Функция, интегрируемая с квадратом

В математике , А интегрируемый с квадратом функция , которая также называется квадратично интегрируемой функцией или функцией , ^[1] является реальной - или комплексом значной измеримой функции , для которой интеграл от квадрата абсолютного значения конечен. Таким образом, квадратичная интегрируемость на вещественной прямой определяется следующим образом.${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$

Можно также говорить о квадратичной интегрируемости на ограниченных интервалах, например при . ^[2]${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle a\leq b}$

Эквивалентное определение - сказать, что квадрат самой функции (а не ее абсолютного значения) интегрируем по Лебегу . Чтобы это было правдой, интегралы от положительной и отрицательной частей действительной части должны быть конечными, так же как и интегралы для мнимой части.

Векторное пространство квадратично интегрируемых функций (относительно меры Лебега) образует пространство L ^p с . Среди пространств L ^p класс функций, интегрируемых с квадратом, уникален тем, что он совместим со скалярным произведением , что позволяет определять такие понятия, как угол и ортогональность. Наряду с этим внутренним произведением, квадратные интегрируемые функции образуют гильбертова пространство , так как все л ^р пространств полные под их соответствующим р -норм .${\displaystyle p=2}$

Часто этот термин используется не для обозначения конкретной функции, а для обозначения классов эквивалентности функций, которые равны почти везде .

Свойства [ править ]

Квадратные интегрируемые функции (в упомянутом смысле, в котором «функция» на самом деле означает класс эквивалентности функций, которые почти везде одинаковы) образуют внутреннее пространство продукта с внутренним продуктом, задаваемым формулой

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{A}{\overline {f(x)}}g(x)\,\mathrm {d} x}$

куда

• ${\displaystyle f}$и - квадратично интегрируемые функции,${\displaystyle g}$
• ${\displaystyle {\overline {f(x)}}}$является комплексно сопряженное из ,${\displaystyle f(x)}$
• ${\displaystyle A}$- это множество, по которому выполняется интеграция - в первом определении (приведенном выше во введении) есть ; во втором - есть .${\displaystyle A}$${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$${\displaystyle A}$${\displaystyle [a,b]}$

Поскольку квадратная интегрируемость - это то же самое, что сказать${\displaystyle |a|^{2}=a\cdot {\overline {a}}}$

${\displaystyle \langle f,f\rangle <\infty .\,}$

Можно показать, что интегрируемые с квадратом функции образуют полное метрическое пространство под метрикой, индуцированной скалярным произведением, определенным выше. Полное метрическое пространство также называется пространством Коши , потому что последовательности в таких метрических пространствах сходятся тогда и только тогда, когда они являются Коши . Пространство, полное относительно метрики, индуцированной нормой, называется банаховым пространством . Следовательно, пространство функций, интегрируемых с квадратом, является банаховым пространством с метрикой, индуцированной нормой, которая, в свою очередь, индуцирована скалярным произведением. Поскольку у нас есть дополнительное свойство скалярного произведения, это определенно гильбертово пространство , потому что пространство полно относительно метрики, индуцированной скалярным произведением.

Это внутреннее пространство продукта обычно обозначается и часто сокращается как . Обратите внимание, что это обозначает набор функций, интегрируемых с квадратом, но никакие метрики, нормы или внутреннее произведение не определяются этим обозначением. Набор вместе с конкретным внутренним продуктом определяет внутреннее пространство продукта.${\displaystyle \left(L_{2},\langle \cdot ,\cdot \rangle _{2}\right)}$${\displaystyle L_{2}}$${\displaystyle L_{2}}$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{2}}$

Пространство квадратично интегрируемых функций - это пространство L ^p, в котором .${\displaystyle p=2}$

Примеры [ править ]

• ${\displaystyle {\frac {1}{x^{n}}}}$, Определенная на (0,1), находится в L ² для но не для . ^[1]${\displaystyle n<{\frac {1}{2}}}$${\displaystyle n={\frac {1}{2}}}$

• Ограниченные функции, определенные на [0,1]. Эти функции также находятся в L ^p для любого значения p . ^[3]
• ${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$, определенное на . ^[3]${\displaystyle [1,\infty )}$

Не примеры [ править ]

• ${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$, определенный на [0,1], где значение at 0 произвольно. Кроме того, эта функция не входит в L ^p ни при каком значении p in . ^[3]${\displaystyle [1,\infty )}$

См. Также [ править ]

• L p пространство

Ссылки [ править ]