Ортогональные координаты

В математике , ортогональные координаты определяются как набор д координат д = ( д ¹ , д ² , ..., д ^d ) , в которой координатные поверхности все встречаются под прямым углом (примечание: индексы являются индексы , а не показатели). Координатная поверхность для конкретной координаты q ^k - это кривая, поверхность или гиперповерхность, на которой q ^k является константой. Например, трехмерные декартовы координаты ( x , y , z) является ортогональной системой координат, поскольку ее координатные поверхности x = constant, y = constant и z = constant - это плоскости, которые пересекаются под прямым углом друг к другу, т. е. перпендикулярны. Ортогональные координаты - это частный, но чрезвычайно распространенный случай криволинейных координат .

Мотивация [ править ]

Конформное отображение , действующее на прямоугольной сетке. Обратите внимание, что ортогональность изогнутой сетки сохраняется.

В то время как векторные операции и физические законы обычно проще всего получить в декартовых координатах , не декартовы ортогональные координаты часто используются вместо них для решения различных проблем, особенно краевых задач , таких как те, которые возникают в полевых теориях квантовой механики , потоках жидкости и т. Д. электродинамика , плазменная физика и диффузия из химических соединений или тепла .

Главное преимущество недекартовых координат состоит в том, что их можно выбрать в соответствии с симметрией задачи. Например, волна давления из-за взрыва вдали от земли (или других препятствий) зависит от трехмерного пространства в декартовых координатах, однако давление преимущественно перемещается от центра, так что в сферических координатах проблема становится почти одномерной. (поскольку волна давления в основном зависит только от времени и расстояния от центра). Другой пример - (медленная) жидкость в прямой круглой трубе: в декартовых координатах нужно решить (сложную) двумерную краевую задачу, включающую уравнение в частных производных, но в цилиндрических координатах задача становится одномерной собыкновенное дифференциальное уравнение вместо уравнения в частных производных .

Причина предпочтения ортогональных координат вместо общих криволинейных координат заключается в простоте: многие сложности возникают, когда координаты не ортогональны. Например, в ортогональных координатах многие проблемы могут быть решены путем разделения переменных . Разделение переменных - это математический метод, который преобразует сложную d -мерную задачу в d -одномерные задачи, которые могут быть решены в терминах известных функций. Многие уравнения можно свести к уравнению Лапласа или уравнению Гельмгольца . Уравнение Лапласа разделяется в 13 ортогональных системах координат (14 из них перечислены в таблице ниже).за исключением тороидального ), а уравнение Гельмгольца разделимо в 11 ортогональных системах координат. ^{[1] [2]}

Ортогональные координаты никогда не имеют недиагональных членов в их метрическом тензоре . Другими словами, бесконечно малый квадрат расстояния ds ² всегда можно записать как масштабированную сумму квадратов бесконечно малых координатных смещений.

${\displaystyle ds^{2}=\sum _{k=1}^{d}\left(h_{k}\,dq^{k}\right)^{2}}$

где d - размер и масштабные функции (или масштабные коэффициенты)

${\displaystyle h_{k}(\mathbf {q} )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {g_{kk}(\mathbf {q} )}}=|\mathbf {e} _{k}|}$

равны квадратным корням из диагональных компонентов метрического тензора или длинам локальных базисных векторов, описанных ниже. Эти масштабные функции h _i используются для вычисления дифференциальных операторов в новых координатах, например градиента , лапласиана , дивергенции и ротора .${\displaystyle \mathbf {e} _{k}}$

Простым методом создания ортогональных систем координат в двух измерениях является конформное отображение стандартной двумерной сетки декартовых координат ( x , y ) . Комплексное число , г = х + гу может быть образован из реальных координат х и у , где я представляю собой мнимую единицу . Любая голоморфная функция w = f ( z ) с ненулевой комплексной производной будет давать конформное отображение; если результирующее комплексное число записывается как w = u + iv , то кривые константы u и v пересекаются под прямым углом, как это делали исходные линии константы x и y .

