Ортонормированный базис

В математике , особенно в линейной алгебре , ортонормированный базис для внутреннего пространства продукта V с конечной размерностью является базисом для V , векторы которого ортонормированы , то есть все они являются единичными векторами и ортогональны друг другу. ^{[1] [2] [3]} Например, стандартный базис для евклидова пространства R ⁿ является ортонормированным базисом, где соответствующий внутренний продукт является скалярным произведением векторов. изображениестандартного базиса при вращении или отражении (или любом ортогональном преобразовании ) также ортонормирован, и каждый ортонормированный базис для R ⁿ возникает таким образом.

Для общего внутреннего продукта пространства V , ортонормированный базис может быть использован для определения нормированных ортогональных координат на V . В этих координатах внутренний продукт становится скалярным произведением векторов. Таким образом, наличие ортонормированного базиса сводит изучение конечномерного внутреннего продукта к изучению R ⁿ под скалярным произведением. Каждое конечномерное внутреннее пространство произведения имеет ортонормированный базис, который может быть получен из произвольного базиса с помощью процесса Грама – Шмидта .

В функциональном анализе концепция ортонормированного базиса может быть обобщена на произвольные (бесконечномерные) пространства внутреннего продукта . ^[4] Учитывая предгильбертово пространство H , ортонормированный базис для H - это ортонормированный набор векторов, обладающий тем свойством, что каждый вектор в H может быть записан как бесконечная линейная комбинация векторов в базисе. В этом случае, ортонормированный базис иногда называют Гильберт основу для H . Обратите внимание, что ортонормированный базис в этом смысле обычно не является базисом Гамеля , так как требуются бесконечные линейные комбинации. В частности,линейная оболочка базиса должна быть плотной в H , но не может быть всем пространством.

Если мы перейдем к гильбертовым пространствам , неортонормированный набор векторов, имеющих ту же линейную длину, что и ортонормированный базис, может вообще не быть базисом. Например, любая квадратично интегрируемая функция на интервале [−1, 1] может быть выражена ( почти всюду ) как бесконечная сумма многочленов Лежандра (ортонормированный базис), но не обязательно как бесконечная сумма одночленов x ⁿ .

Примеры [ править ]

• Набор векторов { e ₁  = (1, 0, 0), e ₂  = (0, 1, 0), e ₃  = (0, 0, 1)} (стандартный базис) образует ортонормированный базис R ³ .

Доказательство: Прямое вычисление показывает , что скалярные произведения этих векторов равна нулю, ⟨ е ₁ , е ₂ ⟩ = ⟨ е ₁ , е ₃ ⟩ = ⟨ е ₂ , е ₃ ⟩ = 0 , и что каждый из их величин равна единице, || e ₁ || = || е ₂ || = || е ₃ || = 1. Это означает, что { e ₁ , e ₂ , e ₃ } - ортонормированное множество. Все векторы ( x, y , z ) в R ³ можно выразить как сумму базисных векторов, масштабированных

${\ displaystyle (x, y, z) = xe_ {1} + ye_ {2} + ze_ {3}, \,}$

поэтому { e ₁ , e ₂ , e ₃ } охватывает R ³ и, следовательно, должно быть базисом. Также можно показать, что стандартный базис, повернутый вокруг оси через начало координат или отраженный в плоскости через начало координат, образует ортонормированный базис R ³ .

• Обратите внимание, что ортогональное преобразование стандартного внутреннего пространства продукта можно использовать для построения других ортогональных базисов .${\ Displaystyle (\ mathbb {R} ^ {n}, \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle)}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$
• Множество { f _n  : n ∈ Z } с f _n ( x ) = exp (2π inx ) образует ортонормированный базис пространства функций с конечными интегралами Лебега, L ² ([0,1]), относительно 2-норма . Это фундаментально для изучения рядов Фурье .
• Множество { e _b  : b ∈ B }, где e _b ( c ) = 1, если b = c, и 0 в противном случае, образует ортонормированный базис ² ( B ).
• Собственные функции задачи Штурма – Лиувилля на собственные значения .
• Ортогональная матрица представляет собой матрицу, вектор - столбцы образуют ортонормированный набор.

