем смысле, рассмотрим линейные дифференциальные операторы, действующие на бесконечно дифференцируемые комплекснозначные функции с компактным носителем. Если M - открытое подмножество R ⁿ

${\displaystyle P\phi (x)=\sum _{\alpha }a_{\alpha }(x)\left[D^{\alpha }\phi \right](x)}$

где a _α - (не обязательно постоянные) бесконечно дифференцируемые функции. P - линейный оператор

${\displaystyle C_{0}^{\infty }(M)\to C_{0}^{\infty }(M).}$

Соответствующему P есть другой дифференциальный оператор, формальный сопряженный к P

${\displaystyle P^{\mathrm {*form} }\phi =\sum _{\alpha }D^{\alpha }\left({\overline {a_{\alpha }}}\phi \right)}$

Теорема . Сопряженное P * к P является ограничением дистрибутивного расширения формального сопряженного к соответствующему подпространству . Конкретно:${\displaystyle L^{2}}$

${\displaystyle \operatorname {dom} P^{*}=\left\{u\in L^{2}(M):P^{\mathrm {*form} }u\in L^{2}(M)\right\}.}$

Теория спектральной множественности [ править ]

Представление самосопряженного оператора умножением, хотя и чрезвычайно полезно, не является каноническим представлением. Это говорит о том, что нелегко извлечь из этого представления критерий, позволяющий определить, когда самосопряженные операторы A и B унитарно эквивалентны. Самое тонкое представление, которое мы сейчас обсуждаем, связано со спектральной множественностью. Этот круг результатов называется теорией спектральной кратности Хана - Хеллингера .

Равномерная множественность [ править ]

Сначала определим равномерную кратность :

Определение . Самосопряженный оператор A имеет равномерную кратность n, где n таково, что 1 ≤ n ≤ ω, тогда и только тогда, когда A унитарно эквивалентен оператору M _f умножения на функцию f (λ) = λ на

${\displaystyle L_{\mu }^{2}\left(\mathbf {R} ,\mathbf {H} _{n}\right)=\left\{\psi :\mathbf {R} \to \mathbf {H} _{n}:\psi {\mbox{ measurable and }}\int _{\mathbf {R} }\|\psi (t)\|^{2}d\mu (t)<\infty \right\}}$

где H _n - гильбертово пространство размерности n . Область определения M _f состоит из вектор-функций ψ на R таких, что

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} }|\lambda |^{2}\ \|\psi (\lambda )\|^{2}\,d\mu (\lambda )<\infty .}$

Неотрицательные счетно-аддитивные меры μ, ν взаимно сингулярны тогда и только тогда, когда они поддерживаются на непересекающихся борелевских множествах.

Теорема . Пусть быть самосопряженный оператор на сепарабельном гильбертовом пространстве H . Тогда существует последовательность ω счетно-аддитивных конечных мер на R (некоторые из которых могут быть тождественно 0)

${\displaystyle \left\{\mu _{\ell }\right\}_{1\leq \ell \leq \omega }}$

такие, что меры попарно сингулярны и A унитарно эквивалентна оператору умножения на функцию f (λ) = λ на

${\displaystyle \bigoplus _{1\leq \ell \leq \omega }L_{\mu _{\ell }}^{2}\left(\mathbf {R} ,\mathbf {H} _{\ell }\right).}$

Это представление уникально в следующем смысле: для любых двух таких представлений одного и того же A соответствующие меры эквивалентны в том смысле, что они имеют одинаковые множества меры 0.

Прямые интегралы [ править ]

Теорема спектральной кратности может быть переформулирована на языке прямых интегралов гильбертовых пространств:

Теорема . ^[19] Любой самосопряженный оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве унитарно эквивалентен умножению на функцию λ ↦ λ на

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} }^{\oplus }H_{\lambda }\,d\mu (\lambda ).}$

В отличие от версии спектральной теоремы с оператором умножения, версия с прямым интегралом уникальна в том смысле, что класс эквивалентности меры μ (или, что то же самое, его множества меры 0) определяется однозначно, а измеримая функция определяется почти всюду относительно к μ. ^[20] Функция является функцией спектральной кратности оператора.${\displaystyle \lambda \mapsto \mathrm {dim} (H_{\lambda })}$${\displaystyle \lambda \mapsto \operatorname {dim} \left(H_{\lambda }\right)}$

Теперь мы можем сформулировать результат классификации самосопряженных операторов: два самосопряженных оператора унитарно эквивалентны тогда и только тогда, когда (1) их спектры совпадают как множества, (2) меры, появляющиеся в их представлениях прямого интеграла, имеют одинаковые множества меры нуль и (3) их функции спектральной кратности почти всюду совпадают относительно меры в прямом интеграле. ^[21]

Пример: структура лапласиана [ править ]

Лапласиан на R ⁿ - это оператор

${\displaystyle \Delta =\sum _{i=1}^{n}\partial _{x_{i}}^{2}.}$

Как отмечалось выше, лапласиан диагонализуется преобразованием Фурье. На самом деле более естественно рассматривать отрицание лапласиана −∆, поскольку как оператор он неотрицателен; (см. эллиптический оператор ).

Теорема . Если n = 1, то −Δ имеет равномерную кратность , в противном случае −Δ имеет равномерную кратность . Более того, меру μ _mult можно считать мерой Лебега на [0, ∞).${\displaystyle {\text{mult}}=2}$${\displaystyle {\text{mult}}=\omega }$

Чистый точечный спектр [ править ]

Самосопряженный оператор на H имеет чисто точечный спектр тогда и только тогда , когда Н имеет ортогональный базис { е _я } _{я ∈ I} , состоящий из собственных векторов для A .

Пример . Гамильтониан гармонического осциллятора имеет квадратичный потенциал V , т. Е.

${\displaystyle -\Delta +|x|^{2}.}$

Этот гамильтониан имеет чисто точечный спектр; это типично для гамильтонианов связанных состояний в квантовой механике. Как было указано в предыдущем примере, достаточным условием наличия у неограниченного симметричного оператора собственных векторов, образующих базис гильбертова пространства, является наличие у него компактного обратного.

См. Также [ править ]

• Компактный оператор в гильбертовом пространстве
• Теоретическое и экспериментальное обоснование уравнения Шредингера
• Неограниченный оператор

Цитаты [ править ]

Ссылки [ править ]

• Ахиезер, Н.И .; Глазман И.М. (1981), Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве , Два тома, Питман, ISBN 9780486318653
• Березин Ф.А.; Шубин, М.А. (1991), Уравнение Шредингера , Kluwer
• Гриффель, Д.Х. (2002). Прикладной функциональный анализ . Минеола, Нью-Йорк: Дувр. ISBN 0-486-42258-5. OCLC  49250076 .
• Холл, Британская Колумбия (2013), Квантовая теория для математиков , Тексты для выпускников по математике, 267 , Springer, ISBN 978-1461471158
• Като Т. (1966), Теория возмущений для линейных операторов , Нью-Йорк: Springer
• Моретти В. (2018), Спектральная теория и квантовая механика: математические основы квантовых теорий, симметрии и введение в алгебраические формулировки , Springer-Verlag, ISBN 978-3-319-70706-8
• Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Рид, М .; Саймон Б. (1972), Методы математической физики , Том 2, Academic Press
• Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• Тешл, Г. (2009), Математические методы в квантовой механике; С приложениями к операторам Шредингера , Провиденс: Американское математическое общество
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .
• Йосида, К. (1965), Функциональный анализ , Academic Press