Ортогональные координаты в трех и более высоких измерениях могут быть сгенерированы из ортогональной двумерной системы координат либо путем проецирования ее в новое измерение ( цилиндрические координаты ), либо путем вращения двумерной системы вокруг одной из ее осей симметрии. Однако существуют и другие ортогональные системы координат в трех измерениях, которые нельзя получить путем проецирования или вращения двумерной системы, например, эллипсоидальные координаты . Более общие ортогональные координаты можно получить, начав с некоторых необходимых координатных поверхностей и рассматривая их ортогональные траектории .

Базисные векторы [ править ]

Ковариантный базис [ править ]

В декартовой системе координат , то базисные векторы являются фиксированными (константа). В более общем случае криволинейных координат точка в пространстве определяется координатами, и в каждой такой точке ограничен набор базисных векторов, которые обычно не являются постоянными: в этом суть криволинейных координат в целом и очень важное понятие. Что отличает ортогональные координаты, так это то, что, хотя базисные векторы меняются, они всегда ортогональны друг другу. Другими словами,

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=0\quad {\text{if}}\quad i\neq j}$

Эти базисные векторы по определению являются касательными векторами кривых, полученных изменением одной координаты при сохранении других фиксированных:

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}}$

где r - некоторая точка, а q ⁱ - координата, для которой извлекается базисный вектор. Другими словами, кривая получается фиксацией всех координат, кроме одной; нефиксированная координата изменяется, как в параметрической кривой , а производная кривой по параметру (изменяющаяся координата) является базисным вектором для этой координаты.

Обратите внимание, что векторы не обязательно имеют одинаковую длину. Полезные функции, известные как масштабные коэффициенты координат, - это просто длины базисных векторов (см. Таблицу ниже). Масштабные коэффициенты иногда называют коэффициентами Ламе, но этой терминологии лучше избегать, поскольку некоторые более известные коэффициенты линейной эластичности носят такое же название.${\displaystyle h_{i}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}}$

Эти нормализованные базисные векторы нотированы с шляпой и полученное деления на длину:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}={\frac {{\mathbf {e} }_{i}}{h_{i}}}={\frac {{\mathbf {e} }_{i}}{\left|{\mathbf {e} }_{i}\right|}}}$

Векторное поле может быть определено с помощью его компонентов относительно базисных векторов или нормированных базисных векторов, и один должен быть уверен этом случае имеется в виду. Компоненты нормализованного базиса наиболее часто используются в приложениях для наглядности величин (например, можно иметь дело с тангенциальной скоростью, а не с тангенциальной скоростью, умноженной на масштабный коэффициент); в выводах нормализованный базис встречается реже, поскольку он более сложен.

Контравариантная основа [ править ]

Показанные выше базисные векторы являются ковариантными базисными векторами (потому что они «изменяются» вместе с векторами). В случае ортогональных координат контравариантные базисные векторы легко найти, поскольку они будут иметь то же направление, что и ковариантные векторы, но имеют обратную длину (по этой причине два набора базисных векторов считаются обратными по отношению к каждому из них). Другой):

${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}={\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{i}}{h_{i}}}={\frac {\mathbf {e} _{i}}{h_{i}^{2}}}}$

это следует из того, что, по определению , используется дельта Кронекера . Обратите внимание, что:${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}=\delta _{i}^{j}}$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}={\frac {\mathbf {e} _{i}}{h_{i}}}=h_{i}\mathbf {e} ^{i}={\hat {\mathbf {e} }}^{i}}$

Теперь мы сталкиваемся с тремя различными базисными наборами, обычно используемыми для описания векторов в ортогональных координатах: ковариантный базис e _i , контравариантный базис e ⁱ и нормированный базис ê ⁱ . Хотя вектор является объективной величиной , то есть его идентичность не зависит от какой-либо системы координат, компоненты вектора зависят от того, в какой основе представлен вектор.