Основная формула [ править ]

Если Б есть ортогональный базис из Н , то каждый элемент х из Н может быть записана в виде

${\ displaystyle x = \ sum _ {b \ in B} {\ langle x, b \ rangle \ over \ lVert b \ rVert ^ {2}} b.}$

Когда B ортонормирован, это упрощается до

${\ Displaystyle х = \ сумма _ {b \ in B} \ langle x, b \ rangle b}$

и квадрат нормы из й может быть задан

${\ displaystyle \ | x \ | ^ {2} = \ sum _ {b \ in B} | \ langle x, b \ rangle | ^ {2}.}$

Даже если B является несчетное , только счетное число слагаемых в этой сумме будет равно нулю, и , следовательно , выражение определено корректно. Эта сумма также называется разложением Фурье по й , и формуле, как правило , известна как идентичности Парсеваля .

Если B является ортонормированный базис Н , то Н является изоморфно к л  ² ( B ) в следующем смысле: существует взаимно однозначное линейное отображение Φ: Н → л ² ( В ) таким образом, что

${\ Displaystyle \ langle \ Phi (x), \ Phi (y) \ rangle = \ langle x, y \ rangle}$

для всех х и у в Н .

Неполные ортогональные множества [ править ]

Учитывая гильбертово пространство H и множество S взаимно ортогональных векторов в H , можно взять наименьшее замкнутое линейное подпространство V из H , содержащего S . Тогда S будет ортогональным базисом V ; который, конечно, может быть меньше самого H , будучи неполным ортогональным набором, или быть H , когда он является полным ортогональным набором.

Существование [ править ]

Используя лемму Цорна и процесс Грама – Шмидта (или, проще говоря, хорошо упорядочивающую и трансфинитную рекурсию), можно показать, что каждое гильбертово пространство допускает ортонормированный базис; ^[5] кроме того, любые два ортонормированных базиса одного и того же пространства имеют одинаковую мощность (это может быть доказано аналогично доказательству обычной теоремы размерности для векторных пространств , с отдельными случаями в зависимости от того, является ли кандидат в больший базис исчисляется или нет). Гильбертово пространство сепарабельно тогда и только тогда, когда оно допускает счетный ортонормированный базис. (Это последнее утверждение можно доказать без использования аксиомы выбора).

Как однородное пространство [ править ]

Набор ортонормированных базисов для пространства является главным однородным пространством для ортогональной группы O ( n ) и называется многообразием Штифеля ортонормированных n -фреймов . ^[6]${\ Displaystyle V_ {п} (\ mathbf {R} ^ {п})}$

Другими словами, пространство ортонормированных базисов похоже на ортогональную группу, но без выбора базовой точки: для ортогонального пространства нет естественного выбора ортонормированного базиса, но как только он задан, существует взаимно однозначный выбор. -один соответствие между базисами и ортогональной группой. Конкретно, линейное отображение определяется тем, куда оно отправляет заданный базис: так же, как обратимое отображение может переводить любой базис в любой другой базис, ортогональное отображение может переводить любой ортогональный базис в любой другой ортогональный базис.

Остальной Штифель для предоставления неполных ортогональных базисов (ортонормированных к реперам) , все еще однородные пространства для ортогональной группы, но не главные однородных пространства: любые к -репер можно взять любой другой К системе отсчету ортогональной карты, но это карта не определяется однозначно.${\ Displaystyle V_ {к} (\ mathbf {R} ^ {n})}$${\ Displaystyle к <п}$

См. Также [ править ]

• Базис (линейная алгебра)
• Ортонормированный каркас
• Основа Шаудера
• Общий набор

Ссылки [ править ]

• Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277 .