Пространство Коши

В общей топологии и анализе , пространство Коши является обобщением метрических пространств и равномерных пространств , для которых понятие Коши сходимости все еще имеет смысл. Пространства Коши были введены Х. Х. Келлером в 1968 году в качестве аксиоматического инструмента, производного от идеи фильтра Коши , для изучения полноты в топологических пространствах . Категория Коши пространств и Коши непрерывных отображений является декартово замкнутой и содержит категорию пространств близости .

Определение [ править ]

На протяжении всего , представляет собой набор, обозначает набор мощности от и всех фильтров предполагаются собственно / невырожденный (т.е. фильтра не может содержать пустое множество). ${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle \ WP (X)}$${\ displaystyle X,}$

Коши пространство представляет собой пару , состоящую из множества вместе с семьей из (собственных) фильтров на имеющие все из следующих свойств:${\ displaystyle (X, C)}$${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle С \ substeq \ WP (\ WP (X))}$${\ displaystyle X}$

1. Для каждого дискретного ультрафильтра at, обозначенного как is in .${\ displaystyle x \ in X,}$${\ displaystyle x,}$${\ Displaystyle U (х),}$${\ displaystyle C}$
2. Если это правильный фильтр и является подмножеством then${\ displaystyle F \ in C,}$ ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle G,}$${\ displaystyle G \ in C.}$
3. Если и если каждый член пересекает каждый член, то${\ displaystyle F, G \ in C}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle G,}$${\ Displaystyle F \ cap G \ in C.}$

Элемент называется фильтром Коши и отображением между пространствами Коши и является непрерывным по Коши, если ; то есть изображение каждого фильтра Коши в является базой фильтра Коши в${\ displaystyle C}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle (X, C)}$${\ displaystyle (Y, D)}$${\ displaystyle \ uparrow f (X) \ substeq D}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y.}$

Свойства и определения [ править ]

Любое пространство Коши также является пространством сходимости , где фильтр сходится к if является Коши. В частности, пространство Коши имеет естественную топологию .${\ displaystyle F}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle F \ cap U (x)}$

Примеры [ править ]

• Любое равномерное пространство (следовательно, любое метрическое пространство , топологическое векторное пространство или топологическая группа ) является пространством Коши; см. определения в фильтре Коши .
• Решетка упорядоченная группа имеет естественную структуру Коши.
• Любое направленное множество может быть сделано в пространстве Коши путем объявления фильтра , чтобы быть Коши , если для любого элемента , существует элемент таким образом, что является либо одноточечным или подмножество хвоста Тогда при любом другом Коши пространство в Коши-непрерывные функции от до такие же , как в сети Коши в индексируется If является полным , то такая функция может быть продлен до завершения которого может быть записано ; стоимость продления в${\displaystyle A}$${\displaystyle F}$${\displaystyle n\in A}$${\displaystyle U\in F}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \{m:m\geq n\}.}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A,}$${\displaystyle A\cup \{\infty \}}$${\displaystyle \infty }$будет предел сети. В случае , когда есть множество из натуральных чисел (так , что сеть Кошей индексироваться является таким же , как последовательность Коши ), а затем принимает ту же самую структуру , как Коши метрического пространства${\displaystyle A}$${\displaystyle \{1,2,3,\ldots \}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \{1,1/2,1/3,\ldots \}.}$

Категория пространств Коши [ править ]

Естественным понятием морфизма между пространствами Коши является понятие непрерывной по Коши функции , понятие, которое ранее было изучено для равномерных пространств.

См. Также [ править ]

• Пространство сходимости  - Обобщение понятия сходимости в общей топологии.
• Фильтры в топологии  - использование фильтров для описания и характеристики всех основных топологических понятий и результатов.
• Пространство близости  - структура, описывающая понятие «близости» между подмножествами.

Ссылки [ править ]

• Ева Лоуэн-Коулбандерс (1989). Функциональные классы непрерывных отображений Коши . Деккер, Нью-Йорк, 1989.
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365 .