Чтобы избежать путаницы, компоненты вектора x относительно базиса e _i представлены как x ⁱ , а компоненты относительно базиса e ⁱ представлены как x _i :

${\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{i}x^{i}\mathbf {e} _{i}=\sum _{i}x_{i}\mathbf {e} ^{i}}$

Положение индексов отражает способ вычисления компонентов (верхние индексы не следует путать с возведением в степень ). Обратите внимание, что символы суммирования Σ (заглавная сигма ) и диапазон суммирования, обозначающие суммирование по всем базисным векторам ( i = 1, 2, ..., d ), часто опускаются . Компоненты связаны просто:

${\displaystyle h_{i}^{2}x^{i}=x_{i}}$

Нет никаких отличительных широко распространенных обозначений, используемых для компонентов вектора по отношению к нормализованному базису; в этой статье мы будем использовать индексы для компонентов вектора и заметим, что компоненты вычисляются в нормализованном базисе.

Векторная алгебра [ править ]

Сложение и отрицание векторов выполняются покомпонентно, как и в декартовых координатах, без каких-либо сложностей. Дополнительные соображения могут потребоваться для других векторных операций.

Однако обратите внимание, что все эти операции предполагают, что два вектора в векторном поле связаны с одной и той же точкой (другими словами, хвосты векторов совпадают). Поскольку базисные векторы обычно различаются по ортогональным координатам, если добавляются два вектора, компоненты которых вычисляются в разных точках пространства, различные базисные векторы требуют рассмотрения.

Точечный продукт [ править ]

Скалярное произведение в декартовых координатах ( евклидово пространство с ортонормированному базиса) просто сумма произведений компонент. В ортогональных координатах скалярное произведение двух векторов x и y принимает эту знакомую форму, когда компоненты векторов вычисляются в нормализованном базисе:

${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{i}x_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\cdot \sum _{j}y_{j}{\hat {\mathbf {e} }}_{j}=\sum _{i}x_{i}y_{i}}$

Это непосредственное следствие того факта, что нормализованный базис в какой-то момент может образовывать декартову систему координат: базис ортонормирован .

Для компонентов в ковариантном или контравариантном базисе

${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{i}h_{i}^{2}x^{i}y^{i}=\sum _{i}{\frac {x_{i}y_{i}}{h_{i}^{2}}}=\sum _{i}x^{i}y_{i}=\sum _{i}x_{i}y^{i}}$

Это можно легко получить, выписав векторы в форме компонентов, нормализуя базисные векторы и взяв скалярное произведение. Например, в 2D:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} &=\left(x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}\right)\cdot \left(y_{1}\mathbf {e} ^{1}+y_{2}\mathbf {e} ^{2}\right)\\[10pt]&=\left(x^{1}h_{1}{\hat {\mathbf {e} }}_{1}+x^{2}h_{2}{\hat {\mathbf {e} }}_{2}\right)\cdot \left(y_{1}{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}^{1}}{h_{1}}}+y_{2}{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}^{2}}{h_{2}}}\right)=x^{1}y_{1}+x^{2}y_{2}\end{aligned}}}$

где использован тот факт, что нормированный ковариантный и контравариантный базисы равны.

Перекрестный продукт [ править ]

Перекрестное произведение в координатах 3D декартовых является:

${\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {y} =(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}){\hat {\mathbf {e} }}_{1}+(x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}){\hat {\mathbf {e} }}_{2}+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}){\hat {\mathbf {e} }}_{3}}$

Приведенная выше формула остается действительной в ортогональных координатах, если компоненты вычисляются в нормализованном базисе.

Чтобы построить векторное произведение в ортогональных координатах с ковариантными или контравариантными базами, мы снова должны просто нормализовать базисные векторы, например:

${\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {y} =\sum _{i}x^{i}\mathbf {e} _{i}\times \sum _{j}y^{j}\mathbf {e} _{j}=\sum _{i}x^{i}h_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\times \sum _{j}y^{j}h_{j}{\hat {\mathbf {e} }}_{j}}$

которые, написанные в развернутом виде,

${\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {y} =(x^{2}y^{3}-x^{3}y^{2}){\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}\mathbf {e} _{1}+(x^{3}y^{1}-x^{1}y^{3}){\frac {h_{1}h_{3}}{h_{2}}}\mathbf {e} _{2}+(x^{1}y^{2}-x^{2}y^{1}){\frac {h_{1}h_{2}}{h_{3}}}\mathbf {e} _{3}}$

Краткое обозначение для перекрестного произведения, которое упрощает обобщение на неортогональные координаты и более высокие измерения, возможно с тензором Леви-Чивиты , который будет иметь компоненты, отличные от нулей и единиц, если масштабные коэффициенты не все равны единице.

Векторное исчисление [ править ]

Дифференциация [ править ]

Глядя на бесконечно малое смещение с некоторой точки, очевидно, что

${\displaystyle d\mathbf {r} =\sum _{i}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\,dq^{i}=\sum _{i}\mathbf {e} _{i}\,dq^{i}}$

По определению градиент функции должен удовлетворять (это определение остается верным, если ƒ - любой тензор )

${\displaystyle df=\nabla f\cdot d\mathbf {r} \quad \Rightarrow \quad df=\nabla f\cdot \sum _{i}\mathbf {e} _{i}\,dq^{i}}$

Отсюда следует, что оператор del должен быть:

${\displaystyle \nabla =\sum _{i}\mathbf {e} ^{i}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}}$

и это остается верным в общих криволинейных координатах. Такие величины, как градиент и лапласиан, следуют за правильным применением этого оператора.

Базисные векторные формулы [ править ]

Из d r и нормированных базисных векторов ê _i можно построить следующее. ^{[3] [4]}

Дифференциальный элемент	Векторы	Скаляры
Элемент линии	Касательный вектор к координатной кривой q i : ${\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}=h_{i}dq^{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}dq^{i}}$	Бесконечно малая длина ${\displaystyle d\ell ={\sqrt {d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} }}={\sqrt {(h_{1}\,dq^{1})^{2}+(h_{2}\,dq^{2})^{2}+(h_{3}\,dq^{3})^{2}}}}$
Элемент поверхности	Нормаль к координатной поверхности q k = постоянная: ${\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {S} &=(h_{i}dq^{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i})\times (h_{j}dq^{j}{\hat {\mathbf {e} }}_{j})\\&=dq^{i}dq^{j}\left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{j}}}\right)\\&=h_{i}h_{j}dq^{i}dq^{j}{\hat {\mathbf {e} }}_{k}\end{aligned}}}$	Бесконечно малая поверхность ${\displaystyle dS_{k}=h_{i}h_{j}\,dq^{i}\,dq^{j}}$
Элемент объема	N / A	Бесконечно малый объем ${\displaystyle {\begin{aligned}dV&=|(h_{1}\,dq^{1}{\hat {\mathbf {e} }}_{1})\cdot (h_{2}\,dq^{2}{\hat {\mathbf {e} }}_{2})\times (h_{3}\,dq^{3}{\hat {\mathbf {e} }}_{3})|\\&=|{\hat {\mathbf {e} }}_{1}\cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{2}\times {\hat {\mathbf {e} }}_{3}|h_{1}h_{2}h_{3}\,dq^{1}\,dq^{2}\,dq^{3}\\&=h_{1}h_{2}h_{3}\,dq^{1}\,dq^{2}\,dq^{3}\\&=J\,dq^{1}\,dq^{2}\,dq^{3}\end{aligned}}}$

куда

${\displaystyle J=\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{1}}}\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{2}}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{3}}}\right)\right|=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (q^{1},q^{2},q^{3})}}\right|=h_{1}h_{2}h_{3}}$

- определитель Якоби , который имеет геометрическую интерпретацию деформации объема от бесконечно малого куба d x d y d z до бесконечно малого искривленного объема в ортогональных координатах.

Интеграция [ править ]

Используя линейный элемент, показанный выше, линейный интеграл вдоль пути вектора F равен:${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {P}}}$

${\displaystyle \int _{\mathcal {P}}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\int _{\mathcal {P}}\sum _{i}F_{i}\mathbf {e} ^{i}\cdot \sum _{j}\mathbf {e} _{j}\,dq^{j}=\sum _{i}\int _{\mathcal {P}}F_{i}\,dq^{i}}$

Бесконечно малый элемент площади для поверхности, описываемой сохранением одной координаты q _k постоянной, равен:

${\displaystyle dA_{k}=\prod _{i\neq k}ds_{i}=\prod _{i\neq k}h_{i}\,dq^{i}}$

Точно так же элемент объема:

${\displaystyle dV=\prod _{i}ds_{i}=\prod _{i}h_{i}\,dq^{i}}$

где большой символ Π (заглавная Пи ) обозначает продукт так же, как большой символ Σ обозначает суммирование. Обратите внимание, что произведение всех масштабных факторов является определителем Якоби .

Например, поверхностный интеграл вектор-функции F по q ¹ = постоянной поверхности в 3D равен:${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle \int _{\mathcal {S}}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {A} =\int _{\mathcal {S}}\mathbf {F} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\ dA=\int _{\mathcal {S}}\mathbf {F} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{1}\ dA=\int _{\mathcal {S}}F^{1}{\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}\,dq^{2}\,dq^{3}}$

Обратите внимание, что F ¹ / h ₁ - это компонента F, нормальная к поверхности.

Дифференциальные операторы в трех измерениях [ править ]

Так как эти операции являются общими в применении, все векторные компоненты в этом разделе представлены относительно нормированного базиса: .${\displaystyle F_{i}=\mathbf {F} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{i}}$

Оператор	Выражение
Градиент из скалярного поля	${\displaystyle \nabla \phi ={\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{1}}{h_{1}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{1}}}+{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{2}}{h_{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{2}}}+{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{3}}{h_{3}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{3}}}}$
Расхождение из векторного поля	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q^{1}}}\left(F_{1}h_{2}h_{3}\right)+{\frac {\partial }{\partial q^{2}}}\left(F_{2}h_{3}h_{1}\right)+{\frac {\partial }{\partial q^{3}}}\left(F_{3}h_{1}h_{2}\right)\right]}$
Ротор векторного поля	${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {F} &={\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{1}}{h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q^{2}}}\left(h_{3}F_{3}\right)-{\frac {\partial }{\partial q^{3}}}\left(h_{2}F_{2}\right)\right]+{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{2}}{h_{3}h_{1}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q^{3}}}\left(h_{1}F_{1}\right)-{\frac {\partial }{\partial q^{1}}}\left(h_{3}F_{3}\right)\right]\\[10pt]&+{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{3}}{h_{1}h_{2}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q^{1}}}\left(h_{2}F_{2}\right)-{\frac {\partial }{\partial q^{2}}}\left(h_{1}F_{1}\right)\right]={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}{\begin{vmatrix}h_{1}{\hat {\mathbf {e} }}_{1}&h_{2}{\hat {\mathbf {e} }}_{2}&h_{3}{\hat {\mathbf {e} }}_{3}\\{\dfrac {\partial }{\partial q^{1}}}&{\dfrac {\partial }{\partial q^{2}}}&{\dfrac {\partial }{\partial q^{3}}}\\h_{1}F_{1}&h_{2}F_{2}&h_{3}F_{3}\end{vmatrix}}\end{aligned}}}$
Лапласиан скалярного поля	${\displaystyle \nabla ^{2}\phi ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q^{1}}}\left({\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{1}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q^{2}}}\left({\frac {h_{3}h_{1}}{h_{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{2}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q^{3}}}\left({\frac {h_{1}h_{2}}{h_{3}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{3}}}\right)\right]}$

Вышеупомянутые выражения могут быть записаны в более компактной форме с использованием символа Леви-Чивиты и якобиана , предполагая суммирование по повторяющимся индексам:${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$${\displaystyle J=h_{1}h_{2}h_{3}}$

Оператор	Выражение
Градиент из скалярного поля	${\displaystyle \nabla \phi ={\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{k}}{h_{k}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{k}}}}$
Расхождение из векторного поля	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{J}}{\frac {\partial }{\partial q^{k}}}\left({\frac {J}{h_{k}}}F_{k}\right)}$
Изгиб векторного поля (только 3D)	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} ={\frac {h_{k}{\hat {\mathbf {e} }}_{k}}{J}}\epsilon _{ijk}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left(h_{j}F_{j}\right)}$
Лапласиан скалярного поля	${\displaystyle \nabla ^{2}\phi ={\frac {1}{J}}{\frac {\partial }{\partial q^{k}}}\left({\frac {J}{h_{k}^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{k}}}\right)}$

Таблица ортогональных координат [ править ]

Помимо обычных декартовых координат, несколько других приведены в таблице ниже. ^[5] Интервальные обозначения используются для компактности в столбце координат.

Криволинейные координаты ( q 1 , q 2 , q 3 )	Преобразование из декартовой ( x , y , z )	Масштабные коэффициенты
Сферические полярные координаты ${\displaystyle (r,\theta ,\phi )\in [0,\infty )\times [0,\pi ]\times [0,2\pi )}$	${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\sin \theta \cos \phi \\y&=r\sin \theta \sin \phi \\z&=r\cos \theta \end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=1\\h_{2}&=r\\h_{3}&=r\sin \theta \end{aligned}}}$
Цилиндрические полярные координаты ${\displaystyle (r,\phi ,z)\in [0,\infty )\times [0,2\pi )\times (-\infty ,\infty )}$	${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \phi \\y&=r\sin \phi \\z&=z\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=h_{3}=1\\h_{2}&=r\end{aligned}}}$
Параболические цилиндрические координаты ${\displaystyle (u,v,z)\in (-\infty ,\infty )\times [0,\infty )\times (-\infty ,\infty )}$	${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {1}{2}}(u^{2}-v^{2})\\y&=uv\\z&=z\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}={\sqrt {u^{2}+v^{2}}}\\h_{3}&=1\end{aligned}}}$
Параболические координаты ${\displaystyle (u,v,\phi )\in [0,\infty )\times [0,\infty )\times [0,2\pi )}$	${\displaystyle {\begin{aligned}x&=uv\cos \phi \\y&=uv\sin \phi \\z&={\frac {1}{2}}(u^{2}-v^{2})\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}={\sqrt {u^{2}+v^{2}}}\\h_{3}&=uv\end{aligned}}}$
Параболоидальные координаты ${\displaystyle {\begin{aligned}&(\lambda ,\mu ,\nu )\\&\lambda <b^{2}<\mu <a^{2}<\nu \end{aligned}}}$	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{q_{i}-a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{q_{i}-b^{2}}}=2z+q_{i}}$ куда ${\displaystyle (q_{1},q_{2},q_{3})=(\lambda ,\mu ,\nu )}$	${\displaystyle h_{i}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {(q_{j}-q_{i})(q_{k}-q_{i})}{(a^{2}-q_{i})(b^{2}-q_{i})}}}}$
Эллипсоидальные координаты ${\displaystyle {\begin{aligned}&(\lambda ,\mu ,\nu )\\&\lambda <c^{2}<b^{2}<a^{2},\\&c^{2}<\mu <b^{2}<a^{2},\\&c^{2}<b^{2}<\nu <a^{2},\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}-q_{i}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}-q_{i}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}-q_{i}}}=1}$ куда ${\displaystyle (q_{1},q_{2},q_{3})=(\lambda ,\mu ,\nu )}$	${\displaystyle h_{i}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {(q_{j}-q_{i})(q_{k}-q_{i})}{(a^{2}-q_{i})(b^{2}-q_{i})(c^{2}-q_{i})}}}}$
Эллиптические цилиндрические координаты ${\displaystyle (u,v,z)\in [0,\infty )\times [0,2\pi )\times (-\infty ,\infty )}$	${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\cosh u\cos v\\y&=a\sinh u\sin v\\z&=z\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}=a{\sqrt {\sinh ^{2}u+\sin ^{2}v}}\\h_{3}&=1\end{aligned}}}$
Вытянутые сфероидальные координаты ${\displaystyle (\xi ,\eta ,\phi )\in [0,\infty )\times [0,\pi ]\times [0,2\pi )}$	${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\sinh \xi \sin \eta \cos \phi \\y&=a\sinh \xi \sin \eta \sin \phi \\z&=a\cosh \xi \cos \eta \end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}=a{\sqrt {\sinh ^{2}\xi +\sin ^{2}\eta }}\\h_{3}&=a\sinh \xi \sin \eta \end{aligned}}}$
Сплюснутые сфероидальные координаты ${\displaystyle (\xi ,\eta ,\phi )\in [0,\infty )\times \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]\times [0,2\pi )}$	${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\cosh \xi \cos \eta \cos \phi \\y&=a\cosh \xi \cos \eta \sin \phi \\z&=a\sinh \xi \sin \eta \end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}=a{\sqrt {\sinh ^{2}\xi +\sin ^{2}\eta }}\\h_{3}&=a\cosh \xi \cos \eta \end{aligned}}}$
Биполярные цилиндрические координаты ${\displaystyle (u,v,z)\in [0,2\pi )\times (-\infty ,\infty )\times (-\infty ,\infty )}$	${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {a\sinh v}{\cosh v-\cos u}}\\y&={\frac {a\sin u}{\cosh v-\cos u}}\\z&=z\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}={\frac {a}{\cosh v-\cos u}}\\h_{3}&=1\end{aligned}}}$
Тороидальные координаты ${\displaystyle (u,v,\phi )\in (-\pi ,\pi ]\times [0,\infty )\times [0,2\pi )}$	${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {a\sinh v\cos \phi }{\cosh v-\cos u}}\\y&={\frac {a\sinh v\sin \phi }{\cosh v-\cos u}}\\z&={\frac {a\sin u}{\cosh v-\cos u}}\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}={\frac {a}{\cosh v-\cos u}}\\h_{3}&={\frac {a\sinh v}{\cosh v-\cos u}}\end{aligned}}}$
Бисферические координаты ${\displaystyle (u,v,\phi )\in (-\pi ,\pi ]\times [0,\infty )\times [0,2\pi )}$	${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {a\sin u\cos \phi }{\cosh v-\cos u}}\\y&={\frac {a\sin u\sin \phi }{\cosh v-\cos u}}\\z&={\frac {a\sinh v}{\cosh v-\cos u}}\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}={\frac {a}{\cosh v-\cos u}}\\h_{3}&={\frac {a\sin u}{\cosh v-\cos u}}\end{aligned}}}$
Конические координаты ${\displaystyle {\begin{aligned}&(\lambda ,\mu ,\nu )\\&\nu ^{2}<b^{2}<\mu ^{2}<a^{2}\\&\lambda \in [0,\infty )\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {\lambda \mu \nu }{ab}}\\y&={\frac {\lambda }{a}}{\sqrt {\frac {(\mu ^{2}-a^{2})(\nu ^{2}-a^{2})}{a^{2}-b^{2}}}}\\z&={\frac {\lambda }{b}}{\sqrt {\frac {(\mu ^{2}-b^{2})(\nu ^{2}-b^{2})}{b^{2}-a^{2}}}}\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=1\\h_{2}^{2}&={\frac {\lambda ^{2}(\mu ^{2}-\nu ^{2})}{(\mu ^{2}-a^{2})(b^{2}-\mu ^{2})}}\\h_{3}^{2}&={\frac {\lambda ^{2}(\mu ^{2}-\nu ^{2})}{(\nu ^{2}-a^{2})(\nu ^{2}-b^{2})}}\end{aligned}}}$

См. Также [ править ]

• Криволинейные координаты
• Тензор
• Векторное поле
• Наклонные координаты

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Korn GA и Korn TM. (1961) Математический справочник для ученых и инженеров , McGraw-Hill, стр. 164–182.
• Морс и Фешбах (1953). «Методы теоретической физики. Том 1». Макгроу-Хилл. Cite journal requires |journal= (help)

• Маргенау Х. и Мерфи GM. (1956) Математика физики и химии , 2-й. изд., Ван Ностранд, стр. 172–192.
• Леонид П. Лебедев и Майкл Дж. Клауд (2003) Тензорный анализ , стр. 81 - 88.